模型21、對稱模型

【模型概述】

對稱法作為-種具體的解題方法，雖然高考命題沒有單獨正面考查，但是在每年的高考命題中都有所滲透和

體現。從側面體現考生的直觀思維能力和客觀的猜想推理能力。所以作為一種重要的物理思想和方法，相

信在今后的高考命題中必將有所體現。

【模型解題】

在研究和解決物理問題時，從對稱性的角度去考查過程的物理實質，可以避免繁冗的數學推導，迅速而準

確地解決問題。

對稱法是從對稱性的角度研究、處理物理問題的一種思維方法，有時間和空間上的對稱。它表明物理規律

在某種變換下具有不變的性質。用這種思維方法來處理問題可以開拓思路，使復雜問題的解決變得簡捷。

如，一個做勻減速直線運動的物體在至運動停止的過程中，根據運動的對稱性，從時間上的反演，就能看

作是一個初速度為零的勻加速直線運動，于是便可將初速度為零的勻加速直線運動的規律和特點，用于處

理末速度為零的勻減速運動，從而簡化解題過程。具體如:豎直上拋運動中的速度對稱、時間對稱。沿著光

滑斜面上滑的物體運動等具有對稱性等，總之物理問題通常有多種不同的解法，利用對稱性解題不失為一-

種科學的思維方法。

利用對稱法解題的思路:①領會物理情景，選取研究對象;②在仔細審題的基礎上，通過題目的條件、背景、

設問，深刻剖析物理現象及過程，建立清晰的物理情景，選取恰當的研究對象如運動的物體、運動的某-過

程或某一-狀態;③透析研究對象的屬性、運動特點及規律;④尋找研究對象的對稱性特點。⑤利用對稱性特

點，依物理規律，對題目求解。

【模型訓練】

【例1】（多選）如圖所示，立方體NBCD-EFG*的四個頂點A、C、F、H處各固定著一個電荷量均為

。的正點電荷，”為/C連線的中點,N為S連線的中點。下列說法正確的是（）

A.B、。兩點處的電勢相同B.M,N兩點處的電勢相同

C.B、。兩點處的電場強度相同D.M、N兩點處的電場強度相同

【答案】AB

【詳解】AC.設正方體中心為。，根據幾何關系可知三角形/CH和/CF為全等的等邊三角形。設/、C、

“在。點產生的電場強度為瓦，電勢為夕/；4、C、廠在8點處產生的電場強度為出，電勢為02。根據對稱

性可知"/等于夕2,￡/沿。。方向，E2沿OB方向。而尸在。點產生的電場強度方向沿。。方向，H在B點、

產生的電場強度沿。8方向，根據對稱性以及電場的疊加可知3、。兩點電場強度大小相同、方向不同。而

產在。點產生的電勢與〃在3點產生的電勢相等，則根據電勢的疊加可知8、。兩點電勢相等，故A正確，

C錯誤；

BD.根據對稱性可知/、C兩點在Af產生的合場強為零，尸、X兩點在M產生的合場強沿。M方向；H、C

兩點在N產生的合場強為零，/、尸在N產生的合場強沿ON方向，根據對稱性以及電場的疊加可知”、N

兩點電場強度大小相同、方向不同。而4、C在用■產生的電勢與〃、C在N產生的電勢相等，H、尸在“

產生的電勢又與/、尸在N產生的電勢相等，根據電勢的疊加可知M、N兩點電勢相等，故B正確，D錯

誤。

故選ABo

變式1.1（多選）如圖所示，真空中有一邊長為a的正立方體，在圖中C,尸三個頂點放上電荷量相等

的負點電荷q,已知靜電力常量為k,設無窮遠處的電勢為零，下列說法正確的是（）

A.A處點電荷受到另兩個點電荷對其作用力的合力大小為1”

2a2

B.8點處的電場強度的大小為當

a

C.D、E、G三點電勢相等

D.將一電子先后置于H點和8點，電子在〃點的電勢能小于其在3點的電勢能

【答案】ACD

【詳解】A.A、C、F三點形成了一個等邊三角形，有

F=2x——cos30。二避"

(V2a)22/

故A正確;

