專題12分式與分式方程重難點題型分類-高分必刷題（解析版）

專題簡介：本份資料包含《分式與分式方程》這一章在各次月考、期末中除應(yīng)用題和壓軸題之外的全部主

流題型，所選題目源自各名校月考、期末試題中的典型考題，具體包含十一類題型：分式的定義、分式有

意義、分式值為0、分式的性質(zhì)、整體代入法求分式值、最簡分式、分式的先化簡后求值、整數(shù)指數(shù)幕計

算、解分式方程、含參分式方程中參數(shù)的取值范圍、分式方程的增根與無解問題。本專題資料適合于培訓(xùn)

機構(gòu)的老師給學(xué)生作復(fù)習(xí)培訓(xùn)時使用或者學(xué)生月考、期末考前刷題時使用。

題型一分式的定義

11x-L12丫+2

1.（2022?永州）在上，：，W，三，士中分式的個數(shù)有（）

x32x+1x

A.2個B.3個C.4個D.5個

【詳解】解：工，二7,蟲的分母中含有字母，都是分式，共有3個.

Xx+1X

故選：B.

2.（2022?岳陽）下列代數(shù)式①上，②審，③巴，④」一中，分式有（）

x2兀m-n

A.1個B.2個C.3個D.4個

【詳解】解:①和④分母中含有字母，是分式；②③分母中不含有字母，不是分式，

故選：B.

3.（2022?永州）有如下式子①?；②③；④/“，其中是分式的有（）

3x+1“'7i2（x+y）

A.①③B.②③C.③④D.②④

【詳解】解：①U，是整式，不是分式，不符合題意；②3,是分式，符合題意；

③直E,是整式，不符合題意；④產(chǎn)審，是分式，符合題意.所以②④是分式

71（x+y）

故選：D.

題型二分式有意義（分母不為0）

X—2

4.（2021?衡陽）要使分式J有意義，則工的取值范圍是（）

x-1

A.x=lB.x=2C.xwlD.xw2

x—2

【詳解】解：要使分式一有意義，必須解得：*1,故選：C.

x-l

3+x

5.（2019?長沙）分式下彳有意義，則元的取值范圍是（）

\x\-l

A.x>lB.x<lC.-1<x<1D.xw±l

3+x

【詳解】?「國_］有意義,「.|x|—lw。，解得：犬w±l,故選：D.

6.（2018?望城）如果代數(shù)式正有意義，那么尤的取值范圍是

x-1

【詳解】解：由題意得，XN0且X-1H0,解得了20且XW1,

故填：XN0且1wl.

7.（2022??衡陽）如果式子，乏有意義，那么x的取值范圍是_____.

x+2

【詳解】解：根據(jù)題意得：q-xN；解得XVL目”/_2,故答案為：XVI且XW.2.

I乙"T"人U

題型三分式值為0（分子=0且分母W0）

8.（2022?洪江）若分式畢二|的值為零，則元的值是（）

2%+6

A.3B.-3C.±3D.4

【詳解】解：...分式的值為零，.??卜|-3=0,且2X+6H0,解得X=3.故選：A.

2%+611

9.（博才）如果分式正二9的值為0,那么x的值為（）

x—2

A.x=2B.兀=0

C.%=0或尤=2D.以上答案都不對

【解答】解：由題意，知x（x-2）=0且X-2W0.解得％=0.

故選：B.

尤2—4

10.（2022?長沙）若分式----的值為0,則冗=_______.

x+2

【詳解】由題意得％2一4=0,x+2w0,x=±2,xw—2,:.x=2,即當(dāng)x=2時，分式的值是0.

故答案為：2.

11.（青竹湖）若分式的值為0,貝心的值為。

x+3

【解答】解：..?分式上2的值是0,.?.尤2-9=0且尤+3六0,解得：x=3.

x+3

題型四分式的性質(zhì)

12.（2021?株洲）下列分式的變形正確的是（）

11x2+y2

A.--------=----------B.---------=x+y

-a-ba-bx+y

2a+1aa2-1

C.=-D.-------=a—\

2b+1b。+1

【詳解】解：A、—^—=--二，故此選項不符合題意；

-a-ba+b

22

x+v

B、是最簡分式，不能再約分，故此選項不符合題；

x+y

C、汕是最簡分式，不能再約分，故此選項不符合題意；

26+1

D、匚1=（。+1）（”1）一一1,正確，故此選項符合題意；

Q+1Q+1

故選：D.

