第01講二次根式

題型歸納________________________________________

【題型1二次根式的概念】

【題型2求二次根式的參數】

【題型3二次根式有意義的條件】

【題型4利用二次根式的性質化簡】

【題型5復合二次根式的化簡】

基礎知識,知識梳理理清教材

考點1：二次根式的相關概念

一般地，我們把形如由（a20）的式子的式子叫做二次根式，稱為稱為二次根號.如

心戶低都是二次根式。

二次根式滿足條件：

（1）必須含有二次根號「

（2）被開方數必須是非負數

題型分類深度剖析,）

【題型1二次根式的概念】

【典例1］（23-24八年級下?廣西柳州?期末）

1.下列式子一定是二次根式是（）

A.7=7B.4^C.37D.一后

【變式1-1］（23-24八年級下?河南商丘?期末）

2.下列式子中，是二次根式的是（）

A.yB.V4C.V3D.-2

【變式1-2］（23-24八年級下?安徽亳州?期末）

3.當。=11時，二次根式^的值為（）

試卷第1頁，共6頁

A.1B.2C.3D.4

【變式1-3］（23-24八年級下?山東泰安?期中）

4.下列各式中，屬于二次根式的是（）

A.-B.2x+1C.y/5D.

x

【題型2求二次根式的參數】

【典例2］（22-23八年級下?廣東惠州?期中）

5.已知：阮是整數，則滿足條件的最小正整數”為（）

A.2B.4C.5D.20

【變式2-1］（23-24八年級下?云南怒江?階段練習）

6.己知川三是整數，則自然數x的所有取值為.

【變式2-2122-23八年級上?全國?單元測試）

7.畫是整數，則正數〃的最小值是

【變式2-3］（22-23八年級上?全國?單元測試）

8.若、隹是整數，則整數〃的所有可能的值為.

Vn

【題型3二次根式有意義的條件】

【典例3］（24-25九年級上?河南新鄉?期末）

9.若代數式無亙在實數范圍內有意義，則無的取值范圍是（）

x-5

A.x<-2B.x>-2C.x>5D.且xw5

【變式3-1］（24-25八年級上?遼寧大連?期末）

10.若二次根式近行有意義，則x的取值范圍是（）

A.x>-3B.x>—3C.x<—3D.%?-3

【變式3-2］（23-24八年級下?新疆昌吉?期末）

11.要使式子萬工有意義，則x的取值范圍是（）

A.x>2B.x/2C.x>-2D.x<2

【變式3-31（23-24八年級下?廣東河源?期末）

12.二次根式式了中字母x的取值范圍是

試卷第2頁，共6頁

基礎知識,知識梳理理清教材

考點2：二次根式的性質

（1）雙重非負性VaNO,aNO:（主要用于字母的求值）

（2）回歸性（Jg）2=a,（a>0）:（主要用于二次根式的計算）

FII?ra（aNO）

（3）轉化性：va=\a\=_

_-a（a<0）

題型分類深度剖析,

【題型4利用二次根式的性質化簡】

【典例4]（23-24八年級下?新疆昌吉?期末）

13.若l<x<2,則k-1|+而了的值為（）

A.2x-4B.—2C.4—2xD.2

【變式4-1]（24-25八年級上?北京?階段練習）

14.實數a、6在數軸上的位置如圖所示，化簡的結果是（）

----1----------1-----1---->

a0b

A.b-ciB.6+QC.—b—aD.—b+a

【變式4-2]（24-25九年級上?湖南衡陽?期中）

15.實數。在數軸上的位置如圖所示，則府了+河而化簡后為（）

A.7B.-7C.2。-15D.無法確定

【變式4-31（24-25八年級上?黑龍江大慶?期中）

16.當1cx<4時，化簡Jl—2x+x?-Jx?—8x+16的結果是-

【題型5復合二次根式的化簡】

【典例5]（23-24八年級下?江西新余?期中）

試卷第3頁，共6頁

17.先閱讀下列解答過程，然后作答：

形如J冽±2，^的化簡,只要我們找到兩個正數“，b使6=加，ab=n,這樣

(〃■)+(VK)=m,y/a-4b=4n,那么便有1m±2G=近土“)=4a+\[b[a>b)，例

如：化簡,7+4/

解：首先把，7+46化為+2屈，這里加=7,n=12；由于4+3=7,4x3=12,即

(V?)=7,^4'>/3=\Jl2,

17+46=V7+2V12=J("+⑹2=2+V3o

根據上述例題的方法化簡：

⑴，12-2卮;

(2)75-724；

(3)“+岳+”-而?

