重難點專題22解三角形大題十四大題型匯總(解析版)

題型1正余弦定理的應用.............................................................1

題型2余弦定理求最值與取值范圍....................................................7

題型3正弦定理求最值與取值范圍...................................................11

題型4不對稱結構的最值取值范圍問題..............................................19

題型5三角形中線問題..............................................................29

題型6三角形角平分線問題..........................................................35

題型7三角形高線垂線問題.........................................................41

題型8普通多三角形問題............................................................48

題型9四邊形問題..................................................................55

題型10面積最值取值范圍問題......................................................62

題型11與三角函數結合.............................................................66

題型12三角形個數問題.............................................................73

題型13證明問題....................................................................78

題型14實際應用題.................................................................87

題型1正余弦定理的應用

、1,封:

弟X”重點

1.若式子含有a,b,c的2次齊次式，優先考慮余弦定理，“角化邊"

2.面積和a,b,c2次齊次式，可構造余弦定理

【例題1】(2022秋?新疆伊犁?高三校考階段練習)已知a、b、c分別為△4BC三個內角4

B、C的對邊，acosc+V3asinC-b-c=0.

⑴求A；

(2)若a=2,△力BC的面積為百，求b、c.

【答案】(1)4=段

(2)b=c=2

【分析】(1)在△48C中，由acosc+V^asinC-6-c=0及正弦定理得到sin(a一。=^,

得出角A;

(2)由三角形面積公式結合余弦定理可得6=c=2.

【詳解】(1)根據正弦定理，acosC+V3asinC-b-c=O

變為sinAcosC+VIsinAsinC-sinB—sinC=0,即sinZcosC+VssinXsinC=sinB+sinC,

也即sinAcosC+VssinTlsinC=sin(a+c)+sinC,

所以sinAcosC+VssinXsinC=sinXcosC+cosAsinC+sinC.

整理，得Vasina-cosx=1,即爭ina_*osa=所以sin(a=|,4e(o,n),

所以=貝M=]

(2)由a=f,SAABC=jbcsinx=V3,得be=4.

由余弦定理，得a?=b2+c2-2bcCOSA=(b+c)2—2bc—2bcCOSA,

貝[](b+c)2=a?+3加=4+12=16,所以b+c=4.貝[]b=c=2.

【變式1-1】1.(2023?全國?高三專題練習)已知在△4BC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,

向量訪=(sinX,sinS),n=(cosB,cos4),m-n=sin2C.

⑴求角C的大小；

(2)若sin4,sinC,sinB成等差數歹!J,且C4?(AB—AQ=18,求c.

【答案】⑴3

⑵6

【分析】(1)由數量積的運算結合三角函數恒等變換公式可求出角C的大小；

(2)由已知條件結合正弦定理可得2c=a+b,由福?(同-元)=18,得石？?而=18,

得防=36,然后利用余弦定理可求得結果.

【詳解】(1)因為訪=(sini4,sinB),n=(cosB,cos/l),

所以$?n=sinAcosB+sinBeosZ=sin(4+B),

因為在△ZBC中，A+B=n-C,

所以sin(4+8)=sinC,所以訪?n=sinC,

因為訪?n=sin2C,所以sin2c=sinC,

所以2sinCcosC=sin。，

因為sinCW0,所以cosC=

因為CE(0,TT),所以。=￡,

(2)由sin4sin&sin8成等差數列，

可得2sinC=sinA+sinB,

由正弦定理得2c=a+b,

因為福?(荏一標)=18,所以加?而=18,

所以abcosC=18,得ab=36z

由余弦定理得U=小+爐—2abcosC=(a+6)2—3ab,

所以c2=4c2-3x36,c2=36,

所以c=6.

【變式1-1】2.(2023秋?上海嘉定?高三上海市育才中學校考階段練習)在△ABC中，內

角A,B,C所對的邊分別為a,b,C,若b=W內角A,B,C滿足sinAsinbsinC=2:1:

V2.

⑴求a的值；

(2)求sin(2C")的值.

【答案】⑴2四

()-16-

【分析】(1)由正弦定理直接求解；

(2)先根據正弦定理求出邊長，然后由余弦定理求解cosC,從而利用二倍角公式和兩角差

的正弦公式求解即可.

【詳解】⑴由自=熹得S=I所以專=2，解得a=2V2.

(2)由就=七=高及sin4:sinB:sinC=2:1:魚彳導a:b:c=2:1：V2,

所以c==2,由余弦定理得cosC=汽薩=翥急=I-

所以sinC=71—cos2c=Jl—=乎，所以sin2c=2sinCcosC=2x乎xJ=平,

cos2C=2cos2c—l=2x^—1=^,所以sin(2C—^)=sin2Ccos^—cos2Csin^

=3V7XV3_113721^

828216

【變式1-1]3.(2023秋?廣東揭陽?高三普寧市第二中學校考階段練習)在△力BC中，設

A,B,C所對的邊分別為a,b,C,且滿足bcosA-acosB=a+c.

