專題11反比例函數過關檢測

(考試時間：90分鐘，試卷滿分：100分)

一.選擇題(本題共10小題，每小題3分，共30分)。

1.下列各點在反比例函數y=9的圖象上的是()

A.(2,3)B.(2,4)C.(3,4)D.(-1-3)

【答案】A

【分析】本題考查判斷給出各點是否在反比例函數的圖象上，只需將各選項坐標代入驗證即可.

【詳解】A.；2X3=6,???點在反比例函數y=g的圖象上，符合題意；

B.「2X4K6,.?.點不在反比例函數y=9的圖象上，不符合題意；

C.；3x4A6,.,.點不在反比例函數y=《的圖象上，不符合題意；

D.「(—1)x(—3)力6,.?.點不在反比例函數y=9的圖象上，不符合題意；

故選：A

2.反比例函數y=i的圖像與正比例函數y=2%的圖像的一個交點為(1,2),則另一個交點是()

A.(-1,-2)B.(-2,-1)C.(-1,2)D.(2,1)

【答案】A

【分析】本題主要考查了正比例函數和反比例函數的交點問題，根據兩個交點關于原點對稱解答即可.

【詳解】解：:正比例函數y=2%和反比例函數y=i的一個交點為(1,2),

,另一個交點與點(1,2)關于原點對稱，

另一個交點是(一1,一2).

故選：A.

3.如圖，休閑廣場上有兩個小朋友在玩蹺蹺板.已知妙妙小朋友的體重為20kg,坐在距離蹺蹺板支點的

1.5m處，明明小朋友的體重為xkg,距離蹺蹺板支點的距離為ym.根據杠桿平衡原理(動力x動力臂=阻

力x阻力臂)，若要使蹺蹺板保持水平，貝。與%應滿足的關系式為()

X

A-y=30xB.y=^

30

C.y=—D.y=%+30

【答案】c

【分析】本題考查了反比例函數的應用，解答本題的關鍵要學會利用反比例函數解決實際問題.

根據妙妙的體重與妙妙到蹺蹺板支點的距離之積等于明明的體重與明明到蹺蹺板支點的距離之積求解

即可.

【詳解】解：由題意，得：xy-20x1.5,

30

故選：C.

4.已知點N（久2,%）在反比例函數y=嚏的圖象上，若％1<。<犯，則有（）

A.yi<0<y2B.y2〈0<yi

c<0

-yi<yiD.o<yi<y2

【答案】A

【分析】本題考查了反比例函數的圖象與性質，反比例函數y=：體是常數,k70）的圖象是雙曲線，當k>0,

反比例函數圖象的兩個分支在第一、三象限；當k<o,反比例函數圖象的兩個分支在第二、四象限.根

據反比例函數的性質，結合勺<o<犯即可得出答案.

【詳解】解：???2>0,

???反比例函數圖象分布在一三象限.

<0<%2，

<0,y2>0,

???yi<0<y2.

故選：A.

5.已知反比例函數y=-1，下列說法錯誤的是（）

A.當x<0,y的值隨x值的增大而增大

B.圖象必經過點（1,2）

C.圖象是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形

D.圖象分別位于第二、四象限內

【答案】B

【分析】本題考查了反比例函數的圖象和性質，熟練掌握反比例函數圖象和性質是解題的關鍵.根據反

比例函數的圖象和性質，可對各個選項進行分析，判斷對錯即可.

【詳解】解：A、:-2<0,.?.每個象限內y隨著x的增大而增大，故本選項正確，不符合題意；

B、當％=1時，y=-2,所以圖象必經過點（1,一2），故本選項錯誤，符合題意；

C、反比例函數y=-：圖象是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項正確，不符合題意；

D、「-ZVO,??.圖象分別位于第二、四象限內，故本選項正確，不符合題意；

故選：B.

6.如圖，關于x的函數y=$（k力0）和y=k￡-k，它們在同一坐標系內的圖象大致是（）

【分析】本題考查反比例函數的圖象、一次函數的圖象，解答本題的關鍵是明確題意，利用分類討論的

數學思想和數形結合的思想解答.

根據題意和函數圖象的特點，利用分類討論的數學思想可以解答本題.

【詳解】解：當k>0時，函數y=的圖象在第一、三、四象限，反比例函數y=g的圖象在第一、

三象限,

故選項B正確，選項C錯誤;

當k＜0時，函數y=依—k的圖象在第一、二、四象限，反比例函數y=9的圖象在第二、四象限，故選

項A,D錯誤；

故選：B.

