二次函數的圖象與性質重點考點歸納練

2025年中考數學一輪復習備考

一、單選題

1.已知拋物線P=/+2x+4上有點尸（。，叱當-24a<3時，則P點縱坐標b的取值范圍為（）

A.3<Z><4B.-4<<4

C.3<6<19D.4<6<19

2.已知點/（-3，〃），3（T，b）,C（2，c）均在拋物線V=-2（x+iy+4上，則%以。的大小關系是

（）

A.c<a<bB.ci<c<bQb<a<cD.b<c<a

3.關于拋物線'=0-1）2-2,下列說法錯誤的是（）

A.頂點坐標為（1=2）B.當時，了隨x的增大而減小

C.開口方向向上D.函數最小值是-2

。的坐標分別是（一『2）、。，2）,點C在拋物線

4.如圖，在正方形NBC。中，點3、

y——+bx

2的圖像上，則人的值是（）

1

D.2

5.如圖，△NBC是等腰直角三角形，NC=90。,AC=BC=2,點、D為邊AB上一點、,過點。作

DE1AC,DF1BC,垂足分別為K,F,點。從點A出發沿42運動至點8.設DE=x,

1/42

DF=y,四邊形的面積為S,在運動過程中，下列說法正確的是（）

A.y與x滿足一次函數關系，S與x滿足二次函數關系，且S存在最大值

B.y與x滿足一次函數關系，S與x滿足二次函數關系，且S存在最小值

C.y與x滿足反比例函數關系，S與x滿足二次函數關系，且S存在最大值

D.了與x滿足反比例函數關系，S與x滿足二次函數關系，且S存在最小值

6.數學課上，夏老師給出關于x的函數歹=2出一（4左+1）?后+1（后“為實數）.學生們獨立思考后，

把探索發現的與該函數有關的結論（性質）寫到黑板上，夏老師作為活動一員，又補充了一些結論,

并從中選擇了以下四條：

①存在函數，其圖象經過點（L°）;

②存在函數，該函數的函數值y始終隨x的增大而減小；

③函數圖象有可能經過兩個象限；

④若函數有最大值，則最大值必為正數，若函數有最小值，則最小值必為負數.

上述結論中正確的為（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

2

7.二次函數尸的圖象如圖所示，點為位于坐標原點，山,山，A3,為期在〉軸的正半軸

2

上，B],B?,,星期在―■次函數歹=3X2第一■象限的圖象上，若AAIB2A2,△

AB以3，…，A42022B2023/2023都是等邊二角形，則△/202282023/2023的周長是（）

2/42

A.6069B.6066C.6063D.6060

8.定義｛"'"耳為函數＞="2+H+c的特征數，下面給出的特征數為｛2'%1一私一1一端時，關于函

數的一些結論，其中不正確的是（）

8

A.當機=-3時，函數的最大值為3

5^/2

B.當〃?=-3時，函數圖像的頂點到直線＞=xT的距離為3

c.函數圖像恒過兩個定點。°）和12'5）

1

X＜一

D.當機＜°時，函數在4時，V隨x的增大而增大

9.如圖，一段拋物線：y=r（x-4）（O〈x＜4）,記為G,它與x軸交于點°，4；將G繞點4順時

針旋轉180。得到C?；…如此進行下去，得到一條連續的曲線，若點尸（2°23,加）在這條曲線上，貝u

m的值為（）

A.4B.3C.-4D.一3

10.如圖，在矩形48c□中，筋=3,8c=4,點P在直線AD上運動，以8尸為直角邊向右作

3/42

RSPBQ,使得/8PQ=90。，BPpQ,連接c0,則C0長的最小值為（）

2回5岳

C.三D.

二、填空題

11.如圖，平行于x軸的直線與兩條拋物線必和%=〃X-13）2（。<6）相交于點

A,B,C,D.若48=8,BC=3,8=6,則人的值為.

2

v-ax+bx+c（a>0}“（一刈，叫。）?-3,弘）。（3,%）《一；,％]

12.已知拋物線了_""+"x+cW>U）過點<21五點,

則M、為%的大小關系是.

