熱點02方程與不等式

明考情.知方向

中考數學中《方程與不等式》部分主要考向分為五類：

一、一元一次方程（每年1~2道，3~6分）

二、二元一次方程（組）（每年1~2道，3~6分）

三、一元二次方程（每年2~4道，6~12分）

四、分式方程（每年2~4題，6~12分）

五、不等式（組）（每年1~4題，3~12分）

方程（組）與不等式（組）在數學中考中的難度中等，題型比較多，選擇題、填空題、解答題都可以

考察。其中，一元一次方程與二元一次方程（組）一般出在選擇題，難度不大，一元一次方程多考察其在

實際問題中的應用，；二元一次方程組則以計算和應用題為主占分較多。一元二次方程單獨出題時多考察

其根的判別式、根與系數的關系以及在實際問題中提煉出一元二次方程；一元二次方程的計算則主要出現

在幾何大題中，輔助解壓軸題。分式方程的考察內容不多，但基本屬于必考考點，可以是一道小題考察其

解法，也可以是應用題。不等式組是這四個考點中占分最多的一個，考察難度也是可大可小，其解法、含

參數的不等式組問題、和方程結合的應用題都經常考到。雖然該熱點難度中等，一般不會失分，但是組合

出題時，難度也可以變大，復習時需要特別注意。

熱點題型解讀

題型1-元一次方程解法

考向一：一元一次方程題型2實際問題與一元一次方程

題型3二元一次方程組及其求解

題型4實際問題與二元一次方程組

方題型05一元二勸程JIM求解

程題型06一元二次方程的判別式

與

題型07一元二次方程根與系數的關系

不

題型08實際問題與一元二次方程

等

式

題型09分式方期其求解

考向一：一元一次方程

【題型1一元一次方程及其解法】

-0

1.一元一次方程的定義，一個未知數，次數為1的方程。

2.方程的解與等式的基本性質。

3.牢記一元一次方程的解法，移項需要變號，注意系數化為1。

1.（2025?廣東?模擬預測）關于x的一元一次方程x+2〃z=3的解為尤=5,則根的值為（）

A.-1B.1C.4D.-4

【答案】A

【知識點】解一元一次方程（一）一一合并同類項與移項

【分析】本題考查一元一次方程的解和解一元一次方程，把x=5代入一元一次方程，得到關于血的一元一

次方程，即可得到答案.

【詳解】解：團關于X的一元一次方程X+2機=3的解為％=5,

團把x=5代入％+2加=3得：

5+2m=3,

解得：m=—l.

故選A.

2.（2024?廣東佛山?三模）小明做作業時發現方程已被墨水污染：3x+；=2x+■電話詢問老師后知道：方

程的解x=l且被墨水遮蓋的是一個常數.則該常數是（）

3311

A.-B.——C.-D.——

2222

【答案】A

【知識點】方程的解、解一元一次方程（一）一一合并同類項與移項

【分析】此題考查了一元一次方程的解.設被污染的常數回是。，把x=l代入計算即可求出。的值.

【詳解】解：設被污染的常數團是a,

才巴x=1代3xH——2%+a,得1：3H—=2+Q,

22

3

解得。=2，

故選A.

3.（2023?廣東佛山?模擬預測）下面各式的變形正確（）

2%4x—8

A.由——=------5,得6x=4x-8-5B.由0.6x-l=0.3x+0.35,得6x-l=3x+35

39

C.由2x-7=3x+2,得2x—3x=2+7D.由5x+33=—6（x+5）,得5x+33=-6x+30

【答案】C

【知識點】等式的性質

【分析】本題主要考查了等式的性質.解題的關鍵是掌握等式的性質：1、等式的兩邊同時加上或減去同一

個數或式子，等式仍成立；2、等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為0的數或字母，等式仍成立.

根據等式的性質對各選項進行分析判斷后利用排除法求解.

【詳解】解：解：4由號=弓上-5,得18x=12x-24-135,原變形正確，故此選項符合題意；

B、由0.6x-l=0.3x+0.35,得6x-10=3x+3.5,原變形錯誤，故此選項不符合題意；

C、由2x—7=3x+2,得2x—3x=2+7,原變形正確，故此選項符合題意；

D、由5x+33=-6（x+5）,得5x+33=-6x-30,原變形錯誤，故此選項不符合題意.

故選：C

4.（2024?廣東廣州?一模）方程4+2x=0的解為.

【答案】%=-2

【知識點】解一元一次方程（一）一一合并同類項與移項

【分析】根據解方程的基本步驟解答即可，本題考查了解方程的基本步驟，熟練掌握步驟是解題的關鍵.

