第03講導數與函數的單調性

01學習目標

課程標準學習目標

1.通過利用導數判斷函數單調性法則的學習，提

1.理解導數與函數的單調性的關系.

升數學抽象素養.

2.掌握利用導數判斷函數單調性的方法.

2.借助判斷函數單調性及求函數的單調區間，提

3.會用導數求函數的單調區間.

升邏輯推理、數學運算素養.

思維導圖

02一一二一

求不含參函數的單調區間

求含參函數的單調區間

已知函數遞增、遞減求參數

已知單調區間求參數

已知函數存在單調區間求參數

導數與函數單調性的關系導致與函數的單調性

知識:―已知函數不單調求參數

函數圖象變化趨勢與導數大小的關系1_______/

原函數與導函數圖象關系

利用導數比較大小

利用導數證明不等式

利用導數解不等式

03知識清單

知識點01導數與函數單調性的關系

i.導數與函數的單調性的關系

(1)如果在區間(a,6)內，f(x)>0,則曲線y=/(x)在區間(a,3對應的那一段上每一點處切線的斜率都

大于0,曲線呈上升狀態，因此次x)在(a,6)上是增函數，如圖(1)所示；

(2)如果在區間(a,6)內，/(x)<0,則曲線y=/(x)在區間(a,6)對應的那一段上每一點處切線的斜率都

小于0,曲線呈下降狀態，因此段)在(a,6)上是減函數，如圖(2)所示.

(1)(2)

【解讀】1.對導數與函數單調性概念理解；

(1)在某區間內/'(x)〉0(/(x)<0)是函數/(x)在此區間上為增(減)函數的充分不必要條件；

(2)可導函數/(x)在上是增(減)函數的充要條件是對VxeQb),都有/'(x)20(r(x)<0)且

/'(x)在(。力)上的任何子區間內都不恒為零.

2.確定函數單調區間的求法

(1)確定函數/(x)的定義域；

(2)求/'(x)；

(3)解不等式/'(x)>0,解集在定義域內的部分為單調遞增區間；

(4)解不等式/'(x)<0,解集在定義域內的部分為單調遞減區間.

【即學即練1］(24-25高二上?全國?課后作業)下列函數中，在(2,+對內為增函數的是()

A.3sinxB.(x-3)e*C.x3-I5xD.Inx-x

【答案】B

【分析】求導判斷導函數在(2,+s)內是否大于等于0恒成立即可.

【詳解】對A,(3sinx)-=3cosx,在(2,+勾內不滿足大于等于0恒成立，故A錯誤；

對B,［。-3)打=口-3)&+(%-3乂1)'=@-2"在(2,+8)內大于。恒成立，故B正確；

對C,(X3-15X)，=3X2-15=3(X2-5).在(2,+9)內不滿足大于等于0恒成立，故C錯誤；

對D,(lnx-x)，=--1=」，在(2,+功內不滿足大于等于0恒成立，故D錯誤.

xx

故選：B

知識點02函數圖象變化趨勢與導數大小的關系

觀察函數圖象，分析函數的導數絕對值的大小與函數圖象的變化關系

y

函數圖象Ty

廠.

00h0*

~0

導數導數為正，且絕對值導數為正，且絕對值導數為負，且絕對值越導數為負，且絕對值

越來越大越來越小來越大越來越小

函數值函數值變化越來越快函數值變化越來越慢函數值變化越來越快函數值變化越來越慢

圖象特點越來越陡峭越來越平緩越來越陡峭越來越平緩

【即學即練2】(24-25高二上?陜西西安?期中)若函數>=/)的導函數在區間口，回上是增函數,

則函數y=Ax)在區間［a,切上的圖像可能是()

0a

【答案】A

【解析】因為、=作)的導函數在區間口，可上是增函數，則從左到右函數以)圖像上的點的切線斜率是遞增

的.

04題型精講

題型01求不含參函數的單調區間

【典例1](24-25高二上?全國,課后作業)函數V=xlnx在(0,5)上的單調性是()

A.單調遞增

B.單調遞減

C.在(0,2)上單調遞減，在(L5)上單調遞增

ee

D.在(0」)上單調遞增，在(±5)上單調遞減

ee

【答案】C

【分析】求出函數的導數，再解導函數值大于0、小于0的不等式即可得解.