⑴求角B;

(2)若6=5,△ABC的內切圓半徑r=乎，求aaBC的面積.

q

【答案】⑴B=T

【分析】⑴由余弦定理得到a2+c2-62=一ac,進而求出cosB=-：,求出8=冬;

(2)由余弦定理和三角形面積公式求出ac=a，從而得到答案.

【詳解】(1)因為bcos/—acosB=a+c,

由余弦定理得b?年—a?生鏟=a+c,

即4+c2—h2=—ac,

所以。。58=年=—/

又Be(o,n),

所以B=駕

(2)由余弦定理得：a2+c2-25=—ac,則小+=25—ac,

由三角形面積公式，3a+b+c),r=jacsinB,即a+c=2ac-5,

則層+c2+2ac=4(ac)2—20ac+25,

所以25—ac+2ac=4(ac)2—20ac+25,解得ac=

所以S%c=*x^=誓.

【變式1-1]4.(2023秋?湖北武漢?高三武漢市第六中學校聯考階段練習)設△ABC的內

角4,B,C所對的邊分別為a,6,c,且2acosB=2c-b.

⑴求角4；

(2)若a=7,且△4BC的內切圓半徑r=V3,求△4BC的面積S.

【答案】⑴5；

(2)1073.

【分析】(1)利用正弦定理和三角恒等變換求出cosA,即可求4

(2)利用余弦定理和三角形的面積公式求出兒，即可求面積.

【詳解】(1)由正弦定理得：2sinylcosB=2sinC—sinB,

即2sirh4cosB=2sinQ4+B)—sinB,

艮|32sin4cosB=2sirh4cosB+2cos4sin8—sinB,

即2cos/sinB=sinB.

因為Be(0,n),所以sinB豐0,所以cosA=

因為4t(0,n)；

所以4=?

(2)△面積S=^besinA=|(a+&+c}r,

代入a=7,廠=遙和4=或整理得：be=2(b+c)+14①，

由余弦定理：a2=b24-c2—2bccosA,得：b2+c2—be=49,

即(b4-c)2—3bc=49②，

①②聯立可得：-36c=49,解得：be=40或be=0(舍去)，

所以S=jfacsinX=gx40x孚=10V3.

【變式1-1】5.(2021秋?北京?高三景山學校校考期中)在△4BC中，內角4B,C所對的邊

分別為a,b,c,若(b+c—a)(sin力+sinB—sinC)=csinZ曰b=2.

⑴求角B的大小；

(2)在①成等差數列，②a,hc成等差數列，③口2,扭/成等差數列，這三個條件中任

選一個作為已知條件，求△ABC的面積S.(如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計

分)

【答案】⑴段

⑵仃

【分析】(1)根據題意，利用正弦定理和余弦定理，化簡得到cosB=：,即可求得B的值；

(2)對于條件①：利用等差中項結合基本不等式可得bW等，再根據a?+c2-廿=四，

可得a=c,利用面積公式即可得結果；對于條件②③：利用等差中項，根據a?+c2-b2=

ac,求得△ABC為邊長為2的等邊三角形，結合三角形面積公式的應用求出結果.

【詳解】(1)因為(b+c—d)(sinA+sinB—sinC)=csinA,

由正弦定理的(b+c—a)(a+b—c)=ac,整理得小+c2—fa2=ac,

所以c°sB=缽=券

又因為Be(0,IT),所以B=￡.

(2)選擇條件①：因為成等差數列，所以2訴=G+如

由基本不等式(小)W等，當且僅當a=c時，等號成立，

所以2VF=Va+Vc<J2(a+c),所以b<等，

又由小+c2—b2=ac,即岳=a2+c2—ac,可得小+c2—ac<

整理得3a2+3c2—6ac<0,即(a—c)2<0,所以a=c,

又因為8=或且b=2,所以△/BC為邊長為2的等邊三角形，

所以SA4BC=—acsinB=—X2X2X孚—y/3.

選條件②：由a,瓦。成等差數列，所以2b=a+c,

又由小+—/=以；，整理得(等)2=F+—ac,可得(a—c)2=0,gpa=c,

因為8=2且b=2,所以△/BC為邊長為2的等邊三角形，

所以S/i/BC=—cccsinB=—x2x2x孚—^3.

選條件③：由小爐,/成等差數列，所以24=小+。2,

又由小+—廿=ac,整理得層+—°2表2=聯,可得(a—c)2=0,即。=c,

因為8=或且b=2,所以△/8C為邊長為2的等邊三角形，

所以SA4BC=—acsinB=—X2X2X孚—y/3.