【詳解】4+2x=0,

2x=Y,

解得％=-2,

故答案為：%=—2.

5.（2024?廣東廣州?中考真題）定義新運算：a?b=\a例如：-2⑥4=（-2）2-4=。，

[一〃+瓦〃>0,

3

2區3=—2+3=1.若%（8）1=——,則1的值為_____.

4

17

【答案】或了

24

【知識點】解一元一次方程（一）一一合并同類項與移項、解一元二次方程一一直接開平方法

【分析】本題考查了一元二次方程的應用，一元一次方程的應用，解題的關鍵是明確新運算的定義.根據

新定義運算法則列出方程求解即可.

【詳解】解：^\a?b=[a

[-a+b,a>0,

3

而x（8）l=——,

4

回①當尤40時，貝|有》2-1=一工，

解得，x=-1；

（2）當尤>0時，-x+l=-I，

7

解得，x

4

17

綜上所述，x的值是或：，

24

17

故答案為：-彳或了.

24

3T-1

6.（2024?廣東廣州?一模）解方程：

2

【答案】x=3

【知識點】解一元一次方程（三）一一去分母

【分析】本題考查了解一元一次方程，根據解一元一次方程的步驟解方程即可求解.

【詳解】解：f-l=x,

去分母得，3x-l-2=2x,

移項得，3x-2x=l+2,

解得：x=3.

【題型2實際問題與一元一次方程】

1、解一元一次方程應用題，遵循5個步驟，其各個步驟的注意事項如下：

步驟要點

“審”（即審題）“審”題目中的已知量、未知量、基本關系；

“設”（即設未知數）一般原則是：問什么就設什么；或未知量較多時，設較小的量，表示較

大的量

“列”【即列方程】找準題目中的等量關系，根據等量關系列出方程

“解”【即解方程】根據一次方程（組）的解法解出方程，注意解方程的過程不需要在解答

中體現

“驗”（即檢驗）檢驗分兩步，一是檢驗方程是否解正確；二是檢驗方程的解是否符合題

非題目要求，此步可以不寫音

“答”（即寫出答案）最后的綜上所述

2、中考中對于一元一次方程的應用題并不會考這么多，多以選擇題出題，也就只考到列方程這步就可以

了。

1.（2024?廣東深圳?三模）粽子作為中國歷史文化積淀最深厚的傳統食品之一，傳播甚遠，最初是用來是祭

祀祖先神靈的貢品.某家庭制作的粽子禮盒每份由6個蛋黃肉粽和4個堿水粽組成.用1千克糯米可做24

個蛋黃肉粽或16個堿水粽，現要用6千克糯米制作粽子，設用x千克糯米制作蛋黃肉粽，恰好使制作的蛋

黃肉粽和堿水粽配套，則可列方程為（）

A.6x24^=4x16（6—x）B.4x24%=6x16（6—x）

C.24x=16（6-x）D.16x=24（6-x）

【答案】B

【知識點】配套問題（一元一次方程的應用）

【分析】本題主要考查了列一元一次方程，審清題意、找準等量關系成為解題的關鍵.

設用x千克糯米制作蛋黃肉粽，則用（6-力千克糯米制作堿水粽，然后根據“粽子禮盒每份由6個蛋黃肉粽

和4個堿水粽組成.用1千克糯米可做24個蛋黃肉粽或16個堿水粽”列方程即可.

【詳解】解：設用x千克糯米制作蛋黃肉粽，則用（6-力千克糯米制作堿水粽，

根據題意得4x24x=6*16（6—x）.

故選：B.

2.（2024?廣東廣州?中考真題）某新能源車企今年5月交付新車35060輛，且今年5月交付新車的數量比去

年5月交付的新車數量的1.2倍還多1100輛.設該車企去年5月交付新車x輛，根據題意，可列方程為（）

A.1.2x+1100=35060B.1.2x-l100=35060

C.1.2（x+1100）=35060D.x-1100=35060x1.2

【答案】A

【知識點】和差倍分問題（一元一次方程的應用）

【分析】本題考查了一元一次方程的應用，找出題目中的數量關系是解題關鍵.設該車企去年5月交付新

車x輛，根據"今年5月交付新車的數量比去年5月交付的新車數量的1.2倍還多1100輛"列出方程即可.

【詳解】解：設該車企去年5月交付新車x輛，

根據題意得：1.2x+1100=35060,

故選：A.