【詳解】函數了=xlnx的定義域為(0,+w，求導得y'=lnx+l,

由y'<0,得0<x<!；由_/>0,得x>!，

ee

所以函數y=xlnx在(0,3上單調遞減，在(L5)上單調遞增.

ee

故選：c

【變式1](23-24高二下?江蘇南通?階段練習)函數了=吧InV」4-1的單調增區間為()

X

A.(-<?,1)B.(0,1)C.(l,e)D.(1,+oo)

【答案】B

【分析】求出導數，利用導數大于0可得答案.

【詳解】函數>=見出的定義域為(0,+8),

,(lnx+1)x-(]nx+l)xrl-(lnx+l)-Inx

由/>0得lnx<0,解得0<x<l,

所以>=——的單調增區間為(0,1).

X

故選：B.

【變式2】(23-24高二下?新疆克孜勒蘇?期中)函數/(x)=2x-4ku的單調遞減區間是()

A.(-co,2)B.(0,2)C.(2,+co)D.(e,+co)

【答案】B

【分析】求出函數〃x)的導數，再解不等式/'(幻<0即可得解.

【詳解】函數〃x)=2x-41nx的定義域為(0,+s),求導得/(幻=2-2,

x

f'(x)<0,得o<x<2,

所以函數=2x-41nx的單調遞減區間是(0,2).

故選：B

【變式3】(23-24高二下?新疆省直轄縣級單位?階段練習)函數J=的單調遞減區間為(

A.(-1,1)B.(0,1)C.[1,+<?)D.(0,+s)

【答案】B

【分析】求出定義域以及導函數，利用導數與函數單調性的關系求解即可

【詳解】由題意，x>0

在y=；x2_lnx中，y'=X——=——-,

當了=0時，解得X=-1(舍)或x=l,

當了'<0即0<x<l時，函數單調遞減，

二?=-Inx的單調遞減區間為(0,1).

故選：B.

【變式4】(23-24高二下?吉林,期中)函數/(x)=xe-，的單調遞增區間是()

A.(1,+<?)B.(-?,1)C.(-8,-1)D.(-1,+0,)

【答案】B

【分析】利用導數求出函數的單調遞增區間.

【詳解】函數/代)=疣-工的定義域為R,求導得八x)=(l-x)ef,

由_f(x)>0,得x<l,所以函數f(x)=xeT的單調遞增區間是(-8,的

故選：B

題型02求含參函數的單調區間

【典例2](24-25高三上?福建龍巖?期中)已知函數/(x)=gax2-(24+l)x+21nx+4am>0).

求/(x)的單調區間；

【分析】求導，根據導數分情況討論導函數零點情況及函數單調性；

【詳角軍】由/(%)=一(2。+l)x+21nx+4。，x>0,

得/(x)=ax_(2a+1)+2=江一伽+D*+2=3T)(—).

XXX

令/'(x)=0,解得玉=工"2=2.

a

當0<a<—時，一>2,

2a

當工￡(0,2)時，/'(x)>0J(x)單調遞增；

當x42,；|時，/(x)<0J(x)單調遞減；

當*'時，/(X)>°，“X)單調遞增?

當時，4=2,/(x)N0恒成立，〃x)在(0,+對上單調遞增.

2a

當時，0<工<2,

2a

當xe(o,J時，/(x)>0,/(x)單調遞增；

當xeg,2)時，/(x)<0,/(x)單調遞減；

當xe(2,+s)時，/'(x)>0J(x)單調遞增.

綜上所述，當0<a<1時，〃x)的單調遞增區間為(0,2)和(L+s],單調遞減區間為(2,-

2\aJa

當”=；時，〃x)的單調遞增區間為(0,+co),無單調遞減區間；

當時，〃了)的單調遞增區間為(0,￡|和(2,+8),單調遞減區間為

【變式1](24-25高三上?天津西青?期中)已知函數/(x)=lnx+2ax(aeR).