13.（2021?湖南）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式二Z可變形為（）

a-b

一Claaa

ArUr\.

-a-ba+bb-aa+b

一（一。）a

【詳解】~-7、-，故選：C.

a-b一(za-b)b-a

X—y

14.（2020?邵陽）如果把分式一^中的x和＞都擴大了3倍，那么分式的值（）

孫

A.擴大3倍B.不變C.縮小3倍D.縮小6倍

【詳解】答答=鋁=；3,故分式的值縮小3倍.故選C.

3x-3y3xy3xy

題型五整體代入法求分式值

2

15.(長郡郡維)若x+x-=3,則/+x-=.

【解答】解：x2+x-2=x2+^=(x+-)2-2=32-2=7.

XX

2mn

16.（青竹湖）已知根+〃=4沏，則

m-mn+n

2mn_2mn_2mn_2

【解答】解：Vm+n=^mn,

m—mn+n4mn—mn3mn3

17.（長郡芙蓉）己知上」=2則分式3x+2xy-3y的值等于

xyx-2xy-y

【解答】解：上=2,.?.x-y=-2xy,.?.原式=+2xy=16xy+2xy=*

xy(x-y)-2xy-2xy-2xy-4xy

=1.故答案為：1.

18.(中雅)已知a+b=2,ab=-3,求:

12

⑴(j)20b+ab

【解答】解：(1)Va+b—2,ab—-3,a2+b2=(〃+。)2-2〃/?=4+6=10,(a-b)2=〃2一2ab+b2

10+6=16；

⑵a'b+ab』=ab(a+b)=-6=_3

2,,22.,2元

a+ba+b1U0

Y1Y*2*

19.(一中)閱讀下面的解題過程：已知：--=—,求工一的值.

x2+l3x4+l

X1x-1-11

解：由二土，知XWO,所以-----=3,即x+±=3.

x+13xx

,X4+l1(1丫c52crQ+11

所CC1以>——=x2+-T=X+-—2=32—2=7,故一T—=-.

x2x2Ix)x47

該題的解法叫做“倒數(shù)法”，請類似利用,到數(shù)法”解決下面的題目:

L求V2

⑴已知一I的值.

7

4zx4xyz，士

⑵已知上=2,上----=—，求-----------的值.

x+yy+z3z+x3xy+yz+zx

=1,得到尤江且

【解答】解：（1）由丁^―=x+--1=7,即X+A=8,

X-x+17XX

則原式=——\一]11

21,2-1

x-^y+i64-163

Xx

x+y1.1-1y+z_1,1_3z+xA+A=A,可得-L+-1+J1

（2）根據(jù)題意得:------------t--—,--------------------十——,----------1,

xyxy2yzyz4zxxz4

1

則原式=1.

111

—+—+—

xyz

題型六最簡分式

20.（2022?衡陽）下列分式中，屬于最簡分式的是（）

x

【詳解】解：A，4=-1-故不符合題意；6=3故不符合題意；

xx2aa

C.F三是最簡分式，故符合題意；D.Le=±D=-i,故不符合題意；故選：C.

尤‘+1x-1x-1

21.（2022?湘潭）下列分式為最簡分式的是（）

A.=B.*C.I5x

D.-；----------

x+2lab九一yx2-3x

【詳解】A.尤一2）5+2）=X一2,不是最簡分式，故不符合題意；

x+2x+2

B.不能再化簡，是最簡分式，符合題意；

2ab

c.二一一不是最簡分式，故不符合題意；

x-yx-y

SY5Y5

D.一丁=7不；=—不是最簡分式，故不符合題意；

x—3xx（x—3）x—3

故選：B.

