第11章解三角形章末題型歸納總結（能力篇）

【題型歸納目錄】

題型一：應用正弦、余弦定理解三角形

題型二：判斷三角形的形狀

題型三：正弦、余弦定理在實際中的應用

題型四：三角形多解問題

題型五：三角形范圍與最值問題

題型六：圖形類問題

題型七：角平分線問題、中線問題、高問題

題型八：三角形中的面積與周長問題

【思維導圖】

222A=

a=b+c-2bccosAcos-2bc-

b2=a2+c2-2accosB

。2+/一〃

c2=a2+b2-2abcosCcosB=

正弦、余2ac

余弦定理

弦定理一

cosC=

已知三邊求三角2ab

應用

已知兩邊和一角，求第

三邊和其他角

【知識點梳理】

知識點1:基本定理公式

(1)正余弦定理：在A4BC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為AABC外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2Z?ccosA；

a_b_c

公式b2=c2a2—2accosB；

sinAsinBsinC

c2=4-/?2—2abcosC.

,b1+C1-a1

cosA=---------------

(1)a=27?sinA,Z?=2HsinB,c=21?sinC；2bc

常見變

…D$―—及

...4a.nb._c

(2)sinA=——,smB二——,sinC=——；5

形2R2R2Rlac

_6Z2+/72-C2

cosC=---------------?

2ab

(2)面積公式：

SAABC=—absinC=—bcsmA=—acsinB

△222

ahc1

SABC=—=-(a+&+c)-r(r是三角形內切圓的半徑，并可由此計算R,r.)

A4A2

知識點2：相關應用

(1)正弦定理的應用

①邊化角，角化邊u>a:b:c=sinA:sinB:sinC

②大邊對大角大角對大邊

a>boA>BosinA>sinBocosA<cosB

⑸,分比.a+b+c-a+b-b+ca+ca~^=~^=2R

sinA+sinB+sinCsinA+sinBsinB+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

(2)AABC內角和定理：A+B+C=7T

①sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBoc=acosB+bcosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA+tzcosC.

②-cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；

-「/A八、tanA+tanB

③斜一角形中，tanC—tan(A+B)—<^>tanA+tanB+tanC=tanA-tanB?tanC

1-tanA-tanB

,A+BCA+B.C

(4)sin(z---)=cosy；cos(---)=sin—

rr2萬

⑤在AABC中，內角AB,C成等差數列=B=g,A+C=

T-

知識點3:實際應用

1、仰角和俯角

在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）.

視線A北A-|U1

西卡了標上］

絹、視線?南'1良―H東I

圖①圖②圖③圖④

2、方位角

從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如3點的方位角為a（如圖②）.

3、方向角：相對于某一正方向的水平角.

（1）北偏東a,即由指北方向順時針旋轉a到達目標方向（如圖③）.

（2）北偏西a,即由指北方向逆時針旋轉a到達目標方向.

（3）南偏西等其他方向角類似.

4、坡角與坡度

（1）坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數（如圖④，角，為坡角）.

（2）坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，i為坡度）.坡度又稱為坡比.

解題方法總結

1、方法技巧：解三角形多解情況

在AA3C中，已知a,5和A時，解的情況如下：

4為銳角A為鈍角或直角

C

2Acc

A*

圖形

--------+

AB：BA'、、......'BA'B

AB

關系式a=bsinAbsinA<a<ba>ba>ba<b

解的個

一解兩解一解一解無解

數

2、在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答

案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：

（1）若式子含有sinx的齊次式，優先考慮正弦定理，“角化邊”；

（2）若式子含有瓦。的齊次式，優先考慮正弦定理，“邊化角”；

（3）若式子含有COSX的齊次式，優先考慮余弦定理，“角化邊”；

（4）代數變形或者三角恒等變換前置；

（5）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理使用；

（6）同時出現兩個自由角（或三個自由角）時，要用到A+B+C=萬.

3、三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c-bcosA+acosB.