⑴當。=e時，求函數“X)在(1,7(1))處切線方程；

(2)求函數7'(x)的單調區間；

[答案](l)(l+2e)x7_l=0；

⑵答案見解析；

【分析】(1)利用導數的幾何意義求切線方程；

(2)對函數求導，討論參數的符號研究函數的單調區間；

【詳解】(1)當a=e時，/(x)=lnx+2ex(x>0),貝！J/(x)=1+2e,

X

所以/⑴=2e,r(l)=l+2e,故在(1J⑴)處切線方程為歹-2e=(l+2e)(x-1),

所以(l+2e)x-歹-1=0.

(2)由題設/'(%)=，+2。，且%>0,

x

當時，r(x)>0,即/(X)的遞增區間為(0,+8),無遞減區間；

當4<o時，o<x<一-L有八%)>o,%〉--L有八%)<o,

2a2a

此時“X)的遞增區間為(0,-，-),遞減區間為(-1，+8).

【變式2】(24-25高二上?四川眉山?期中)已知函數〃x)=lnx+?(aeR).討論〃x)的單調區間.

【答案】單調遞增區間為(。,+e),單調遞減區間為(0,。)

【分析】求出原函數的定義域，求出函數的導函數，由導函數的零點把定義域分段，根據導函數的符號得

原函數的單調區間.

【詳解】⑴函數〃x)=lnx+0的定義域為(0,+8),則/⑴」-烏=—

XXXX

①當aWO時，r(x)>0恒成立，/'(x)在(0,+8)上單調遞增；

②當a>0,由r(x)>0得xe(a,+8),由尸(乂)<0得xe(0,a),

所以/(X)的單調遞增區間為(凡+8),單調遞減區間為(0,0).

【變式3］(24-25高二上?全國,課后作業)已知函數/(x)=asin(l-x)+lnx.

(1)當a=2時，求曲線>=〃x)在點(1,/■⑴)處的切線方程；

⑵討論函數/(x)在區間(0,1)上的單調性.

［答案］(1/+”1=0.

⑵答案見解析

【分析】(1)由導數的幾何意義可得切線的斜率，結合切點坐標由點斜式得出切線方程；

(2)求導，分類討論分析導函數的符號，得函數單調性.

【詳解】(1)當a=2時，/(x)=2sin(l-x)+lnx,有/⑴=0,

/f(x)=-2cos(l-x)+—,/f(l)=-1,

又所以曲線y=/(x)在點處的切點坐標為(i,o),切線斜率為-1,

得切線方程為x+y-i=o.

(2)函數/(x)=asin(l-x)+Inx,f(x)=「^cosO-x),

因為xe(O,l),所以cos(l-x)>0,

①當a40時，對任意xe(O,l),均有_f(x)>0,此時〃尤)在區間(0,1)上單調遞增；

②當0<aWl時，因為xe(O,l),所以0<cos。-x)<1,所以/(x)>0,此時〃x)在區間(0,1)上單調遞增;

③當a>1時，^-r(x)=l-axcos(l-x),則T'(x)=-a[cos(l-x)+xsin(l-x)],

因為a>l,cos(l-x)>0,sin(l-x)>0,所以T<x)<0,T(x)在區間(0,1)上單調遞減,

XT(0)=l>0,T(l)=l-a<0,所以存在唯一x°e(O,l)使得T(x°)=0,即分0cos(1-x0)=l,

當xe(O,x0)時，T(x)>0/(x)>0J(x)單調遞增，當尤e伉,1)時，7(x)<0,〃x)<0J(x)單調遞減.

綜上所述，當時，/(X)在區間(0,1)內單調遞增；

當。>1時,/(x)在區間(0,%)內單調遞增，在區間(龍。/)內單調遞減,其中％為T(x)=l-"cos(l-x)在

(0,1)上的唯一零點.

【變式4](23-24高二上?河北石家莊?期末)設函數/(x)=x2+(a-2)x-alnx(4eR).

(1)若“=1,求/(無)的導數；

(2)討論函數/(無)的單調性.

【答案】(1)r(x)=2x-l-1,其中x>0；(2)見解析

【解析】(1)若。=1,貝U/(x)=x2-x—lnx,^/(x)=2x-l-1,其中x>0.

(2)r(xi+(”2卜:(2x+?(l),

當a20時，當無e(o,l)時，/'(x)<0；當xe(l,+oo)時，/,(x)<0.

