重難點(diǎn)專題32立體幾何壓軸小題（體積、角度、外接球等）九大題

型匯總

dnii

題型1體積最值......................................................................1

題型2線線角最值取值范圍...........................................................2

題型3線面角最值取范圍.............................................................5

題型4面面角最值取值范圍...........................................................8

題型5外接球問題..................................................................11

題型6外接球截面相關(guān)..............................................................12

題型7正方體截面相關(guān)..............................................................13

題型8代數(shù)式最值取值范圍..........................................................16

題型9向量相關(guān)最值取值范圍.......................................................18

題型1體積最值

【例題1】（2021?全國?高三專題練習(xí)）在棱長為3的正方體力BCD-中，E是

的中點(diǎn)，P是底面4BCD所在平面內(nèi)一動點(diǎn)，設(shè)P%,PE與底面4BCD所成的角分別為國,%

（%,%均不為0）,若出=%,則三棱錐P-BBIM體積的最小值是

A.1B.|C.|D.

【變式1-1】1.（2021?全國?校聯(lián)考二模）在長方體4BCD—4歷0。1中，AB=4,BC=3

,=5,M,N分別在線段441和4C上，\MN\=2,則三棱錐D—MNQ的體積最小值為

A.4B.3V2-1C.4V3-2D.6V2-4

【變式1-1】2.（2021?全國?高三專題練習(xí)）如圖，已知直四棱柱4BCD-4出道1。1的所

有棱長等于1/ABC=60°,。和Oi分別是上下底面對角線的交點(diǎn)，”在線段。Bi上，OH=3

”為，點(diǎn)M在線段BD上移動，則三棱錐M-七。1”的體積最小值為

【變式1-1】3.（2023春廣東?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)M,N,P分別是棱長為2的正方

體力BCD-4/道山1的棱CD,C1D1,的中點(diǎn),R為BD上一點(diǎn),且R不與D重合,且M,

N,P,R在同一個(gè)表面積為S的球面上,記三棱錐N-MPR的體積為V,貝嶺的最小值是.

【變式1-1】4.（2020?全國?高三競賽）一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱，下底面在同一平面上，它們

有公共的內(nèi)切球.記圓錐的體積為l,圓柱的體積為6，且匕=02.則帕勺最小值是.

【變式1-1】5.（2021?福建?統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐E—4BCD中，EC1底面4BCD,

FD//EC,底面4BCD為矩形，G為線段4B的中點(diǎn)，CG1.DG,CD=2,DF=CE,BE與底面

4BCD所成角為45°,則四棱錐E-4BCD與三棱錐F-CDG的公共部分的體積

為

題型2線線角最值取值范圍

#?5

平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸

為共面問題來解決，具體步驟如下：

①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；

④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是（0,4，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作

為兩條異面直線所成的角.

【例題2】（2023?全國?高三專題練習(xí)）在三棱錐2—BCD中，BC=BD=AC=AD=10,

AB—6,CD—16,點(diǎn)P在平面4CD內(nèi)，且BP=V30,設(shè)異面直線BP與CD所成角為a,則

sina的最小值為（）

A主回B邈（：型D在

【變式2-1】1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，矩形48C。中，AB=4,BC=2,E為邊

2B的中點(diǎn)，沿DE將41DE折起，點(diǎn)4折至公處（冬任平面4BCD）,若M為線段&C的中點(diǎn),

則在/4DE折起過程中，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.始終有M8〃平面4DE

B.不存在某個(gè)位置，使得41c1平面4DE

C.三棱錐公-AOE體積的最大值是竽

D.一定存在某個(gè)位置，使得異面直線BM與&E所成角為30°

【變式2-1】2.（2021?全國?高三專題練習(xí)）如圖，已知等邊三角形ABC中，AB=AC,0

為BC的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在線段。8上（不含端點(diǎn)），記乙4PC=。，現(xiàn)將2Mpe沿4P折起至/4PO,

記異面直線8。與AP所成的角為a,則下列一定成立的是

c

71Ji

A.0>aB.3<aC.3+a>~D.3+a<-

【變式2-1】3.（2020?全國?高三專題練習(xí)）將正方形4BCD沿對角線4C折起，并使得平面

4BC垂直于平面4CD,直線4B與CD所成的角為

A.90°B,60°C.45°D,30°

【變式2-1】4.（2021?浙江?校聯(lián)考二模）如圖，正方體〃的棱長為1,線

段當(dāng)小上有兩個(gè)動點(diǎn)區(qū)尸，且EF=0.6,則當(dāng)區(qū)F移動時(shí)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.4E〃平面