題型2余弦定理求最值與取值范圍

1

'155^^

利，.、ar.f豐?占、、、

”齊次對稱結構"余弦定理結合基本不等式構造不等關系求出答案；

【例題2】(2023秋?湖北?高三孝感高中校聯考開學考試)已知a,b,c為△ABC的三個內

角A,B,C的對邊，且滿足：aCOSB+V3asinB-b-c=0

⑴求角4

(2)若△ABC的外接圓半徑為竽,求△力BC的周長的最大值.

【答案】(1)4=與

(2)6

【分析】(1)利用正弦定理、三角恒等變換的知識化簡已知條件，從而求得A

(2)利用正弦定理求得?利用余弦定理和基本不等式求得b+c的最大值，進而求得△力BC

的周長的最大值.

【詳解】(1)由已知可得：sinXcosB+V3sinXsinB=sinB+sinC

=sinB+sin(4+B)=sinB+sinacosB+sinBcosA,

由于sinB>0,則有1=VIsirvi-cosx=2sin(4-￡)nsin(a—1)=

又0<4<TT,則有所以有4_,=鼠4=,

(2)由正弦定理可知：就=2R=竽，則由4==2,

又有余弦定理可知：a2=b2+c2-2bcCOSA=>4=b2+c2—be,

由于按+c2>2bc,則有4=b2+c2—be>2bc—be=be,即be<4,

又4=b2+c2—be=(b+c)2—3bc,即(b+c)2=4+3bc<4+3x4=16,

從而b+c<4(當b=c=2等號成立)，

則a+b+cW6,故△4BC的周長的最大值為6.

【變式2-1】1.(2024?陜西寶雞?校考一模)在△ABC中，角4,B,C的對邊分別為％b,

c,已知2acosA-cosS+bcos2A=V3c—b.

⑴求角A;

(2)若△ABC的面積為1,求a的最小值.

【答案】(1)4=2

(2)76—V2

【分析】(1)由題設恒等式利用正弦定理將邊化為正弦，再逆用和角公式合并化簡，即可

求得角A.

(2)先根據面積公式求出比=4,再代入余弦定理公式，結合基本不等式求得a的最小值.

【詳解】(1)由已知2acos4?cosB+6(1+cos24)=V^c,2acosX-cosB+2bcos2A=V3c,

由正弦定理2sirh4cos4-cosB+2sin^cos2y4=V3sinC,

所以2cos4（sin/?cosB+sinBcos/）=V3sinCz即2cos4sinQ4+B）=V3sinC,

又C6（0,7T）,所以cosA=y,解得a=f.

（2）由題夕?csin4=1,得be=4,

又a?=b2+c2—2bccosA=b2+c2—4V3>2bc—4V3=8—4V3（b=c時取"="）

所以，aNJ8-4a=展一五

即a的最小值是e-V2,b=c=2時取等號.

【變式2-1】2.（2023秋?河北?高三校聯考期末）在△ABC中，角人B、C所對的邊長分

別為a、b、c,且2aC0SC-V^bCOSC=VicCOSB.

⑴求C的值.

（2）若△ABC的面積為1,求△4BC的周長的最小值.

【答案】（1）C=￡

（2）4+V6-V2

【分析】（1）由正弦定理及誘導公式求出結果；

（2）由三角形面積公式、余弦定理及基本不等式求得結果.

【詳解】（1）由已知2aCOSC-V^bCOSC=V^cCOSB

得2sinAcosC=V3sinBcosC+V3sinCcosB,

即2sinAcosC==V3sin（B+c）,

因為A+B+C=TI,所以sin（B+C）=sin（n—a）=sinH,

所以2sin4cosC=VssinX,

為△ABC內角，

.,.sinA*0,

「?cose*,0<C<n,

.'.C=To.

=

(2)--ufosinC=lzC=

則ab=4.

S.c2=小+/_2abC0SC=a2+力2—4舊>2ab—4V3=8—4遮，

當且僅當a=b時，即a=b=2時，等號成立.

:.a+b+c>2Vab+V8-4V3=4+78-4V3=4+V6-V2

當且僅當a=b=2時，取等號.

△ABC周長最小值為4+V6—V2.

【變式2-1】3.(2023秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱市第一二二中學校校考開學考試)在

△4BC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若(2a—6)cosC=ccosB,求

⑴求角C；

(2)若c=2,求△ABC的面積的最大值.

【答案】(1)C=￡

⑵仃

【分析】(1)根據正弦定理邊角互化，即可求解，

(2)由余弦定理結合不等式即可求解防的最值，由面積公式即可求解.