13.如果一條拋物線〉="2+區+。（。*0）與x軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個交點

為頂點的三角形稱為這條拋物線的“特征三角形已知拋物線>=/+區的“特征三角形”是等腰直

角三角形，那么的值為.

14.如圖，拋物線y=ax2+6x+c（a*0）的頂點在線段上移動，與工軸交于c、。兩點，若

-2,-3）、8（4,-3）,當四邊形/BOC是矩形時，此時拋物線的解析式是.

4/42

15.已知二次函數k2/+或+0的圖像與x軸有且只有一個公共點，且過/（加-2,”），

3（加+4，"）兩點，則〃的值為.

三、解答題

16.在平面直角坐標系xQy中，拋物線y=x?-2機x+〃/-加+9.

⑴"（4%）,BQz,%）是拋物線上不重合的兩點，當占+%=2時，乂=%,求該拋物線的解析式.

（2）河6。/。）是拋物線上一點，且毛+〃=%.

①若加=1,當-IVxVl時，求〃的最小值.

2m—1<x<—m+3

②當2時，〃的最小值是5,求冽的值.

17.已知二次函數>=X2+2X-3的圖象與x軸的交于A,B兩點,與了軸交于點C.

（1）求A,8兩點坐標；

⑵點。在第三象限內的拋物線上，過點。作工軸垂線交/C于點七，求。石的最大值；

（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點N,使以。，N,及°為頂點的四邊形是平行四邊形?

若存在，請求出點N的橫坐標，若不存在，請說明理由.

5/42

1z,\27

18.拋物線一)+與%="x+3)2-l交于點/,分別交y軸于點尸，Q,過點/作X軸的

平行線，分別交兩條拋物線于點B,C.已知'({3),SC=10.

⑴求。的值.

⑵若點及(4'")都在拋物線必上，判斷小n,〃的大小關系，并說明理由.

(3)求P0的值.

19.如圖，直線、=-3X+3與x軸、了軸分別交于點/,B,拋物線y="x-2)2+*經過點兒

并與x軸交于另一點C,其頂點為尸.

(1)求〃，后的值.

(2)拋物線的對稱軸上是否存在一點N,使A/BN為直角三角形？若存在，求出點N的坐標；若不存

在，請說明理由.

_123-

y——x—x+2

20.拋物線22與％軸交于點4B(點A在點3的左側)，與歹軸交于點°,連接

ACfBC.

6/42

(1)求點4BC的坐標；

(2)如圖1,尸是拋物線上的一動點，是否存在點尸，使得/P/8=N/CO?若存在，求出點P的坐標,

若不存在，請說明理由；

(3)如圖2,0為線段NC上方拋物線上的一動點(點2不與點4。重合)，過點°作”〃8C交

QE=3

了軸于點尸，交線段NC于點"，若沃一》,請直接寫出點。的坐標.

21.如圖，拋物線了=爾-26+c(a<0)經過點'(TO),過該拋物線的頂點c作直線CDA軸于點

D,CD=5,尸在拋物線V="/-2G+C上，且在對稱軸右側，過點P作尸E'x軸于點足

(1)求該拋物線的解析式.

(2)若NC〃。尸，求點尸的坐標.

(3)如圖2,橫坐標為2的點尸也在拋物線了="2-2"+c上，點G在線段°。上，且在點下的下方,

當/EG斤=90。時，求點尸橫坐標的最大值.

22.如圖1,已知拋物線了=如2-4ax+c的圖象經過點4(1,0),8(私0),C(0,-3),過點C作

CD〃x軸交拋物線于點。，點尸是拋物線上的一個動點，連接尸。，設點尸的橫坐標為〃.

