專題07導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

目錄

易錯(cuò)點(diǎn)01對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念理解不到位

易錯(cuò)點(diǎn)02錯(cuò)用函數(shù)的求導(dǎo)法則

易錯(cuò)點(diǎn)03混淆“在某點(diǎn)”和“過某點(diǎn)”切線的區(qū)別

易錯(cuò)點(diǎn)04利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間忽略定義域

易錯(cuò)點(diǎn)05混淆極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)的區(qū)別

易錯(cuò)點(diǎn)06已知單調(diào)性求參數(shù)時(shí)混淆條件

易錯(cuò)點(diǎn)07判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)畫圖出錯(cuò)

易錯(cuò)點(diǎn)01：對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念理解不到位

叁易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例⑵-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）若函數(shù)小）可導(dǎo)，則處/"黑"⑴等于（）

A.-2/⑴B.|/'（1）C.-|r（l）D./色

【答案】C

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.

[詳解】i/(1-Ax)-/(1)/[l+(-Ax)]-/(l)

im--lim

以―。2Ax2Ax.0_Ax

故選：C

【易錯(cuò)剖析】

在解題時(shí)要注意r(x0)=lim^=lim"玉+盤）一"%），本題容易忽略分母不是分子函數(shù)值對(duì)應(yīng)自變

Ax.02°Ax

量的差而出錯(cuò).

【避錯(cuò)攻略】

1,導(dǎo)數(shù)的概念

+Ax)-/(Xo)

函數(shù)仆）在X=X。處瞬時(shí)變化率是典普=典,我們稱它為函數(shù)y=〃x）在x=%

Ax

處的導(dǎo)數(shù)，記作/'（%）或.

【解讀】①增量Ax可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0.ArfO的意義：Ax與0之間距離要

多近有多近，即|Ax-O|可以小于給定的任意小的正數(shù);

②當(dāng)Ax->0時(shí)，勺在變化中都趨于0,但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù)，即存在一個(gè)常數(shù)與

加=+Ax)-/(xo)

無(wú)限接近;

AxAx

③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率.如瞬時(shí)速度即是位移在這一時(shí)

刻的瞬間變化率，即/(x0)=lim?=lim/(Xo+Ax)-/(Xo)

Axf0/\xAx-0Ax

2.幾何意義

函數(shù)V=在x=/處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)的幾何意義即為函數(shù)了=/(%)在點(diǎn)尸(不，%)處的切線的斜率.

3.物理意義

函數(shù)S=5(0在點(diǎn)t0處的導(dǎo)數(shù)s'?o)是物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度v,即V=s'?o)；V=V(O在點(diǎn)t0的導(dǎo)

數(shù)M(%)是物體在。時(shí)刻的瞬時(shí)加速度。，即。=M%).

易錯(cuò)提醒：("伍)=㈣2=杷小。+弋一/口要注意定義式中的分母一定是分子兩個(gè)函數(shù)值

對(duì)應(yīng)自變量的差，如果不是要通過調(diào)整系數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)應(yīng)；(2)/'(%)的代數(shù)意義表示函數(shù)/(x)在/處的瞬時(shí)

變化率；(3)f'(x0)的幾何意義表示曲線y=/(x)在x=X。處切線的斜率.

舉一反三

1.(24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè))若可導(dǎo)函數(shù)/(x)的圖象過原點(diǎn)，且滿足=則/'(0)等于

-Ax

()

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】c

【分析】由題得/(。)=0,再利用導(dǎo)數(shù)定義求解.

【詳解】:〃龍)圖象過原點(diǎn)，???"0)=0,

5。)="(°+何一也U1,

Ax-oAx心一。Ax

故選：c

2.(24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè))如果函數(shù)y=〃x)在x=l處的導(dǎo)數(shù)為1,那么為小+1)一〃1)=()

52x

A.yB.IC.2D.；

【答案】A

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求解.

【詳解】因?yàn)?'⑴=i,所以iin/a+x)-/⑴=1,

XT。X

所以1皿322>」.小3」.

%-o2x2%-ox2

故選：A.

