易錯03方程（組）與不等式（組）及其應用

易錯集合

「易錯陷阱一、等式的基本性質運用錯誤

廠易錯陷阱二、解分式方程忘檢驗根的存在

廠易錯陷阱三、分式方程增根或無解時易考慮不全面

方程（組）與廠易錯陷阱四、混淆一元二次方程的解法

不等式（組）

及其應用J易錯陷阱五、若二次方程中的二次含參，易忽略o的情況

：易錯陷阱六、忽略韋達定理的應用

J易錯陷阱七、解不等式（組）忽略變號

I易錯陷阱八、已知不等式（組）解集時，端點取舍易錯

h少

易錯陷阱一、等式的基本性質運用錯誤

1、解一元一次方程的一般步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數化為lo

2、等式的基本性質

在等式基本性質中，“=”兩邊同時加、減、乘一個相同的數（或式子）時，大多不會出現問題；但是“=”

兩邊同時除一個相同的數（或式子）時，會容易除反，導致方程的解法最后一步出錯，所以一定要注意不

要除反了。

易錯總結：①等式基本性質反向應用時，不確定c的范圍時，結果不一定成立；

②一元一次方程解法中容易出錯的一些“小陷阱”：

去分母①不含分母的項也要乘以最小公倍數；

②分子是多項式的一定要先用括號括起來

去括號括號外是負因數時，一是要注意變號，二是要注意各項都不要漏乘公因

數

移項移項要變號

合并同類項單獨的一個未知數的系數為“土1”

系數化為1不要顛倒了被除數和除數（未知數的系數作除數一一分母）

例1.解下列方程：

⑴3±=1.

52

/-、%+。.20.2x+1.5

(2)------------------------

0.40.3

Q

【答案】(1"=一,

⑵x=3

【詳解】（1）解：去分母，得2（6x+4）—5（x-2）=10

去括號，得12x+8-5x+10=10,

移項，得12%-5%=10-8-10,

合并同類項，得7x=-8,

Q

系數化為1,得尤=-]:

（2）解：原方程可變為彎生-笥”=L

去分母，得3（5x+l）-2（2x+15）=6,

去括號，得15尤+3-4尤-30=6,

移項，得15x—4x=6—3+30,

合并同類項，得15=33,

系數化為1,得x=3.

例2.已知方程2-％-岸=0的解與關于x方程加-》=3-2彳的解互為相反數，則，"的值是

【答案】4

V-L0

【詳解】解：解方程2-尤-丁=。，得尤=1.

???方程2—-7=。的解與關于X的方程切-％=3—2光的解互為相反數，

???方程加一%=3—2龍的角星為1=—1,

=3—2x(—1),

m+l=5,

m=4.

故答案為4.

易錯警示：要注意運用好等式性質，對每個步驟都做詳細

練習1.解下列方程:

(1)2x—3(^x—l^=7；

x—23x—5.

(2)%-------=-----------3

24

【答案】⑴x=T

⑵％=21

【詳解】（1）解：2x-3（x—l）=7,

去括號，得2%-3%+3=7,

移項、合并同類項，得-尤=4,

系數化為1,得x=-4；

x—23x—5

(2)解：x-—3,

24

去分母，得4x—2（%-2）=3%—5—12,

去括號，得4x—2x+4=3%—5—12,

移項、合并同類項，得-％=-21

系數化為1,得x=21.

練習2.若〃+4與3a-8互為相反數，則〃的值為.

【答案】1

【詳解】由題意可得:

(〃+4)+(3a-8)=0,

解得：a=l.

故答案為：1.

%+1+2(〃+1)

練習3.已知關于x的一元一次方程2x+10-3機=0的解與關于元的一元一次方程=1的解互為

23

9

相反數，求代數式;根-布-1的值.

【答案】15

【詳解】解：V2x+10-3m=0,

2x=3m—10,

3m-10

?9X—f

2

..x+12（n+l）

?----1------=1,

23

/.3（x+l）+4（n+l）=6,

整理得：3x=-l-4n,

—l—4n

..x=----------

3

3m-10-l—4n八

由題意得---------+----------=0,

23

整理得：9m—8〃=32,

—HI-4幾=16,

2

9

：.-m-4n-l=16-l=15,

2

9

即代數式不加-4〃-1的值為15.