7/42

(1)填空：m=a=

(2)在圖1中，若點尸在x軸上方的拋物線上運動，連接0尸，當四邊形面積最大時，求"的

值;

(3)如圖2,若點0在拋物線的對稱軸/上，連接尸°、DQ,是否存在點尸使為等腰直角三角

形？若存在，直接寫出所有符合條件的點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

8/42

參考答案

1.C

本題考查二次函數的性質，解題的關鍵是得到拋物線的頂點式及熟練掌握〉與X的變化關系.根據

拋物線解析式得到頂點坐標，結合函數性質求解即可.

解.=x?+2x+4=（x+l）+3,

???其頂點坐標為（一二）.

且-2Wa<3,

拋物線開口向下，

.3<^<（3+1）2+3=19

故選C.

2.A

根據拋物線解析式求得對稱軸為直線x=T,開口向下，根據點到對稱軸的遠近進行判斷即可求

解.

本題考查二次函數的增減性，熟練掌握拋物線的對稱性和增減性是解題的關鍵.

解：「k-2（x+l）F，

???拋物線的對稱軸為直線x=T,

???拋物線開口向下，而點5在對稱軸上，點。離對稱軸最遠，

。<Q<b.

故選：A.

3.B

本題考查二次函數的圖象和性質，根據>="（"一〃）+人的圖象和性質進行判斷即可.

9/42

解:J=（X-1）2-2,

???拋物線的開口向上，對稱軸為直線％=1,頂點坐標為

???當x=l時，函數有最小值為-2,當時，了隨x的增大而增大；

綜上：只有選項B說法錯誤，符合題意；

故選B.

4.D

本題考查正方形的性質，三角形全等的判定和性質，二次函數圖像上點的坐標特征，過點C作

Wx軸，過點B作于"，過點。作于N,利用三角形全等的即可得出C點

1,

y——x2+bx

坐標，代入2即可得出°的值.確定點C的坐標是解題關鍵.

解：過點。作血加工》軸，過點8作于過點。作DWN于N,

...ZBMC=ZCND=90°

四邊形是正方形，

...ZBCD=90°,BC=DC,

NBCM+ZDCN=90=BCM+ZCBM,

：/DCN=NCBM,

在ACBM和&DCN中,

'/BMC=/CND

<ZCBM=ADCN

BC=CD

.ACW^AZ）C7V（AAS）

,.?BM=CN9CM=DN,

設C（a,b）,

10/42

?；點8、。的坐標分別是（一.2）、（1,2）,

Jq+1=2-6

.\a-l=b+2

=2

解得：〔6=T,

?°（2，T）

,,，

12,

y=——x+bx

???點C在拋物線2的圖像上,

1,

-1=--x22+2b

2

故選：D.

5.A

本題考查了等腰直角三角形的性質，矩形的判定和性質，一次函數和二次函數的定義，二次函數求

最值.由等腰直角三角形的性質可得4=48=45。，再由DEIAC,推出△NED和

△0KB是等腰直角三角形，四邊形CEDE是矩形，進而可得〉與x的關系，再根據矩形的面積公式

可得S與x的關系式，化為頂點式，即可得到最值.

解：?.?△NBC是等腰直角三角形，ZC=90°,

ZA=/B=45°,

DF1BC,DE1AC,

11/42

.?.△4EZ）和△"咕是等腰直角三角形，四邊形CEDE是矩形，

:.CF=DE=AE=x9BF=DF=y,

?:AC=BC=2,

:.BF=BC-CF艮=2-x,

與x滿足一次函數關系，

*.?S=CFxDF=x（2—x）=2x—x2=—（x-1）2+1,最大值為1,

二?S與'滿足二次函數關系，且S存在最大值.

故選：A.

6.B

此題考查二次函數的性質，一次函數的性質，利用舉特例的方法是解決問題常用方法.①將（1，°）點

代入函數，解出左的值即可作出判斷；②首先考慮，函數為一次函數的情況，從而可判斷為假；③

根據②即可作出判斷；④當左=0時，函數為一次函數，無最大值和最小值，當左N0時，函數為拋

物線，求出頂點的縱坐標表達式，即可作出判斷.

解：①將（1⑼代入可得：2k-（4k+l）-k+l=0；解得：k=o,此選項正確.