3.(24-25高二下?河北石家莊?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/'(x)在點(diǎn)/附近有定義，且有

2

f(x0+/\x)-f(x0)^aAx+b(Ax)(a,6為常數(shù))，貝!]()

/

A.f'(x)=aB.f'(x)=bC./(x0)=aD.f'(x0)=b

【答案】C

【分析】由導(dǎo)函數(shù)的定義可得答案.

【詳解】因?yàn)榘?四土乂"1=a+Mx，

AxAx

所以/'(%)=lim=lim(tz+6Ax)=d!,

Hpr(x0)=?.

故選：c

能易錯(cuò)題通關(guān)

1.(24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè))若/'(%)=-2,則1而〃/)-/(>+.)=()

-Ax

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)瞬時(shí)變化率的定義即可求解.

【詳解】根據(jù)題意/'(%)=-2,

，

則lim〃％)-7'(%+△)=_Um=-/(x0)=2.

故選:D.

2.(24-25高三上?廣西玉林?期中)設(shè)〃x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若1而也二彩色=2a(°為常

數(shù))，則/'(%)=()

A.—2aB.2aC.~aD.a

【答案】A

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算即可求解.

【詳解】（）

/'%=lim=_limf（xH（x°）=_2a.

20—h2°h

故選：A

3.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=xlnx,則lim'O+"）一/⑴的值為（）

政.0Ax

A.2eB.0C.1D.e

【答案】c

【分析】利用導(dǎo)數(shù)定義求極限即可.

【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，得lim1）=/，⑴，

aAx''）

又/（x）=l+lnx,所以廣⑴=1.

故選：C.

4.（24-25高三上?上海?期中）若函數(shù)了=/（尤）在x=x。處的導(dǎo)數(shù)等于。，則lim"xo+2AY）-〃8）的值為

心―。Ax

（）

1

A.0B.-aC.aD.la

2

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)的定義直接計(jì)算可求解.

［詳解］］im〃0+2"/國(guó)）=2lim/（x°+2Ax」/（x。）=.

20Ax2。2Ax、7

故選：D.

5.（24-25高三上?貴州貴陽(yáng)?階段練習(xí)）若函數(shù)?=在區(qū)間（。,6）內(nèi)可導(dǎo)，且x0e（a,6）,則

［而〃/）一〃%+”的值為（）

2。h

A./'（x0）B.2/'g）C.-2/（x0）D.-/'（%）

【答案】D

【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.

［詳解］lim"/）一〃…）=_"（*一〃/+〃）一,（）,

20hhr。—hV°7

故選：D.

6.（23-24高二下?福建龍巖?階段練習(xí)）已知函數(shù)在x=處可導(dǎo)，且二/（%）=3,則

故一。2Ax

/'（%）=（）

3

A.-3B.-2C.——D.2

2

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求解.

【詳解】解：因?yàn)閘im"x。-3一）一/國(guó)）=3,

心f02Ax

所以二-3'）-/伉）=3即_：/”伉）=3,

所以/'（%）=-2,

故選：B

7.（24-25高二?全國(guó)?課后作業(yè)）（多選）若函數(shù)/（無(wú)）在無(wú)=%處存在導(dǎo)數(shù)，則lim”.+的值

力一>°h

（）

A.與x0有關(guān)B.與〃有關(guān)C.與不無(wú)關(guān)D.與h無(wú)關(guān)

【答案】AD

【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義可知，1加//+〃）-〃%）=八）,

DhV°7

函數(shù)/（X）在X=x°處的導(dǎo)數(shù)與X。有關(guān)，與人無(wú)關(guān)，

故選：AD.

8.（24-25高三上?浙江?階段練習(xí)）已知：當(dāng)"無(wú)窮大時(shí)，fl+-^的值為e,記為+=e.運(yùn)用上述

Vn）〃-nJ

結(jié)論，可得limln（l+2x）（x>o）=____.

3X

【答案】2.