22.（2018?懷化）下列式子中，是最簡分式的是（）

A。gaQA+^口2。

a~+b~cr+ua~-b~cibe

【詳解】A、分子、分母不含有公因式，所以不能夠約分，是最簡分式；

B、分子、分母含有公因式a,能夠約分，不是最簡分式；

C、分子、分母含有公因式a+b,能夠約分，不是最簡分式；

D、分子、分母含有公因式a,能夠約分，不是最簡分式；

故選：A.

題型七分式的先化簡后求值（不能把讓原方程分母為0的值代進去！）

23.（2022?湖南永州）先化簡再求值：若7^二！+|3-6|=0,求二的值.

11a-ba2+2ab+b2a2-b1

【詳解】解：原式=三?b）?（。-頌。+?=2a—26；

a—b（Q+。）

'/+|3-Z?|=0,。-2=0,3-/?=0,/.a=2,b=3

原式=2。-2。=4-6=-2.

24.（2。22?湖南湘西）先化簡,再求值：（△-￡）「二,其中『3.

3aa、2a3a1+6aa?—2tzt/2—43a2+6a—"+2atz2—43/+6〃—a?+2a

【詳解】解:---------)+—；---=(-------=--------------------------------

22

a—2a+2a—4Q?—4a—42aa—42a2Q

=笞"+4,當(dāng)0=3時，原式=3+4=7.

‘九24、尤之+4r+4

25.（2022?永州）先化簡，再求值：一^+一卜--------，其中x是-2,0,1,2這四個數(shù)中合適的數(shù).

（尤一22-x）x

，九2+4].尤2+4%+4_(%24x2+4%+4x2-4,x2+4x+4x

【詳解】解:=(x+2>

22—xJx1%—2x—2xx-2x(%+2)2

Yj1

=分母不能為0'.…12且"O''尤"將E代入,原式=壬=§

「?原式二X，當(dāng)X=1時，原式=!?

X+23

26.（2022?湖南永州）先化簡，再求值：fl—-+七金，其中14x43的正整數(shù)選一個合適的x的值代

Ix-1）x+2

入求值.

(x—11)x+2x-2x+2i

原式尸))____x___________________________i

【詳解】解:/F-T(x+2(x-2-

X-1(x+2)(x-2)x-i

因為的正整數(shù)，滿足條件的x=3,代入，原式=；.

27.（2。22?漣源）先化簡,再求值：［^+［￡+1］，然后從T，1，2中選一個合適的代入求值.

x-1l-x+x2-lx+l

【詳解】解:原式=,0J[4+(2)(1)

+|_x+lx+17+1"7+]x+1x(x-l)

x^±l,x=21當(dāng)％=2時，

原式=；.

28.（一中）先化簡—--a+1然后將—1、0、->K2中，所有你認(rèn)為合適的數(shù)作為Q的值,

+1Jci—12

代入求值.

2

,a22a1-]、二a=a2-2aT+1.a

【解答】解：（1）（二一-a+l）+T—

2

a+1a-l、a+la+1a1軟+1a1

=_1-Ja+1)(a-1,)=2ll,1/-iwo,aWO,；.aW±l,0,當(dāng)a=2時，原式

a+1aa22

當(dāng)°=』時，原式=±~j-=-1.

2A

2

然后在不等式x<2的非負(fù)整數(shù)解中選擇一個適當(dāng)?shù)臄?shù)代入求值.

【解答】解：原式=4.^―二一一=，?（x+l）（x-l）=心

X-1X-1（x+1）（x-1）X-1XX

?."W±1且xWO,?,?在不等式的非負(fù)整數(shù)解中取x=2,

則原式=21L=S.

22

題型八整數(shù)指數(shù)塞計算

30.(2022?永州)計算-產(chǎn)儂4萬-杼。+百+(-2y+(-；尸.

【詳解】解：原式=一1一：1+3+4—3=3+4—1-1—3=2.

31.(2022?衡陽)計算：(2022-3.14)°+3?-gx

【詳解】解：原式=1+9-白16=1+9-8=2.

32.(2022?長沙)計算：(-1)2021+(萬-3.14)°-4『-1一石|

【詳解】解：(-1)2021+(7T-3.14)°-(1)1-11-73|=-1+1-3-+1=-2-73.