2

練習4.若關于1的一元一次方程區=x+2的解為整數，則整數上的所有可能值為

【答案】2,0,3,-1

2

【詳解】解：解方程h=%+2得%=丁二,

K-1

??,方程區=%+2的解為整數，

/.左一1=±1或左一1=±2,

?,?左=2,0,3,—1,

故答案為2,0,3,-1.

易錯陷阱二、解分式方程忘檢驗根的存在

分式方程的解法：①將分式方程化成整式方程（去分母，即等號兩邊同乘以最簡公分母）；

②解整式方程（去括號；移項；合并同類項；系數化為1或其它解法）；

③檢驗：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應該舍去；若不等于零，就是原方程的根。

易錯提醒：要記得將求得的解代入原分式方程，使原方程成立，才可確定為該方程的解.

x3

例3.解方程：-^-=1+—

2x-l2x-l

【答案】x=-2

Y3

【詳解】解：-^-=1+-^-

2%—12%—1

方程兩邊同時乘以最簡公分分母（2x-l）得：x=2x-1+3,

移項合并得：-x=2,

解得：x=—2,

經檢驗，當x=2時，2x-lw0,

.?.%=一2是分式方程的解.

例4.某早餐店一天的“瓦罐湯”的銷售額是2000元,“拌粉”的銷售額是1200元，且這兩種餐品的銷量相同.已

知“拌粉”的單價比“瓦罐湯”的單價少2元，求“拌粉”和“瓦罐湯”的單價.

【答案】“瓦罐湯”的單價為5元，貝獷拌粉”的單價為3元.

【詳解】解：設“瓦罐湯”的單價為x元，則“拌粉”的單價為為-2元,

依題意得出=學,

xx-2

解得x—5,

經檢驗，x=5是原方程的解,

x—2=3,

答：“瓦罐湯”的單價為5元，貝『'拌粉”的單價為3元.

易錯警示：分式方程不管是直接考解法，還是應用題中的解分式方程，都需要驗根;

練習1.解方程：

(2)-------1=-2----------?

x~lx+x—2

【答案】⑴x=0

(2)無解

龍+

【詳解】(1)解：—1——2=1,

x-1x-1

去分母,^#(X+1)2-2=(X-1)(X+1),

整理，得2%=0,

所以％=。.

經檢驗：x=0是原方程的解.

所以原方程的解為：x=0.

X3

⑵解：—--1=^—

x—1x+x—2

x3

原方程可化為：二ri1=(x_i)(x+2),

去分母，得x(x+2)-(x+2)(x-l)=3,

整理，得/+2x—--尤+2=3,

所以x=l.

經檢驗：x=l不是原方程的解.

所以原方程無解.

練習2.某項目室外綠化及道路工程進入收尾階段，參建單位接下來需進行某段路面施工工作，路面全長為

3000米，更改施工方式后工作效率為原來的1.25倍，預計會提前15天完成，則原計劃每天施工多少米？

【答案】原計劃每天施工40米

【詳解】解：設原計劃每天施工x米.

3000,匚3000

---------15=--------,

尤1.25x

解得x=40.

經檢驗，x=40是原方程的解，且符合題意.

答：原計劃每天施工40米.

練習3.從甲地到乙地有兩條公路，一條是全長600千米的普通公路，另一條是全長480千米的高速公路，

某客車在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上行駛的平均速度每小時快45千米，由高速公路從甲地

到乙地所需時間是由普通公路從甲地到乙地所需時間的一半.求該客車由普通公路從甲地到乙地的平均速

度.

【答案】客車由普通公路從甲地到乙地的平均速度為75千米/時.

【詳解】解：設客車由普通公路從甲地到乙地的平均速度為x千米/時，由題意可得，

600?480

-----=2x--------,

xx+45

解得：x=75,

經檢驗一75是原方程的解且符合題意，

答：該客車由普通公路從甲地到乙地的平均速度75千米/時.