3.（2024,廣東中山?三模）中國古代人民很早就在生產生活中發現了許多有趣的數學問題，其中《孫子算經》

中有個問題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步，問人與車各幾何？其大意是：今有若干人乘車，

每三人共乘一車，最終剩余2輛車；若每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘?問共有輛車?

【答案】15

【知識點】古代問題（一元一次方程的應用）

【分析】本題考查一元一次方程的實際應用，設共有x輛車，根據人數相等，列出方程進行求解即可.

【詳解】解：設共有尤輛車，由題意，得：3（x-2）=2x+9,

解得：》=15；

答：共有15輛車；

故答案為：15.

4.（2024?廣東肇慶?二模）如圖，在VA3C中，=90°,AB=6cm,BC=12cm,動點P以1cm/s的速度從A

向8移動，（不與8重合），動點。以2cm/s的速度從8向C移動，（不與。重合），現P,Q同時出發，則經

過秒后，是等腰三角形.

【答案】2

【知識點】等腰三角形的定義、幾何問題（一元一次方程的應用）

【分析】本題考查了一元一次方程的應用，等腰三角形的定義;可用尤表示出AP=x，P3=6-2x,8Q=2x,

由于/3=90。，當qPBQ是等腰三角形，則只有=一種可能，據此列出一元一次方程，解方程，即

可求解.

【詳解】解：設x秒后，陽。是等腰三角形，則AP=xcm,PB=（6-x）（cm）,8Q=2xcm,

6—x=2x

解得：x=2

故答案為：2.

5.（2024,廣東廣州?二模）某班去研學，有兩種套票可供選擇，已知甲種套票每張80元，乙種套票每張70

元，如果每人只購買其中一種，40名學生恰好用去2900元，那么該班購買甲種套票的張數是.

【答案】10

【知識點】和差倍分問題（一元一次方程的應用）

【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用，設甲種套票買了x張，則乙種套票買了（40-冷張，根據“40

名學生恰好用去2900元”列出方程并解答即可.

【詳解】解：設甲種套票買了x張，則乙種套票買了（40-x）張，

依題意得：80x+70（40-尤）=2900,

解方程得：x=10.

即甲種套票買了10張.

故答案為：10.

6.（2024?廣東肇慶?二模）某件商品進價10元，標價15元，為了迎接國慶節的到來，商店準備打折出售，

計劃每件獲利2元，則該商品應打折出售.

【答案】8

【知識點】銷售盈虧（一元一次方程的應用）

【分析】本題考查一元一次方程的應用.設打無折，用含x的式子表示出售價，再減去進價就是利潤，列出

方程求解即可.

【詳解】解：設打x折，根據題意得

15x--10=2

10

解得x=8

即打8折出售.

故答案為：8.

7.（2024?廣東潮州?一模）把9個整數填入3x3方格中，使每一橫行、每一堅列以及兩條斜對角線上的數之

和都相等，就得到一個三階幻方（即九宮格）.題圖是一個不完整的三階幻方，則其中尤的值是.

X50

【答案】-2

【知識點】數字問題（一元一次方程的應用）

【分析】本題考查了一元一次方程的應用，找到正確的等量關系，列出方程是解題的關鍵.設第2列第二

個數為x,由每一橫行，每一豎列以及兩條斜對角線上的數之和都相等，列出方程，即可求解.

【詳解】解：設第2列第二個數為y,

由題意可得：x+y+4=5+y-3,

解得：x=-2,

故答案為：-2.

8.（2024?廣東云浮?一模）某商場以110元的價格購進某種商品進行銷售，銷售過程中發現.以原售價銷售

5件該商品與打8折銷售9件該商品所獲得的利潤相同，求該商品的原售價.

【答案】該商品的原售價為200元.

【知識點】銷售盈虧（一元一次方程的應用）

【分析】本題考查的是一元一次方程的應用，設該商品的原售價為x元.利用以原售價銷售5件該商品與打

8折銷售9件該商品所獲得的利潤相同，再建立方程求解即可.

【詳解】解：設該商品的原售價為x元.

根據題意,#5（x-110）=9（0.8%-110）,

解得x=200.

答：該商品的原售價為200元.

考向二：二元一次方程組

【題型3二元一次方程組及其求解】

—?

