第五章數列章末題型大總結

01知識導圖

題型總結

等差、等比數列基本量計算

等差數列的性質

數列的函數特性及應用

等比數列的性質

由數列的前幾項求通項

等差數列前n項和的最值問題

累加法與累乘法

裂項相消法

根據Sn與an的關系求通項

錯位相減法

構造法求數列的通項

并項法

等差、等比數列的判斷

數列在實際問題中的應用

數列中的新定義問題

02題型精講

題型01數列的函數特性及應用

||解題錦囊

'求數列最大（小）項的方法

（1）構造函數，確定出函數的單調性，進一步求出數列的最大項或最小項.

II（2）利用"n+1,求數列中的最大項4；

[%Nan-\

II[&＜凡口

利用,求數列中的最小項為.

〔%W%

當解不唯一時，比較各解大小即可確定.

I!_____________________________________________________________________________________________

【典例1]（24-25高二上?河北滄州?階段練習）已知數列｛%｝的通項公式為%=等之，則｛6｝中的項最

大為（）

1

A.-B.0C.-1D.2

5

【答案】D

【分析】根據數列的單調性求解.

【詳解】。”累1+/嗎=。9=-1,。4=2.

3

當〃>4時，函數>=；；——覆單調遞減，

4〃一14

則當時，數列｛%｝單調遞減，

所以｛%｝中的項最大為〃4=2.

故選：D.

【變式1](24-25高三上?河北?階段練習)己知數列｛%｝的通項公式為。“="2(|廣’，若對于任意正整數小

都有巴<am成立，則m的值為()

A.15B.16C.17D.18

【答案】C

【分析】利用給定的通項公式，結合單調性求出最大項即可得解.

【詳解】數列｛%｝的通項公式為%則％+1-%=("+1)2(|)"-〃2(|嚴

89o81o18o

=(-)，，[(?+l)92--?2]=(-)，，(--?2+2n+l)=---(-r(?2-16n-8),

由〃2-16"-8>0,n>\,解得“>8+6收，而16<8+6也<17,

因此當"217時，an+l-an<0,gpan+1<an,當10416時,an+l>an,

即/</<???<%6<a\1>q8>。19>

所以數列｛%｝的最大項為。17，即對于任意正整數小都有%夕%成立，依題意，加=17.

故選：C

2

【變式2】(24-25高二上?河北保定?階段練習)在數列｛%｝中，若%=3,。用=2-一,則下列數不是｛%｝

an

中的項的是()

14

A.-1B.-C.-D.-2

【答案】A

【分析】由數列的遞推關系及％=3求數列的前幾項，確定數列的周期，由此判斷結論.

2

【詳解】因為4=3,%+i=2---,

%

一41

所以的=§，“3=5，%=-2,45=3,

故｛%｝是以4為周期的周期數列，-1不是數列中的項，

故選：A.

【變式3】（24-25高三上,江蘇無錫?階段練習）已知數列｛%｝的通項公式是二<7

，〃>7

（〃eN*）,若數列｛。“｝是遞增數列，則實數。的取值范圍是（）

C.（2,3）D.[2,3）

【答案】C

【分析】根據單調性的定義即可列不等式求解.

（3-a>0

【詳解】氏=（：二"）""7為單調遞增的數列，故"1，

10，〃〉7,X28-6

7（3—Q）—3<u

解得2va<3,

故選：C

【變式4】（24-25高三上?天津?階段練習）在無窮數列｛%｝中，％=1,a?_1+2a?=0（?>2,neN*）,數列｛%｝

的前n項和為S,,則S,的最大值與最小值的差為（）

A.-B.：

84

C.yD.無法確定

【答案】C

【分析】求出數列｛%｝的前〃項和，按奇偶探討｛SJ的單調性求出最大與最小值即可得解.

【詳解】由"22,a,i+2a“=0,得2%=、%,而%=1,則數列｛叫是等比數列，

于是S,==中「（一｝"]，當〃為奇數時，S“=g[l+（g）"],|<S?<5?<1,

；：；+2

當〃為偶數時，5?=|[l-（|r],1<S?<5?+2<1,因此S”的最大值與最小值分別為1,；,

所以S,的最大值與最小值的差為?.