題型九解分式方程

33.(2022?長沙)解方程：上=+3=F.

x—22—x

Yx—4

【詳解】解：--+3=--,方程兩邊都乘％-2,得x+3(x-2)=-(九-4),解得：％=2,

x—22—x

檢驗：當(dāng)x=2時，x-2=0,所以x=2是增根，即原分式方程無解.

14x2

34.(2。】&邵陽)解方程：一+4r一乩

【詳解】解：方程兩邊同乘(x+2)(x-2)得：x-2+4x—2(x+2)=尤2-4,整理，得d—3x+2=0,

解這個方程得玉=1,X2=2,經(jīng)檢驗，％=2是增根，舍去，所以，原方程的根是x=l.

X3

35.⑵22?永州)解分式方程：--1^.

x3113

【詳解】解：二pl=「即力…(x+l)(x-l)去分母得：x(^+l)-(x+l)(x-l)=3.

\x2+x-x2+1=3,解得：x=2,

檢驗：把尤=2代入(x+D(x—l)中得(x+l)(x—l)wO,所以x=2是原方程的根.

36.(2018?澧縣)解分式方程:

X—2312x+2x+2爐—2

(1)---------------=1；(2)-----------------=-------.

x+3x-3xx-2x-2x

【詳解】解：(1)方程兩邊同乘(x+3乂x—3),得(x—2)(x—3)—3(x+3)=(x+3Xx—3),整理得-8x=-6,解

33

得乂=^.經(jīng)檢驗，x=a是原方程的根.

2(x+l)x+2x2-2

(2)原方程可化為方程兩邊同時乘x(x—2),得2(x+l)(x—2)—x(x+2)=x2—2,

?

Xx-2x(x-2)

整理得一4x=2,解得x=一5.經(jīng)檢驗，x=一5是原方程的解.

題型十含參分式方程中參數(shù)的取值范圍

37（2018?武岡）已知關(guān)于X的方式方程雙；=:的解是非負(fù)數(shù)，那么。的取值范圍是（）

x-33

A.a>lB.“21且〃工3C.“21且。。9D.a<l

【詳解】解：3（3x-a）=x-3,9x-3a=x-3,8x=3a-3,

%匚.由于該分式方程有解，令后即匚代入X-3工0,.,.a#9.

88

■「該方程的解是非負(fù)數(shù)解，

3a-3

-----20,?.?應(yīng)1,的范圍為：應(yīng)1且4H9.故選：C.

8

38.（中雅）已知關(guān)于x的分式方程上——二=-1的解是非負(fù)數(shù)，則機的取值范圍是（）

X—1\—X

A.加W-2B.m22C.加22且小W3D.小W-2且用W-3

【解答】解：分式方程去分母得：根+3=1-羽解得：x=-m-2,

由方程的解為非負(fù)數(shù)，得到-m-220,且-加-2W1,解得：

故選：D.

39.（雅禮）若分式方程，—一1=上的解是負(fù)數(shù)，則。的取值范圍是.

x+2x+2

【解答】解：去分母得：a-x-2=x,解得：一土2,二?分式方程-1=_A_的解是負(fù)數(shù),

2x+2x+2

.\a-2<0,解得：a<2,當(dāng)％=@2=-2時，a=-2,此時分式方程無解，

2

故a<2且aW-2.

40.（一中）若關(guān)于x的方程*-1=—k的解為非負(fù)數(shù)，則左的取值范圍是.

x+1x-1

【解答】解：方程主"-1=4_,（x+Z）（X-1）-（x+1）（X-1）=k（x+1）

x+1X-1

j?~x+kx~k~x^+1=kx+k,x=~2k+1,*.*x^0且xW1,-2Z+120且一2Z+1W1

解得左wl且k^Q.

2

故答案為kW上且k^O.

2

題型十一分式方程的增根與無解問題

41.(2022?邵陽)若關(guān)于尤的分式方程=-一==有增根，那么，〃的值是

【詳解】解：二-一j=鑼7，(x+l)(x-2)—2(x+2)=2m,

x+2x—2,x—4

x2-2x-^-x-2-2x-4=2m,x2-3x+6=2m，0-0分式方程有增根，

/.(x+2)(%-2)=0,x=2或x=-