故〃無)的減區間為(0/)，增區間為0,+⑹.

當好0時，若a<_2,則當時，/'(x)>0；

當時，/'(x)<0,故的減區間為11,-?，增區間為(0,1)1_會+，|.

若一2<a<0,則當工€，,一。11(1,+⑹時，/'(x)>0；

當時，/'(x)<0,故/(x)的減區間為1會11,增區間為〃，-f,。,+8).

若a=-2,/'(x"。恒成立(不恒為零)，故〃x)的增區間為(0,+8),無減區間.

綜上：當時，故〃x)的減區間為(0,1),增區間為(1,+⑹.

當”-2時，故/'(x)的減區間為卜J增區間為(0,1),卜|,+沙

若一2<〃<0,故/(x)的減區間為(一■!」］,增區間為(0,~|)(1,+8).

若。=-2,/(X)的增區間為(0,+”),無減區間.

題型03已知函數遞增、遞減求參數

【典例3］(24-25高二上?浙江寧波?期中)若函數/(x)=罟在［2,+8)上單調遞增，則上的取值范圍為

()

44

A.kN—B.左4—1C.左<1D.kW—

33

【答案】D

【分析】求出導函數，根據單調性把問題轉化為不等式恒成立，利用函數單調性求出最值即可

jcx_i_1\—kx2—2x+k

【詳解】由/X="，得/痛=/丁

X+Ilx+1)

又在［2,+動上單調遞增，

所以廣⑶N0在［2,+co)上恒成立，即米2+2x_人(0在［2,+8)上恒成立,

22

即*——在［2,+8)上恒成立，只需求出1一的最小值即可，

-----X----X

XX

1321

又f=--X在［2,+動單調遞減，所以三二，則一4-<0,

x23，

424

所以一二<一<0,故后

3t3

故選：D

【變式1】(23-24高二下?山東煙臺?期末)已知函數〃x)=；x3+辦2+無在(0,+的上單調遞增，則實數。的

取值范圍為()

A.B.［-1,1］C.［1,+<?)D.［-l,+oo)

【答案】D

【分析】由題設可得r(x)20在(0,+8)上恒成立，分離參數后利用基本不等式可求實數。的取值范圍.

【詳解】因為函數/(x)=gx3+a/+x,則/''(x)=/+2辦+1,

因為/(x)在(0,+8)上單調遞增，故r(x)>0在(0,+8)上恒成立，

_-Y2-1

即x2+2ax+120在(0,+8)上，恒成立，BP2ax>-x2-1,即“2------,

2

-x2-l-x-lX1X1

設〃(x)=，%e(0,+8),//(%)=+<-2

2x2x22x22x

當且僅當x;=1，即X=1時等號成立，

22x

所以Q2—1.

故選：D.

【變式2】（24-25高二上?全國?課后作業）己知函數/（x）=2d-6--18x+1在區間（私療_2機）上單調遞減,

則實數〃?的取值范圍是（）

A.（-3,0）B.［-1,0）C.（3,5）D.（5,7）

【答案】B

【分析】利用導數求出函數/'（x）的減區間，根據題意可得出區間的包含關系，可得出關于實數加的不等式,

解之即可.

【詳解】由題意，得/'（X）=6/-12X-18=6（X-3）（X+1）.

令得T<x<3,即函數〃無）的減區間為（T3）,

因為/（x）在區間（心，蘇-2m）上單調遞減，所以（私/-2m）c（-l,3）,

m>-\

所以（加2_2加〉加，解得-1<加<0.

m2-2m<3

故選：B.

【變式3】（24-25高二上?全國?課后作業）若函數〃x）=l-嚏-限在區間［1-。,2-可內單調遞增，則。的取

值范圍是.

【答案】［。,1）

【分析】求導，利用導數可知/（x）的單調增區間為（0,2］,結合題意列式求解即可.

【詳解】由題意可知：“X）的定義域為（0,+8）,且=

令尸⑴20,得0<xV2,可知/（X）的單調增區間為（0,2］,

/\r1f1—6Z>0

若函數“X）在區間［1-凡2-4內單調遞增，依題意°八,解得0Wa<l,

2—tzS2

所以。的取值范圍是［0,1）.

故答案為：［0,1）.