B.四面體ACEF的體積為定值

C.三棱錐4-BEF的體積為定值

D.異面直線4尸、BE所成的角為定值

【變式2-1】5.（2020?全國?高三專題練習(xí)）將正方形ABCD沿對角線4c折起，當(dāng)以4B,C,D

四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，異面直線力。與BC所成的角為

A.ZB.￡7Df

【變式2-1】6.（2021?全國統(tǒng)考一模）如圖所示的四棱錐P-4BCD中,底面力BCD與側(cè)面PAD

垂直，目四邊形4BCD為正方形，4D=PD=PA,點(diǎn)E為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊BP上，目

BF=^BP,過C,E,F三點(diǎn)的截面與平面PAD的交線為l,則異面直線PB與1所成的角為（）

【變式2-1】7.（2023?全國?高三專題練習(xí)）a,b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角

三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有

下列結(jié)論：

①當(dāng)直線AB與a成60。角時(shí)，AB與b成30。角；

②當(dāng)直線AB與a成60。角時(shí)，AB與b成60。角；

③直線AB與a所成角的最小值為45°;

④直線AB與a所成角的最大值為60°.

其中正確的是.（填寫所有正確結(jié)論的編號）

題型3線面角最值取范圍

【例題3】（2020?全國?高三專題練習(xí)）在正方體力BCD-公8道山1中，E,尸分別為棱

BBi的中點(diǎn)，M為棱（含端點(diǎn)）上的任一點(diǎn)，則直線ME與平面小EF所成角的正弦值的

最小值為

【變式3-1]1.（2021?浙江紹興?校聯(lián)考二模）點(diǎn)P為棱長是2的正方體ABCD-公為的外

的內(nèi)切球。球面上的動點(diǎn)，點(diǎn)M為BiCi的中點(diǎn)，若滿足DPI則BiP與面CDP所成角的

正切值的最小值是

A.|B.C.^|^D.當(dāng)

【變式3-1】2.（2021?全國?高三專題練習(xí)）如圖所示，直平行六面體4BCD-&BC1D1的

所有棱長都為過體對角線的截面與棱和分別交于點(diǎn)、

2,^DAB=60°,BDiS4AlCCiEF,

①四邊形BED*的面積最小值為2遍；

②直線EF與平面BCM/所成角的最大值為2

③四棱錐揚(yáng)-BED*的體積為定值；

④點(diǎn)%到截面S的距離的最小值為手.

其中，所有真命題的序號為（）

A.①②③B.①③④C.①③D.②④

【變式3-1]3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在矩形4BCD中，=4,AD=3,E為邊

上的一點(diǎn)，DE=1,現(xiàn)將44BE沿直線BE折成4&BE,使得點(diǎn)4在平面BCDE上的射影在四

邊形BCDE內(nèi)（不含邊界），設(shè)二面角A—BE—C的大小為8,直線AB,AC與平面BCDE所

成的角分別為則

A.p<a<0B,P<0<a

C.a<0<pD.a<p<0

【變式3-1】4.（2021?全國?高三專題練習(xí)）已知正三棱錐P-ABC（底面是正三角形，頂

點(diǎn)在底面的射影是正三角形的中心），直線BC〃平面a,E,F,G分別是棱P4AB,PB上一點(diǎn)（除

端點(diǎn)），將正三棱錐P-ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則能與平面a所成的角取遍區(qū)間［0,引一切

A.EFB.FGC.EGD.EF,FG,EG中的任意一條

【變式3-1】5.（2019?河南鄭州?校聯(lián)考一模）已知圓錐的母線長為2r,底面圓半徑長為r,

圓心為。，點(diǎn)M是母線PA的中點(diǎn)，AB是底面圓的直徑.若點(diǎn)C是底面圓周上一點(diǎn)，且0C

與母線PB所成的角等于60。，則MC與底面所成的角的正弦值為（）

B.爭婷

C-f

D.白婷

【變式3-1】6.（2021秋?黑龍江佳木斯?高三佳木斯一中校考階段練習(xí)）下圖中的幾何體是

由兩個(gè)有共同底面的圓錐組成.已知兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)分別為P、Q,高分別為2、1,底面