【詳解】(1)因為(2a—6)cosC=ccosB,由正弦定理可得(2sinA—sinB)cosC=sinCcosS,

所以2sin/cosC=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sin/

因為4E(0,n)/所以sinZW0,

所以cosC=g因為ce(o,n),所以c=T；

(2)因為c?=4+爐—2abcosC,所以4=d2,+b2—ab>ab,當且僅當a=b=2時取等

號

所以SMBC=^absinC=今ib<VI,

當a=b時S^Bc取最大值為g.

【變式2-1】4.（2023?江西景德鎮?統考三模）在aaBC中，內角4,B,C的對邊分別是

a,b,c.已知tanB+tanC=某也

⑴求角B；

（2）若△ABC是鈍角三角形，且。=。+2,求邊c的取值范圍.

【答案】⑴段

⑵（0,2）

【分析】（1）由商數關系及和角正弦公式、三角形內角關系化簡整理得cosB=也即可確定

角的大小；

（2）根據已知有4為鈍角，應用余弦定理及已知條件求c的范圍即可.

【詳解】（DtanB+tanC=翳，則sinficosC+cosBsinC2sinZ

cosBcosCcosC

又sinBcosC+cosBsinC=sinA,則黑sd=::::且sinA>0,可得cosB=

由8e(0,n),故

(2)由a>c,即A>C,又△4BC是鈍角三角形且B=/,故4為鈍角,

(a2>b2+c2

則［爐=a2+c2—ac=>0<c<2,故ce(0,2).

ta-c+2

題型3正弦定理求最值與取值范圍

采用正弦定理邊化角，利用三角函數的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通

常采用這種方法；

【例題3】（2023秋?河南洛陽?高三洛寧縣第一高級中學校考階段練習）在△力BC中，內角

4,B,C所對的邊分別是a,6,c且sir^B+sin2C—sin2X=sinBsinC.

⑴求角A;

（2）若a=4V3,求△ABC周長的范圍.

【答案】（1）4=5

⑵（8四,12遮］

【分析】（1）利用正弦定理的邊角互化，然后用余弦定理求解；

（2）用正弦定理將三角形的周長用三角函數值來表示，利用三角函數的性質求解.

【詳解】（1）'.'sin2B+sin2C—sin2/l=sinBsinC,由正弦定理得爐+c2—a2=be,

由余弦定理得cos/=乒+;；：。2=..AG（0小），

.-.A-—-3-，

（2）由（1）知力=5，又已知a=4g,由正弦定理得：

,.a_b____c__

*sin4-sinB—sinC—'

:.b=8sinB,c=8sinC,

b+c=8sinB+8sinC=8sinB+sin簿-B）］=8V3（|cosB+孚sinfi）=8每in（B+￡）,

由0<B<怨<B于丹<sin（B+^）<1,

故4g<b+c<8V3,于是8g<a+b+c<12V3,

△ABC周長的范圍是（8g,12㈣.

【變式3-1］1.（2023秋?山西運城?高三統考階段練習）在①扶+c2-a2=竽acsinB;

②si/B+sin2C-sin2^=sinBsinC這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中并作答.

在△4BC中，內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,.

⑴求角A;

（2）若a=4g，求△ABC周長的范圍.

【答案】（1）4=段

（2）8V3<a+b+c<12V3

【分析】（1）正弦定理結合余弦定理求解即可；

（2）先根據正弦定理把邊轉化為角表示，結合輔助角公式計算值域即可得出周長范圍.

【詳解】⑴選擇①：因為爐+c2—a2=^acsinB,

由余弦定理可得2bccos4=^acsinS,

所以結合正弦定理可得V^sinBcosA=sinXsinfi.

因為Be（o,n）,貝[]sinB>o,

所以V^cosA=sin4,即tanA=V^,

因為ae（o,ii）,所以4=5；

選擇②：因為sir^B+sin2C-sin2^4=sinfisinc,

由正弦定理得尼+c2—a2=Wbc,

由余弦定理得COSA=/F=?.

因為ae（o,n）,所以A=f;

（2）由（1）知a=5又已知a=4B,由正弦定理得：

abc

年=而=而=8,

:.b=8sinB,c=8sinC,

：上+c=8sinB+8sinC=8sinB+sin（與-B）]=8[sjns+|sinB+cos^]

V3\

=sVst-cosB+-^sinB\

=8VIsin（B+》，

-,0<B若，

.-i<sin（B+n）<i,

.".4V3<b+c<8V3,

?'-8V3^<a+b+cW12^/3.

【變式3-1】2.(2023?全國?高三專題練習)在銳角aABC中，角4SC的對邊分別為a,

b,c,已知口=27^且<：。5。+((：。58-7^^8)(：。54=。.