解二元一次方程組有2種方法一一帶入消元法和加減消元法

不管是帶入法還是加減法，目的都在于利用等式的基本性質將二元一次方程組轉化為一元一次方程，所

以做題中也必須注意一元一次方程解法的易錯點。

f3x+4y=19

1.（2024?廣東江門?模擬預測）二元一次方程組c,。的解是（）

[x-2y=3

x=3x=lx=7x=5

A.B.C.D.

y=0y=4y=27=1

【答案】D

【知識點】加減消元法

【分析】本題主要考查解二元一次方程組，運用加減消元法求解即可

3元+4y=19①

【詳解】解:

尤_2y=3②

②義2+①得，5x=25,

解得，x=5,

把x=5代入②得，5-2>=3,

解得，y=i,

[x=5

團方程組的解為1，

U=i

故選：D

f2x—=2Azz-1

2.（2024?廣東汕頭?一模）若關于尤，y的方程組/的解滿足無+>=-4,則4"+2"的值為（

[x—2y=n

A.8B.-C.6D.-6

8

【答案】B

【知識點】已知式子的值，求代數式的值、已知二元一次方程組的解求參數

【分析】本題考查二次一次方程組含參問題，熟練掌握不等式組的解法是解題的關鍵，利用①-②得:

x+y=2m-n-l,即可得到2租_〃=-3,再將4'"+2"=2?"'+2"=2?%",代入即可得到答案.

2x-y=2m-1①

【詳解】解:

x-2y=n?

①一②得：x+y=2m-n-\,

：.x+y=-4f

???2m—n—1=-4,

2m—H=—3,

n1

.47.2〃—22%?2〃—22%一〃

8

故選：B.

+=1

3.（2023?廣東潮州?模擬預測）關于x,y的方程組[心坨的解為

x=-1

【答案】6+i

y=—

【知識點】加減消元法

【分析】①-②，消去.求出X，再把X的值代入②得y值即可.

后+2y=1①

【詳解】解:

x+2y=若②

①-②得：

(6-1卜=1-6

解得：x=-l

把x=—l代入②得：

一l+2y=B解得：y=避土!■

x=-1

團方程組的解為：]6+1

y=--------

12

x=-1

故答案為：，6+1

y=^~

【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的求解.消元法是求解關鍵.

[x=l[ax+by=l

4.（2024?廣東河源?一模）已知.是二元一次方程組.；。的解，貝的值為一.

[y=3\2ax—by=6

【答案】7

【知識點】已知二元一次方程組的解求參數

【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解，把。代入原方程組得C二令，②-①得:

[y=3-3b=8（2）

a-66=7即可.注意整體思想的應用.

x=la+3b-1①

【詳解】解：將代入原方程組得

y=32。-36=8②

②—①得：a—66=7,

回的值為7.

故答案為：7.

x=y+4

5.（2024?廣東廣州?三模）解下列方程組:

4尤+3y=23

x=5

【答案】

y=l

【知識點】代入消元法

【分析】此題考查了解二元一次方程組，熟練掌握方程組的解法是解本題的關鍵.

方程組利用代入消元法求出解即可;

x=y+4①

【詳解】解:

4x+3y=23②'

把①代入②得：4（y+4）+3y=23,

解得：y=i,

把y=i代入①得：尤=5,

x=5

則方程組的解為

y=l

2x-y=-4

6.（2024?廣東廣州?二模）解二元一次方程組:

x+2y=3

x=-l

【答案】

y=2

【知識點】加減消元法

【分析】本題考查了加減消元法解二元一次方程組.利用加減消元法解二元一次方程組進行求解即可.

2x-y--40

【詳解】解:

x+2y=3②'

①x2+②得：2(2x-"y)+x+2y=2x(-4)+3,

解得：x=-l,

將％=一1代入①得：2x(-1)-y=-4,

解得：y=2,

x=-l

故原方程組的解為

y=2

7.（2024?廣東?模擬預測）解方程組:

2x+y=-5

(1)

4x-5y=11

x—25—y

-----------二1

23

(2)

了y+iv

〔0.20.3

x=-l

【答案】⑴

y=-3

9

x=—

2

(2)

17

【知識點】加減消元法

【分析】本題考查了解二元一次方程組.

（1）利用加減消元法進行計算即可；

（2）先將方程組整理成一般式，再利用加減消元法求解可得.

2尤+y=-5①

【詳解】（1）解:

4x—5y=ll②

①x5+②，14%=-14,

解得x=-1,

把％=-1代入①，-2+y=-5,

解得產-3,

(X=-1

回原方程組的解是

8-3

%-25-y

----------------=1

23

(2)解：,，

xy+i_5

.0.20.3

3%+2y=22①

化簡方程組可得,

3x—2y=5②

①+②得，6%=27,

9

解得％=

917

將X、代入②，得,=子,

x=—9

2

團方程組的解為

17.