故選：c

題型02由數列的前幾項求通項

解題錦囊

由數列的前幾項求數列的通項公式

II①各項的符號特征，通過(-1)"或(-1)用來調節正負項.

②考慮對分子、分母各個擊破或尋找分子、分母之間的關系.

II③相鄰項(或其絕對值)的變化特征.

④拆項、添項后的特征.

II⑤通過通分等方法變化后，觀察是否有規律.

11===================================

【典例1](24-25高二上?江蘇南通?期中)己知數列｛%｝的前4項依次為0,2,0,2,則其通項公式可能為

()

A.??=1-(-1)"B.+

C.an=COSHTI-1D.an=sin?7i+1

【答案】B

【分析】依次求出各個選項中數列的前幾項即可判斷.

1234

【詳解】對于A,ax=1-(-1)=2,a2=1-(-1)=O,a3=1-(-1)=2,a4=1-(-1)=0,不合題意；

對于B,%=1+(-17=0,〃2=1+(—I)?=2,%=1+(-1)，=0,%=1+(—I)，=2,符合題意；

對于C,ax=cos兀-1二一2,〃2=cos2K-1=0,=COS3K-1=-2,tz4=cos4K-1=0,不合題意；對于D,

ax=sin兀+1=1,a2=sin2兀+1=1,%=sin37i+1=l,tz4=sin4兀+1=1,不合題意.

故選：B

【變式1](24-25高二上?山東荷澤?階段練習)若數列｛%｝的前四項依次為2,12,112,1112,則｛%｝的

一個通項公式為()

-1

A.an=10"+2B.=(〃一1)(45〃-80)+2

【答案】D

【分析】通過觀察前幾項的規律即可求解.

【詳解】由2=10-8,12=100-88,112=1000-888,1112=10000-8888,

可得｛為｝的一個通項公式為%=10"-|x(10"-1)=竺曾.

故選：D.

【變式2](24-25高二上?黑龍江綏化?階段練習)對于任意一個有窮數列，可以通過在該數列的每相鄰兩

項之間插入這兩項的之和，構造一個新的數列.現對數列1,5進行構造，第1次得到數列1,6,5,第2次

得到數列1,7,6,U,5,依此類推，第〃次得到數列1,不用,…,5.記第"次得到的數列的各項之和為

S",則｛sj的通項公式s“=（）

A.3,,+1+3B.3"+1+lC.3"+3D.3"+1

【答案】A

【分析】依據題意構造數列，分析規律，結合等比數列前〃項和公式即可求解.

【詳解】依題意，E=l+6+5=12,S2=1+7+6+11+5=12+18=12+6x3,

S3=1+8+7+13+6+17+11+16+5=12+18+54=12+6x3+6x32=12+6x0+32),

S4=1+9+8+15+7+20+13+19+6+23+17+28+11+27+16+21+5

=12+18+54+162=12+6X3+6X32+6X33=12+6X(31+32+33),

=12+6X（31+32+33+---+3"-1）,

由等比數列的前”項和公式，得S“=12+6x3（1二=3向+3,

所以電｝的通項公式S“=3向+3.

故選：A

【變式3］（24-25高三上?天津河西?期中）將數列｛3〃-1｝與｛2〃｝的公共項從小到大排列得到數列｛4｝,則〃1?二

（）

A.237B.238C.239D.241

【答案】D

【分析】觀察得到｛2"｝中的奇數項都是數列｛3〃-1｝中的項，即2,8,32,128,…，其為公比為4的等比數列，

求出g=221,得到答案.