(1)求角A的大小；

(2)若6=2或，求△ABC的面積；

(3)求b+c的取值范圍.

【答案】(1)4=與

⑵遮+3

⑶(6,4例

【分析】(1)根據題意結合三角恒等變換運算求解；

(2)先利用余弦定理求得c=魚+乃，進而可求面積；

(3)利用正弦定理邊化角，結合三角恒等變換可得b+c=4V^sin(B+。，結合正弦函數

的有界性運算求解.

【詳解】(1)因為cosC+(cosB—V5sin8)cos4=—cos(。+3)+(cosB—V5sinB)cosa=

sinB(sin/—V3coSi4)=0,

且486(0,5),貝！JsinB豐0,可得sinZ—遮cosZ=0,

整理得tan/=V3Z所以4=1

(2)由余弦定理層=b2+c2-2bccosA,即12=8+c2—2x2V2cx

解得c=V2+乃或c=V2-V6(舍去)，

所以△ZBC的面積=^bcsinA=x2V2x(V2+5/6)x§=V3+3.

(3)由正弦定理合=七=肅=竽=4,可得6=4sinB,c=4sinC,

則力+c=4sin8+4sinC=4sinB+4sin（/+8）=4sin8+2sin8+2V3cosB

=6sinB4-2V3cosB=4V3sin^B+。

0V8<三

n”21T解得段<B<1

U<----0乙

{3D<.—2

則與<B+%〈萼，可彳驊<sin（B+。Wl,

則6+c=4每in（B+濟（6,4回

所以b+c的取值范圍為（6,4遙].

【變式3-1】3.（2023秋廣東?高三統考階段練習）在△4BC中，角4,B,C所對的邊分

sinZ+sinB

別為?tanC=

c,cos^+cos^>

（1）求角C的大小;

（2）若△ABC是銳角三角形，且其面積為VI求邊c的取值范圍.

【答案】（1）C=￡

⑵[2,病

【分析】（1）根據同角三角函數關系，結合正余弦函數和差角公式化簡即可;

（2）由⑴知4+8=粵，又△4BC是銳角三角形，可得￡＜4根據且其面積為施

可得°?=舄林,再設y=sinasinB,根據角度關系化簡可得y=|sin（24—?+￡再根

z

51rln”乙\6/勺

麒＜4＜冰解即可.

sin/+sinBmii_sin￡_sinZ+sinB

【詳解】（1）因為tanc=cos^+cos^7人cosCcos^+cosB'

所以sinCcosZ+sinfcosB=cosCsinZ+cosCsinB,

即sinCcos/-cosCsin^=cosCsinB-sinCcosB,

得sin（c_/）=sin（B-C）.

所以。一/=8-。或。-4=71-（8-。）（不成立，舍去）,

從而2C=Z+B,又4+B+C=Tl,所以。=與

0<<—

n/2n4；IT,得￡<A<卷

{U<----A—°乙

32

因為S/VIBC=^absinC=y-，'[：：}=^=sinXsinB=V3,

L

乙zsinV3

所以02=而后

=sin?lsinBz因為8=爭一4,

所以y=sinasin(g_A)=sina俘cosA+：sin力)

=fsin2A+；一/os24=|sin(2?l—+￡

因為￡<4<力C<2/l-?<?,所以"你國，

從而C2=[4,6),SPce[2,V6),

所以邊c的取值范圍是[2,商).

【變式3-1】4.(2023秋?云南昆明?高三云南省昆明市第十中學校考開學考試)&ABC的

內角A,B,C的對邊分別為a,仇c,已知ccosA—acosB+c=0

⑴求A;

(2)若a=6,求△ABC周長的取值范圍.

【答案】⑴4=與

(2)(12,6+6V2]

【分析】(1)利用正弦定理進行邊換角結合兩角和與差的正弦公式即可得到答案；

(2)利用正弦定理、誘導公式和輔助角公式得6+c=6近sin(B+力，再利用正弦型函數

的值域即可得到周長范圍.

【詳解】(1)因為ccosZ—acosB+c=0,

根據正弦定理得sinCcos/—sinAcosB+sinf=0.

又sinC=sin(y4+B)=sirL4cosB+cos4sinB,

所以sinCcosA+cos/sinB=(sinC+sinB)cosA=0.

因為48,CE(0,TT),

所以sinC+sinB>0,所以cosZ=0.

所以4=三

(2)由(1)可知，急=6,所以b+c=6sinB+6sinC.

由4=|-z得B+C=],貝！JsinC=cosB,

則力+c=6sin8+6cosB=6asin(B+：).

因為Be(o,H),所以B+Jeg岑),sin(B+力6(f.1],

則6+ce(6,6V2],故△力BC周長的取值范圍為(12,6+6V2].