8.（2024?廣東中山?模擬預測）已知I；［］是方程組的解，求代數式（^與（。一切的值.

【答案】8

【知識點】加減消元法、已知二元一次方程組的解求參數、已知字母的值，求代數式的值

【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解，以及解二元一次方程組，以及代數式求值，先根據二元

一次方程組的解得出新的二元一次方程組，再根據加減消元法求出mb的值，然后代入求值即可.

2。-36=3①

【詳解】解:依題意得方程組

26-3。=-7②

①x3+②x2得-56=-5,

回6=1,

把1Z?=1代入①得。=3；

貝ij（a+b）（a叫=（3+l）（3—l）=4x2=8.

【題型4實際問題與二元一次方程組】

二元一次方程組的應用題解決步驟同一元一次方程應用題解題步驟及注意事項差不多，審題和找等量關

系都是方程類應用題解題的關鍵。通常難度不大，個別時候，二元一次方程組的應用題也可以用一元一

次方程來解。

1.（2024?廣東深圳,模擬預測）九年級女生外出社會實踐，若每間宿舍住6人，則有4人住不下，若每間住

7人，則有1間只住2人且空余8間宿舍.設該年級女生有x人，預安排給女生宿舍有y間，則下列方程組

正確的是（）

6y+4=x6y—4=尤

A<*17（y_8）+2=x

'17（y-8-l）+2=x

6x+4=y[6x-4=y

C.8T+2=尤?17（y-8）-2=x

【答案】A

【知識點】根據實際問題列二元一次方程組

【分析】根據總人數相等構造方程組解答即可.本題考查了方程組的應用，熟練掌握方程組的應用是解題

的關鍵.

【詳解】根據題意，得￡-8-1）+22

故選：A.

2.（2024?廣東深圳?三模）如圖1,"幻方"源于我國古代夏禹時期的“洛書".把"洛書"用今天的數學符號翻譯

出來，就是一個三階幻方、三階幻方中，要求每行、每列及對角線上的三個數的和都相等，小明在如圖2

的格子中填入了代數式，若它們能滿足三階幻方要求，則x+y-3=.

4

H

32x-\

Ml圖2

【答案】-4

【知識點】古代問題（二元一次方程組的應用）

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵.

根據每行、每列及對角線上的三個數的和都相等.列出二元一次方程組，解方程組即可.

【詳解】由題意得:

—l+x+x—y=y—4+x—y

—1+2%—\—x—4

x=-2

解得:

y=l

x+y—3=—2+1—3=—4,

故答案為：-4.

3.（2024?廣東佛山?一模）中國古代以算籌為工具來記數、列式和進行各種數與式的演算.《九章算術》第

八章名為“方程"，其中有一例為：從左到右列出的算籌數分別表示方程

中未知數x,y的系數與相應的常數項，即可表示方程x+4y=23,表示

的方程是.

【答案】x+2y=32

【知識點】古代問題（二元一次方程組的應用）

【分析】本題考查根據圖意列方程，解題的關鍵是讀懂圖的意思.

【詳解】解：根據題知：從左到右列出的算籌數分別表示方程中未知數尤，y的系數與相應的常數項，

一個豎線表示一個，一條橫線表示一十，

所以該圖表示的方程是：x+2y=32.

故答案為：x+2y=32.

4.（2024?廣東?模擬預測）某公司積極響應節能減排號召，決定采購48兩種型號的新能源汽車.已知每

輛A型汽車的進價是每輛B型汽車的進價的1.5倍,購進100輛A型汽車和120輛B型汽車共需5400萬元.每

輛A型和2型汽車的進價分別為多少萬元？

【答案】每輛A型汽車的進價為30萬元，每輛8型汽車的進價為20萬元.

【知識點】其他問題（二元一次方程組的應用）

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，設每輛A型汽車的進價為x萬元，每輛8型汽車的進價為y

萬元，根據題意列出方程組，求解即可，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出二元一次方程組.

【詳解】解：設每輛A型汽車的進價為尤萬元，每輛2型汽車的進價為y萬元，

依題意—，得:"f-Ox=y1.5y』。。,

1=30

解得：仙

答：每輛A型汽車的進價為30萬元，每輛8型汽車的進價為20萬元.

5.（2024?廣東?模擬預測）（綜合與實踐）如圖，某綜合實踐小組在課后利用小球和水做實驗，根據圖中給

出的信息，解答下列問題：

32cm

⑴放入一個小球水面升高一cm,放入一個大球水面升高—Cm；

⑵如果放入10個球且使水面恰好上升到52cm,應放入大球、小球各多少個？

【答案】⑴2,3

（2）應放入大球6個，小球4個

【知識點】有理數四則混合運算的實際應用、其他問題（二元一次方程組的應用）

【分析】本題考查了二元一次方程組解實際問題的運用，二元一次方程組的解法，解答時理解圖的含義是

解答本題的關鍵.