【分析】利用換元法和對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)將所求式子化簡(jiǎn)為lim（l+』）"的結(jié)構(gòu)，即可求得.

n->+oo〃

【詳解】令l=2x,貝!|尤=,，x>0,x->0,貝ij/>（）,/->+oo,

t2t

因?yàn)閘im（l+-）"=e,

In[1+-

ln(l+2x)

則lim=lim-^-r-=2limt\n\1+-=2limln|1+-=2Ine=2.

x->0XL。1t->+<X>tt->+oo

2t------

2t

故答案為：2.

易錯(cuò)點(diǎn)02:錯(cuò)用函數(shù)的求導(dǎo)法則

般易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例(24-25高三上?山東聊城?期末)函數(shù)了=/3卜一|)的導(dǎo)數(shù)為(

)

A.=2xcoslx——-x2sinlx——

I3jI3

B.y—2xcos^2x———2x2sin——

C.y—x2cos^2x———2xsin(2x——

D.y'=2xcosl2x-y1+2x2sinI^x~~

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可求出原函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

【詳角星】yf=COS^2x-yj+X2COS^2x-yj=2xcos-yj+rVx-Orx_?

=2xcos(2x-gJ-2x2sin(2x-gJ.

故選：B.

【易錯(cuò)剖析】

本題容易錯(cuò)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則而出錯(cuò)，要注意求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則的適用前提.

【避錯(cuò)攻略】

1.求導(dǎo)的基本公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

/(x)=c(C為常數(shù))f'(x)=0

f(x)=xa(aeQ)f'(x)=axa^

/(X)="(。>0，。。1)/'(%)=axIna

f(x)=logx(q>0,qw1)/w=.

ax\na

/(X)=e*r(x)=ex

/(x)=lnxrw=-

/(x)=sinxf\x)=cosx

/(x)=cosxf\x)=-sinx

2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

(1)函數(shù)和差求導(dǎo)法則：[/(X)土g(x)]=f'(x)±g'(x);

(2)函數(shù)積的求導(dǎo)法則：[/(尤)g(x)]=/'(x)g(x)+/(x)g'(x);

/(x)]=/'(x)g(x)-/(x)g，(x)

(3)函數(shù)商的求導(dǎo)法則：g(x)/O

g(x)g“x)

3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)＞=/Tg(x)］的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=/(，，)，w=g(x)的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為匕'=/?；：

易錯(cuò)提醒：(1)復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù),乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)

數(shù)，即入'=%'.%'；(2)求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的總原則：先化簡(jiǎn)解析式，再求導(dǎo).注意以下幾點(diǎn)：連乘形式則先展

開化為多項(xiàng)式形式，再求導(dǎo)；三角形式，先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)；分式形式，

先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；復(fù)合函數(shù)，先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要

時(shí)可換元.

舉一反三

1.(24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè))已知某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為V=則這個(gè)函數(shù)可能是()

2(x-1)

A.y=InVl-xB.y=InrC.y-ln(l-x)D.y=ln-^—

Vl-xx-1

【答案】A

【分析】利用復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則逐項(xiàng)計(jì)算即可得到結(jié)果.

【詳解】對(duì)于A,函數(shù)歹=lnVi二工可以看作》=ln〃,〃=4和v=l-x的復(fù)合函數(shù)，

=小心”(InWI-g.f匕1;/”1卜一l)=y1f1(T)-1_1

,符合題意;

2(l-x)-2(x-l)

對(duì)于B'〉=ln看-nG'???"仁’不符合題意;

對(duì)于C,y=ln（l-x）可以看作y=lna和w=1-x的復(fù)合函數(shù),

,,

y'x=y'u-u'x=(inM)(i-x)=--(-i)=^-,不符合題意;

UX-]

對(duì)于D,V=ln-^=-ln(x-l),=-一二,不符合題意.

x-1x-1

故選：A.

2.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）下列求導(dǎo)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）

/、，1

A.(tan%)=-tanxB-2)F

C.(2e、"j=(4x+2)e"

【答案】A

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則與復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式求解判斷即可.

【詳解】A項(xiàng)，（tanx）'/匈[=cos『cosx：sinx-sinx=」,故A錯(cuò)誤;

IcosX）cosXcosX

B項(xiàng)，（log2X）'=一二，故B正確；

xln2

C項(xiàng)，（2e'+，）'=2e，*（2;c+l）=（4x+2）em，故C正確；

D項(xiàng)，（-L]=--x~=——二,故D正確.