2

【變式4】（24-25高二上?全國,課后作業）若函數/（幻=§工3-2尤2+依+10在區間上具有單調性，則

實數。的取值范圍是.

【答案】(-8,T6]U[2,+8)

【分析】利用導數來判斷函數在區間的單調性，再由分離參變量求參數的取值范圍即可.

【詳解】由已知求導得：/(X)=2x2-4x+a,

因為函數/(x)在區間上具有單調性，

所以八x)=2x2-4x+a40或f\x)=2x2-4x+a20在[-1,4]上恒成立，

22

則在區間[-1,4]±,?＜(-2x+4x)mm或。z(-2x+4^)_,

因為g(x)=-2x2+4x在上遞增，在[1,4]上遞減,

且g(T)=-6,g⑴=2,g(,4)=-16,

所以g(x)的最大值為2,g(x)的最小值為-16,

所以a4-16或。22.

故答案為：(-8,-16]U[2,+8)

【變式5】(23-24高二下?四川德陽?期末)氣用武。,〃?)，x尸x”都有印%rJ%＞-1,則實數加的取

馬一再

值范圍為.

【答案】(0,e1

【分析】把不等式弛三戶＞T成立，轉化為函數的導數小于。在(0即)內恒成立，進而即可求解.

【詳解】不妨Vx”乙?0,〃7),再＜z,由題意分式^—“'J叫＞-1轉化為r風-三間＞%-x2,

尤2-M

則則竺二五＞巫二三，即則二1＞西二1,故函數〃x)=電匚lxe(O,⑼單調遞增，

X|X2XxX2x2XjX

—xx-(lnx-l)

又因為小)2-lwc,解得xe(0,e2),

n/U

xe(0,e2),/'(x)＞OJ(x)單調遞增，所以OvmWe?.

故答案為：(0,e2].

題型04已知單調區間求參數

3

【典例4](23-24高二下?山東荷澤?期末)己知函數〃x)=ax2+(的單調遞增區間為[1,+動，貝|a的值為

()

33

A.6B.3C.一D.

24

【答案】C

【分析】求出函數的定義域與導函數，分。＜0、。＞0兩種情況討論，求出函數的單調遞增區間，從而得到

方程，解得即可.

3

【詳解】函數〃x）=ax2+；的定義域為{x|xwO},

又/'（x）=2辦-3="衛，

XX

當aWO時/'（x）＜0恒成立，所以/（x）沒有單調遞增區間，不符合題意;

]_

當。＞0時，＞=2辦3-3單調遞增，令/''（x）＞。，解得x＞三,3

■LyfL\

所以/（X）的單調遞增區間為（或），

.7\7

依題意可得解得

故選：C

nInv-L1

【變式1］（23-24高二下?湖北孝感?階段練習）函數/（%）=---------2的單調遞減區間為（1,+8）,則。=

()

A.—B.1C.eD.e2

e

【答案】B

【分析】根據〃x）的單調遞減區間為（1,+功，而〃x）的定義域為（。,+勾），〃x）的一個極值點為1,利用

/'⑴=0即可得解。=1,然后再代入“X）驗證是否滿足題意即可.

【詳解】仆）一一嗎x+D="l-"X,

XX

因為“X）的單調遞減區間為（1,+8）,而/'（X）的定義域為（0,+與,

所以"X）的一個極值點為工,

所以/'⑴Q=—*1=。，解得“=1.

所以〃x）=X-2,,⑴，-（嗎川）=當

XXX

令八x）＜0,*＜0,解得無＞1,

X

所以/（X）的單調遞減區間為（1,+8）,符合題意，

綜上，a=\

故選：B.

【變式2】（23-24高二下?山東臨沂?期中）函數"X）=2x3+7的單調遞減區間是（0,2）,貝匹=（）

A.6B.3C.2D.0

【答案】A

【分析】根據x=2是/''（》）=6x2-2G=0的實數根即可求解.

[詳解]由/（x）=2--+7可得/（x）=6x2-lax,

由于/（%）的單調遞減區間是（0,2）,故工=0和》=2是/＞'3=6/-2辦=0的兩個根,故24-4°=0,故4=6,

故選：A

【變式3】（24-25高三?全國?專題練習）若函數/（x）=°無_x+l恰好有三個單調區間，則實數a的取值

可以是（）

A.-3B.-1C.0D.2

【答案】BD

【分析】將問題轉化為導函數有兩個零點問題，由判別式可解.