【詳解】數歹1｛2"｝中的項為2,4,8,16,32,64,128,256,…，

觀察得到｛2"｝中的奇數項都是數列｛3〃-1｝中的項，

即2,8,32,128,…可以寫成3"-1的形式,其為公比為4的等比數列,

故a,=2x4"T=22i,故的=2,

故選：D

【變式4］（24-25高二上?甘肅白銀?期中）己知數列1,-3,5,-7,9,…，則該數列的第985項為（）

A.-1971B.1971C.-1969D.1969

【答案】D

【分析】根據數列的前幾項，得出數列的通項公式，即可求解.

【詳解】因為數列為1,-3,5,-7,9,…，

所以該數列的通項公式為%=（T）向（2?-1）,得到=（-Ip1（2x985-1）=1969,

故選：D.

題型03累加法與累乘法

II解題錦囊

累加法適用于。"+1—或為一為-1=/(")型，其解題恒等式為冊=。1+(。2—。1)+(。3—。2)+…+(。"一

IIan-^(n>2,cGN*)求解

IIaa

累乘法適用于.=/(〃)或2=/(〃)型，通常利用飆=里?竺求出通項冊.

||anan-\Un-1Un-2Ul

II==______=____=_________________________________=______

【典例3](24-25高二上?山東?期中)在數列｛。“｝中，％==%+ln(l+｝),則｛為｝的通項公式為.

【答案】an=l+ln/7；

【分析】求出%-O"T=ln利用累加法求和得到通項公式.

【詳解】??+i-an=ln^l+1^=ln(n+l)-lnn,

故4-a^=lnn-ln(n-l),

所以〃〃=In〃-In(〃-1)+an_x=ln?-ln(H-l)+ln(w-l)-ln(?-2)+an_2

=ln〃-ln(〃-l)+ln(〃-l)-ln(〃-2)d----FlnZ-lnl+q=ln〃-lnl+l=l+ln〃.

故答案為：an=l+lnn

【變式1】(24-25高二上?上海?期中)若數列｛%｝滿足q=l,且a“M=a”+2〃(其中心1,〃eN),貝匹叫

的通項公式是.

【答案1a“=:廠-”+1

【分析】根據給定條件，利用累加法求出數列的通項.

??+1=??+2?,

【詳解】在數列｛叫中，當時，an-a?_j=2(n-l),

則=4+(出一)+("3—電)+…+("〃—。〃—1)=1+2+4+…+2(〃—1)

=]+2+2?_--(?-1)=n2-n+1,%=1滿足上式，

所以｛4｝的通項公式是%="2-〃+L

故答案為：+1

【變式2】(23-24高二下?海南海口?期中)己知數列｛“"｝的前"項和為S”,4=2且滿足5"=等凡,則數列

｛乙｝的通項公式為.

【答案】%=(〃+1)〃

an+1/、

【分析】當“22時，。產月-5”化簡得工二］,利用累乘法計算得到%=（〃+1）〃，%=2滿足上式,

寫成分段的形式即可.

【詳解】當“22時，氏=5,-51=*%-2二產/一,

a?詈利用累乘法得％=?》導…嚕*X，%

化簡得(〃-1)%=(〃+1)%,—

an-\

H+1nn—\543

=------x-------x-------X---X—X—X—X2=(幾+1)〃

n-1n-2n-3321

顯然4=2滿足上式,

2,〃=1,

所以。〃=<(〃+1)〃

，〃22,

2

故答案為：an=（?+1）n

【變式3】（2024高三?全國?專題練習）已知數列｛劭｝滿足％+%=2",ai=l,則2破3=

aa

n+l~n

【答案】4045

【詳解】

.、\TH■汨"1_i

?=—2幾，??ctn+i~\cm-2〃伍〃*/cm),B|nJ/(12ri)cui+]—(2nl)q〃，口」一~?,a2023—

2n

68a681小J吟博―4045.

-------X-------X-------X...X-x—xa,

J?，?c，”igait<MIMM3I

【變式4】（24-25高二上?重慶?期中）將正奇數按照如圖排列，我們將3,7,13,21,31......,都稱為"拐角數"，則

下面是拐角數的為（）

【答案】C

【分析】先根據題中規律，并采用累加法結合等差數列前n項和公式求出拐彎數的通項公式，即可求解.