17kx?—1

練習4.已知關于犬的方程」1=4的解比多-絲」=2的解多1,求（k+3產的值.

x-11-xx—1X

【答案】25

19

【詳解】解：解方程一--1=--得x=4,

x—11—x

19kx—A

???關于龍的方程」7-1=千的解比々-竺」=2的解多1,

X—11—XX—1X

kxDk_1

...關于X的方程々-2^=2的解為尤=3,

x-1X

,3k2k-lc

??=2,

3-13

解得k=2,

伏+3）2=（2+3）2=25

易錯陷阱三、分式方程增根或無解時易考慮不全面

一、增根：使最簡公分母值為0的未知數的值，整根是整式方程的根，不是原分式方程的根；

二、無解：不論未知數取何值，都不能使方程兩邊的值相等；

易錯提醒：對分式方程的增根和假根概念理解不透徹，如在增根或假根處無法正確判斷，導致求解過程出

現問題

例5.如果關于尤的分式方程上7=2+/無解，則a的值為（）

x-44-x

A.—4B.《C.2D.—2

【答案】A

【詳解】隗c=2a+---

4-x

解：去分母得：x=2（x-4）-a

角舉得x=a+8.

當分母兀一4=0,即x=4時方程無解,

a+8=4.

a=-4時方程無解.

故選：A.

例6.若關于x的分式方程」■——=1有增根，則機的值為（）.

x-11-x

A.2B.1C.3D.-3

【答案】D

【詳解】解：方程去分母，得：m+3=x-l,

??,方程有增根，

/.兀―1=0,

??X-IL,

把％=1代入m+3=%-1,得：m+3=l-l,

/.m=—3；

故選D.

易錯警示：無解有兩種情況，需考慮全面：①原方程化去分母后的整式方程無解；②原方程化去分母后

的整式方程有解，但這個解卻使原方程的分母為0,它是原方程的增根，從而使原方程無解

,_______________________________________________________________________________________________________I

練習1.若關于X的方程2三-9TYI-=2的解為正數，則加的取值范圍是（）

x-33-x

A.m>-8B.機<8且機w4

C.相>—8且加*3D.m>—8且根W—2

【答案】D

【詳解】解：解之一/-=2,得：x=絲芋，

x-33-x2

???關于X的方程32-4m=2的解為正數，

x-33-x

x>0,且X-3H0,

>-8且oiw-2；

故選D.

11+k

練習2.若分式方程一^-二=1無解，則％的值為（）

無一22-尤

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】B

11k

【詳解】解：三一-二】，

化為整式方程：1+1+左=x—2,

:分式方程無解，則x=2,

「.1+1+左—2—2,

解得：k=-2f

故選：B.

練習3.若關于x的分式方程-1=4的解為正數，則加的取值范圍是（）

x-11-x

A.機<4且加#3B.m<4C.且帆片3D.m>5且相。6

【答案】A

【詳解】解：方程兩邊同時乘以1-1得，1-機-（x-1）+2=0,

解得％=4—m.

;尤為正數，

:.4-m>0,解得機<4.

xw1,

.*.4—,即加工3.

m

?*-的取值范圍是m<4且加。3.

故選：A.

練習4.若關于x的方程==工有增根，則a的值為（）

x-1x-1

A.2B.0C.-1D.-2

【答案】D

xn

【詳解】解：一—3=三，

x-1x-1

方程兩邊都乘以：x-l得:x-3=a,

??,分式方程有增根，

/.x-l=O,即x=l

將1=1代入整式方程，得：l—3=a,即a=—2.

故選：D.

易錯陷阱四、混淆一元二次方程的解法

一元二次方程的解法有4種，不同解法的適用范圍也各不相同，準確選擇合適的解法解對應的方程，可以

更快速的求出方程的解，也可以減少一些解法中的易錯點。而在這些解法中，配方法、公式法、利用十字

相乘因式分解法是必須掌握的。

易錯總結：一元二次方程的解，要么無解，有解必有2個，所以最后的方程的解一定要寫明看,與

例7.一個直角三角形的兩條直角邊的長，是一元二次方程爐-7元+5=0的兩個實數根，則這個直角三

角形的斜邊長為.

【答案】V39

【詳解】解：,??一個直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程二一7彳+5=0的兩個實數根，

由公式法解一元二次方程Y-7元+5=0可得x=2叵或x=Zz恒，

22

???根據勾股定理可得直角三角形斜邊的長是J乃：空［+上汽］=739-

故答案為：回.