【變式5-1](23-24八年級下?廣東東莞?期中)

18.閱讀材料：小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方,

如：3+2夜=1+2后+2=1+2C+(C?=0+也『這樣小明就找到了一種把部分q+60

的式子化為平方式的方法.

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

(1)試著把7+4人化成一個完全平方式.

(2)若。是216的立方根，6是16的平方根，試計算：Ja+b6?

【變式5-2](23-24八年級下?河南信陽?階段練習)

19.閱讀下面這道例題的解法，并回答問題.

例如：化簡“+2行?

依據上述計算，填空：

(D，+4g__，741-24V2=_；

試卷第4頁，共6頁

（2）根據上述方法求值：，3-2亞+）5-2#+17-46+...+499-60而.

【變式5-3]（23-24八年級上?湖南婁底?期末）

20.閱讀材料：數學上有一種根號內又帶根號的數.形如J〃±2國,如果你能找到兩個數

mn

、,使加之+/=Q,且mn_a,則yja±2yfb可變形為

yjm2+n2±2mn="土〃了=|m±.從而達到化去一層根號的目的.例如化簡^5—2^/6，

?.?5=3+2且6=3x2,

/.^5—2y/~6=—=V3—V2.

⑴填上適當的數：&+2衣=[（_）2=|_|=；

（^）當時，化簡\Jx+2\[x—l+y/x-2y[x—1.

達標測試

一、單選題

（2024八年級上?全國?專題練習）

21.若二次根式小臣有意義，則實數x的取值范圍是（）

A.x>-2B.x>-2C.x>QD.x>0

（24-25九年級上?重慶萬州?期中）

22.下列各式是二次根式的是（）

A.B.V5C.J2-兀D.雙

（24-25九年級上?湖南衡陽?期中）

23.化簡夜的結果是（）

A.26B.342C.473D.6

（24-25八年級上?山東棗莊?期中）

24.已知l<x<2,化簡/x-丁+1-2|的結果為（）

A.-1B.1C.2x-3D.3-2x

（24-25八年級上?陜西西安?階段練習）

25.若斤=4,則x的值為（）

試卷第5頁，共6頁

A.±4B.4C.16D.±16

（24-25八年級上?福建三明?期中）

26.下列各式中計算正確的是（）

A.西=-2B.725=±5C.=-9D.(-V2)2=-2

（24-25九年級上?山西?階段練習）

27.化簡而存的結果為（）

A.-6B.6C.-36D.36

二、填空題

（24-25八年級上?上海?期中）

28.化簡：.

（22-23八年級上?山東荷澤?期末）

29.已知二滿足|2022—4+Ja—2023=a,貝””20222=

三、解答題

（24-25八年級上?廣東河源?期中）

30.已知2a+1的立方根是-5,。+2力的算術平方根是3,c是后的整數部分.

（1）求a,b,c的值；

（2）求a+26+c的平方根.

試卷第6頁，共6頁

1.B

【分析】本題考查二次根式的概念，屬于基礎題型.

根據二次根式的概念即可判斷.

【詳解】解：A、若被開方數是負數，此時不是二次根式，故A錯誤；

B、是二次根式，故B正確；

C、37不是二次根式，故C錯誤；

D、若被開方數是負數，此時不是二次根式，故D錯誤；

故選：B.

2.C

【分析】本題考查了二次根式的定義，掌握一般地，我們把形如夜(a20)的式子叫做二次

根式是解題的關鍵.

【詳解】根據二次根式的定義可得：為是二次根式

故選：C.

3.C

【分析】本題考查了代數式求值，二次根式的化簡，掌握二次根式的性質是解題關鍵.將

“=11代入二次根式計算求值即可.

【詳解】解：當。=11時，Ji-2=Jll-2=?=3,

故選：C.

4.C

【分析】本題考查了二次根式的定義，理解定義是解題的關鍵.

根據二次根式的定義逐項分析判斷即可，

【詳解】A.工是分式，不是二次根式，故該選項不符合題意；

B.2x+l,是整式，不是二次根式，故該選項不符合題意；

C.6是二次根式，故該選項符合題意；

D.四是三次根式，故該選項不符合題意；

故選：C.

5.C

【分析】將廊化簡為2A，要是一個數開平方后為整數，那么這個數一定是完全平方

答案第1頁，共11頁

數，即可解答.

【詳解】解：血而=2跖，

???而是整數，

,滿足條件的最小正整數”為5,

故選：C.