【詳解】當。=0時，/（X）=+3X2-X+1,顯然不滿足題意；

當awO時，依題意知，/'（工）=3,+6x-l有兩個不相等的零點,

aw0

所以解得a>-3且aw0,

A=36+12a>0

故選：BD.

【變式4】（24-25高二上?全國?課后作業）已知函數/（%）=/+辦2+],aeR.

⑴討論函數/（x）的單調區間；

⑵若函數/（X）在區間內單調遞減，求實數a的取值范圍；

⑶若函數/（x）的單調遞減區間是1-g,o）,求實數a的值.

【答案】（1）答案見解析

⑵口,+°0）

（3）a=\.

【分析】（1）根據函數的導函數分。=0,。＞0,。＜0三種情況得出函數的單調性;

（2）由（1）知結合函數的單調性列不等式求參；

（3）由（1）知結合函數的單調性列等式求參；

【詳解】（1）由題意知/'（x）=3x2+2ax=3x[x+^].

①當a=0時，/'（無）=3,20恒成立，

所以/（x）的單調遞增區間是（-8,+切；

②當。＞0時，令/'（x）＞o,得X（一?或x＞o,

令"x）＜0,得T＜x＜0,

所以“X）的單調遞增區間為卜8,一1［，（0,+對，單調遞減區間為卜，,0）

③當。＜0時，令/'（x）＞0,得尤＜0或x＞-斗，令八無）＜0,得0＜"-胃,

.J。

所以/（X）的單調遞增區間為（-叱0）,（一彳，+也），單調遞減區間為,，-彳）

（2）由（1）知，若"X）在，go1內單調遞減，

貝U-gw-g,解得

即。的取值范圍是口,+8）.

（3）由（1）知，若〃x）的單調遞減區間是1-1,0）

則一g=-|，解得。=L

題型05已知函數存在單調區間求參數

【典例5］（24-25高二上?全國?課后作業）若函數〃x）=liu+"2一2在區間（1,4）內存在單調遞增區間，則

實數。的取值范圍是（）

1

A.——,十。B.一--,+oo

3232

1

C.一展+8D.--,+00

2

【答案】C

【詳解】函數/⑴=欣+"2—2的定義域是（0,+。）,

2ax2+1

所以fr(x)=—+2tzx=

x

當〃＞0時，r（x）＞0,則/（X）在（0,+。）上單調遞增，符合題意.

-］（負根舍去）,

當。＜0時，由2辦2+1=0,得X

/

所以當xe0,時，_r（x）＞oj（x）單調遞增;

時，/'（x）＜0J（x）單調遞減.

依題意，函數/⑺=Inx+江-2在區間(1,4)內存在單調遞增區間,

所以解得一:<。<0.

\2a2

綜上，a>——.

故選：C.

【變式1】(23-24高二上?浙江寧波?期中)若函數〃》)=(無-叫2+班在區間(1,2)上有單調遞增區間，則實

數加的取值范圍是.

【答案】,哈

【分析】根據題意轉化為/'(對>0在az上有解，分離參數后求函數最值即可得解.

【詳解】r(x)=2(x-m)+1(x>0),由題意/'(x)>0在(1.2)上有解，

即加<x+,在(1,2)上有解,

2x

根據對勾函數的性質可知，y=x+L在(1,2)上單調遞增，所以在x=2時取最大值，

故心<2+>：‘故實數機的取值范圍是一哈9

4

故答案為：［-00］］

【變式2】(23-24高二下?四川瀘州?期中)若函數Mx)=lnx-；a/-2x在［1,4］上存在單調遞增區間，則實

數a的取值范圍是

7

【答案】CL<---

16

【分析】求導得〃(無)=’-辦-2,轉化為力'(無)>0在［1,4］上有解，最后分離參數即可.

【詳解】函數/z(x)=一2、，則/z'(x)二,一辦一2,

因為以%)在［1，4］上存在單調遞增區間，所以1(、)>0在［1,4］上有解，

1?