7.如圖，是反比例函數y=?和＞=?（的＜的）在第一象限的圖象，直線ABIIx軸，并分別交兩條雙曲線于

/、8兩點，若S7OB=3，則七一七的值是（）

【答案】B

【分析】本題考查了反比例函數比例系數人的幾何意義，解答時注意觀察圖中三角形面積關系以構造方

程.應用反比例函數比例系數人的幾何意義，表示△BOC、△AOC的面積，利用SA80C—S&40C=SaAOB

構造方程即可.

【詳解】解：由反比例函數比例系數左的幾何意義可知，SABOC=*2,SAAOC=%I，

??$△80。--S4AOB~3，

以2-?1=3，

-,?k2~k1=6；

故選：B.

8.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=x+2的圖象與反比例函數y=i的圖象分別交于M,N兩

點.根據圖象信息，可得關于X的不等式x+225的解集為（）

A.x>1B.—3<x<>1

C.%<-3D.x<-3^-3<%<0

【答案】B

【分析】本題考查了反比例函數與一次函數的交點，解題的關鍵是利用數形結合思想，準確識圖.

根據圖象可知，x+229的解集是一次函數圖象在反比例函數圖象上方對應的x的取值范圍.

【詳解】解：由圖可知：當-3W比<0或xNl時，一次函數圖象在反比例函數圖象上方，

二關于x的不等式久+22J的解集為-3<x<0或x>1-

故選：B.

9.如圖，物理實驗課上小明設計了一個探索杠桿平衡條件的實驗，在一根質地均勻的木桿中點。處用一根

細繩掛在支架上，在點。的左側固定位置B處懸掛重物4在點。的右側用一個彈簧測力計向下拉木桿，

使木桿達到平衡（杠桿平衡時，動力x動力臂=阻力x阻力臂）.改變彈簧測力計與點。的距離久（cm），

觀察彈簧測力計的示數y（N）的變化情況，實驗數據記錄如下：

觀察表中的數據，當彈簧測力計與點。的距離x為40cm時，彈簧測力計的示數y的值是（）

A.5B.7.5C.10D.120

【答案】B

【分析】本題主要考查了反比例函數的應用，依據題意，根據表格數據求出y與x的函數關系，求出解析

式，將x=40代入即可.

【詳解】解：觀察表格數據可得，y與久成反比例函數關系，設y=g

.*.fc=10x30=300.

函數為y二平

當Wx=40時，y=-300=^30-0=r7.L5

彈簧測力計的示數y的值是7.5.

故選：B.

10.如圖，尸是反比例函數yi=g（x>0）的圖象上一點，過點尸分別作x軸、〉軸的平行線，交反比例函數

4

>2=［（x>0）的圖象于點M，N,則的面積為（）

Ox

A.1B.1.2C.2D.2.4

【答案】A

【分析】本題考查了坐標與圖形，反比例函數的應用，三角形的面積公式，分別求得點M、N的坐標

是解決本題的關鍵.

設點P的坐標為（加,則點N的坐標為（叫點M的坐標為（￡叫.），即可求得PN=\,PM=1m,

再根據三角形的面積公式，即可求解.

【詳解】解：設點P的坐標為（叫J），

軸，PN||y軸，

???PM1PN,

???點N的坐標為（加,,點M的坐標為縱坐標為《，

解得％=—，

???點M的坐標為Gm,\)，

84411

PN=-------=—,PM=m--m=-m,

mmm22

-'S^PMN=|PM-P/V=|x|mx^=l,

故選：A.

二.填空題(本題共6題，每小題2分，共12分)

11.若函數丫=卓的圖象在每個象限內y的值隨x值的增大而減小，則小的取值范圍是.

【答案】m>-2

【分析】本題考查了反比例函數的圖象與性質，反比例函數y=笈是常數，k7O)的圖象是雙曲線，當

k>0,反比例函數圖象的兩個分支在第一，三象限，在每一象限內，y隨x的增大而減??；當k<0,反

比例函數圖象的兩個分支在第二，四象限，在每一象限內，y隨工的增大而增大.

根據反比例函數的增減性即可求解.

【詳解】解：,函數丫=卓的圖像在每個象限內，y隨支的增大而減小，

m+2>0,

m>—2,

故答案為：Tn>—2.

12.已知y與x成反比例，且當％=-3時，y=4,則當％=-12時，y的值為.

【答案】1

【分析】本題考查了反比例函數，利用待定系數法求函數解析式是解題關鍵；根據待定系數法，可得

反比例函數，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案.

【詳解】設反比例函數為y=￡

當％=-3,y=4時，4=—,解得k=-12,

一O

反比例函數為y=/,

當X=-12時，y=W=L

故答案為：L

13.當燈泡兩端電壓恒定時，通過燈泡的電流/(A)與其電阻R(Q)成反比例，/關于R的函數圖象如圖所示，

當電流/WO.2A時，電阻R的取值范圍是Q.