【詳解】不妨設第"（〃eN*）個"拐角數"為見,

a

不難發現。2~\=2x2,a3—a2=2x3,a4—a3=2x4,??■,an-an_x=2n｛n>2\,

所以4-%=4+6+8H-----\-2n=~—°,+2"）=（H-1）（?+2）,得a“=〃2+〃+1,

當〃=1時，也符合上式，所以%=7』+〃+1（77eN*）,

所以第7個"拐角數"是%=7?+7+1=57,

第8個“拐角數"是%=合+8+1=73,

第9個“拐角數"是q=爐+9+1=91,

第10個"拐角數"是用0=1。2+10+1=111,

第11個“拐角數"是%=1『+11+1=133,

第12個"拐角數"是42=12。+12+1=157.故C對；

故選：C

題型04根據S”與%的關系求通項

11解題錦囊

II一

0（1）已知求斯

己知S"=/（〃）求通項，步驟可分為三步：（1）當〃"時a"=S“-S,T；（2）當〃=1時，q=S］；

II（3）檢驗能否合寫，即〃=1和"22兩種情況能否合寫成一個公式，否則就寫為分段的形式.

（2）已知S"與的關系求a”

II根據所求結果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉化.

（1）利用％=5.—5一！（應2）轉化為只含S0,S-i的關系式,再求解；

||（2）利用S〃一5-1=%（H>2）轉化為只含分，4一的關系式，再求解.

II_

【典例4］（24-25高二上?天津靜海?階段練習）己知S”為數列｛七｝的前〃項和，且滿足S“=/+2〃+2,則

｛%｝的通項公式為—.

f5,n=\

【答案】。口

【分析】先求q,再利用%=S「S"T（""）計算即可求解.

【詳解】當〃=1時，%=句=5,

22

當“22時，a?=5?-Sn_1=?+2n+2-[(?-l)+2(?-l)+2],

整理得：。〃=2〃+1,?>2,

當〃=1時，上式不成立,

5,H=1

所以%=

2〃+1,n>2

[5,n=l

故答案為：a?=]1,

\2n+\,n>2

【變式1】（24-25高二上?上海?階段練習）已知數列｛%｝的前〃項和S"=2"i-2.則數列氏=.

【答案】2"

[S,,n=l

【分析】根據公式%=。c、.，即可求解數列的通項公式.

2

【詳解】當"=1時，al=Sl=2-2=2,

當，。2時,an=Sn-S^=2?-2"=2",

驗證當〃=1時，q=2i=2成立，

所以4=2".

故答案為：2"

【變式2（24-25高三上?天津?期中）已知數列｛%｝的前"項和為，，若為=2,a,用=2S“+2（〃eN*）,則

a4=?

【答案】54

【分析】由題意確定該數列為等比數列，即可求得知的值.

【詳解】當"22,〃eN*時,%=25“_]+2,所以%-a“=2a“，即0用=3%

當〃=1時，％=2S/+2=2a｛+2=6=3q,

所以數列｛%｝是首項為2,公比為3的等比數列，

則%=%,q3=2x33=54.

故答案為：54.

【變式3】（2024高三?全國?專題練習）已知數列｛〃“｝的前〃項和為其，且滿足對+3S“S,i=0

(n>2且〃eN*),4=；，則S“=

【答案】J

3n

為等差數列，求出首項和公差即可知道:的

【分析】由公式%=S,-S,i（"N2且"eN*）化簡可證明

通項，進而可求S0.

【詳解】因為%=S,-S"T（心2）,所以S“-S,+3S“S.T=0,

所以=3,所以是等差數列，公差為3,又苦」=3,

%-1[3〃J"1

所以g=3+3(〃-1)=3〃，即s〃=J.

3〃3n

故答案為：丁.

3n

【變式4](24-25高二上?河南?期中)記數列｛%｝的前。項和為黑,已知S用+S,T=25.+2"32)且

可=1,%=3,貝.

【答案】n2-?+l,?6N-

【分析】由。“與S”的關系，可得與+「a,=2〃(〃t2),再累加法求解即可.