半徑為1.A為底面圓周上的定點(diǎn)，B為底面圓周上的動點(diǎn)（不與A重合）.下列四個(gè)結(jié)論:

①三棱錐P-4BQ體積的最大值為3；

②直線PB與平面PAQ所成角的最大值為言

③當(dāng)直線BQ與AP所成角最小時(shí)，其正弦值為筆；

④直線BQ與AP所成角的最大值為方；

其中正確的結(jié)論有.（寫出所有正確結(jié)論的編號）

【變式3-1】7.（2021?全國?高三專題練習(xí)）已知圓錐的頂點(diǎn)為S,。為底面中心，4,B,C

為底面圓周上不重合的三點(diǎn)，為底面的直徑，SA=4B,M為S4的中點(diǎn).設(shè)直線MC與平面

S4B所成角為a,貝！Jsina的最大值為

題型4面面角最值取值范圍

【例題4】（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，正方體ABCD-&B1C1D1的棱長為2,E,F分

別是棱4公,CCi的中點(diǎn)，過點(diǎn)E,F的平面分別與直線交于點(diǎn)G,從M,P為側(cè)面BCCi

Si（含邊界）上的一個(gè)動點(diǎn).給出以下命題:

①四邊形EGFH一定為菱形；

②四棱錐Ci-EGF”的體積為定值；

③平面EGF”與平面4BCD所成的角不大若；

④|PDi|+|PM|的最小值為m.

其中正確命題的序號是

【變式4-1J1.（2020?浙江?高三統(tǒng)考期末）已知直三棱柱ABC-ABC'的底面是正三角形,

側(cè)棱長與底面邊長相等，P是側(cè)棱AA，上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.記直線PB與直線AC所成的角

為a,直線PB與直線B'C所成的角為B，二面角P-B,B-C的平面角為丫，則（）

A.a>p>yB.a<p<yC.a>丫邛D.p>a>y

【變式4-1]2.（2020秋?新疆昌吉?高三校考期中）已知四邊形力BCD中，乙4=“=90。,

BC=CD,在將44BD沿著BD翻折成三棱錐A-BCD的過程中，直線4B與平面BCD所成角的

角均小于直線4D與平面BCD所成的角，設(shè)二面角力-BC-D,A-DC-B的大小分別為a,

B,則

A.a>。B.a<。C.存在a>。D.a,夕的大小關(guān)系無法確定

【變式4-1】3.（2021?浙江嘉興統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，矩形4BC0中,AB=1,BC=店,

E是線段BC（不含點(diǎn)C）上一動點(diǎn)，把沿4E折起得到zMB'E,使得平面B'AC,平面

ADC,分別記B'A,與平面ADC所成角為a/,平面BNE與平面4DC所成銳角為仇則

A.0>a>B.3>2aC.9>D.tan。>2tana

【變式4-1】4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在單位正方體力BCD-4/道山1中,

點(diǎn)P在線段4小上運(yùn)動，給出以下四個(gè)命題：

①異面直線41P與BCi間的距離為定值；

②三棱錐。-BPCi的體積為定值；

③異面直線QP與直線CBi所成的角為定值；

④二面角P-BQ—。的大小為定值.

其中真命題有

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式4-1】5.（2020?上海?高三專題練習(xí)）設(shè)三棱錐U-4BC的底面是正三角形，側(cè)棱長

均相等，P是棱匕4上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線PB與直線4c所成的角為a,直線PB與平面4BC

所成的角為0,二面角P-AC-B的平面角為y,則三個(gè)角a、隊(duì)y中最小的角是.

題型5外接球問題

【例題5】（2022?四川遂寧?統(tǒng)考一模）設(shè)半徑為R的球面上有4BCD四點(diǎn)，且4B/C/D兩

兩垂直，若S44BC+S/\4C0+S/\4B￡）=8,則球半徑R的最小值是（）

A.2B.V2C.2V2D.4

【變式5-1】1.（2022秋?江蘇南京?高三南京師大附中校聯(lián)考階段練習(xí)）四棱錐P-4BCD

中，底面4BCD是邊長為2仃的正方形，側(cè)面為正三角形，則其外接球體積最小值為

（）

A.竽兀B.爭r

C.8V67TD.4V37T

【變式5-1]2.（2023?四川宜賓?宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校校考模擬預(yù)測）在三棱錐4-BCD

中，4D1平面BCD,4ABD+ACBD=^,BD=BC=1,則已知三棱錐4-BCD外接球表面

積的最小值為（）

A.2「+i7B.C.2每1TD.