【答案】R215

【分析】本題考查了反比例函數的應用.利用待定系數法即可求出電流/關于電阻R的函數關系式，將

代入函數關系式解出即可.

【詳解】解：設/=（

根據題目條件知，當R=30時，7=0.1,

故=5

???[/=3,

?r―3

當電流/WO.2A時，

BPZ=-K<0.2,

/?>15,

所以當電路中的電流/W0.2A時，電阻R的取值范圍是R>15,

故答案為：/?>15.

1Zz

14.如圖，A,2兩點分別在反比例函數曠=一六萬<0）和丫=式久>0）圖象上，連接。4OB,若。力1OB,

OA=3OB,則卜=.

【答案W

【分析】本題考查了相似三角形的性質和判定，反比例函數圖象上點的坐標特征.

先證得△2E。OFB，根據相似三角形的性質得出。尸=lAE,BF=^OE,則OF-BF=1AE-|0￡=1

AE-OE,得出。=:

【詳解】解：如圖，過/、8分別作久軸的垂線，垂足分別為從F.

-0A10B,

.?2?！?乙8。？=90。，

-Z-AOE+Z-OAE=90°,

：.Z-BOF=Z.OAE,

,：Z.AEO=Z-OFB=90°,

.-.AAEOFOFB,

AEOEOA「

?___—_____—____—J

"OF~BF~OB~'

OF=^AE,BF=^OE,

/.OF-BF=^AE^OE=^AE?OE,

???/點在反比例函數y=-|(x<0)的圖象上,

??.OE=1,

???OF-BF=1x1=|,

故答案為："

15.在平面直角坐標系久Oy中，一次函數丫=/0；+力（左#：0）與反比例函數丫=3（機工（））的圖象交于點人

（一2,3），8（1"），不等式依+匕＞?的解集是

【答案】x<—2或0<久<1

【分析】本題考查了一次函數與反比例函數交點問題，不等式可理解為一次函數大于反比例函數時對

應x的取值范圍，從圖象上看，就是一次函數在反比例函數圖象上方，觀察圖象可得，一次函數在反

比例函數上方時，對應的X取值范圍.

先求出反比例函數解析式為y=-5，得到B(1,_6),再根據不等式依+的解集化為一次函數圖象

在反比例函數圖象上方對應的x取值范圍求解即可.

【詳解】解：,一次函數y=kx+奴kRO)與反比例函數y=?(ni70)的圖象交于點4(一2,3)，B(l,a)，

=—2x3=—6,

???將代入y=得，a=—6,

.例1,一6)，

?,?不等式k%+b>/的解集是：X<-2或0<%<1,

故答案為：％<—2或0<%Vl.

16.如圖，在反比例函數、=y(％>0)的圖像上，有一系列點4、42、&、???、4、4+1，若41的橫坐標為

2,且以后每點的橫坐標與它前一個點的橫坐標的差都為2.分別過點①、4、&、…、An、力“+1作X軸

與y軸的垂線段，構成若干個矩形如圖所示，將圖中陰影部分的面積從左到右依次記為Si、S2、S3、…

Sn,則Si+Sz+S3=.

【答案】y

【分析】本題主要考查了反比例函數的性質，坐標規律探索，由已知條件橫坐標成等差數列，再根據

點41、A2>人3、…、4、4+1在反比例函數上，求出各點坐標，即可求出S1，S2>S3,進而求出S1+S2

+S3.

【詳解】解：???點21、4、①、…、4、4+1在反比例函數圖象上，且&的橫坐標為2,

???以后每點的橫坐標與它前一個點的橫坐標的差都為2,

M2（4,學）、43（6,?）,

"1=2x。一學）=5，

S2=2x（竽書日

S3=2X售書;，

.?S1+S2+S3

55

=5+3+6

_15

二子

故答案為：-y.

三.解答題（本題共7題，共58分）。

17.（8分）已知y與％+2成反比例，且當久=3時，y=4.

⑴求y與%之間的函數解析式;

⑵當y=5時，求％的值.

【答案】（i）y=患

(2)x=2

【分析】本題考查待定系數法求函數解析式，已知函數值求自變量的值.

（1）根據題意設y=嘉，把x,y的一組值代入求解左的值即可解答;

（2）把y=5代入（1）求得的解析式即可解答.