【變式3-1】5.(2024秋?山東臨沂?高三校聯考開學考試)記△ABC的內角A,B,C的對

邊分別為a,b,c,sin4=V^sinC.

⑴若B=3求tana；

(2)求C的最大值.

【答案】(1)tana=通+g

(2)?

【分析】(1)根據三角形內角和利用三角恒等變換可得tan/l=V6+V3,

(2)利用正弦定理由大邊對大角可限定Ce(o,。，再根據三角函數值域即可求得結果.

【詳解】⑴根據題意可知，若443(7中8=三，貝必+C=普，即。=普—力；

又sinH=V^sinC,所以sirvl=V^sin(爭—a),

即sina=Vzsin^cosA-&cos穹sind,整理可得互立sinA=—cos?l;

3J22

解得tana=杏=V6+V3

2-V2

所以tana=V6+V3

(2)由正弦定理可知。=魚0,顯然a>c,所以c不是最大邊，

即角c不是最大角，因此可知Ce(o,。

又sin力=V2sinc<1可得sineWe=乎，解得0<Cw募；

所以C的最大值為生

【變式3-1】6.(2023秋?浙江?高三浙江省普陀中學校聯考開學考試)在△ABC中，角4、

B、C所對的邊分別為a、b、c,且滿足asinCcosB+bsin力cosC=爭.

(1)求角4；

⑵若△ABC為銳角三角形，求4si『B-4sin8sinC的取值范圍.

【答案】(1)4=段或/1=空

⑵(-1,2)

【分析】(1)利用正弦定理邊化角，再結合和差公式求解可得；

(2)利用三角恒等變換公式化簡，根據銳角三角形性質求得B的范圍，再由正弦函數性質

可得.

【詳解】(1)asinecosB+bsinAcosC=^-a,

sinXsinCcosF+sinBsin力cosC=—sinX,

Ae(OjT^sinA>0,

V3

sinCcosB+sinBeos。=

V3

sin(8+C)=sin(n—X)=sin^4=-y

???A=1或力=誓

(2):△ABC是銳角三角形，.

貝！］4sir)28-4sinfisinC

=4sin25-4sinBsin(景一B)

=2sin2^-2V3sinficosB=1-cos2B-V3sin2S=1-2sin(2B+￡),

fZU-B<Ez、

???△ABC是銳角三角形，32(即8e

ID<>一'62，

I2

CB+旌信勃

.?.sin(2B+H)6(_l,i),

4sin2B-4sinBsinC的取值范圍為(—1,2).

題型4不對稱結構的最值取值范圍問題

【例題4】(2022?全國?高三專題練習)在①2sin4—sinB=2sinCcos8,②(a+c)

(sinX—sinC)=sinB(a—b),③S&4BC=|c(asin71+bsinB—csinC)這三個條件中任選—

補充到下面的問題中并作答.

問題：在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且.

⑴求角C;

(2)若c=2,求2a-b的取值范圍.

【答案】⑴言

(2)(—2,4)

【分析】(1)選①利用三角形內角和定理與兩角和的正弦公式求出C=2選②利用正弦定

理和余弦定理求出C=選③利用面積公式和余弦定理求出C=f.

(2)利用正弦定理得a=竽sin4b=竽sinB,再利用兩角差的正弦公式以及角的范圍計算

求得結果.

【詳解】(1)若選①:2sin?l—sinB=2sinCcosB,

則2sin(B+C)—sinB=2sinfcosBz

.'.2sin^cosC+2cosBsinC—sinB=2sinCcosB

「.2sinBcosC—sinB=0

sinBH。，

/.cosC=「CE(0小)，「.C=石.

若選②：(a+c)(sin/—sinC)=sinB(a—6),

由正弦定理得(a+c)(a—c)=b(a—b),

.,.a2b2—c2=ab,

222

.ra+b—c1

?.cosC=—2—ab—=2

.C6(O,TT),=y.

若選③：S△ABC=]c(asin/+bsinB—csinC),

貝嶺basinC=gc(asin4+bsinB—csinC),

由正弦定理得|abc=1c(a2+b2-c2),

/./.a2+b2—c2=ab,

?2+匕2“21

.'.cosC2ab21

?CE(O,TT),=y.

由正弦定理得哈7=小4V3

(2)sinC3

a=^-sinA,b—^-sinB,

3，3，

貝—b=學sin4-竽sinB=弊sinZ-竽sin(z+￡),

=2V3sinyl—2cos4=4sin(/—￡),

??ze(o,書，sin(71-H)e(_l,i),

.-.2a-Z?e(-2,4).