（1）水面升高量除以球的個數即可求解；

（2）可設應放入大球x個，小球y個，根據要使水面上升到26cm,列出方程組，再求解即可.

【詳解】（1）解：（32-26）+3=6+3=2（cm）,

（32-26）+2=6+2=3（cm）；

答：放入一個小球水面升高2cm,放入一個大球水面升高3cm；

（2）解：設應放入大球尤個，小球y個，依題意有

fx+y=10

13%+2y=52-26

x=6

解得:

y=4

答：應放入大球6個，小球4個.

6.（2024?廣東?模擬預測）某校七年級10個班師生舉行傳統詩詞進校園文藝表演，每班2個節目，有詩詞

吟誦與詩詞吟唱兩類節目，學校統計后發現詩詞吟唱類節目是詩詞吟誦類節目數的一半多2個.

⑴七年級師生表演的詩詞吟誦與詩詞吟唱類節目數各有多少個？

⑵該校八年級學生有詩詞編舞節目參與，在詩詞吟誦、詩詞吟唱、詩詞編舞三類節目中，每個節目的演出

用時分別是5分鐘，6分鐘，8分鐘，預計所有演出節目交接用時共花16分鐘.若從14:30開始，17:00之

前演出結束，問參與的詩詞編舞類節目最多能有多少個？

【答案】⑴詩詞吟誦節目有12個，詩詞吟唱節目有8個

⑵3個

【知識點】其他問題（二元一次方程組的應用）、用一元一次不等式解決實際問題

【分析】本題考查了二元一次方程組與不等式的實際應用，根據題意設出未知數，找出等量關系，列出方

程或不等式是解題的關鍵.

（1）設七年級師生表演的詩詞吟誦節目有》個，詩詞吟唱節目有y個，根據"兩類節目的總數為20個、詩

詞吟唱類節目是詩詞吟誦類節目數的一半多2個"列方程組求解可得；

（2）設參與的詩詞編舞節目有。個，根據"三類節目的總時間+交接用時<150”列不等式求解可得.

【詳解】（1）解：設七年級師生表演的詩詞吟誦節目有x個，詩詞吟唱節目有y個，

x+y=10x2

根據題意，得：

y=—x+2

2

x=12

解得:

y=8

答：七年級師生表演的詩詞吟誦節目有12個，詩詞吟唱節目有8個；

（2）設參與的詩詞編舞節目有。個，根據題意，得：12x5+8x6+8a+16<150,

13

解得：

"為整數，

二。的最大值為3,

答：參與的詩詞編舞節目最多能有3個.

7.（2024?廣東深圳?模擬預測）食品安全是民生工程、民心工程.2024年的3?15報道了多家預制菜制作不

規范，存在使用未經嚴格處理的槽頭肉來制作菜品，嚴重侵害了消費者權益.某食品網店以此為警鐘，準

備從正規渠道購進48兩種類型的速食餐進行售賣.已知每份A類速食餐比每份B莢速食餐進價多5元,

購進40份A類速食餐與購進60份8類速食餐的價格相等.

⑴求A、8兩種速食餐的進價分別是每份多少元？

（2）該網店計劃購進A類速食餐若干份.試銷時發現，A類速食餐銷售量y（份）與每份售價相（元）的關系

為丫=-10優+800,若要求A類速食餐每份的利潤率不低于20%,那么該公司將A類速食餐售價為多少時，

獲得的利潤為W最大？最大值為多少？

【答案】⑴48兩種速食餐的進價分別是每份10元和15元

（2）W的最大值為10562.5元

【知識點】銷售問題（實際問題與二次函數）、和差倍分問題（二元一次方程組的應用）

【分析】本題考查二元一次方程組的應用，二次函數的應用，理解題意，正確列出二元一次方程組與二次

函數關系式是解題的關鍵.

（1）設每份A類速食餐的進價是。元，每份8類速食餐的進價是6元，根據每份A類速食餐比每份B物

食餐進價多5元，購進40份A類速食餐與購進60份8類速食餐的價格相等，列出方程組,求

[40。=606

解即可；

（2）根據利潤=每份利潤x銷售量，列出w關于根的函數關系式W=（15）,=（相-15）（-10加+800）,再根

據二次函數的性質求解即可.