例8.解方程：

(l)9(y+4)2-49=0

(2)%(2%-3)=4%-6

⑶9%2+6%—1=0

(4)3d+x—5-0

519

【答案】⑴X=-§,%=-"-

3-

(2)%二八，人2-乙

2

-1+72-1-42

(3)再二------,x=

3-223

-1+V61-1-761

(4)玉=-------=

6-26

【詳解】(1)解：9(y+4『=49,

(y+4)V

7

y+4=±§,

.519

??Ld；

(2)解：x(2x-3)=4x-6,

%(2x-3)-2(2x-3)=0

(2x-3)(x-2)=0,

2x—3=0或x—2=0,

(3)解：99+6x—1=0,

9f+6x+1=2,

(3尤+1)2=2,

3x+l=±V2，

.-1+V2-1-V2

；

(4)解：3%2+X-5=0,

*.*a=3,b=l,c=—5,

??.A=/—44c=12—4x3x(-5)=61>0,

.—b±y/b2-4ac—1±A/61

??x=-----------------=------------,

2a6

.-1+屈-1屈

16-6

練習1.解下列方程：

(l)4(x+l)2-9(x-2)2=0；(開平方法)

(2)_?-4X+2=0.

【答案】(1)%=7,%=1

(2)%=2+5/2,X。=2—V2

【詳解】(1)解:4(x+=9(x—2)2.

2(x+1)=±3(%-2),

2x+2=3x—6或2x+2=—3x+6,

/.2%—3x=—2—6或2x+3x——2+6

(2)解：尤2一4X+2=0,

移項得，x2-4x=-2)

酉己方得尤2一4元+4=—2+4,

即(x-2y=2,

x-2=x-2=-*\f2.，

解得%=2+A/5,x2=2-^2.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解法——直接開平方和配方法，解決此題的關鍵是要熟練掌握解

一元二次方程的各種方法，進而選擇最優的方法解決問題.

練習2.下面是小華利用配方法解一元二次方程的過程，請認真閱讀并完成相應的任務.

解：X2+4X-5=0.

移項，得爐+4彳=5..................................第一步

配方，得V+4X+16=5+16,即(X+4)2=21...........第二步

由此，可得彳+4=±后...................................第三步

；.X[=y/21-4,x2=-y/21-4..............................第四步

請完成下列任務：

(1)上述小華同學的解法中，第一步運算的依據是,其中，“配方法”所依據的數學公式是

(填“完全平方公式”或“平方差公式”)

(2)小華同學利用配方法解題過程中，從第步開始出現錯誤，請寫出正確的解題過程.

【答案】(1)等式的基本性質，完全平方公式

(2)二，解題過程見解析

【詳解】(1)解：上述小華同學的解法中，第一步運算的依據是等式的基本性質，其中“配方法”所依據的數

學公式是完全平方公式.

故答案為：等式的基本性質，完全平方公式；

(2)解：小華同學利用配方法解題的過程中，從第二步開始出現錯誤，正確的解法如下：

x2+4x-5=0，

移項，得f+4x=5,

配方，得爐+4彳+4=5+4,

即（x+2>=9,

可得x+2=±3,

..玉=1,無2=-5.

故答案為：二.

練習3.方程/+彳=0的根是.

【答案】%=0,%2=-1

【詳解】解：%2+x=0,

x(x+l)=0,

x=0或x+l=0,

解得X]=0,x2=-1,

故答案為：占=。，X2=-1.

練習4.已知。。的半徑是一元二次方程/一2%-3=0的一個根，圓心O到直線I的距離d=2,則直線/與。。

的交點個數為()

A.1個B.2個C.沒有交點D.不能確定

【答案】B

【詳解】解：.?,/-2犬-3=0,

(x-3)(x+l)=O,

x

解得i=3,x2=-1,

。。的半徑是3,

3>2,

???直線/與。。的位置關系是相交，

直線/與。。有2個交點，

故選：B.