【典型例題】

題型一：應用正弦、余弦定理解三角形

【典例11］已知VABC的面積為6,A=1,BC=g,則Ag2+Ac2=（）

A.13B.14C.17D.15

【典例12】VABC的內角A,B,C的對邊分別為“，b,c,VABC的面積為述，且b=l,C=￡,

43

則邊c=（）

A.7B.3C.77D.713

jrO

【變式11］在VABC中內角A8,C所對邊分別為a,6,c,若B=—萬=一",則sinA+sinC=（）

34

A.-B.72C.且D.且

222

【變式12］在VABC中，ZA=30°,ZB=45°,AC=2.73,則A3的長為（）

A.373B.4C.3+6D.5

【變式13］在VABC中，sinA=—,tanB=-,若VABC最大邊的邊長為JI7,則最小邊的長為（）

175

A.拒B.挑C.D.巫

22

題型二：判斷三角形的形狀

【典例21】在VABC中，若「cos”J：cos巴則VA8C的形狀為（）

c?cosBb?cosC

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【典例22】在VABC中，cos24=^（a,b,c分別為角AB,C的對邊），則VABC的形狀為

22c

（）

A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形

【變式21］已知VA8C的三內角4B、C所對的邊分別是a、b、c,設向量沆=（a力），萬=（cosB,cosA）,若

m//n,則VABC的形狀是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【變式22］VABC中，角的對邊分別為a,b,c,且Z?cosC+acos3=a,則VABC的形狀是（）

A.等腰三角形

B.等腰三角形或直角三角形

C.等腰直角三角形

D.直角三角形

【變式23］在VABC中，內角A,B,C的對邊分別為b,C,且3=2C,b=瓜,貝I（）

A.VABC為直角三角形B.VABC為銳角三角形

C.VABC為鈍角三角形D.VA8C的形狀無法確定

題型三：正弦、余弦定理在實際中的應用

【典例31】圣?索菲亞教堂是哈爾濱的標志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對稱

之美.為了估算圣.索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建筑物A3,高約為36m,在它

們之間的地面上的點M（8,M,。三點共線）處測得建筑物頂A、教堂頂C的仰角分別是45。和60。，在

建筑物頂A處測得教堂頂C的仰角為15。，則可估算圣.索菲亞教堂的高度。約為.

【典例32］如圖，為測量山高選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點.從A點測得M點的仰角

ZMAN=6Q°,C點的仰角NC4B=3O。以及NM4c=75。；從C點測得NMC4=60。，已知山高

BC=50m,則山高MN=m.

【變式31］某課外活動小組，為測量山高，如圖，他們在山腳A處測得山頂8的仰角為30。，沿傾斜角為

15。的斜坡前進1000m后到達。處，又測得山頂的仰角為75。，則此山的高度3c約為.

【變式32］如圖所示，某學校花園的平面圖是呈圓心角為120。的扇形區域AOB,兩個涼亭分別座落在點

A及點C處，花園里有一條平行于3。的小路8；己知某人從涼亭A沿小路AD走到點。用了3分鐘，

從點。沿0c走到涼亭。用了5分鐘；若此人步行的速度為每分鐘60米，則該花園扇形的半徑Q4的長為

米（精確到1米）.

【變式33］如圖，點P是海上的一個鉆井平臺，甲船、乙船、丙船分別位于點三個位置，甲船在乙

船的正北方向，丙船在乙船的正東方向，且A8=20g海里，BC=80海里，若NA尸3=12。。,A尸=20海

里，則丙船到鉆井平臺的距離為海里.