IJxJ\J22xy/x

故選：A.

3.（24-25高三?全國(guó)?聯(lián)考）已知函數(shù)/（X）=COS]2X+3則（）

11

A.—1B.—C.1D.—

22

【答案】A

jr

【分析】先利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求出導(dǎo)函數(shù)，將％=:代入求值即可.

【詳解】S^/（x）=cos^2x+^,貝ij/'（x）=-2sin（2x+gj,

所以/[e）=_2sin]|'+]]=_2cos.

故選：A

＞易錯(cuò)題通關(guān)

1.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）函數(shù)了=xln（2x+5）的導(dǎo)數(shù)為（）

A.y'=2xln（2x+5）B.y=-----

2x+5

0Y

C.=ln（2x+5）+2^5D./=ln（2x+5）+--------

l72x+5

【答案】D

【分析】根據(jù)乘法的導(dǎo)數(shù)以及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等知識(shí)來(lái)求得正確答案.

【詳解】因?yàn)榱?xln（2x+5）,

所以y=[xln（2x+5）]=￡ln（2x+5）+x[ln（2x+5）]

=In（2x+5）+x?21§?（2x+5）'=In（2x+5）+】§

故選：D

2.（24-25高三上?北京?開學(xué)考試）在下列函數(shù)中，導(dǎo)函數(shù)值不可能取到1的是（）

A.y=x\nxB.V=cosxC.y=TD.y=x-Inx

【答案】D

【分析】分別對(duì)各選項(xiàng)中函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)值等于1時(shí)，判斷能否求出對(duì)應(yīng)的工的值，即可確定.

【詳解】對(duì)于A,y=lnx+l,令lnx+l=l,得x=l,即A選項(xiàng)導(dǎo)函數(shù)值可以取到1；

對(duì)于B,y=-sinx,令-sinx=l,得％二萬(wàn)+2析，keZ,即B選項(xiàng)導(dǎo)函數(shù)值可以取到1；

對(duì)于C,3心令21-上，

由于工＞1，所以x=log2」，即C選項(xiàng)導(dǎo)函數(shù)值可以取到1；

對(duì)于D,y'=l--,令1-工=1,則工=0,不存在x使其成立，即D選項(xiàng)導(dǎo)函數(shù)值不可能取到1,

XXX

故選：D.

3.（24-25高三上?上海寶山?階段練習(xí)）己知y=e'cosx,則（）

A.y'--exsinxB.y'-eT-sinx

C._/=V^e*sin(x+jD.了=V^e，sin-xJ

【答案】D

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】由>=evcosx,則y'=e'cosx+e”?(-sinx)=e*?(cosx-sinx)=J^e'sin-x]

故選：D.

4.(24-25高三上?山西?期中)若函數(shù)〃x)滿足〃x)=x3_；/⑵/_3x,則/⑵的值為()

A.-1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】求解導(dǎo)函數(shù)，再賦值尤=2,解關(guān)于/'（2）的方程可得.

【詳解】由〃X）=X3-；/，（2）X、3X,得/（刈=3--/（2）》一3,

貝|/'（2）=12-2-（2）-3,解得r（2）=3,

故選：C.

5.（24-25高二下?遼寧?階段練習(xí)）（多選）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）

1

A.(In2022)'B.。加討=龍山4

-2022

___p=3x2-1

C.力二D.

VtanxJsin2xX)X

【答案】BC

【分析】根據(jù)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)求法判斷各項(xiàng)正誤.

【詳解】由ln2022為常數(shù)，貝i](ln2022)'=0,A錯(cuò)誤；

^log4x=l+logx,貝I](log44x)，=(I+bg4x)，=—,B正確；

44xln4

2?正確;

由-sinx-cos^=_^,

VtanxJIsinxsi,n2xsi?n2x

由「一=3x2+4，D錯(cuò)誤.