②當斤=°時，J=f+1,該函數的函數值丁始終隨x的增大而減小；此選項正確；

③當左=0時，尸f+1,經過3個象限，

當上r0時，A=（4A：+1）2-4x2k[-k+1）=24^+1＞0,

???拋物線必與x軸相交，

,圖象必經過三個象限，此選項錯誤；

④當左=°時，函數無最大、最小值；

24^+1

左N0時，'最=一一=，當人＞°時，有最小值，最小值為負；當左＜°時，有最大值，最大值為正；

此選項正確.

12/42

正確的是①②④.

故選：B

7.A

根據等邊三角形的性質可得乙4〃//=60。，然后表示出4s的解析式，與二次函數解析式聯立求出

點昂的坐標，再根據等邊三角形的性質求出同理表示出小氏的解析式，與二次函數解析式

聯立求出點員的坐標，再根據等邊三角形的性質求出小力2，同理求出易的坐標，然后求出力243,

從而得到等邊三角形的邊長為從1開始的連續自然數，與三角形所在的序數相等，進而求得三角形

的周長.

解：???△^//小是等邊三角形,

??Z-A1-A.QB；=60°，

V3

----X

???///的解析式為尸3

八5x

聯立3

V3

X=——

2

1%=0

y=-

解得:2或y=0

???Bi(2,2),

-x2-l

???等邊△^//小的邊長為2

旦+1

同理，的解析式為尸3

V3

尸丁+1

22

y=-x

聯立.3

13/42

x=------

：X=6I

解得1y=2或［了一］,

■.B2(省,2),

；.等邊△^/當山的邊長//*2x(2-1)=2,

369

同理可求出品(2,5),

9

所以，等邊△^為兒的邊長/24=2X(2-1-2)=3,

...,

以此類推，系列等邊三角形的邊長為從1開始的連續自然數,

A^42022^2023^2023的邊長為2023,

?t-^4-2022^2023^2023的周長是6069.

故選：A.

8.C

A、把加=-3代入白加，1-私-1-端，求得｛。，瓦。｝,求得解析式，利用頂點坐標公式解答即可；

B、利用平行線的性質求得直線＞=》-1與過頂點平行直線的直線與y軸的交點，求得交點的

長度，進一步即可解決問題；

C、代入x的值，驗證即可解答；

D、根據特征數的特點，直接得出x的值，進一步驗證即可解答.

解：???函數廣&+加+c的特征數為｛2也1-辦-1-%

.y=2mx2+

頂點坐標是133人故當優=一3時，函數的最

14/42

8

大值為此結論正確；

(18)7

B、過頂點133J平行直線y=x-l的直線為3,

所以直線‘一”+3與丁軸的交點為〔勾，而直線>與了軸的交點為(of,

所以兩交點的長度為3''3,

10V2572

__x___—___

所以頂點到直線y=xT的距離為32~3，此結論正確；

C當％=1時y=2加/+(]—加)％+(_]一加)=2/+0―加)+(-1—m)=0

、/=_；、y=2mx2+(1—+l-m)=—m)=

即函數圖象恒過兩個定點°'°)和〔2'此結論不正確.

D、當加<0時，>=2機X?+(1-加卜+(-1-加)是一個開口向下的拋物線，

m—1

其對稱軸是：直線x=7￡,在對稱軸的右邊了隨X的增大而減小.

m-1111J

-----=--------->—X<-

因為當加<0時，4m44m4,即函數在4時，>隨X的增大而增大，此結論正確;

故選C.

9.D

根據拋物線與x軸的交點問題得到，圖象G與x軸交點坐標為：(°，°),(4°),再利用旋轉的性質圖

象G與x軸交點坐標為：(4,0),(8,0),則拋物線G/=(x-4)(x-8)(44x48),于是可推出拋物線

Qo6.y=(x-4x505)(%-4x506)(2020<x<2024)；由于2023=4x505+3,則有「(2°23,機)在拋物

=(%-4x505)(%-4x506)(2020<x<2024)±；然后根據二次函數圖象上點的坐標特征計算％的

值即可.