【詳解】當“22時，由5角+5,1=25“+2〃得5用一，=5,-，7+2〃，

aa

即n+l~?=2?(/7>2),

因為。2-％=3T=2=2x1,所以an+i-an=2n(n>1),

所以a*-an_x=2(〃-1),an_x-an_2=2(〃-2),…，/~a2=4,a2-ax=2,

則%-%=2+4+…+2(〃-2)+2(〃-1)=(1)(；2〃-2)=〃2_〃叱2),

又q=1滿足上式，故4〃=〃2_〃+l,〃￡N*,

故答案為："i+i,〃￡N*.

題型05構造法求數列的通項

F解題錦囊

用“待定系數法”構造等比數列I

||I

形如勺+1=妨〃+)(太。為常數，ApwO)的數列，可用“待定系數法”將原等式變形為

II

IIan+i+m=k｛an+m)(其中：加=：一),由此構造出新的等比數列｛%+加｝,先求出｛%+鬲的通項，從而

K-111

，1II

II求出數列｛。“｝的通項公式.||

II||

||倒數法

形如。"+i=*^(2應為常數，pqf的數列，通過兩邊取"倒"，從而構造出新的等差數列

pa”+q[an\II

II

||先求出工的通項，即可求得。”

11=_____===-_______________________________________________________________________________

【典例5](23-24高二上?廣東深圳?期末)已知數｛斯｝滿足％=2,。2=5%+12,則數列｛冊｝的通項公式

【答案】5"-3

【分析】由題意可得+3=5(%+3),即｛%+3｝是以％+3=5為首項,5為公比的等比數列,由等比數列

的通項公式求解即可.

【詳解】由%+i=5%+12可得：%+i+3=5(%+3),又為+3=5。0,

——=5,

%+3

所以｛。“+3｝是以％+3=5為首項，5為公比的等比數列,

所以4,+3=5-5"T=5",所以％=5"-3.

故答案為：5"-3

【變式1](23-24高一下?上海?期末)數列｛%｝滿足q=2,4田=3%+2用，則數列｛%｝的通項公式為

【答案】2(3"-2")

【分析】根據給定的遞推公式，利用構造法，結合等比數列通項求解即得.

【詳解】數列｛%｝中，由%M=3O.+2向，得招=：黑+1，即招+2=3黑+2),

而q=2,爭2=3,于是數列｛祟+2｝是首項為3,公比為[的等比數列，

因此去+2=3x(|)7,即%=2(3"-2"),

所以數列M的通項公式為a?=2(3"-2").

故答案為：2(3'-2")

【變式2】(23-24高二下?河南?期中)數列｛%｝中，若為=1,。“+1=[+，則,=

【答案】19

【分析】取倒數可得一匚-'=2,即可得數列[的通項公式，計算即可得.

a

a,+i?[an]

Q“1l+2a?1》

【詳解】角=廣-,則—=——t=一+2,

1+26%anan

A—--=2,；.故數列為等差數列，公差等于2,

%an[a?\

又工=1,故，=1+2("-1)=2“-1,

%an

;-=10x2-1=19

%。

故答案為：19.

【變式3】在數列｛%｝中，已知q=2,。用=蠟二，則｛%｝的通項公式為

【答案】

6n—5、7

【詳解】由Q〃M=ET，

3%+1

13a+1c1

兩邊取倒數得——==3+一,

aa

4+1nn

即—-----=3,

a

%+1n

11

又因為一=J,

ax2

所以是首項為方，公差為3的等差數列，

117n6n-5

所以一=E+3(1)=F-,

故見=/W(”eN"),

故答案為：%=3(〃eN*)

6〃一5'/

題型06等差、等比數列的判斷

r解題錦囊

?i.等差數列的定義

I

如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數

II歹!I，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d表示.

2.等比數列的定義

如果一個數列從第2項起，第一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，

[這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母q表示(qW0).