X

故選：BC

6.（24-25高三上?陜西咸陽(yáng)?期中）（多選）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）

xcosx-sinx

A.B.=1+1

X2

%

C.(log23y=0D.e

【答案】ABC

【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則可得選項(xiàng)A,B,C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

(sinx)r-x-sinx?￡_xcosx-sinx

【詳解】A.，選項(xiàng)A正確.

X2X2

1+4，選項(xiàng)B正確.

B.二x一

x

C.log23為常數(shù)，選項(xiàng)C正確.

D.x2e'X2?ex+x2e=2xex+x2ex=e"，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

7.（24-25高三上?江蘇淮安?開學(xué)考試）（多選）下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）

11

B.（一）』一*C.(tanx)'=-D.(In曲

X2cosxX

【答案】ACD

【分析】利用求導(dǎo)公式逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,(-)—7，故A正確;

x

對(duì)于B,e-）=—e-"故B錯(cuò)誤;

2?2

/、，/Sinx、，cosx+sinx

對(duì)于C,(tanx)=(------)=—故c正確;

cosxcos2XCOSX

(Inx)\x>0

對(duì)于D,(1巾|)'=<r故口正確

[in(-x)],x<0

故選：ACD

8.（24-25高三上?江蘇鹽城?階段練習(xí)）（多選）下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）

1B

A.-")'=er

7

c.(tarw)'=^-D.(Igx)'=—

cosxxlnlO

【答案】ACD

【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式、運(yùn)算法則和簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)依次計(jì)算，即可求解.

【詳解】A：(工)'=(一)'=一近=一4,故A正確；

XX

B：(尸丫=(尸).(-。=-尸，故B錯(cuò)誤；

—/、，sinx.,(sincosx-sinx(coscos2x+sin2x1工上——7yz.

C:(tanx/=(z——/=-——-----2——-——-=------2-----=—―，故C正確；

cosxcosXcosXcosX

D：(lgx)'=一二，故D正確.

xlnlO

故選：ACD

易錯(cuò)點(diǎn)03：混淆“在某點(diǎn)”和“過某點(diǎn)”切線的區(qū)別

,易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例(2024?新疆?二模)過點(diǎn)(1,4)且與曲線/(力=解+工+2相切的直線方程為()

A.4x-y=0B.7x—4y+9=0

C.4x-y=0^7x-4y+9=0D.4x-y=0或4x—7y+24=0

【答案】C

【分析】先設(shè)過點(diǎn)的切線，再根據(jù)點(diǎn)在曲線上及切線斜率等于導(dǎo)數(shù)值解方程即可求值進(jìn)而求出切線.

【詳解】設(shè)過點(diǎn)(1,4)的曲線y=/'(%)的切線為：l-.y-yo=(3%0+

有](3就+l)(l-x0)=4—yo

[yo=高+曲+2

代入/可得4x—y=0或7x—4y+9=0.

故選：C

【易錯(cuò)剖析】

本題容易誤將(1,4)點(diǎn)當(dāng)做函數(shù)的切點(diǎn)而出錯(cuò)，要注意過P點(diǎn)的切線P不一定是切點(diǎn).

【避錯(cuò)攻略】

1.在點(diǎn)P的切線方程

切線方程=的計(jì)算：函數(shù)7=/(x)在點(diǎn)/(%,/(%))處的切線方程為

%=/(x0)

?y-/(Xo)=/'(x())(x-Xo),抓住關(guān)鍵

k=f'M'

2.過點(diǎn)尸的切線方程

,

設(shè)切點(diǎn)為則斜率左=/'（%）,過切點(diǎn)的切線方程為：y-y0=/（x0）（x-x0）,又因?yàn)榍芯€方

程過點(diǎn)/（加，"），所以"-%=/'（工0）（正-修）然后解出/的值.（X。有幾個(gè)值，就有幾條切線）

【注意】在做此類題目時(shí)要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外.

易錯(cuò)提醒：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題，一定要熟練掌握以下三點(diǎn)：

（1）函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率，即已知切點(diǎn)坐標(biāo)可求切線斜率，已知斜率可求切點(diǎn)坐標(biāo).