,?,如圖拋物線G：，=-"0一4)(℃"4),

15/42

圖象。與X軸交點坐標為：(。⑼,(4°),

,??將G繞點4旋轉180。得G,交X軸于點4,

二拋物線"Hl*8)(44x48),

???將G繞點a旋轉180。得G,交X軸于點4,

如此進行下去，

...拋物線C506：^=-(X-4X505)(X-4X506)(2020<x<2024),

???2023=4x505+3,

...P(2023,機)在拋物線y=(x—4x505)(x—4x506)(2020<%<2024)上，

,當x=2023時，>=(2023-4x505)(2023-4x506)=-3,

故選：D.

10.D

過點。作兒W14D于點與交于點N,證明△4PgsMQP,設W=x,根據相似三角形

的相似比，用x表示/尸，并求得尸初，進而根據勾股定理，用x表示CQ1根據二次函數的性質求

得℃的最小值，最后便可求得°。的最小值.

解：過點。作"NS/。于點“，與BC交于點N,如圖所示：

..NA=NPMQ=NCNQ=90°,AB=MN=3

???NBPQ=90°

16/42

ZAPB+ZMPQ=ZMPQ+ZPQM=90°

ZAPS=ZMQP,

:.AAPBsMQP,

APAB_BP

，詬一而一而，

設=則NQ=3-x,

3

BP=-PQ

v2,

AP_3_3

.?.三一訪工

3

...AP=-x

2,MP=2f

33

:.CN=DM=AD-MP-AP=4-2——x=2——x

22

'.CQ2=QN2+CN2

—>0

4,即拋物線開口向上,

2425

當13時，CQ的最小值為13,

/25_5VB

長的最小值為113.13,

故選：D

11.6

本題考查了二次函數的性質，分別作出兩拋物線的對稱軸交4D于M、N,令直線交了軸于E,

17/42

CM=-V(AB+BC7}=—BN=-V(BC+CD7)=-

由題意可得EN=13,22,22由

EM+CM+BN-BC=EN求出EM=6,即可得解.

解：分別作出兩拋物線的對稱軸交/。于M、N,令直線交了軸于E,

???平行于x軸的直線與兩條拋物線,="。-')2和%=b(xT3)2(a＜b)相交于點/,B,C,D.

2

...拋物線y2=b(x-l3)的對稱軸為直線x=13,即EN=13,

AB=8,BC=3,CD=6,

CM=-{AB+BC}=—BN=-(BC+CD)=-

.,?22,22,

...EM+CM+BN-BC=EN,

119

EM+—+——3=13

22,

；.EM=6,

...拋物線%=°(x-〃)2的對稱軸為直線x=6,即〃=6,

故答案為：6.

12.〈外

本題考查了二次函數的圖象和性質，由拋物線，=加+法+總＞0)過點”(-2,0)8(0,0),可得

\b=2a

lc=0,即得＞=°X2+2G,得到拋物線的對稱軸為X=T,再根據知拋物線開口向上，拋物

線上的點離對稱軸的距離越近函數值越小，據此即可求解，掌握二次函數的圖象和性質是解題的關

鍵.

18/42

解：???拋物線昨加+法+。（。>0）過點4（-2,0）,5（0,0）

[0=4Q-2b+c

[0=c

(b=2a

\c=0

.?.拋物線解析式為>=ax2+2ax,

???拋物線的對稱軸為x=T,

...a>0,

拋物線開口向上，拋物線上的點離對稱軸的距離越近函數值越小，

-1）<-1-（-3）<3-（-1）

???2,

,.,%<%<%，

故答案為：人（乂<%.

13.2或-2

本題考查二次函數與x軸的交點問題、等腰直角三角形的性質、坐標與圖形，根據等腰直角三角形

的性質可得該拋物線的頂點的橫縱坐標相等或互為相反數，進而得到關于6的方程，然后解方程求

解即可.