易錯陷阱五、若二次方程中的二次含參，易忽略為0的情況

一、一元二次方程的一般形式：以2+〃x+c=0(aw0),其中是二次項，。是二次項系數；法是一次

項，〃是一次項系數；c是常數項

二、求解方程過程中需滿足等式的性質：等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等

易錯提醒：不要忽略一元二次方程二次項系數不為零這一隱含條件

例9.已知關于X的方程。九-1.2一（機一2卜-2租=0,求證：無論加為何值，方程總有實數根.

【答案】見解析

【詳解】解：①當加一1=0時，即機=1,

代入方程得x-2=0,解x=2,

②當7〃一1片0時，△=[—（一—2）丁一4（加—1）x2一=（3一一2『,

???（3/71-2）2>0,此時方程總有實數根.

綜上所述，無論機為何值，方程總有實數根.

例10.若方程（“+3）/卜|-尤=2是關于苫的一元二次方程，則a的值為（）

A.-3B.3C.±3D.不存在

【答案】B

【詳解】解：\?方程（a+3）J"Z-x=2是關于x的一元二次方程，

.".時-1=2且a+3Ko,

解得。=3,

故選：B.

；易錯警示：若忽略二次項系數，則可能得到一元一次方程，再用二次方程的方法求解就會出錯

練習1.關于天的一元二次方程區2一4》-2=0有實數根，則上的取值范圍是（）

A.k>-2B.k>-2S.k^0C.左2—2且％*0D.k<-2

【答案】C

【詳解】解：由題意，得：△=（T）2-（-2）X4左20且左甘0,

角軍得：k>—2S.k^0；

故選C.

練習2.已知關于x的方程62+2%_1=0有實數根，貝。。的取值范圍是（）

A.a>—1B.aN—1C.a>—1月D.aN—1月.

【答案】B

【詳解】解：關于x的方程62+2犬_1=0有實數根，

.?.當a=0時，2%-1=0,是一元一次方程，

解得，x=1,符合題意；

當。力0時，OX2+2X-1=0,是一元二次方程，

AA=22-4OX(-1)>0,

解得，<7>-1,符合題意；

綜上所述，當時，關于X的方程依2+2x-l=0有實數根，

故選：B.

練習3.若事件“關于無的方程依2+4犬_1=0有實數根”是必然事件，則。的取值范圍是()

A.a<-4B.■且分0

C.D.且。片0

【答案】C

【詳解】解：???事件“關于》的方程加+4元-1=0有實數根”是必然事件，

關于x的方程加+4x-1=0有實數根，

①當。=0時，原方程為4x-1=0,

此時方程的解為x=符合題意，

4

②當〃w0時，

方程g?+4%-1=0有實數根，

AA=42-4x(-l)tz>0,

解得

二?a2T且，awO

綜上，a>-4,

故選：C.

練習4.若關于元的一元二次方程"2+2%—2=0有兩個實數根，則實數上的取值范圍是()

A.k<--B.左〉一」且左w0

22

C.kN—且左w0D.k>—且左w0

24

【答案】C

【詳解】解：.??關于X的一元二次方程近2+2尤一2=0有兩個實數根，

二?左W0且AN0,,即4—4xkx（—2）之0,且左w0,

角牟得左2—萬■且左w0,

故選：C.

易錯陷阱六、忽略韋達定理的應用

b

%+%2=----

一a

韋達定理：若4工2是一元二次方程〃/+以+。=0（〃。0）的根，則有＜

c

+%2~—

a

易錯總結：兩根之和、兩根之積公式比較相似，不要用反了

。11C

例11.若關于1的一元二次方程f+2x+p=0兩根為耳、X2,且：+丁=3,則P的值為（）

22

A.—B.-C.—6D.6

33

【答案】A

【詳解】解：?關于x的一元二次方程Y+2x+0=O兩根為4、9，

/.xl+x2=-2,xxx2=p,

11

—H----=3,

%x2

.石+工2

石馬

-2

即b=3,

2

解得：P=~~.

故選：A.

例12.已知方程f+（2左+l）x+左—1=。的兩個實數根網,超滿足國-％=4左-1,則實數上的值為（）

14

A.1,—B.1,—C.—3,0D.1,0

33

【答案】A

【詳解】解：方程爐+（2左+l）x+Z-1=。的兩個實數根為4，x2；

則xl+x2=—Qk+1）,xTx2=k-1.