【點睛】本題考查了求二次根式中參數的值，熟知二次根式的計算結果是整數的情況是解題

的關鍵.

6.13,12,9,4

【分析】本題考查了二次根式的定義，形如血(?>0)的式子叫做二次根式，還考查了二

次根式的性質：=由己知可得13-x20且13-x為完全平方數求解.

【詳解】解：由已知得13-xNO,

x<13

又???、百7為整數

.?.13-x為完全平方數，

13-1=0或1或4或9

???自然數x的所有取值為：13,12,9,4.

1

7.—##0.05

20

【分析】根據環是整數，〃為正數，得出環的最小值為1,得出20〃的最小值為1,

即可求出答案.

【詳解】解：?.?屈是整數，〃為正數，

???也血的最小值為1，

.?.20〃的最小值為1,

???正數"的最小值為《，

故答案為：—.

【點睛】本題主要考查了二次根式的定義，解題的關鍵是根據乘除法法則和二次根式有意義

的條件.二次根式有意義的條件是被開方數是非負數進行解答.

答案第2頁，共11頁

8.1,4,9,36

【分析】、隹是整數，則變20,且更是完全平方數，即可求出〃的值.

Vnnn

【詳解】解：慳是整數，

Vn

???—>0,且非是完全平方數，

nn

2A

???①一=1,即〃=36；

n

2A

②一=4,即〃=9；

n

③變=9,即〃=4；

n

④生=36,即〃=1；

n

綜上所述，整數〃的所有可能的值為1,4,9,36.

故答案是：1,4,9,36.

【點睛】本題考查了二次根式的定義，理解、也是整數的條件是解題的關鍵.

Vn

9.D

【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件，根據二次根式中的被開方數是非負數、分母

不為零列出不等式組，解不等式組得到答案.

【詳解】解：由題意得：x+2N0且x-5w0,

解得：且xw5,

故選：D.

10.B

【分析】本題考查二次根式的意義“二次根式中被開方數是非負數”.根據被開方數尤+320

即可求解.

【詳解】解：x+3>0,

x>-3.

故選：B.

11.D

【分析】本題考查的知識點為：二次根式的被開方數是非負數.掌握被開方數是非負數是解

答本題的關鍵.根據被開方數20列式計算即可得解.

【詳解】解：根據題意得，2-xNO,

答案第3頁，共11頁

解得xW2.

故選：D.

12.x>l

【分析】主要考查了二次根式的意義和性質，熟練掌握二次根式的意義是解題的關鍵；

二次根式有意義的條件就是被開方數是非負數，即可求解.

【詳解】解：根據題意得：x-l±O,

解得XN1

故答案為：X>1

13.D

【分析】本題主要考查了化簡絕對值，利用二次根式的性質化簡，代數式求值等知識點，熟

練掌握二次根式的性質是解題的關鍵.

先根據1<x<2化簡絕對值和二次根式，然后合并同類項即可.

【詳解】解：,.T<x<2,

x—1>0f%—3<0,

?■?|x-l|+=X-1+3-X=2,

故選：D.

14.A

【分析】本題主要考查了二次根式的性質，數軸，熟練掌握二次根式的性質是解題的關

鍵.觀察數軸可得。<0<6,從而得到再根據絕對值的性質，即可求解.

【詳解】解：觀察數軸得：a<O<b,

：.a—b<0,

-b)—1<7一耳=6-a-

故選：A

15.A

【分析】本題考查了二次根式的性質和絕對值，首先根據數軸得到。的范圍，從而得到4

與的符號；然后利用二次根式的性質和絕對值的性質即可求解.

【詳解】解：根據數軸得：5<。<10,

?*.ci—4>0,u-11<0,

'("4)2+

答案第4頁，共11頁

=|^-4|+|（2-11|

=a—4+11—a

=7.

故選：A.

16.2x-5

【分析】先配方，把二次根式轉化為絕對值，化簡解答即可.

本題考查了二次根式的化簡，熟練掌握完全平方公式，絕對值的化簡是解題的關鍵.

【詳解】解：A/1-2X+X2-A/X2-8X+16

=J（XT）2_J（X_4『

=|x-l|-|x-4|,

vl<x<4,

|x-1|-|x-4|=x-1-（4-x）

=x-l+x-4

=2x-5.

故答案為：2x-5.