B.B點處的電場強度是由三個點電荷各自產生的電場強度疊加而成的，合電場強度為型，故B錯誤；

a

C.D、E、G三點在電場中相對A、C、F三點的位置相同，故電勢相等，故C正確；

D.H點到三個固定負點電荷的距離大于B點到三個固定負點電荷的距離，所以%>為,根據弓得

到￡/<￡/，故D正確；

故選ACDo

變式1.2如圖所示，正方體6czy的頂點4。處有帶電量為一q(q>0)的點電荷，B、。處有帶

電量為+q的點電荷，O點為正方體的中心，取無窮遠處電勢為0,則下列說法正確的是()

A.。點的電勢為0

B.。點場強為0

C.4與C點場強大小、電勢均相同

D.，與C點場強大小、電勢均不相同

【答案】A

【詳解】AB.。點既位于的垂直平分面上，也位于C7T的垂直平分面上，若取無窮遠處電勢為0,則等

量異種電荷連線的垂直平分面上電勢為0,所以。點的電勢為0;等量異種電荷連線的垂直平分面上各點的

電場強度方向平行于兩電荷連線并指向負電荷一側，所以/、8兩點的點電荷在O點產生的合電場強度EO/

方向平行于A8且指向/。。'⑷面，且。、。'兩點的點電荷在。點產生的合電場強度EO2方向平行于C'D也

指向/加>⑷面，即￡0/和￡。2方向相同，所以。點場強不為0,故A正確，B錯誤；

CD.因為，到/和。酌距離大于其到8和。的距離，所以⑷點電勢為負，同理可知C點電勢為正，所以

/'與C點電勢不同；根據對稱性可知，A和。處點電荷在⑷產生的合電場強度EA'i與B和。處點電荷在C

產生的合電場強度EG相同，而/和。處點電荷在C產生的合電場強度EC?與3和。處點電荷在產生的

合電場強度￡/%相同，根據平行四邊形法則可知EA'j和EA'2的矢量和與EC1和EC?的矢量和相同，所以

與C點場強相同，故CD錯誤。

故選Ao

【例2】如圖所示，在a、b兩點固定著兩個帶等量異種電荷的點電荷，c、d兩點將a、b兩點的連線三等

分，則（）

acdb

十卜-----卜—一

+0-Q

A.c、4兩點的電場強度大小相等，方向相反

B.c、d兩點的電場強度大小相等，方向相同

C.從c點到d點，電場強度先增大后減小

D.從c點到d點，電勢先降低后升高

【答案】B

【詳解】AB.帶等量異種電荷連線的中點，c、d兩點將a、b兩點的連線三等分，所以c與，關于連線的

中點對稱，所以關于連線的中點對稱的兩點c與d的場強等大同向，故A錯誤，B正確；

C.根據等量異種電荷電場線的分布，電場線密的地方場強大，反之電場線疏的地方場強小，所以在兩點電

荷連線上中點處場強最小，兩邊依次增大。所以從c到d點場強先變小后變大，故C錯誤；

D.根據等量異種電荷電場線的分布可知，電場線由。指向上電勢越來越低，連線中點處的電勢為0,d

點電勢為負，所以c點到1點電勢一直減小，故D錯誤；

故選B。

變式2.1如圖所示，M、N兩點處分別固定有兩個等量正點電荷，。點為連線中點，點°、點6為A/N

連線上到。點距離相等的兩點，點c、點d為〃N連線的中垂線上到。點距離相等的兩點。下列說法中正

確的是（）

?d

+g一+9

Mb\OaN

fc

A.c點和d點處的電場強度相同

B.6點比。點電勢高