4T24T2

【變式5-1]3.（2019秋廣西?高三校考階段練習(xí)）在三棱錐4-BCD中，AB=AC,DB=

DC,AB+DB=4,ABA.BD,則三棱錐力—BCD外接球的體積的最小值為（）

As近RB5&~兀68?兀DBWTI

【變式5-1]4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在棱長為2的正方體4BCD-4/?以中，E,F

分別為2B,BC的中點(diǎn)，則（）

A.平面。J.EFII平面BAiG

B.點(diǎn)P為正方形AiBiCWi內(nèi)一點(diǎn)當(dāng)DP〃平面&EF時(shí)，DP的最小值為呼

C.過點(diǎn)Di，E,F的平面截正方體力BCD-力iBiCi%所得的截面周長為3近+2V5

D.當(dāng)三棱錐&-B第的所有頂點(diǎn)都在球0的表面上時(shí)，球。的表面積為12n

【變式5-1】5.（2020?湖北?校聯(lián)考一模）已知三棱錐P—ABC滿足241底面4BC,在/4BC

中，AB=6,AC=8,ABYAC,。是線段4c上一點(diǎn)，S.AD=3DC,球。為三棱錐P—ABC

的外接球，過點(diǎn)。作球。的截面，若所得截面圓的面積的最小值與最大值之和為40兀，則球。

的表面積為（）

A.72兀B.86兀C.112TTD.128兀

【變式5-1]6.（2022秋?新疆烏魯木齊?高三校考階段練習(xí)）魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，

起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的樟卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即樟卯結(jié)構(gòu)）

嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴(yán)絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱，從外表

上看，六根等長的正四棱柱分成三組，經(jīng)90。樟卯起來，如圖，若正四棱柱的高為6,底面正

方形的邊長為1,現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為

（容器壁的厚度忽略不計(jì)）

A.367rB.40TTC.41TTD.447r

題型6外接球截面相關(guān)

【例題6】（2021秋?河北唐山?高三唐山一中校考期中）四面體力BCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面

上中，4B=BC=CD=DA=4,AC=BD=2或，E為AC的中點(diǎn)，過E作其外接球的截面,

則截面面積的最大值與最小值的比為（）

A.5:4B.V5：2C.V5：V2D.5:2

【變式6-1]1.（2022秋?云南?高三云南師大附中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知四棱錐P-ABCD

的底面ABCD是矩形，且該四棱推的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA±2p?ABCD,PA=

AB=42,BC=2，點(diǎn)E在棱PB上，且麗=2PE,過E作球O的截面，則所得截面面

積的最小值是

【變式6-1]2.（2021秋?山東濰坊?高三山東省濰坊第四中學(xué)校考開學(xué)考試）正△4BC的

三個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上,球心。到平面4BC的距離為1,點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，過D

作球。的截面，則截面面積的最小值為

【變式6-1】3.（2019?湖北?高三校聯(lián)考期中）已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)在球。的球

面上，SA1平面力BC,44BC是等腰直角三角形，SA=AB=AC=2,。是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)

。作球。的截面，則截面面積的最小值是

【變式6-1】4.（2023春?四川成都?高三樹德中學(xué)校考開學(xué)考試）已知菱形4BCD邊長為6,

Z4DC=E為對角線AC上一點(diǎn)，4E=g.將△4BD沿BD翻折到△4BD的位置，E移

動到且二面角4—BD—4的大小為三，則三棱錐4—BCD的外接球的半徑為；過民

作平面a與該外接球相交，所得截面面積的最小值為

【變式6-1】5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知空間四邊形4BCD的各邊長及對角線BD的

長度均為6,平面4BD1平面CBD,點(diǎn)M在AC上，目4M=2MC,那么4BCD外接球的半徑

為；過點(diǎn)M作四邊形力BCD外接球的截面.則截面面積最大值與最小值之比為.