【詳解】（1）解：設每份A類速食餐的進價是。元，每份B類速食餐的進價是b元，

依題意得：

[a=b+5

140a=60/

[tz=15

解得一n，

答：A、8兩種速食餐的進價分別是每份10元和15元.

（2）解：依題意：獲得的利潤

W=（ZU-15）y

=（m-15）（-10/w+800）

=-10m2+950〃z—1200

--10（m-47.5）2+10562.5,

由于A類速食餐每份的利用率不低于20%,那么

七絲220%,

15

回機218,

X0y>0,Bp-10m+800>0,

0m<80,

018<m<8O,

0-10<0,

回當機=47.5時，W有最大值，最大值為10562.5,

答：W的最大值為10562.5元.

考向三：一元二次方程

【題型05一元二次方程及其求解】

一元二次方程的解法有4種，重點記憶配方法、因式分解法、公式法。

其中注意事項：

配方法一一需要加上的數字是一次項系數一半的平方的系數為1）,并且先移項，再配方；

因式分解法---重點掌握十字相乘法（常用公式：x2+（^p+q）x+pq=（x+p\x+q））;

公式法一一使用這種解法，必須先分析a、b、c的值，求出/-4“c的值，再帶入公式

1.（2024,廣東廣州?二模）關于y的一元二次方程V=6y的解為（）

A.y=0B.y=6C.必=3,%=6D.%=0,%=6

【答案】D

【知識點】一元二次方程的解、因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查一元二次方程的解，解一元二次方程.掌握用因式分解法求解一元二次方程是解題的關

鍵.

先把方程轉化成一般形式，然后提取公因式y分解因式，把一元二次方程化成一元一次方程，求出方程的解

即可.

【詳解】解：/=6y,

y2—6y=0,

y（y-6）=。，

7i=o,%=6,

故選：D.

2.（2024?廣東中山?模擬預測）如果-3是方程Y+2X+左=0的一個根，則上的值為（）

A.3B.2C.-3D.-2

【答案】C

【知識點】一元二次方程的解

【分析】本題主要考查了一元二次方程的解，將x=-3代入方程/+2x+左=0,求解即可.

【詳解】解：根據題意得：（-3）2+2x（-3）+左=0,

k=—3，

故選：C.

3.（2024?廣東?模擬預測）如果關于尤的一元二次方程62+法+1=。的一個解是尤=i,那么代數式

2023-。-6的值為（）

A.-2023B.2023C.-2024D.2024

【答案】。

【知識點】已知式子的值，求代數式的值、一元二次方程的解

【分析】本題考查了一元二次方程的解、代數式求值等知識點，掌握方程的解是方程成立的未知數的值成

為解題的關鍵.

由題意知，a+b+l=0,則根據2023-。-6=2023-（4+6）,然后代入計算即可.

【詳解】解：回關于尤的一元二次方程以2+法+1=。的一個解是彳=1,

回0+6+1=0,貝l]a+b=-l,

回2023-a-6=2023-（a+6）=2023-（-1）=2023+1=2024.

故選：D.

4.（2024?廣東深圳?中考真題）已知一元二次方程/一3尤+5=0的一個根為1,則心=.

【答案】2

【知識點】一元二次方程的解

【分析】本題考查了一元二次方程解的定義，根據一元二次方程的解的定義，將x=l代入原方程，列出關

于優的方程，然后解方程即可.

【詳解】解：「關于x的一元二次方程三-3犬+根=0的一個根為1，

,x=1滿足一元二次方程尤2一3%+加=0,

1—3+7%=0，

解得，m=2.

故答案為：2.

5.（2024?廣東肇慶?一模）二次項系數為2,且兩根分別為%=1,%=；的一元二次方程為.（寫成

ax2+/zx+c=0的形式）

【答案]2x2—3%+1=0

【知識點】一元二次方程的根與系數的關系、一元二次方程的一般形式

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，一元二次方程的一般形式，根據題意得出

31

%+%2=5，%%2=5,進而根據二次項系數為2,求得dC的值，即可求解.

【詳解】解：團二次項系數為2,兩根分別為王=1,x2=1

,3b1c

團Q=2,X,+X=_=—=-二-

?2222f

團Z?=-3,c=l

回這個方程為：2尤2-3尤+1=0,

故答案為：2x?-3元+1=0.

6.(2024?廣東深圳?模擬預測)若a,b是關于x的方程％2-2獷2026=0的兩個實數根，則/7。-爐.

【答案】2024

【知識點】一元二次方程的根與系數的關系、一元二次方程的解

【分析】根據根與系數關系定理，方程根的定義解答即可.