2b2（b叫

解：由12J4得頂點坐標為I24九

令》=0,由0=/+6x得玉=0,X2=-b,

???該拋物線了=-+云與x軸的兩個交點坐標為（&°）,（一”°）,

?.?拋物線歹=-+bx的“特征三角形，，是等腰直角三角形，

19/42

b2_bb2_b

...F=5或丁-5,且x,

解得6=2或&=-2，

即b的值為2或-2,

故答案為：2或-2.

128

y=—x2——X——

14.333

本題考查二次函數性質與幾何圖形應用，根據矩形的性質得到C(-2，°)，D(4，°),設拋物線解析式為

y="(x+2)(x-4),求得頂點坐標為0，-3),代入求出°即可得到拋物線的解析式.

...四邊形/瓦JC是矩形,

,.,ACLCD,BDLCD，

又?:C、。兩點在x軸，M一"一3)、3(4,-3)

軸，軸，/B'y軸,

,C（-2,0）,Z）（4,0）

,,J

設拋物線解析式為了=a(x+2)(》-4),

-2+4,

x=-----=1

???拋物線的對稱軸為直線2

???頂點坐標為O'"),

將點O'—3)代入，得-9a=-3

1

ci——

3,

y=—（x+2）（x-4）=—x2--X--

???拋物線的解析式為3'333,

20/42

128

y=—x2——x——

故答案為：333

15.18

本題考查了拋物線與x軸的交點，根據點/、3的坐標易求該拋物線的對稱軸是直線x=，〃+l.故設

拋物線解析式為＞=2（%-加-J,直接將“（加—2/）代入，通過解方程來求〃的值.

解：???拋物線產2/+及+C過點（（1）,

m—2+m+4.

x=------------------=m+1

???對稱軸是直線2

又???拋物線y=2/++c與X軸只有一個交點,

二頂點為（加+1,0）,

???拋物線解析式為＞=2（x-機-廳，

把一2，〃）代入，得：

〃=2（機一2-加一I）?=18

即〃=18.

故答案為：18.

16.⑴%-—2X+9

⑵①7；②2

本題考查二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的性質是解答的關鍵.

（1）根據拋物線的對稱性求出m的值即可；

（2）①先求出拋物線解析式，根據二次函數的性質即可解答；②先求出〃關于七的二次函數解析

式，在求出對稱軸，根據二次函數的性質，結合題意分類討論即可.

（1）解：?./（冷必），'&，％）是拋物線上不重合的兩點，當再+%=2時，%=%，，

21/42

點"（j%），8&，％）關于拋物線的對稱軸對稱,

-2mx+x1

x=--------=m=—-]-----?=I

???拋物線的對稱軸為2x12

???拋物線的解析式為：y=/_2無+9

2

（2）解：①當加=1時，則拋物線的解析式為：yx—2x+9

??,MG。，%）是拋物線上一點，且

,%02—2XQ+9—XQ+n即-3XQ+9=〃

3|227

I+『

2

...l>09

3

%〈一

2時，〃隨x的增大而減小,

1-|巾=7

時，〃有最小值，最小值為

②根據題意：X；-2%與+"?2-加+9=X°+”

2

即〃=x0-（2m+l）x0+加之一加+9

-（2m+1）1

?=x2-（2m+l）x2-m+9的對稱軸為修=m+—

Aoo+W2x12,

￡

.?.拋物線〃=『-加+）蘇-加+的圖象開口向上，且“<加+

xQ1/+92，〃隨與的增大而減小,

11

x>m+—x=m+—

n2時，〃隨修的增大而增大，n2時，〃有最小值，

2m-1<x<—m+3

2時，〃的最小值是5,

22/42

2，解得：3.

m+—>—m+3

當2—2時，則〃叱5,與題意矛盾，舍去;

m+—<2m—1

當2時，則2,

3,,8

—<m<—

此時，23,

當x=2加-1時，函數有最小值，

2

."min=（2加-1）--（2m+l）（2m-1）+m-m+9=5

解得：加=2或加=3（舍去）；

2m+—<—m+3m<—

當22時，則2,

3

m<—

此時，2,

x=m+—

當2時，函數有最小值,

m+—m+—+m2—m+9=5

2

m=——>—

解得：82（舍去）；

綜上，加的值為2.