題型四：三角形多解問題

【典例41】在VABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,根據下列條件解三角形：①。=14,

b=7,3=30。；②a=10,b=9,8=60。.則（）

A.①只有一個解，②有兩個解B.①有兩個解，②只有一個解

C.①②都只有一個解D.①②都有兩個解

【典例42】在VABC中，角人瓦。的對邊分別為。，b,C,若8=60。，6=3百，VABC只有一個解，貝|

C的取值范圍為（）

A.（0,3g）B.（0,3A/3］C.（373,6）D.（0,3相”{6}

jr

【變式41］已知VABC的內角A,B,C所對的邊分別為“，b,C,若滿足條件A=》，c=2的VABC有

6

兩個，貝I」a的取值范圍為（）

A.（1,2）B.（2,+oo）C.［1,2）D.（1,2］

JT

【變式42］在VABC中，a,b,c分別為角A,B,C所對的邊，已知a=6,b=x,B=~,若滿足條件

的角A有兩個不同的值，則X的取值范圍為（）

A.（0,3g）B.@百,+qC.（3A/3,6）D.（0,6）

【變式43］在VABC中，三個內角ABC對應的邊為a,6,c,且6=3,3=60。.若VABC僅有唯一解，貝|

下列關于。的取值不一定成立的是（）

A.0<aV3或a=2gB.0<a<273

C.0<a<73D.0<a<3

題型五：三角形范圍與最值問題

【典例51】銳角VA8C面積為S,角的對邊分別為a,6,c,M(Z?2-<i2)sinB=2S.

(1)求證：B=2A;

(2)求也的取值范圍.

a

sinA-sinC_a1-b2

【典例52】在銳角VABC中，角所對的邊分別為a,6,c,

sinCc2

(1)求3;

⑵若6=2,求VABC周長的取值范圍.

【變式51］如圖，在VABC中，點。在邊3C上，CD=2BD.

(1)若cosNADC=-“AC=8,AD=4,求AB；

⑵若?0是銳角三角形,'J'求*的取值范圍.

【變式52］在VABC中，內角A、B、C的對邊分別為。、b、,SLIT+C1-cr=bc■

⑴求cosA的值；

⑵若VABC是銳角三角形，a=邪,求6+c的取值范圍.

【變式53］在VABC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,V3（a-ccosB）=csinB.

⑴求角C;

（2）若8C=2,。為邊AC上一點（不同于A,C兩點），AD=BD,求VABC的面積S的取值范圍.

題型六：圖形類問題

【典例61］如圖，在平面四邊形ABCD中，AC與￡出的交點為E,平分NADC,

AB=BC=CD=2,AD>2.

（1）證明：BZ）2=2（AD+2）；

⑵若=?37r，求D兼F.

4BE

【典例62］如圖所示，在VABC中，設瓦c分別為內角的對邊，已知6+c=3"，b=4（c-a）.

(1)求角C;

（2）若c=7,過3作AC的垂線并延長到點D,使A,3,C,D四點共圓，AC與交于點E,求四邊形

A8CZ）的面積.

【變式61］在四邊形ABCD中，AB//CD,記NACD=。，AZ)-sin￡)=>/3AC-cosa,NBAC的角平分線

與3C1相交于點E,且AE=1,AB=6

⑵求3C的直

【變式62］如圖，在梯形ABC。中，AB//CD,AB=2^,CD=V6,cosA=—,cosZADB=-,

33

(1)求cosZABD；

(2)求3C的長.

【變式63］在VABC中，26cos2g+sinB=l+石.

(1)求角8的大小；

(2)若E為笈C的中點，尸是AC邊上的點，且滿足3尸_14石，V2|AB|sinZBAC-|BC|cosC=0,求7K的

/kv

值.

題型七：角平分線問題、中線問題、高問題

【典例71］在VABC中,

⑴求tanA；

(2)若VABC的邊AC上的高等于AC,求cos反

LA

【典例72】設三角形ABC的內角A&C的對邊分別為"c且sin(8+C)=2瓜in?-.

(1)求角A的大小；

3r-

⑵若b=3,3C邊上的高為求三角形ABC的周長.

【變式71］已知a,b,c分別為ZkABC三個內角A,B,C的對邊，且acosC+gasinC-b-c=0.

⑴求A;

⑵若a=幣.再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知，求b,c.

條件①：中線4。長為晅；條件②：AABC的面積為邁.

22

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

【