Q（X]-無2）2=（無1+尤2）2-4元]尤2，％-尤2=4左一1,

（4左-1）2=[-（2k+1）]2-4（左-1）,

（4k-1）2-（2k+1）2+4（fc-1）=0,

即（4左一1+2左+1）（4左一1一2/一l）=-4/-l）,

二.6后（2左一2）+4（左一1）=0,

.?.（左_1）（12左+4）=0,

解得左=1或一g.

故選：A.

；易錯警示：需觀察所求的式子是否跟韋達定理有關，若有關，可大大減低計算難度

練習1.若a,6是關于x的一元一次方程V—2辰+4人=0的兩個實數根，且/+〃=12,則上的值是

【答案】-1

【詳解】解：：?、b是關于x的一元二次方程f-2履+4左=0的兩個實數根，

：.A=（-2k）2-4xlx4k=4左2-16Z20,

a+b=2k,ab=4k,

a2+b2

=（a+b）~—2ab

=（2左y_2x4左

=4左2一次，

/.4k2-8k=12,

解得尤=T,心=3,

當左=T時，

△=4%2-i6左

=4X（-1）2-16X（-1）

=20>0,

...左=T符合題意;

當心=3時,

A=4左2-16左

=4x32—16x3

=-12<0,

???&=3不符合題意，應舍去；

綜上，上的值是—1.

故答案為：-1.

練習2.已知x”%是方程元2—3尤_]=o的兩個實數根，貝[]（芯-2）（%-2）=.

【答案】-3

【詳解】解：：占、%是方程/一3%-1=0的兩個實數根，

hr

.??由根與系數的關系得：X+X=--=3,x=-=-l,

12aXl2a

/.（再一2）（々-2）=平2—2（石+々）+4

=—1—2x3+4

=-3；

故答案為：-3.

11

練習3.若不、%是方程f―3%-4=0的兩個實數根，則代數式,十7的值為—.

【答案】-43

4

【詳解】解：???馬、/是方程f—3x-4=0的兩個實數根，

%+%2=3,x1x2=—4,

1]_%+玉_3_3

%x2x1x2-44?

3

故答案為：-

4

練習4.已知W是方程f-5%+2=0的兩個不相等的實數根，貝!JZ7?一4根+〃+根〃=

【答案】5

【詳解】解：,??引〃是方程%2—5%+2=0的兩個不相等的實數根，

22

Am-5m+2=0,BPm-4m=m-2;m+n=5,mn=2f

m2—4m+n+mn=m—2+n+mn=m+n+mn—2=5+2—2=5.

故答案為：5.

易錯陷阱七、解不等式（組）忽略變號

不等式的基本性質3：不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變;

不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變

易錯總結：注意乘（除以）一個負數，要記得變號

例13.解不等式：-2（x-l）>x+5.

【答案】x<-l

【詳解】解：-2（x-l）>x+5,

去括號，得—2.x+2>x+5，

移項，得—2x—x>5—2,

合并同類項，得-3x>3,

系數化為1，得x<-l.

例14.學校圖書館每年都會購買一批新的圖書，去年購買的圖書中，每套科技書的單價比每套文學書的單

價多20元，用3600元購買的科技書與2400元購買的文學書的套數相等.

（1）求去年購買的每套文學書和科技書的單價各是多少元？

（2）若今年每套科技書的單價提高到80元，每套文學書的單價與去年相同，該校今年計劃再購買文學書和科

技書共180套，每種書籍至少買50套，且購買科技書和文學書的總費用不超過12000元，該校今年至多可

購買多少套科技書？

【答案】（1）學校去年購買文學書的單價為每套40元，科技書的單價為每套60元

（2）120套

【詳解】（1）解：設去年購買文學書的單價為每套x元，則每套科技書的單價為（x+20）元.

36002400

由題意得:解得：x=40,

x+20x

檢驗：當x=40時，x（x+20）^0,且符合題意,

則每套科技書的單價為：x+20=60（元），

答：學校去年購買文學書的單價為每套40元，科技書的單價為每套60元.

（2）解：設今年學校購買科技書根本.

80/?i+40（180-m）<12000

由題意得：，"止50,

180-m>50

A50<m<120,加為整數,

答：學校今年至多可購買120套科技書.