【變式4-1】1.（2023秋?遼寧沈陽?高三沈陽市第一二。中學校考階段練習）在△ABC中,

a,b,c分別是角4B,C所對的邊，已知a=l,m=(1,-V3),n=(sin4cos4)，且訪1匯

(1)若△4BC的面積為芋，求b+c的值；

(2)求c-2b的取值范圍.

【答案】⑴2

(2)(-2,1)

【分析】(1)根據垂直向量數量積為0求解可得4=或再根據三角形面積公式與余弦定理

求解即可；

(2)由正弦定理結合三角恒等變換可得c-2b=-2cosC,再根據三角函數取值范圍求解即

可.

【詳解】(1)由防1元可得sina-V3cosX=0,故sina=V3COS/1,顯然4豐故tana=

V3.

又。<4<TT,故4=9

由三角形面積公式可得S%C=如sinH=咚be=空，故兒=1.

由余弦定理可得力=b2+c2—2bccosA=(b+c)2—3bc=1,即(b+c)2=4,故b4-c

=2.

(2)由⑴4/故焉=肅=急=焉故c=^sinC,b=^sinB.

故c-2b=竽sinC-竽sinB=竽sin(B+歐一竽sinB

2V3/IV3\4A/3

=—^―I—sinB+-cosBI——sinB

V34V3

=—sin^+cosB...—sin^

=cosB—V^sinB=2cos+以=2cos(8+/)=-2cosC.

因為4='J/故0VCV等，故—g<cosC<1,—2<—2cosC<1.

故c-2b的取值范圍為(-2,1)

【變式4-1]2.(2023秋?廣東深圳?高三深圳市建文外國語學校校考階段練習)已知△ABC

的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,匡ac?cosB=爐-(a一c)2.

⑴求cosB的值；

(2)求忌的最小值

【答案】(1)COSB=9

(2)|.

【分析】(1)根據已知等式結合余弦定理可求出cosB的值；

(2)由(1)可得/=a2+c2-冬c,代入惡化簡后利用基本不等式可求得其最小值.

【詳解】⑴因為家?cosB=廿一(a—c)2,

所以?cosB=b2—a2—c2+2ac,

由余弦定理得廿=a2+c2—2accosB=>b2—a2—c2=—2accosB,

所以，c?cosB=—2accosB+2acz解得cosB=

(2)由(1)知cosB^,所以62=a?+c2-1c,

所以。=―上=1—3二

a2c22

+a+c2a2+c2

6Q

因為a2+c2>2ac今/<I，當且僅當a=c時等號成立，

所以卷=1—言21—|V，當且僅當。=c時等號成立，

所以'的最小值為1?

【變式4-1]3.(2022秋?安徽阜陽?高三安徽省臨泉第一中學校考階段練習)已知△ABC

內角A,B,C的對邊為a,b,c,且c=2(a—bcosC).

⑴求角B的大小；

(2)若△ABC為銳角三角形，求喂的取值范圍.

【答案】(1)B=?

(2)(|,2]

【分析】(1)利用余弦定理化簡得ac=。2—廿+c2,代入cosB=之捺/即可求出角B的

大小；(2)通過正弦定理，用B表示出各個邊，因為AABC為銳角三角形，求出器<4<

7,根據三角函數值域的求法求出取值范圍.

【詳解】(1)由余弦定理cosC=E￡所以"a-bx吟產,

化簡得aca2-b2+c2,所以cosB=吃=券=，,

又Be(0,n),所以B=f.

(2)由⑴A+C=TI-B=^,因為△ABC為銳角三角形，所以，=<C<

TI

2-

由正弦定理可得：^=^^=i(sin^+sin2C).

因為sin2a+sin2c=sin2X+sin2^—X)=|(1—cos2X)+|fl—cos告—24))

=1+1[cos(y-24)—cos2H=1+1[|cos24+~sin24—cos24]=1+.sin(2A—又‘

<4<與,所以段<2>l-f<-y,得|<1+gsin(24-^)<|.

因此sin24+sin2c的取值范圍是?,|],

所以誓的取值范圍是G，2〕.

【變式4-1】4.(2023秋?河北保定?高三校聯考開學考試)在△力BC中，角4,B,C的對

邊分別為a,b,c,若生=若當.

⑴求角4的大小；

(2)若。為BC上一點,ABAD=ACAD,AD=3,求4b+c的最小值.

【答案】⑴4=等

⑵27

【分析】(1)利用正弦定理化簡已知條件，結合余弦定理求得正確答案.

(2)利用三角形的面積公式列方程，結合基本不等式求得4b+c的最小值.