【典例5](24-25高三上?陜西?階段練習)已知正項數列｛%｝,｛2｝滿足d=6也+1，且-=2%，則

()

A.｛m｝為等差數列B.為等差數列

C.｛痣:｝為等比數列D.低｝為等比數列

【答案】A

【分析】由條件可得見=麻；，??+1=，結合關系可得久+??+1=2%,可得

+必=2忘,由此判斷AC,舉反例判斷BD.

【詳解】因為d=61AM，數列｛%｝,｛或｝為正項數列，

所以見=而五:，an+l=也+也什2,又。“+??+1=26“+1,

所以也%1+也+也+2=2%,

所以用+工=2百，

所以｛m｝為等差數列，A正確，C錯誤；

設a=/,貝！1"+1=("+1)2,。“=〃("+1),%=(〃+1)(〃+2),

滿足條件an=bnbn+l,an+an+｛=2bn+l,

,11,121

因為a=16片她=9,-+-=l+-^-=-,

所以也,｝不是等比數列，不是等差數列，B錯誤，D錯誤.

故選：A.

【變式1](24-25高三上?江蘇?階段練習)"數列｛logs%｝是等差數列"是"數列｛%｝為等比數列”的()條

件

A.充分不必要B.必要不充分C.既不充分也不必要D.充要

【答案】A

【分析】利用等差數列、等比數列的定義、特例法結合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結論.

【詳解】若數列｛logs。」是等差數列，設其公差為"，

貝=logs4用Togs%=bg3也，所以，—=3",且對任意的“eN*,%>0,

4an

所以，數列｛%｝為等比數列，

即"數列｛logs%｝是等差數列"="數列｛七｝為等比數列"；

另一方面，若數列｛6｝為等比數列，不妨取%=T(〃eN*),

則數列｛%｝為等比數列，但logs為無意義，

即"數歹U｛logs。“｝是等差數歹!?’3"數列｛七｝為等比數列

因此，"數列｛logs%｝是等差數歹曠是"數列｛??｝為等比數歹中'的充分不必要條件.

故選：A.

【變式2](24-25高三上?江西南昌?階段練習)設數列｛%｝,｛“｝的前〃項和分別為，，Tn,則下列命題

正確的是()

A.若。用-%=2(〃eN*),則數列｛《｝為等差數列

B.若6用=2"(〃eN*),則數列他,｝為等比數列

C.若數列｛%｝是等差數列，則S,，S2n-Sn,S3.-邑“…(〃eN*)成等差數列

D.若數列低｝是等比數列，則小Tln-Tn,4-七,--(〃6*)成等比數列

【答案】AC

【分析】對于A,C,利用等差數列的定義判斷即可，對于B,D,通過舉反例判斷

【詳解】對于A,由等差數列的定義可知當。用-%=2(〃eN*)時，數列｛%｝為等差數列，所以A正確;

對于B,當a=0時，滿足，M=2，(〃eN*),但數列也,｝不是等比數列，所以B錯誤；

對于C,數列｛%｝是等差數列，數列｛%｝的前"項和為

sss

則2?~?~?=2〃%+2M2；T)d_+〃(丁)町="2d,

S3n-S2n-(S2n-Sn)=S3n-2S2n+Sn

,3〃(3〃-1)72n(2n—Y)7nn(n-Y).27

=3na1H--------a-z\2nax-\---------aj+naxH------a=na,

所以S3,一邑“一($2“一凡)=(邑，一S,)-s“，

所以S",S2n-Sn,邑"-邑”???(“eN*)成等差數列，所以C正確；

對于D,當等比數列也｝的公比4=7,

當〃為偶數時，Tn,T2n-Tn,&-&,???(“eN*)均為零,

所以1，T2n-Tn,耳-&，…(〃eN*)不成等比數列，所以D錯誤，

故選：AC.

【變式3](24-25高二上?河北保定?階段練習)記等差數列｛%｝的前〃項和為y，%+4=14,55=30.

⑴證明：數列｛5-/｝是等差數列.

(2)若數列也“｝滿足%=24,且加="+。“，求也｝的通項公式.