17.（I）"-。）；8（1，°）

（2）的最大值為4

1+V7

⑶存在，點N的橫坐標為2,2或2

此題考查了二次函數面積問題、二次函數與特殊四邊形問題、二次函數與坐標軸的交點問題等知識,

數形結合和分類討論是關鍵.

23/42

(1)解方程/+2-3=0得到%=1,%=-3,即可得到答案；

(2)求出直線/C的表達式為y=-x_3,設蘇+2加-3),則￡(加,一機-3),求出一3(加<0,

DE=-[m+^\+-m=---

I2)4,則當2時，的最大值為4；

(3)分為平行四邊形的邊和為平行四邊形的對角線兩種情況進行解答即可.

(1)解：令代入了=x2+2x-3得：X2+2X-3=0,

解得網=1,%=-3,

./(-3,0)；5(1,0)

(2)設直線/C的表達式為丁=履+〃，把"(一3,0)、0(0,-3)代入得：

f0=-3A:+n[k=-1

1-3="，解得儲=一3,

???直線NC的表達式為y=r-3,

設+2加-3)則

???點。位于第三象限，

DE=—m—3—(m2+2加一3)=—m2—3m=—\m+—\+—

...-3<m<0,V)I2)4,

39

m=———

.,.當2時，DE的最大值為4.

24/42

(3)①當為平行四邊形的邊時，DN//OB

.■.D,N關于直線x=-l對稱

...DN=OB=\

_3

.?.點N的橫坐標為一5或-5.

②當為平行四邊形的對角線時，設點而了+2"3),貝。點。(1-,-廠-2/+3),

???點。在拋物線上

.-f2-2z+3=(l-/)2+2(l-r)-3

???點。在第三象限

.??點N在第一象限

1+V7

???點N的橫坐標為2

25/42

_!_2i+近

綜上所述：點N的橫坐標為-5,一5或I-

1

CL——

18.(1)4

n\m<n<P

本題考查二次函數的圖像與性質，待定系數法求二次函數解析式，解題的關鍵是掌握二次函數相關

的性質.

(1)由“3),BC=10,得C(-7,3),把C(-7,3)代入%="X+3)2-1即可求得華

(2)利用力求出/(1，3),即可可得拋物線"一56一")+"的對稱軸是直線x=2,利用二次函數的

性質即可得出可得加<〃<尸；

(3)利用拋物線解析式求出I2人I4人從而得出結果.

⑴解1(3,3),叱=10

:.C(-7,3)

2

把。(一7,3)代入%=a(x+3)2-1得：3=?(-7+3)-1；

解得：”，

**——1

(2)解：,4,

■-y2=；G+3)2-1

,3=-(X+3)2-1

令y=3得，4、

解得x=l或x=-7,

26/42

,1+3、

/.h=----=2

2

y,=—(x-/z)2+k

，拋物線2、的對稱軸為直線》=2,

...點(2,%),(3,〃)及(4,P)都在拋物線必上，拋物線”=5(xf開口向上,

二在對稱軸右側，y隨x的增大而增大,

:.m<n<P.

⑶解：把8(3,3)代入XT—)』

k=—

解得：2,

9

y——

令x=0,2,

■'-pH

在力TN?-1

中，

5

y——

令x=0,4

尸。4-鴻

19.⑴。=1,k=-l

(2)拋物線的對稱軸上存在一點N,使4/8"為直角三角形；點"的坐標為(2，1)或(2,2)或(2,4)或

(1)根據直線N=-3x+3與x軸、了軸分別交于點/,B,得令、=0,令》=°,進行計算得

現1-2了+左=0

4(1,0),5(0,3),根據拋物線夕=°(X_2)一+左經過點兒.(0-2)2+左=3,進行計算即可得;

B得

27/42

⑵設N(2,〃)，根據/(1,0),3(0,3)得A82=IO,A?2=?2-6/7+13,NA2=l+n\分情況討論：①

當是以42為斜邊的直角三角形時，由勾股定理得，NA2+NB2=AB2,②當AABN是以NA為

斜邊的直角三角形時，由勾股定理得，AB2+NB2=NA2,③當A/BN是以NB為斜邊的直角三角形時,

由勾股定理得，AB2+NA2=NB2,進行計算即可得.