題型7正方體截面相關(guān)

【例題7】（2021?浙江?高三專題練習(xí)）正四面體4BCD的棱長為4,E為棱力B的中點(diǎn)，過E

作此正四面體的外接球的截面，則該截面面積的最小值是

A.47TB.87TC.127rD.167r

【變式7-1]1.（2021?湖南株洲?校聯(lián)考一模）過棱長為1的正方體的一條體對角線作截

面，則截得正方體的截面面積的最小值是

A.1B.V2C.D,

【變式7-1】2.（多選）（2022秋?湖南常德?高三湖南省桃源縣第一中學(xué)校考期中）如圖,

正方體4BCD-公名的小棱長為1,點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是

（）

A.存在點(diǎn)P,使得BPIPCi

B.三棱錐C-Bi%P的體積為定值3

C.若動點(diǎn)Q在以點(diǎn)B為球心，整為半徑的球面上，貝！JPQ的最小值為空

D.過點(diǎn)P,B,前作正方體的截面，貝峨面多邊形的周長的取值范圍是［3VX2+2期

【變式7-1】3.（2022秋?吉林長春?高三長春市第六中學(xué)校考期末）棱長為1的正方體

4BCD-AiBiCWi內(nèi)部有一圓柱。1。2,此圓柱恰好以直線4cl為軸，且圓柱上下底面分別與

正方體中以4,七為公共點(diǎn)的3個(gè)面都有一個(gè)公共點(diǎn)，以下命題正確的是（）

A.在正方體ABC。-41B1clz內(nèi)作與圓柱。1。2底面平行的截面，則截面的最大面積為§

B.無論點(diǎn)。1在線段4cl上如何移動，都有BOilBiC

C.圓柱0。2的母線與正方體4BCD-a/iCi%所有的棱所成的角都相等

D.圓柱。1。2外接球體積的最小值為孩

【變式7-1】4.（多選）（2023?全國?高三專題練習(xí)）在正方體4BCD—中，AB

=1,點(diǎn)P滿足而=ACD+近1，其中4e[0,1],fle[0,1],則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)B1P〃平面&BD時(shí)，B1P與CD1所成夾角可能為方

B.當(dāng)4=4時(shí)，|而|+的最小值為退|四

C.若BiP與平面”山道所成角為點(diǎn)則點(diǎn)P的軌跡長度為與

D.當(dāng)2=1時(shí)，正方體經(jīng)過點(diǎn)&、P、C的截面面積的取值范圍為惇，閭

【變式7-1】5.（多選）（2022?安徽?校聯(lián)考二模）在底面邊長為2、高為4的正四棱柱

4BCD-力lBiCWi中，。為棱力遇上一點(diǎn)，且公。=%i4PQ分別為線段上的動

點(diǎn)，M為底面4BCD的中心，N為線段加的中點(diǎn)，則下列命題正確的是（）

A.CN與QM共面

B.三棱錐"DMN的體積為g

C.PQ+Q。的最小值為孚

D.當(dāng)嬴=泅刀時(shí)，過4Q,M三點(diǎn)的平面截正四棱柱所得截面的周長為吟?

【變式7-1]6.（2021?浙江溫州統(tǒng)考二模）如圖所示的一塊長方體木料中，已知AB=BC=4,

A4i=1,設(shè)E為底面ABCD的中心，且方=AM（0<A<1）,則該長方體中經(jīng)過點(diǎn)公￡F

的截面面積的最小值為

題型8代數(shù)式最值取值范圍

【例題8】（2022?四川成都?石室中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知正四面體4BCD的棱長為痣P是棱

上任意一點(diǎn)（不與4B重合），且點(diǎn)P到面"D和面BCD的距離分別為x,y,則:+和最小值

為

【變式8-1】1.（2019?湖南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P—4BCD中，PDL平

面4BCD,AB1AD,AB//CD,AD=CD=PD=2,AB=1,E,F分另（］為棱P&PB上一點(diǎn)，

若BE與平面PCD所成角的正切值為2,則（4F+EF）2的最小值為

【變式8-1】2.（2022秋?廣東廣州?高三校考期中）正多面體也稱柏拉圖立體（被譽(yù)為最

有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)）是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊

形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、

正十二面體、正二十面體.已知一個(gè)正八面體4BCDEF的棱長都是2（如圖），P、Q分別為

DF、BF的中點(diǎn)，則而?而=.若麗=2GB,過點(diǎn)G的直線分別交直線FE、FB于M、N

兩點(diǎn)，設(shè)而=血麗，麗=71兩（其中小、九均為正數(shù)），貝*+2的最小值為

【變式8-1】3.（2021?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在正方體力BCD-4$1的。1中，點(diǎn)E6

平面A&BiB，點(diǎn)F是線段411的中點(diǎn)，若DiElCF,則當(dāng)4EBC的面積取得最小值時(shí)，

S^EBC

S四邊形ABCO

A-5R0-2Jr—5UD-1—0

【變式8-1]4.（2021?全國?高三專題練習(xí)）已知直三棱柱4BC-公/的的側(cè)棱長為6,且

底面是邊長為2的正三角形，用一平面截此棱柱，與側(cè)棱分別交于三點(diǎn)M,N,

Q,若4MNQ為直角三角形，則該直角三角形斜邊長的最小值為（）

A.2V2B.3C.2V3D.4

【變式8-1】5.（2019秋?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐P—ABC中，P4、PB、PC

兩兩垂直，且P4=3,PB=2,PC=1.設(shè)M是底面4BC內(nèi)一點(diǎn)，定義/（M）=（機(jī)，n,p）,

其中“n、P分別是三棱錐M—P4B、三棱錐M—PBC、三棱推M—PC碓體積.若f（M）=（

1，%,y）,民+：）18恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式8-1】6.（2021秋?四川成都?高三石室中學(xué)階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是邊長為

1的正方形，平面ABCD,FBI平面ABCD,且ED=FB=1,G為線段EC上的動

點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是

①EC1AF;②該幾何體外接球的表面積為3兀；

③若G為EC中點(diǎn)，則GB〃平面AEF;

④"2+BG2的最小值為3.

【變式8-1】7.（2020?全國?高三專題練習(xí)）已知四面體ABCD的所有棱長都為e,0是該

四面體內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)。到平面ABC、平面ACD、平面ABD、平面BCD的距離分別為怖

和y,則鴻的最小值是

【變式8-1】8.（2021?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6.四邊

形4EFG為邊長為2的正方形，現(xiàn)將矩形ABCD沿過點(diǎn)尸的動直線/翻折，使翻折后的點(diǎn)C在平

面2EFG上的射影的落在直線48上，若點(diǎn)C在折痕比射影為則笑鈉最小值

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題型9向量相關(guān)最值取值范圍

【例題9】（2021秋?浙江寧波?高三統(tǒng)考期末）在空間直角坐標(biāo)系中，初=（2a,2瓦0）,赤=

（c-1&1）,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，滿足a?+b2=l,c2+d2=4,則下列結(jié)論中不正確的是

A.。4。8的最小值為-6B.O4OB的最大值為10

C.|最大值為任D.|AB|最小值為1

【變式9-1】1.（2021?浙江?模擬預(yù)測）正四面體ABCD的棱長為2,半徑為打的球。過點(diǎn)

D,MN為球。的一條直徑，則4M,4N的最小值是.

【變式9-1】2.（2021春?上海?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知。瓦茨為空間三個(gè)向量，又。B是

兩個(gè)相互垂直的單位向量，向量滿足回=3,c-a=2,c-b=l,則對于任意實(shí)數(shù)x,y,

\c—xa—y臼的最小值為

【變式9-1】3.侈選）（2023秋訶南?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知球。的半徑為2,點(diǎn)4

B,C是球。表面上的定點(diǎn)，且瓦5-0B=0B-0C=-l,0C-0A=-2,點(diǎn)。是球。表面上的動

點(diǎn)，滿足布?而=0,則（）

A.有且僅有一個(gè)點(diǎn)。使得NC4D=30。B.點(diǎn)。到平面4BC的距離為亨

C.存在點(diǎn)。使得BD〃平面AOCD.麗?麗的取值范圍為[-2,2]

【變式9-1】4.（2021?湖南長沙?高三長郡中學(xué)階段練習(xí)）已知半徑為1的球。內(nèi)切于正四

面體4-BCD,線段MN是球。的一條動直徑（M,N是直徑的兩端點(diǎn)），點(diǎn)P是正四面體4-BCD

的表面上的一個(gè)動點(diǎn)，則兩?麗的取值范圍