【詳解】（1）解：:丫與久+2成反比例,

二設廣嘉，

?.?當％=3時，y=4,

.k

，，4-----

3+2

解得々=20,

70

.?.y與x之間的函數解析式為y=

（2）解：當y=5時，*=5,

解得久=2,

經檢驗，乂=2是該方程的解.

18.（8分）如圖1,利用桿秤研究杠桿平衡條件.用細繩綁在秤桿上的點。處并將其吊起來，在點。右側的秤

鉤上掛一個物體，在點。左側的秤桿上有一個動點2（。4最長為80cm）,在點4處用一個彈簧秤向下

拉.當秤桿處于水平狀態時，分別測得彈簧秤的示數y（單位：N）與。4的長度x（單位：cm）的五組

對應值如圖表所示.

⑴由表格中數據判斷y與久之間是什么函數，并求y關于％的函數表達式.

（2）當。力的長度為80cm時，求彈簧秤的示數.

⑶嘉嘉在做實驗時記錄一個數據為y=2.5,淇淇認為這個數據有問題，請你幫助淇淇說明理由.

【答案】(l)y是久的反比例函數，y關于x的函數表達式為丫=竽

(2)彈簧秤的示數為3N

⑶理由見解析

【分析】本題考查反比例函數的應用：

(1)根據表格數軸可知孫為定值，得出了與x之間是反比例函數，再將一組數據代入y=：即可求解;

(2)將x=80代入(1)中解析式即可求解；

(3)將y=2.5代入(1)中解析式，求出對應的x的值，即可判斷.

【詳解】(1)解：y是％的反比例函數.

設函數表達式為y=g,(卜力0)

將(10,24)代入上式，得24=3,

解得k=240,

y關于x的函數表達式為y=~

(2)當x=80時，丫=解=3.

答：彈簧秤的示數為3N.

(3)解：將y=2.5代入y=竽中，得2.5=竽，

解得x=96.

??,x<80,

y不可能等于25

19.(8分)研究發現，近視眼鏡的度數V(度)與鏡片焦距x(米)成反比例函數關系，圖象如圖所示.

⑴求反比例函數解析式，當近視眼鏡的度數是200度時，鏡片焦距是多少米?

(2)小明原來佩戴200度的近視眼鏡，由于用眼不科學，導致視力下降，經復查驗光后，所配鏡片的焦

距調整到了0.2米，求小明的眼鏡度數增加了多少度？

【答案】(1)反比例函數解析式，=弓(%>0)，當近視眼鏡的度數是200度時，鏡片焦距是03米

(2)小明的眼鏡度數增加了300度

【分析】本題主要考查反比例函數的實際運用，求得反比例函數解析式并將矯正治療后所配鏡片焦距

調整為0.2米代入反比例函數求出矯正后的度數是解題的關鍵.

(1)先設近視眼鏡的度數y度與鏡片焦距x解析式為：y=g(k70),由函數圖象可得，當龍=0.25時,

y=400,代入即可求解解析式，進而求出當y=200時，x的值即可得到答案；

(2)將*=0.2代入y=手即可求得焦距為0.2米時近視眼鏡的度數，再減去200度即可求解.

【詳解】(1)解：設近視眼鏡的度數y(度)與鏡片焦距無(米)的反比例函數表達式為y=g(k力0).

由圖象可知，當x=0.25時，y=400,

.?-400=—,解得k=100,

???反比例函數表達式為y=*

當y=200時，*=黑=。.5.

???當近視眼鏡的度數是200度時，鏡片焦距是0.5米.

(2)解：解：當x=0.2時，丫=苦=500,

500-200=300(度).

答：小明的眼鏡度數增加了300度.

20.(8分)如圖1是某新款茶吧機，開始加熱時，水溫每分鐘上升25汽，加熱到100久時，停止加熱，水溫

開始下降，此時水溫y(℃)是通電時間x(min)的反比例函數.若在水溫為2(TC時開始加熱，水溫y與通

電時間x之間的函數關系如圖2所示.

⑴將水從20℃加熱至|100冤需要_min；

(2)在水溫下降的過程中，求水溫y關于通電時間x的函數表達式;

⑶加熱一次，水溫不低于40。(：的時間有多長?

【答案】(1)3.2

,、320

(2)y=—

⑶一個加熱周期內水溫不低于40久的時間為7.2min

【分析】(1)依題得開機加熱時每分鐘上升25。&則水溫從20K加熱到100久所需時間用溫度差+每分

鐘加熱的溫度即衛黑即可求解;

(2)結合(1)中可得點(3.2,100)在反比例函數y=g的圖像上，代入即可求得左值，從而得到反比例

函數解析式;

(3)分類討論，降溫過程中水溫不低于40久的時間-加熱過程中水溫低于40久的時間即為加熱一次水

溫不低于的時間，其中降溫過程中水溫不低于的時間利用中的函數解析式即可求得.