(1)解：?.?直線、=-3X+3與x軸、V軸分別交于點N,B,

.?.令x=0,則

令產0,則-3x+3=0,解得x=l,

8(0,3),

???拋物線廠"。-2)2+4經過點N,B,

,(1-2)2+后=0

.L(0-2)2+A:=3

ftz=1

解得在=T；

(2)拋物線的對稱軸上存在一點N,使為直角三角形，理由如下：

解：設N(2,"),

...4(1,0),3(0,3),

...AB2=12+32=10,

NB2=22+(n-3)2=?2-6n+13

2222

A^=(2-l)+n=l+n；

①當是以48為斜邊的直角三角形時，由勾股定理得，

N^+NB^AB2,

l+n~+n2-6n+13=10,

28/42

2n2-6n+4=0,

n2-3n+2=0,

(n-l)(w-2)=0

=1,T?2=2

...N(2,l)或N(2,2)；

②當是以M4為斜邊的直角三角形時，由勾股定理得,

AB2+NB2=NA2,

10+n2-6〃+13=1+〃2,

-6n=-24,

〃=4,

...N(2,4)；

③當是以NS為斜邊的直角三角形時，由勾股定理得,

AB2+NA2=NB2,

10+1+w2=n2-671+13,

6n=2f

N(2$

綜上，點N的坐標為（2/）或（2,2）或⑵4）或

20.⑴/J，。），8（1，。），。（0,2）

⑵尸（一3,2）或尸（5,-18）

29/42

⑶。(一⑹或(-3,2)或Si

123

八—x—x+2=0_A_1c

(1)當y=°時，22,解得：再=-4,%=1,當無=0時，＞=2,由此即可得出答

案;

AOc爪,—+2

tan/ACO=二2

(22，則"3°),則

(2)求得OC,作軸于"，設

」』+2

L3+2PH22

PH=AH=n-(-)=n得到tanNPZ-而

224+4)n+4,從而可得

-92+2

=2

n+4求解即可得出答案;

12—^m+2吁3石

Q\m,-—mDEj----------

(3)設點I2，求出8C=石，則5，待定系數法求出直線8c的解析式

__y=_2cx—1m2H—1加+2C

為：y=-2x+2,8所在直線的解析式為22,NC所在直線的解析式為

,從而得出

13c

y=——x2——x+2

(1)解：.??拋物線22與x軸交于點4B(點A在點3的左側)，與y軸交于點C,

13

八——x29——x+2=0

二.當昨0時，22

解得：再二-4,x2=l

-4,0)5(1,0)

當x=0時，了=2,

,0(0,2)

30/42

(2)解：由(1)可得/J4"

.Q=4,OC=2f

AC)

tanZACO=—=2

oc,

如圖，作軸于H,

圖1

2〃+2

P\n,-

設I22,則“（〃”

103

:.PH=——n2——n+2

22AH=H-(-4)=H+4

-2

22

/.tanZPAB=—

AH〃+4

要使ZPAB=NACO,貝(jtan/PAB=tan/ACO,

3〃+2

22

=2

n+4

13

—n92—〃+2=2幾+8

22

13

——n29——〃+2=2〃+8

當22時,

整理得：/+7〃+12=0,

解得："=-4或〃=-3

???4（一4,0）

31/42

尸(-3,2).

整理得：?2-?-20=0,

解得：〃=-4或〃=5,

-4,0）

..尸（5,-18）.

當點P在點A的左下方時，乙以3>90。恒成立，而CO<90。恒成立，故點尸不能在點A