2x+4>0

練習1.不等式組的解集是.

4-2x<-l

【答案】%>|

2x+420①

【詳解】解:

4-2x<-l②

解不等式①，得x?-2,

解不等式②，得x>|,

.??不等式組的解集為

故答案為：x>^

,\2X>~1

練習2.先化簡，再求值：r——1+2、；，其中X的值從不等式組x-l的正整數解中選取.

（x+xjx+2x4-1------<

I2

【答案】-----，—2.

X-Y

XX-1

【詳解】解:

X2+X"X2+2X+1

X2+X1(x+l『

Xx________

x(x+l)x(x+l)____+

(x+l)2

x(x+l)+

x2(x+1)2

______x______-__

x(x+l)+

X

x-1

x>-1

由,冗-1解得：一1<1<3,

-<1

I2

???正整數解為1,2,

Vx-1^0,

x=2,

2

當x=2時，原式=-----二一2.

2-1

練習3.某商場計劃購進甲、乙兩種空調共50臺，這兩種空調的進價、售價如下表所示:

類型進價（元/臺）售價（元/臺）

甲23002800

乙33004000

⑴若該商場此次進貨共用去13萬元，則這兩種空調各購進多少臺；

（2）若商場規定每種空調至少購進10臺，并且在當月全部銷售完，應怎樣進貨才能使商場在銷售完這批空調

時獲利最多，并求出最大利潤.

【答案】（1）購進甲空調35臺，購進乙空調15臺

⑵購進甲空調10臺、乙空調40臺才能使商場在銷售完這批空調時獲利最多，最大利潤為33000元

【詳解】（1）解：設購進甲空調x臺，購進乙空調y臺.

x+y=50

根據題意，得

2300x+3300y=130000,

X=35

解得

y=15

答：購進甲空調35臺，購進乙空調15臺.

（2）設購進甲空調機臺，則購進乙空調（50-根）臺.

fm>10

根據題意，得力

[50-7〃>10

解得10VmV40.

設獲得的總利潤為卬元，則W=(2800-2300)m+(4000—3300)(50-=-200m+35000,

V-200<0,

...W隨m的減小而增大,

V10<m<40,

,當根=10時，W的值最大，唉大=-200x10+35000=33000,

50-10=40(臺).

答：購進甲空調10臺、乙空調40臺才能使商場在銷售完這批空調時獲利最多，最大利潤為33000元.

練習4.南充有傳統民俗村在發展旅游經濟過程中，村民制作并銷售多種特色手工藝品.其中一種制作一件

的原材料成本為15元，經前期市場調研發現，當售價為每件整數x元(20<40)時，每日的銷售量y(件)

與售價x之間滿足函數關系>=-5尤+200,同時，每日還需額外支出固定的場地費等共200元.

(1)求這種工藝品每日的利潤W(元)與x之間的函數關系式；

(2)當這種工藝品售價為多少元時，每日的利潤最大？最大利潤是多少？

(3)原材料購買費用每日不超過1000元，若每日利潤不低于550元，銷售單價應定在什么范圍內？

【答案】(1).=-5￡+275彳-3200

(2)當x=27或x=28時，每日的利潤最大，最大利潤為580元

⑶銷售單價應定在27WxW30范圍內

【詳解】(1)解：由題意得，每日的利潤w=(x-15)(—5x+200)—200=-5f+275彳-3200.

(2)解：由題意，由(1)W=-5X2+275X-3200,

275

二對稱軸是直線》=-云有=27$,拋物線上的點離對稱軸越近函數值越大.

XV20<x<40,且x為整數，

.,.當x=27或x=28時，每日的利潤最大，最大利潤為580元.

(3)解：由題意，w=-5x2+275^-3200,

/.x=25或x=30.

?:每日利潤不低于550元，

25W30.

又?.?原材料購買費用每日不超過1000元，

/.15(-5x+200)=-75x+3000<10000,

2

:.x226—.

3

又：25VXW30,

27<x<30.

答：銷售單價應定在27MXV30范圍內.