（2）切點(diǎn)既在曲線上，又在切線上，切線還有可能和曲線有其它的公共點(diǎn).

（3）曲線產(chǎn)〃目“在”點(diǎn)P（x0,y0）處的切線與“過”點(diǎn)尸（看,%）的切線的區(qū)別：曲線在點(diǎn)

處的切線是指點(diǎn)p為切點(diǎn)，若切線斜率存在，切線斜率為左=廣（/）,是唯一的一條切線；曲線＞=/（x）過

點(diǎn)尸（看,%）的切線，是指切線經(jīng)過點(diǎn)P,點(diǎn)P可以是切點(diǎn)，也可以不是切點(diǎn)，而且這樣的直線可能有多條.

（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法

利用切點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程（組）或者參數(shù)滿足的不等式

（組），進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍.

（3）求解與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)問題時(shí)應(yīng)注意的兩點(diǎn)

（1）注意曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍；

（2）謹(jǐn)記切點(diǎn)既在切線上又在曲線上.

舉一反三

1.（24-25高三上?廣東?階段練習(xí)）函數(shù)/（x）=lnx+2x的圖象在點(diǎn)（1,2）處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形

的面積為（）

11c11

A.-B.—C.—D.一

2368

【答案】c

【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程，進(jìn)而可切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，即可得三角形面積.

【詳解】由〃x）=lnx+2x,得/，（x）=：+2,r（l）=3,

則〃x）的圖象在點(diǎn)（1,2）處的切線方程為”2=3（xT）,B|Jj=3x-l,

令x=0,得歹=-1,令>=0,得

則該切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為!xlx?=J,

236

故選：C.

2.（23-24高二下?山西晉城?期末）過原點(diǎn)O作曲線/（x）=e，-◎的切線，其斜率為2,則實(shí)數(shù)。=

A.eB.2C.e+2D.e-2

【答案】D

【分析】設(shè)出切點(diǎn)，求導(dǎo)，得切點(diǎn)處的切線方程，即可代入原點(diǎn)（。,0）求解.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)（%,%）,則/'（x）=1-“，

故切點(diǎn)處的切線方程為>=（e*-+-ax。，故-a=2,

將（0,0）代入得0=-2x（）+e與一ax0,故O=-2xo+a+2-aXo,解得a=—2或無(wú)。=1,

若a=-2,貝！］9。+2=2,止匕時(shí)無(wú)解，故。=一2不符合題意，

若x0=l,貝Ue-。=2,故a=e-2,此時(shí)滿足題意，

故選：D

3.（24-25高三?山東臨沂?期中）若過點(diǎn)（。力）可以作曲線>=/+】的兩條切線，貝U（）

A.e6+1<aB.ea+x<bC.0<Z><efl+1D.0<a<e6+1

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，求出切線方程，然后對(duì)6進(jìn)行討論即可.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為P（%,%）,

對(duì)>=尸|求導(dǎo)可得：了'=落，

???切線的斜率為ex?+1,

+>+i

可得切線方程為：y-^=^（x-x0）,

x+1x+1

把點(diǎn)（。,6）代入可得6-e?=e?（a-x0）,

Xo+1

化為&=e（a-xo+l）,

令/(x)=ex+1(a-x+l),xeR,

，'(x)=eH("x),

令/'(">0得x<。;令/'(x)<0得x>a

所以函數(shù)y(x)在(-叫。)上單調(diào)遞增，在(。,+8)上單調(diào)遞減，

可得x=a時(shí)函數(shù)取得極大值〃a)=e-L

當(dāng)xf-e時(shí),/(x)>0,/(x)->0,

當(dāng)x—>+<x>時(shí)，/(X)—>—oo.

.-.&<0時(shí)，y=b與函數(shù)/(%)的圖象最多有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，舍去.

b>0時(shí)，由過點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=的兩條切線，

■-y=b與函數(shù)/(X)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

:.0<b<e"+i.

故選：C.

能易錯(cuò)題通關(guān).

1.(24-25高三上?江蘇鹽城?階段練習(xí))曲線y=—(x-l)在x=l處的切線方程為()

A.x=lB.y=lC.y=xD.y=x-l

【答案】D

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程.