C.b、c兩點間電勢差Ube等于d、。兩點間電勢差Uda

D.把一個不計重力的帶負電的微粒從4點由靜止釋放，它將沿山方向運動到無窮遠處

【答案】B

【詳解】A.根據等量同種電荷的電場分布可知，c點和d點的電場強度大小相等方向相反，A錯誤；

B.沿電場線方向電勢降低可知，b點電勢比。點電勢高。B正確；

C.由對稱性可知。、b兩點的電勢相等，C、d兩點的電勢相等，所以Ubc=-Uda,c錯誤；

D.在等量同種電荷連線的中垂線上，0點的電場強度為零，電場強度方向由。指向d和由。指向。，帶負

電微粒從d點由靜止釋放，則在電場力作用下向O點加速運動，過。點后做減速運動，到達c點，速度為零,

然后向0點加速運動，由于對稱性，帶負電微粒將會在。點上下兩側de之間往復運動，D錯誤。

故選B。

變式2.2如圖所示，以兩等量同種點電荷連線的中點。為圓心畫圓，在圓上有a、b、c、d四點，b、d兩

點在兩點電荷連線的中垂線上，下列說法正確的是（）

b

?-^4-&^-<±）

廠/

A.。點的電場強度大于c點的電場強度

B.b、d兩點的電場強度大小相等、方向相同

C.負電荷在。點的電勢能大于在c點的電勢能

D.將正電荷由6點沿直線移到d點，其受到的電場力先做負功后做正功

【答案】D

【詳解】A.0、c兩點關于。點對稱，根據場強的疊加法則可知，a、c兩點的電場強度大小相等，方向相

反，故A錯誤；

B.6、［兩點關于。點對稱，根據場強的疊加法則可知，b、4兩點的電場強度大小相等，方向相反，故B

錯誤；

C.根據點電荷電勢表達式可知

。=絲

r

可知八c兩點電勢大小相等；根據電勢能表達式

Ep=q（p

可知電荷在。點的電勢能等于在c點的電勢能，故C錯誤；

D.6點合場強方向向上，，點合場強方向向下，正電荷受到的電場力先做負功后做正功，故D正確。

故選D。

【例3】一段均勻帶電的半圓形細線在其圓心。處產生的場強大小為￡,把細線分成等長的圓弧48、BC、

CD,則圓弧3c在圓心。處產生的場強大小為（）

A

【答案】B

【詳解】如圖所示，B、C兩點把半圓環等分為三段。設每段在。點產生的電場強度大小均為￡。

段和CO段在。處產生的場強夾角為120。，它們的合場強大小為始,則。點的合場強

E=2E'

則

E'=-

2

F

故圓弧2c在圓心。處產生的場強為春，ACD錯誤，B正確。

故選Bo

變式3.1如圖所示，正電荷q均勻分布在半球面/C3上，球面半徑為夫，CD為通過半球頂點。和球心。

的軸線.尸、"為CD軸線上的兩點，距球心。的距離均為:，在M右側軸線上。'點固定正點電荷。，點

。、河間距離為尺，已知尸點的場強為零，若帶電均勻的封閉球殼內部電場強度處處為零，則”點的場強

為

【答案】C

【詳解】根據尸點的場強為零，得半球面對P點場強和點電荷0對尸場強等大反向，即半球面對尸點場強

大小為

14R2，

方向向右；現只研究半球面，若補全右半球面，根據帶電均勻的封閉球殼內部電場強度處處為零，補全右

半球面后，正電球面在P、M兩點產生的電場強度均為零，由于對稱性，左半球面對初點場強和右半球面

對M點場強等大反向，左半球面尸點場強和右半球面對M點場強等大反向，，即左半球面對“點場強為:

E2=--,

4K2

方向向右，點電荷。對打點場強為

E一也

方向向左，疊加得M點合場強為

E；kQkQ3kQ

3一R24出一4R2

方向向左，故C正確，ABD錯誤。

故選Co

變式3.2如圖所示，在豎直平面內固定個半徑為R的絕緣圓環，有兩個可視為點電荷的相同的帶負電的小

球A和B套在圓環上，其中小球A可沿圓環無摩擦的滑動，小球B固定在圓環上和圓心。的連線與水平

方向的夾角為45。.現將小球A由靜止釋放，則下列說法中正確的有（）

Q

A.小球A運動到圓環最低點。的過程中電勢能先增大后減小

B.小球A速度最大處位于0點的左端

C.小球A恰好可以運動到P點

D.小球到達圓環最低點。時的速度大小為

【答案】D

【詳解】A.小球A、B均帶負電，則根據點電荷的特點可知，B固定，當A、B距離縮短時，電場力做負

功，電勢能增大，反之減小，由圖可知，小球A運動到圓環最低點。點的過程中，與B電荷的距離先增大

后減小，則電勢能先減小后增大，故A錯誤；

B.延長30交圓周與C點，作圖如下

小球在下降過程中，當小球A、B距離增大時，即ZC段，電場力做正功，重力做正功，速度增大，CQ段,

小球A、B距離減小，電場力做負功，重力做正功，尸。段，小球A、B距離減小，電場力做負功，重力做

負功，小球速度減小，則可知小球速度最大處不位于0左邊，故B錯誤；

C.小球在/、尸兩點相比，重力勢能相同，但P點與B球距離更小，則/到P過程電場力做負功，電勢能

增大，則需要有外力做功才能到達尸點，故C錯誤；

D.由圖幾何關系可知，/、。兩點與B小球距離相同，則電勢能相等，則4到。過程中動能增加量等于重

力勢能減少量，可得

12

—=mgR

解得

故D正確。

故選D。

【例4】已知直導線中電流在周圍空間產生的磁感應強度大小為5=左,，左為常量，/為電流強度，r為到導

r

線的距離。b、c、d三根長通電直導線垂直于紙面放置，電流方向如圖所示，ac垂直于6d且aZ尸ad=ac,b、

c、4三根導線中電流強度分別為/、/、21。已知導線c在。點的磁感應強度大小為3,則。點處的合磁感應

強度大小為（）

I

I

I

I

8----------1

I

I

0d

A.MBB.3BC.2y/2BD.不B

【答案】A

【詳解】由于直導線c在。點處的磁感應強度大小為2,又因為b、c、d三根導線中電流強度分別為八/、

21,且==所以直導線6在a點的磁感應強度大小也等于3,而直導線d在a點的磁感應強度大

小等于23,根據安培定則可判斷方向如下圖所示

6和d直導線在a點產生的磁感應強度方向向左，合成后大小為33,。直導線在。點產生的磁感應強度方向

向下，大小為8,根據平行四邊形法則，可知。點的磁感應強度大小為

B合=V（3S）2+B2=410B

故BCD錯誤，A正確。

故選Ao

變式4.1如圖所示，°、6、c為三根與紙面垂直的固定長直導線，其截面位于等邊三角形的三個頂點上，be

連線沿水平方向，導線中通有恒定電流，且/.=4=2/0，電流方向如圖中所示。。點為三角形的中心（。

點到三個頂點的距離相等），其中通電導線c在。點產生的磁場的磁感應強度的大小為物，已知通電長直

導線在周圍空間某點產生磁場的磁感應強度的大小8=打，其中/為通中導線的中流強度，r為該點到通中

r

導線的垂直距離，左為常數，則下列說法正確的是（）

A.O點處的磁感應強度的大小為3瓦

B.。點處的磁感應強度的大小為5瓦

C.質子垂直紙面向里通過。點時所受洛倫茲力的方向由。點指向c

D.電子垂直紙面向里通過。點時所受洛倫茲力的方向垂直Oc連線向下

【答案】A

【詳解】AB.根據右手螺旋定則，通電導線。在。點處產生的磁場平行于歷指向左方，通電導線。在。點

處產生的磁場平行于四指向右下方，通電導線c在。點處產生的磁場平行于成指向左下方；根據公式&

r

可得

功=4=2久=24

根據平行四邊形定則，則O點的合場強的方向平行于。6指向左下方，大小為3片，故A正確，B錯誤；

C.根據左手定則，質子垂直紙面向里通過。點時所受洛倫茲力的方向垂直而連線由c點指向O,故C錯

誤；

D.根據左手定則，電子垂直紙面向里通過。點時所受洛倫茲力的方向垂直湖連線由。點指向。，故D錯

誤；

故選Ao

變式4.2如圖所示，直線電流P和。大小相等，處于磁感應強度大小為3°,方向平行于紙面的勻強磁場中,

P的方向垂直紙面向里；。的方向垂直紙面向外，兩電流在紙面上的位置和M點恰好組成等邊三角形，M

點的磁感應強度為零。若僅把電流。撤掉，則M點的磁感應強度變為（）

P&......................七2

A.大小為Bo,方向與尸河延長線成30。角

B.大小為3°,方向與尸。平行

C.大小為石瓦，方向沿9延長線

D.大小為百瓦，方向與PQ平行

【答案】A

【詳解】設兩導線在河點處的磁感應強度大小為瓦。當P導線中方向向里，0導線中方向向外時，根據安

培定則知兩導線在M點處的磁感應強度方向夾角為120。，合磁感應強度"二穌.如圖所示：

P④-…------

因為M點處的磁感應強度為零，則夕=為，可得，BP=50O若僅把電流。撤掉，則”點的磁感應強度大小

為BP=BO,方向與PM■垂直向右下方，如圖所示:

P宓?e

結合矢量的合成法則，則“點的合磁感應強度為8。，方向與延長線成30。角，A正確，BCD錯誤。

故選Ao

【例5】如圖所示，在x軸上方有勻強磁場，磁感應強度的大小為8,磁場方向垂直xQy平面向里.現有大

量質量為機、帶電量為十夕的粒子，以相同的速率v沿xOy平面從。點射入第一象限，不計重力，不計粒

子間的相互影響.若圖中的陰影部分表示帶電粒子可能經過的區域，其中心黃，則下列選項中正確的是

()

【答案】D

【詳解】粒子在磁場中做勻速圓周運動,以X軸為邊界的磁場，粒子從X軸進入磁場后在離開，速度V與X

mv

軸的夾角相同，根據火==，知沿X軸正軸的剛好進入磁場做一個圓周，沿y軸進入的剛好轉半個周期,

qn

如圖，在兩圖形的相交的部分是粒子不經過的地方.

A.圖像與分析不符，故A錯誤.

B.圖像與分析不符，故B錯誤.

C.圖像與分析不符，故C錯誤.

D.圖像與分析相符，故D正確.

變式5.1如圖所示，水平虛線上方有勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里.大量帶正電的相同粒子，

以相同的速率沿位于紙面內水平向右到豎直向上90。范圍內的各個方向，由小孔。射入磁場區域，做半徑為

R的圓周運動.不計粒子重力和粒子間相互作用.下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經過的區域，其中正

確的是

XXXXXXX

XXXXXXX

XXXXXXX

XXX>^<XX

M..........ON

【答案】B

【詳解】由小孔。射入磁場區域，做半徑為尺的圓周運動，因為粒子帶正電，根據左手定則可知粒子將向

左偏轉，故C錯誤；因為粒子以相同的速率沿位于紙面內水平向右到豎直向上90。范圍內的各個方向發射，

由。點射入水平向右的粒子恰好應為最右端邊界且ON=R；在豎直方向上有最遠點為2R,由。點豎直向上

射入的粒子，打在最左端且距離為M2R,但是左側因為沒有粒子射入，所以中間會出現一塊空白區域，

故B正確，AD錯誤.所以B正確，ACD錯誤.

變式5.2如圖所示，在直角坐標系xoy中，x軸上方有勻強磁場，磁感應強度的大小為8,磁場方向垂直于

紙面向外.許多質量為m、電荷量為+g的粒子，以相同的速率v沿紙面內，由x軸負方向與y軸正方向之

間各個方向從原點O射入磁場區域.不計重力及粒子間的相互作用.下列圖中陰影部分表示帶電粒子在磁

場中可能經過的區域，其中正確的圖是（）

y

X

【答案】D

【詳解】試題分析：粒子在磁場中做勻速圓周運動，以x軸為邊界的磁場，粒子從x軸進入磁場后在離開,

mv

速度V與X軸的夾角相同，根據左手定和夫=二，知沿X軸負軸的剛好進入磁場做一個圓周，沿y軸進入

qB

的剛好轉半個周期，如圖，在兩圖形的相交的部分是粒子不經過的地方，故D正確；

考點：帶電粒子在勻強磁場中的運動

【例6】如圖所示，在邊長為工的正方形的每個頂點都放置一個點電荷。a、6、c三點的電荷量均為+q,d

點的電荷量為-2q,則正方形中點。的電場強度的大小和方向為（）

aQ…Ob

1''、、/I

I\zI

■\z■

?:X。、

■IZZX\I

Izz\；

'zz\?

Q

A.,由。指向6B.,由。指向d

C.,由O指向cD.,由。指向d

【答案】B

【詳解】a、c兩點對稱分布，電荷量相同，故在。點的電場強度相互抵消，b,d兩點對稱分布，但電荷量

不等，在。點的電場強度不能抵消，6點在。點的電場強度為

k-1—二也

（旦￥

2

方向由6到O;4點在。點的電場強度為

72q4kq

k-/=--=——

（旦AL