【詳解】(1)解：???開機加熱時每分鐘上升25久,

100-20

???水溫從20汽加熱到100。(2,所需時間為=3,2(min),

25

故答案為：3.2；

(2)解：設水溫下降過程中，y與x的函數關系式為y=g

由題意得，點(3.2,100)在反比例函數y的圖像上,

解得：fc=320,

???水溫下降過程中，y與％的函數關系式是丫=?：

（3）解：在加熱過程中，水溫為4（TC時，25%+20=40,

解得：x=0.8,

在降溫過程中，水溫為40。（：時，40=?,

解得：％=8,

8—0.8—7.2,

一個加熱周期內水溫不低于4（TC的時間為7.2min.

【點睛】本題考查的知識點是一次函數的圖像與性質、求反比例函數的解析式、利用函數解決實際問

題，解題關鍵是掌握反比例函數解析式的求法及利用函數解決實際問題.

21.（8分）我們定義：如果一個矩形的周長和面積相等，稱這個矩形為"完美矩形"，如果一個矩形3周長

圖1圖2

【概念辨析】

（1）①邊長為4的正方形（填"是"或"不是"）"完美矩形"；

②矩形/的周長是12,面積是8,它的"2倍契合矩形"的周長,面積為；

【深入探究】

（2）問題：長為3,寬為2的矩形是否存在“2倍契合矩形"？

我們可以從函數的觀點來研究"2倍契合矩形"，設"2倍契合矩形"的長和寬分別為x,v（x>0,y>0）,

依題意％+y=10,xy=12,則y=-%+10,y=丁，在圖1的平面直角坐標系中作出了一次函數0

：y=-%+io和反比例函數=《的圖象來研究，有交點就意味著存在"2倍契合矩形

那么長為3,寬為2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？若存在，請求出它的長，若不存在，請說明理由;

(3)①如果長為x,寬為y(x>0,y>0)的矩形是一個"完美矩形"，求y與x的函數關系式，并在

圖2的平面直角坐標系中直接畫出函數圖象；

②觀察圖象，直接寫出周長為20的"完美矩形"的長.

【答案】(1)①是；②24,16；(2)存在，矩形的長為：5+VIi；(3)①畫出函數的圖象見解答,

函數的表達式為：y=~.②7.2(答案不唯一).

【分析】(1)由新定義即可求解；

⑵從兩個函數圖象看，兩個函數有交點，故存在"2倍契合矩形〃，聯立兩個函數表達式得：-x+10=

?，即可求解；

(3)①由新定義求出函數表達式y=夸，畫出函數圖象即可；②在①的圖象中，函數y=—尤+10的

圖象，得到兩個函數交點即可.

【詳解】解：(1)①邊長為4的正方形的周長和面積均為16,故該正方形為"完美矩形"，

故答案為:是；

②由新定義知，矩形/的周長是12,面積是8,它的"2倍契合矩形"的周長24,面積為16.

故答案為:24,16；

(2)存在，

理由：從兩個函數圖象看，兩個函數有交點，故存在"2倍契合矩形"，

聯立兩個函數表達式得：—*+10=9,

解得：%=5+713^5-713(舍去)，

即矩形的長為：5+V13：

(3)①畫出函數的圖象，

由題意得，矩形的周長為2久+2y,面積為xy,則2久+2丫=久>，即丫=鼠工，

列表如下：

X3456789

1014818

y643

35~3

描點、連線，如下圖所示:

②長為X,寬為3/0>0,)/>0)的矩形是一個"完美矩形"的周長為20,則x+y=10,

即y=—x+10,

在①的圖象中，函數y=~x+10的圖象，兩個函數的交點為：2.9和7.2(答案不唯一)，則周長為20的"完

美矩形"的長7.2(答案不唯一).

【點睛】本題考查了反比例函數綜合題，認真閱讀理解新定義"矩形8是矩形/的〃倍契合矩形"，掌

握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵.

22.(10分)閱讀下列材料，回答問題：

222

【提出問題】對任意的實數。、6而言，a-2ab+b=(<a-b)>0,即+6222ab.易知當a=b時,

(a—6)2=0,即:a2T2ab+廬=0,所以a?+廿=2ab.若a力6,則(a-b)2>0,ffrl^a2+b2>2ab.

【結論應用】若a>0,則當a=時，代數式a+3有最小值為.

-a-

【問題解決】

(1)某公司為提高工作效率，購進了一批自動化生產設備，已知每臺設備每天的運營成本包含以下三

個