17.（1）V7-V5

⑵

⑶而

【分析】本題考查二次根式根號內含有根號的式子化簡，二次根式的性質及完全平方公式,

（1）根據解答過程即可得解，

（2）將75-V24轉化為75-276，再根據解答過程即可得解，

（3）將4+岳+74-V15轉化為j+2行+行,再根據解答過程即可得解；

先把各題中的無理式變成而的形式，進而可得出結論.解題的關鍵是理解和掌握：

二次根式根號內含有根號的式子化簡主要是根據完全平方公式的特點將該式子轉化為平方

的形式.

答案第5頁，共11頁

【詳解】(1)解：712-2735=^(V7-V5)2=V7-V5；

(2)(5-衣=b2a=J(也-何=百-行;

（3）74+715+74-715

18.⑴(2+可

(2)2±近

【分析】本題主要考查了平方根、立方根、完全平方公式、二次根式的混合計算，二次根式

的化簡：

(1)根據完全平方公式即可解答；

(2)先根據立方根和算術平方根的定義求出。、6的值，進而得至(］八+叵=，6±4行，

再把6±4血化成完全平方式，最后利用二次根式的性質化簡即可.

【詳解】(1)解:7+46

=4+473+3

=22+473+(73)2

=(2+V3)2.

(2)解：:a是216的立方根,6是16的平方根，

???。=6,6=±4,

答案第6頁，共11頁

???Ja+母b

=^6+45/2

=：4±4亞+2

=^22±4V2+(V2)2

=J(2土可

=2±^2?

19.(1)2+V3;40-3

(2)9

【分析】本題主要考查了化簡復合二次根式：

(1)根據例題的方法，湊完全平方公式，然后根據二次根式的性質化簡即可求解;

(2)根據例題的方法，湊完全平方公式，然后根據二次根式的性質化簡即可求解.

【詳解】(1)解：，7+4。

=J4+46+3

=2+6；

741-2472

=732-2472+9

=4A/2-3;

故答案為：2+也；472-3;

（2）解：73-272+75-276+77-4>/3+???+V199-6oVTT

J?1+J?可++…+小頌-呵2

=-\/2—1+V3—V2+V4—V3H---FJ100—J99

=VToo-i

=10-1

答案第7頁，共11頁

9.

20.(1)V5+V3.V5+V3,V5+V3

(2)2

【分析】本題主要考查了二次根式的性質與化簡，正確應用完全平方公式，掌握完全平方公

式的特征是解題的關鍵.

(1)將8寫成(石將而寫成石乂內，然后將被開方數變形成完全平方公式的

形式，即可得出答案.

(2)將x寫成(衣萬)2+1，然后將被開方數變形成完全平方公式的形式，即可得出答案.

=V5+-\/3，

故答案為：V5+V3,6+百，V5+V3;

（2）1<x<2,

;.dx+2Jx-1+Jx-2Jx-1,

222

^（vrn-）+2xA/7^Txi+f+^（v^r）-2xvrn'xi+i,

2

=2.

21.A

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件：被開方數是

非負數，是解題的關鍵.

根據二次根式有意義的條件：被開方數是非負數，即可得出答案.

【詳解】解：???二次根式有意義，

答案第8頁，共11頁

.*.x+2>0,

解得：x>-2,

故選：A.

22.B

【分析】本題考查了二次根式的判斷，根據形如NO)的式子叫做二次根式進行判斷即

可.

【詳解】解：A、被開方數為負數，不是二次根式，不符合題意；

B、是二次根式，符合題意；

C、被開方數2-4<0,不是二次根式，不符合題意；

D、我，形式不符合布，不是二次根式，不符合題意，

故選：B.

23.A

【分析】本題考查了二次根式化簡性質，難度較小，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵.

根據二次根式化簡性質即可作答.

【詳解】解：712=273.

故選：A.

24.B

【分析】本題考查了二次根式的性質，去絕對值，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

先根據必=問化簡二次根式，然后再根據1<x<2去絕對值即可.

【詳解】解：—+|x-2|=|x-1|+|x-2|,

1<x<2,

.e.x—1>0,x—2<0,

|x-+|x-2]=x-1+2-x=1,

^(x-1)2+|x-2|=1,

故選：B.

25.A

【分析】本題考查二次根式的性質，根據二次根式的性質得到J3=|尤|=4,即可求解.

答案第9頁，共11頁

【詳解】解：-?-7?=|X|=4,

???x=±4.

故選：A.

26.A

【分析】本題考查了立方根與算術平方根的性質，二次根式的性質，根據立方根與算術平方

根，以及二次根式的性質逐項分析判斷，即可求解.

【詳解】解：A.