易錯陷阱八、已知不等式（組）解集時，端點取舍易錯

易錯總結：已知不等式組的解集情況求參數時，需要驗證臨界值是否符合條件，符合則可以取到否則舍棄

廣”的解集為X>2，且關于y的分式方程如?士

例15.已知關于x的一元一次不等式組

解為正整數，則滿足條件的所有整數。的乘積為

【答案】8

3(3-X)-1<KD

【詳解】解:

x+2>a?

解不等式①得：x>2,

解不等式②得：x>a—2,

.不等組的解集為x>2,

a-2<2,解得a<4,

解分式方程@二1=1-―一得：丫=二，

y-33-ya-1

?.?分式方程的解為正整數，

------>0kl.———w3,

a—1CL—1

。=2或。=4或〃=7,

Va<4f

/.。=2或4,

???所有整數。的乘積為2x4=8.

故答案為：8.

{3x—a>2x

例16.若關于犬的不等式組。「八有3個整數解，則。的取值范圍是

【答案】2<a<3

【詳解】解：解不等式組得：a<x<^-,

；該不等式組有3個整數解,

???整數解為5,4,3,

2<a<3；

故答案為：2<aV3

fx>0

練習1.不等式組的解集為無>。，請你寫出一個符合條件的。的值:

[尤>4

【答案】1（答案不唯一）

fx>0

【詳解】解：..?關于X的不等式組的解集是x>“，

\x>a

:.a>0

的值可以是1.

故答案為：1（答案不唯一）.

Ix-a>0

練習2.若關于x的不等式組一,、,的所有整數解的和是9,則〃的取值范圍是—.

[17—3x25

【答案】或-24av-l

fx—a>0

【詳解】解：解不等式組r。、<,

[117-3%25

角軍得：a<x<4,

??,所有整數解的和是9,且9=4+3+2或9=4+3+2+1+0+（-1）,

???不等式組的整數解為①4,3,2或②4,3,2,1,0,-1,

.\l<a<2或-2<<2<—1；

故答案為：l<a<2^-2<a<-l.

-x-+-3>、x—I1

練習3.如果關于x的不等式組2-有且只有5個整數解，則符合條件的所有整數。的和為

3x+6>。+4

【答案】9

【詳解】解：由苫得XV5,

a—2

由3x+6>a+4,x>—,

???關于X的不等式組有且只有5個整數解，

,這5個整數解是I,2,3,4,5,

3

解得：2<a<5,

.??滿足條件的整數〃的值為2,3,4,

「?符合條件的所有整數。的和為9,

故答案為：9.

fx+9<5x+l

練習4.不等式組的解集是尤>2,則加的取值范圍是（）

Ix>m+1l

A.m<2B.m^2C.mWlD.m>l

【答案】C

【詳解】解：解不等式x+9v5%+l,

可得：x>2,

fx+9<5x+l

??,原不等式組?的解集是x>2,

Ix>m+1

m+1<2,

解得：機,

故答案為：C.

1.若x=l是關于x的方程力-1=Z7一—Y的解，貝!的值是（）

2

A.-B.—C.4D.5

22

【答案】D

【詳解】解：由題意得，3x1-1==1,

2

解得〃=5,

故選：D.

2.若關于x的方程（加-1）鏟刊+3x-2=0是一元二次方程，則根的值為（）

A.1B.3C.-3D.1和3

【答案】C

【詳解】解：?關于尤的方程（加-1）一利+3%-2=0是一元二次方程，

「Jm+1|=2且用一1wO,

解得：根=-3,

故選:：C.

21

3.方程」v=一三的解是（）

x+1x-\

A.x=3B.x=0C.x=lD.無解

【答案】A

【詳解】解：方程兩邊同時乘以（x+D（xT）,得2（x—l）=x+l,

去括號，得2x-2=x+l,

移項合并同類項，得x=3,

檢驗：當x=3時，（x+l）（x—1）。。,

.,.%=3是原方程的解,

故選：A.

x<a.

4a

4.若關于X的不等式組"-1t元+1至少有4個整數解，且關于y的分式方程--+-=1的解是非負

------+1>-----y-22-

123

數，則符合條件的所有整數。的和是（）

A.17B.20C.22D.25

【答案】B

X<4①

【詳解】解：不等式組X-11%+1e，

I23

由①得：