【詳解】⑴依題意，于=霽，

由正弦定理得午=~^>a2—b2=be+c2,

c2+b2—a2=—be,所以cos4==—|<0,

所以4是鈍角，所以4=孚

(2)/.BAD=/.CAD==^,

SAABC=SAABD+S^ACD,所以如Si喏=|c-3-sinf+|b-3-si碌

即比=3(c+6),誓=:+?=1,

所以46+c=(4b+c)(|+》=15+^+y>15+2J牛爺=27,

12b_3c

八飛h、，c=2b=9時等號成立.

{be=3(c+b)

【變式4-1】5.(2023秋?河北秦皇島?高三校聯考開學考試)記AABC的內角4B,C的對邊

分別為a,b,c,面積為S,已知房=竽+abcosC.

⑴求力的值；

(2)若BC邊上的中線|力0=1,求△4BC周長的最小值.

【答案】⑴與

(2)273

【分析】(1)根據三角形面積公式及正弦定理化簡〃=^+abcosC,可得tarU=VI,

即可求出4的值；

2

(2)先根據力。為BC邊上的中線得到2前=AB+AC,即/+c+bc=4,根據不等式求

出0<bcW§以及b+c=V4+be和a=，4—2bc,可得a+b+c="4—2bc+，4+be

(O<bc<0,再根據函數關系即可求出最值.

【詳解】(1)?「△4BC面積為S,

S-|a/?sinC,且爐=竽5+abcosC,

得力2=手absinC+abcosC,

b=—asinC+acosC,

3

由正弦定理得：sinB=苧sinasinc+sin/lcosc,

sin(4+C)=苧siMsinC+sinacosC,

siMcosC=—siriTlsinC+sinxcosc,

3

百

cos"=§sin4(sinCwO)

???tanA=V3(cosX豐0),

71

0<A<n,?,?A=~.

(2)邊上中線|40|=1,

2AD=AB+AC,

--->2----->2----->2----->----->

4AD=AB+AC+24BSC,

得/++be=4,b2+c2=^—be,

(h+c)2=44-be,b+c=+be,

且公+c2>2bc,即4—be>2bc,

0<be<^,當且僅當b=c時，"="成立.

又vzC=由余弦定理得b?+c2—a2=be

a2=b2+c2—be=4—2bc,

???a—V4—2bc,

???Q+b+c=V4—2bc+A/4+bc(0<be

設/(%)=V4—2x+A/4+%(0<%<^),

A__21_，4一2」-2,4+%

/(%)2A/4—2x2V4+x2V4-2xV4+x'

設9(%)=V4—2x—224+%,

_______________21

g'(x)=?4—2比—2V￥T7)'=^^一肅<0,

???g(久)在(0用單調遞減，

又”(。)=-2,???g(x)<o,?,?/'(%)<0,

???fo)在(o,g單調遞減，

則f(x)最小值為熊)=2V3,

所以當左=小寸，a+b+c的最小值為2?

故△4BC周長最小值為2g.

【變式4-1】6.(2023秋?山東青島?高三山東省青島第五十八中學校考開學考試)在AABC

中，內角A,B,C的對邊分別為a,brC,向量p=(2b,2c—a),q=(l,cosZ),且口〃9,

b=3.

⑴求8的大小；

(2)求言的最大值.

【答案】⑴段

(2)1

【分析】(1)由平面向量共線和正弦定理進行邊化角可得2sinC-sin4=2sinBcos4,再由

兩角和差公式可求解；

(2)由余弦定理可得a?+c2-b2=2accosB,再利用基本不等式得3<a+c<6,運用換

元法可求言得最值.

【詳解】(1)因為萬=(2b,2c—a),q=(l,cosX),且洋月,

所以2c—a=2bcosA,

又就=熹=意所以2sinC—sin力=2sinBcos4,又C=TT—(4+B)

所以2sinQ4+8)—sinA=2sin8cos4

所以2sin4cos8—sinA=0,

因為4W(0,TT),sirL4W0,所以cosB=J，?,BG(OJI),可得8=與

(2)根據余弦定理F+c2—b2=2accosB

得M+02_QC=9,即(a+c)2=9+3acz

因為ac<魚產，所以(a+c)2<9+|(a+c)2,結合a+c>3,

所以3<a+c<6(當且僅當a=c=3時取等號)，

設土=a+c,則te(3,6],所以言=號，

設=￡3t2=l(t-7)(

則/t)在區間(3,6]上單調遞增，

所以f(t)的最大值為-6)=|,所以言的最大值為1.

【變式4-1]7.(2023秋?貴州貴陽?高三貴陽一中校考開學考試)已知△ABC的內角4、B、

C所對邊分別為a、b、c,sinB.sine=sin2^4一sin2c.

⑴若4=1,求cost?;

(2)求cos4+sinC的最大值.

【答案】⑴cosC=0

(2)1

【分析】(1)根據正弦定理邊角互化可得。2=bc+c2,進而