本題考查了一元二次方程的根與系數關系定理，熟練掌握定理是解題的關鍵.

【詳解】解：13a,b是關于x的方程f-2尤-2026=0的兩個實數根，

回<7+6=2,ab=-2026,a2-2a-2026=0，

回儲—3d—b=cr—2a-a—b=cr—2a—(a+b)

=2026-2=2024,

故答案為：2024.

7.(2024?廣東深圳?模擬預測)解方程：f-7x-8=0.

【答案】占=一1,%=8

【知識點】因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可.

【詳解】解：f_7x_8=0，

(x+l)(x-8)=0,

回％+1=0或x-8=0,

解得：項=-1,々=8.

8.(2024?廣東廣州*二模)解方程：X2-2X-35=0.

【答案】工=7,X2=-5.

【知識點】因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解題的關鍵在于靈活選取適當的方法解

方程.

【詳解】解：x2-2^-35=0,

(x-7)(x+5)=0,

x-7=0或x+5=0,

回玉=7,3=-5.

9.(2024?廣東深圳?模擬預測)解方程：2/+4.丫-11=0.

【答案】占=一1一穹，尤2=一1+與

【知識點】公式法解一元二次方程

【分析】本題考查了解一元二次方程，根據公式法解一元二次方程，即可求解.

【詳解】解：2X2+4X-11=0

2

團a=2,0=4,c=-11,A=Z?—4ctc=16+88=104

2

向-b±y]b-4ac-4±2^/5^

2a4

冷刀汨1^26V26

角牛得：X.=—1--------,=—1H-------

1222

10.（2024?廣東廣州二模）已知兩個多項式4=2尤一3,8=/-工+1.

⑴化簡2B-A；

(2)若2B—A=21,求尤的值.

【答案】⑴214x+5

(2)%=4,%=-2

【知識點】整式的加減運算、因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查了整式的加減，解一元二次方程；

（1）根據整式的加減進行計算即可求解；

（2）根據題意列出一元二次方程，解方程，即可求解.

【詳解】（1）解:S\A=2X-3,B=X2-X+1

回2B-A=2（x?-x+1）-（2x-3）

=2元~—2x+2—2x+3

=2x?—4x+5

(2)02B-A=21

Bi2x2-4x+5-21

回龍？—2x—8=0

I3(X-4)(X+2)=0

解得：xt=4,x2=-2

【題型06一元二次方程的判別式】

a

對于一元二次方程的一般形式：奴2+6x+c=0（aw0）,

⑴Z?2-4ac>。一方程有兩個不相等的實數根

（2）b2-4ac=0—方程有兩個相等的實數根

⑶〃_4acV0—?方程沒有實數根

注意：在應用根的判別式時，若二次項系數中含有字母，注意二次項系數不為0這一條件；

當尸-4ac20時，可得方程有兩個實數根，相等不相等未知

1.（2023?廣東深圳?模擬預測）關于一元二次方程/+5尤+3=0根的情況，下列說法中正確的是（）

A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根

C.沒有實數根D.無法確定

【答案】A

［知識點】根據判別式判斷一元二次方程根的情況

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程依2+法+。=0（。中0）,若

A=b2-4ac>0,則方程有兩個不相等的實數根，若A=〃-4a=0,則方程有兩個相等的實數根，若

A=/?2-4GC<0>則方程沒有實數根.

利用一元二次方程根的判別式求解即可.

【詳解】解：Elx2+5x+3=0

團a=l,b=5,c=3,

團A=Z?2-4tzc=52-4x1x3=13>0,

團方程有兩個不相等的實數根.

故選：A.

2.（2024?廣東汕頭?模擬預測）關于x的一元二次方程/2+3尤_1=（）有實數根，則加的取值范圍是（）

9

A.m<——B.m>——

44

9

C.m>—,m^OD.m>—,mwO

44

【答案】C

【知識點】根據一元二次方程根的情況求參數

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式的應用，掌握一元二次方程根的判別式與根的關系成為

解題的關鍵.

由于關于x的一元二次方程如2+3%_I=O有實數根，由此可以得到機。0,并且方程的判別式20,由此

即可求出加的取值范圍.

【詳解】解：「關于工的一元二次方程如2+3尤_1=0有實數根，

切w0且,二—=9+4m>0,

9

:.m>一一且機wO.

故選C.

3.（2024?廣東云浮?一模）關于x的一元二次方程d—（2%-l）x—2m=0（其中〃?豐-1）的根的情況是（）

A.沒有實數根