【答案】⑴證明見解析

(2)4=w2-H+1

【分析】(1)設等差數列｛%｝的公差為力將條件轉化為生”的方程，解方程求生,d,結合求和公式求S",

再根據等差數列定義證明結論；

(2)由(1)利用累加法求也｝的通項公式.

【詳解】(1)證明：設等差數列｛%｝的公差為力

又〃3+%=2%+5"=14,S5=5ax+10d=30,

解得4=2,d=2,

所以為=2+2(〃-1)=2〃，an=2n,

所以S〃=(2+；")〃=“2+”.

因為S“_”2=n,

所以國「(〃+1)[-(S「"2)=l,

所以數列｛S“-/｝是等差數列.

又向

(2)an=2n,b=b“+a”,

所以〃+i="+2”,又4=1

當〃22時，bn-如=2(〃-1),

則。=4+02-4)+03—。2)+…+(。一。-1)

=1+2+4+---+2(?-1)=1+2+2^-1^(77-1)=/72-/7+1.

又4=1也滿足上式，所以也,｝的通項公式為+

【變式4](2024高三上?山東濟南?專題練習)已知數列｛叫的前"項和為S",?,=13,

(%-8,”為奇數

H+1為偶數

⑴證明：數列｛%TT2｝為等比數列；

(2)求數列｛《｝的前2"+1項和S2?+1.

【答案】⑴證明見解析

(2)邑“+1=2x3"+16〃+11

【分析】(1)根據條件，得到當"22,“eN*時，*-12=3仆.「36,且有％-12=1,由等比數列的

定義即可證明結果；

2

(2)由⑴及條件可得出“7=3"一+12,a2?_2=3--+4,?>2,?eN\再利用等比等差數列前〃項和公式分

組求和，即可求解$2角.

&-8,“為奇數

【詳解】(1)證明：因為。用=:二屈將，

[3a","為偶數

所以當〃22,〃eN*時，々“-IT2=a2(?_1)+1-12=3a2n_2-12=3a(2?_3)+1-12=3(a2?_3-8)-12=3(a2?_3-12),

d^)y_12.

即n”=3

。2〃一3-12

又〃=1時，ax-12=13-12=1,

所以數歹[)｛出〃.1-12｝為首項為1,公比為3的等比數列.

(2)由(1)知％T-12=3"T,所以*=37+12,

a-8,〃為奇數*

又由%M=；為倬粉，可得詠2=3"-2+4,北2,"小,

[3%,〃為偶數

所以5〃+1=4+出+。3+…+%〃+電〃+1=3+。3+…+。2〃+1)+(。2+。4+…+。2〃)

=[(3°+12)+(31+12)+…+(3"+12)]+[(3°+4)+(3+4)+…+。〃一]+4)]

]_3〃+i1

=[30+3+---+3"+12(M+1)]+(30+3+---+3,-1+4/I)=-----+----+16〃+12=2x3"+16〃+11

題型07等差、等比數列基本量計算

11解題錦囊

II

||(1)在等差、等比數列｛%｝中，其通項公式和前n項和兩個公式共涉及%,d,n,4及S,五個基本量,

11它們分別表示等差數列的首項、公差、項數、末項和前〃項和；、

(2)依據方程的思想，在數列前〃項和公式中已知其中三個量可求另外兩個量，即“知三求二”。

Li=============================：=======

【典例7](24-25高二上?江蘇揚州?階段練習)已知等比數列｛%｝的前3項和為28,。“>0且%-%=56,

則&=()

A.28B.56C.64D.128

【答案】D

【分析】通過前3項和以及%-%=56,求解出國，由通項公式可計算結果.

【詳解】因為。”>0,所以q>0,4>0,

又｛七｝的前3項和為28,即=)=28①,

i-q

又%-。2=%?(--1)=56②，

②式比①式可得相一4-2=0,解得0=-1(舍)或4=2,

代入②式得。2=8,則&=%/=8x16=128.