所以當［1,4］時，(2<-......有解，

XX

1211

令g(x)=T--，而當。?1，4］時,令/=_叱,1］,

xxx4

19

g(x)=7—(即為9?)=?_2/=?T)7T，

此時M)max=。4)=二(此時％=4),所以二,

41616

7

故答案為：a<-.

16

【變式3](24-25高三上?河北張家口?階段練習)已知函數/(》)=/+(x-2)e，-2x+5在區間(2俏-1,3"?+2)

上不單調，則加的取值范圍是.

【答案】

【分析】由函數f(x)的單調性結合題設即可列出關于加的不等式，解不等式即可得解.

【詳解】由題得定義域為R,f(x)=2x+(x-l)e-2=(x-l)(e*+2)，

所以xe(l,+co)時，/,(x)>0；xe(-8,1)時，/(x)<0,

所以函數“X)在(1,+⑹上單調遞增，在(-8,1)上單調遞減，

又函數在區間(2加-1,3〃?+2)上不單調，

所以2n+2=故機的取值范圍是

故答案為：

題型06已知函數不單調求參數

2

【典例6](22-23高二下?北京海淀?期中)若函數=hu在(0㈤上不單調，則實數左的取值范圍是

()

A.[1,+0>)B.(1,+8)C.(0,1)D.(0,1]

【答案】B

【分析】先求出函數/(x)的導函數，分析單調性求解實數人的取值范圍即可.

【詳解】因為〃x)的定義域為(0,+8),且/(回=苫-工=±i,

令_f(x)>0,解得x>l；令/''(x)<0,解得0<x<l；

可知/(x)在(0,1)內單調遞減，在+8)內單調遞增，

若函數〃x)在(0㈤上不單調，即le(0,k),可得左>1,

所以實數上的取值范圍是。,+⑹.

故選：B

【變式1](24-25高三上?黑龍江牡丹江?階段練習)已知函數〃元)=/一21nx在區間化2T左+1)上不單調,

則上的取值范圍是()

A.(1,2)B.(V2,2)C.[l,&)D.--,V2

I2)

【答案】C

【分析】求定義域，求導，得到函數單調性，進而得到不等式，求出左的取值范圍.

【詳解】???/'(X)=2X_2=2(X+1)(XT),又函數〃x)的定義域是(0,+8),

XX

當0<x<l時，f'(x)<0,當x>l時，fr(x)>0,

故函數在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，

■■■,,,，解得14左

[斤+1>1

故選：C

【變式2】(23-24高二下?山東荷澤?期中)若函數〃x)=e=alnx+l在區間(1,2)上不單調，則實數。的取

值范圍為()

A.(e,e2)B.(e,2e2)C.(-℃,e)U(e2,+co)D.(l,e2)

【答案】B

【分析】對〃x)求導并將問題轉化為函數ga)=xe、-a在(0,1)上存在變號零點，再應用導數研究的單調性,

結合零點存在性定理列不等式求參數范圍.

【詳解】由題設，/6)=1，=貯^,又洋x)在(1,2)上不單調,

XX

所以函數y=xe*-a在(1,2)上存在變號零點,

設g(x)=%e—ci9x￡(1,2),

則/(%)=(X+l)ex>0,則g(x)在(1,2)上單調遞增,

fg(l)<0fe-a<0

所以二、八，即一、八，解得e<a<2e2,

[g(2)〉0[2e-a>0

則。的取值范圍是(e,2e2)

故選：B.

【變式3】(23-24高二上?江蘇南通,階段練習)函數/(x)=x3-質在區間(-3,-1)上不單調，則實數人的取值

范圍是.

【答案】(3,27)

【分析】根據導數的幾何意義及導函數的符號與函數的單調性的關系，把問題轉化為二次函數的零點分布

問題求解.

【詳解】函數求導f'(x)=3x2_3

因為在區間(-3,-1)上不單調，所以rQ)在區間(-3,-1)內有零點.

又因為/■'(x)=3f-左為偶函數，所以/'(x)=0在上最多只有1個根.

r(-3)r(-l)<0,因為/(-3)=27_后,「(-1)=3-左,

所以(27-左)(3-左)<0n("27)("3)<0=>3<上<27.