故選：D

【變式1](23-24高三上?山東?期中)各項均為正數的等比數列｛見｝的前〃項和為S“，且-可，彳電，七成

等差數列，若q=1,則邑=()

A.*或15B.15C.*或-15D.-

888

【答案】B

【分析】由題意設出公比，根據等差中項的性質建立方程，可得答案.

【詳解】設等比數列｛見｝的公比為4，由數列｛%｝為正項數列，則0>0,

333

由一4，,%為等差數列，則5〃2=—%+〃3，即=—1+d，即2/—3q—2=0,

解得4=2或-;（舍去），又％=1,所以=

故選：B

【變式2］（24-25高二上?江蘇南京?階段練習）已知等差數列｛%｝的首項為1,若%嗎,2+1成等比數列,

則。4=（）

A.-2B.4C.8D.-2或4

【答案】B

【分析】設等差數列｛%｝的公差為d,由qM2M3+I成等比數列求出d可得答案.

【詳解】等差數列｛4｝的公差為d,

若q,a2M3+1成等比數列，則a2=ai（%+1），

即（1+d）=1+2d+1?解得/=1,d=±1,

當1=1時，。4=1+3=4,

當d=-l時，4=1-1=0，此時2M3+1不能構成等比數列，故舍去，

所以&=4,

故選：B.

【變式3］（24-25高三上?江蘇?階段練習）記S〃為等差數列｛%｝的前〃項和.已知邑=百2，。5=5,則％=

（）

A.10B.9C.-9D.-10

【答案】B

【分析】根據等差數列以及前〃項和的計算即可求解.

\la,+2\d-12a.+66d

【詳解】由$7=力,生=5可得二〃<，解得d=T,%=9,

［q+4<7=5

故選：B

【變式4］（24-25高三上?湖北?期中）已知等比數列｛%｝滿足：+:+｝=14,a2=l,記與為其前〃項

和，則邑=（）

77

AZB.-C.-D.7

,842

【答案】A

【分析】根據題意列方程求出公比q,然后可解.

【詳解】設等比數列｛%｝的公比為q,4力0,

Ill,1

依題意,「丁丁，a2=-,

--1----1----1---1-----1--=--q----1----1---1----1--—1=]一42c

即&a2。2ga2a2a?q,2q+2+—=7,2q2-5q+2=0,

q

q

解得9=2或夕=g,

。3=；或%=；

88

c1117

Sq=----1-----1----=一

38428

故選：A

題型08等差數列的性質

解題錦囊

II1.等差數列的常用性質

(1)若陽+〃=2夕，則4+%=24；

(2)若加+"=夕+4,則見“+%+4；

11(3)下標成等差數列的項以,以+,,,,歿+2?,,…組成以〃4為公差的等差數列

||2.與等差數列各項的和有關的性質

[設等差數列｛4｝(公差為d)和低｝的前〃項和分別為sn,Tn,

C1

II(1)數列｛」4是等差數列，首項為4,公差為一d.

n2

(2)Sk,S2k-Sk,s3k-S2k,---,Smk-S(mTx，…構成公差為k2"的等差數列.

⑶若數列｛4｝共有2〃項，則S偶—5奇=〃4,

?偶4+i

II若數列｛4｝共有2〃一1項，則S奇一S偶=a"，資=奇=〃a“，S偶=(〃一l)a“).

S偶”1

11

0、Ji，”^2m-i_2m-lam

!⑷釘一耳‘一?可

【典例8](24-25高二上?江蘇南京?階段練習)等差數列｛與｝的前"項和為S“，已知的+4=8,貝1J5=

()

A.28B.30C.32D.36

【答案】C

【分析】根據等差數列求和公式及等差中項的性質即可得解.

【詳解】由已知｛%｝為等差數列，

所以_—=4（%+&）=4x8=32.

故選：C.

【變式1]（24-25高二上?江蘇蘇州?期中）（多選）已知數列｛%｝是等差數列，抄,｝是等比數列，

m,n,p,qeN,.（）

A.若m+"=p+q,則4“+%=4+%

B.若%“+%=%+%,貝l|加+〃=p+q

C.若m