故答案為：(3,27)

題型07原函數與導函數圖象關系

【典例7](24-25高二上?全國?課后作業)己知函數y=/(x),y=g(x)的導函數圖象如圖，那么y=/Q),

y=g(x)的圖象可能是()

【分析】根據導數與原函數圖象的關系，結合排除法確定滿足要求的圖象即可.

【詳解】從導函數的圖象可知兩個函數在無。處斜率相同，可以排除B、c.

由于導函數的函數值反映的是原函數的斜率大小，明顯y=/(x)導函數的值在減小，所以原函數的斜率慢

慢變小，排除A.

故選：D

【變式1】(23-24高二下?福建龍巖?階段練習)已知函數/(x)與其導函數r(x)的圖象的一部分如圖所示，則

關于函數g(無)=有的單調性說法錯誤的有()

B.在（0,2-百）單調遞減

C.在［2-匝1］單調遞減D.在［1,2］單調遞減

【答案】B

【分析】由導函數與原函數之間關系可確定兩個圖象的分屬，由此可得g'（x）在不同區間內的正負，進而判

斷單調性，得到結果.

【詳解】時,f（x）單調遞減;r（x）>0時，/（x）單調遞增,

已知圖象中在（口⑼上單調遞減，在（0,+8）上單調遞增，

且有兩個零點x=-1和x=1的是（0）,

由圖象可知：當xe卜1,2-網時，f［x}>f'［x}.當xe［2-上,2］時，f{x}>f（x）.

,

.?.當xe[-l,2-G]時，g[x)<0；當xe[2-百,2]時,g(x)>0;

???g（x）在上不單調,A錯誤；

在（0,2-上）上單調遞減，B正確；

在［2-e,1］,［1,2］上單調遞增，CD錯誤.

故選：B.

【變式2】（24-25高二上?全國?課后作業）函數/（X）在定義域內可導且導函數為（（久），且r（x）的圖象如圖

所示，則/'（x）的圖象可能是（）

【分析】利用排除法，根據(0)的符號判斷了(X)的單調性，可排除A,D；再根據導數的幾何意義排除C.

【詳解】觀察導函數圖象可知f'(X)在區間(-雙。)先正后負，在區間(0,+8)先負后正，

故函數在區間0)內先遞增后遞減，在區間(0,+8)內先遞減后遞增，

結合4個選項的圖象，可排除A,D；

由導函數的函數值是變化的，即函數/(x)在遞減區間的斜率也是變化的，排除C,

故選：B.

【變式3】(24-25高二下?全國?課前預習)已知/(x)的導函數(Q)的圖象如圖所示，那么/(x)的圖象最有

【分析】根據導數廣(無)正負與函數/(x)的單調性的關系即可得解.

【詳解】由題意可知，當x<0和x>2時，導函數r(x)<0,函數/(x)單調遞減;

當0<x<2時，導函數/'卜)>0,函數/'(x)單調遞增，故選項D正確.

故選：D.

【變式4】(23-24高二下?四川成都?期中)函數y=/(x)在定義域卜|,3)內可導，記丫=/(久)的導函數為

則y=/CO的單調增區間為（）

B.

D.

【答案】B

【分析】由函數的導數符號與函數單調性的關系即可得解.

【詳解】若要y=/'（x）>0,則由圖可知xejlg

故>=/（x）的單調增區間為

故選：B.

題型08利用導數比較大小

【典例8］（23-24高二下?湖北?期末）已知5$>e8,q=3：b=5；c=e!，則。、久。的大小關系是（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【分析】對于。、6，Ac擴大適當的倍數變為整數幕的形式比較即可；對于構造函數比較大小即可

【詳解】對于。、6,同時12次方可得3,與53,易知34<5',所以。<6；

對于6、c,同時4e次方可得5,與e。由題干可知5%>5,>e?,所以歹八3即6>c；

對于a、c,同時取對數可得乎與/（x）=—,/。）=匕止=0,解得X=e,

3exx

易得/（》）=叱在（0?單調遞增，（e,+⑹單調遞減，易知里<電±='，所以。<c.

x3ee

綜上可得a<c<6,

故選：B.

【變式1］（24-25高二下?浙江杭州?期中）已知。=曲也/=曲3,c=-!-,則。也。的大小為（）