【詳解】因?yàn)?gt;所以了=3x2-2x,

所以曲線y=/(x-l)在x=l處的切線的斜率為1,

當(dāng)x=l時(shí)，y=0,所以切點(diǎn)為(1,0),

所以切線方程為即V=x-1.

2.(24-25高三上?河南?階段練習(xí))曲線>=/-2"在x=0處的切線經(jīng)過點(diǎn)則實(shí)數(shù)。的值為()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)幾何意義得到函數(shù)在x=0處的切線斜率，結(jié)合兩點(diǎn)間斜率公式得到方程，求出實(shí)數(shù)“

的值.

【詳解】y'=e-?.a,由導(dǎo)數(shù)幾何意義知,

丁=^-2"在》=0處的切線斜率為6°—24=1—2°,

當(dāng)x=0時(shí)＞=1,切線經(jīng)過點(diǎn)（2,-1）,故有?=解得。=1.

故選：C.

3.（24-25高三上?海南省直轄縣級(jí)單位?階段練習(xí)）函數(shù)歹=三|在點(diǎn)（°，一）處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的封

閉圖形的面積為（)

A.-B.；C.yD.1

8

【答案】B

【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，進(jìn)而可得交點(diǎn)坐標(biāo)和面積.

Y—12,2

【詳解】因?yàn)閥=--=1——?jiǎng)t可得VL=2,

x+lx+1（x+1）

即切點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-1）,切線斜率為2,

則切線方程為＞=2x-l,其與x軸交點(diǎn)為

所以切線與兩坐標(biāo)軸圍成的封閉圖形的面積為:x；xl=；.

故選：B.

4.（24-25高三上?天津武清?階段練習(xí)）若直線歹=船與曲線y=lnx+[相切，則左=（）

2x

Ic111

A.In2H—B.-C.—D.4

424

【答案】B

【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P（%o，y。），求導(dǎo)并利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義與兩點(diǎn)間的斜率公式計(jì)算可得直線斜率.

【詳解】設(shè)直線》=而與曲線＞=限+1相切于點(diǎn)P（%o,yo）,

2x

求導(dǎo)可得J,因此切線斜率左弋-1_2x0-1

2片

lnxnH--------0

又切線過原點(diǎn)。(0,0),可得”:2/化簡(jiǎn)可得/1鵬-%+1=0,

0°~~xo-O—-2*

令g(x)=xlnx-x+l,則g，(x)=lnx+1-1=lux,

當(dāng)％e(0,1)時(shí)，g'(x)<0,即g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，g,(x)>0,即g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增,

所以g(x)在x=l處取得極小值,也是最小值，g(l)=0,

72x-11

因此可得％=1,即可得左=芍n廠=5.

故選：B

5.(2024?河南洛陽(yáng)?三模)(多選)若過點(diǎn)尸(1,0)作曲線y=x3的切線，則這樣的切線共有()

A.0條B.1條C.2條D.3條

【答案】C

【分析】設(shè)切點(diǎn)為(％,/)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)斜式直線方程求出切線方程，根據(jù)過點(diǎn)尸(1,0)建立方

程，求得切點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為切線的條數(shù).

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為(吃,")，由y=所以了=3/，得以』=3x；,

所以切線方程為=3x：(x-Xo),即y=3x：x-2元;.

因?yàn)榍芯€過點(diǎn)尸(1,0),所以o=3x；-2x；,解得X°=O或%=],

所以過點(diǎn)尸(1,0)作曲線y=/的切線可以作2條.

故選:C

6.(24-25高三?山東日照?期中)已知過點(diǎn)/(。,0)作曲線y=xe'的切線有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)。的取值可能

為()

A.-2B.-3C.-4D.-5

【答案】D

【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，并將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入建立方程，求出方程有

兩個(gè)不等實(shí)根的參數(shù)范圍即可.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為10，%6頻)，由y=x],求導(dǎo)得]=(x+l)e*,

則切線方程為：>=(%+1)/。@一/)+//。，而切線過點(diǎn)(見0),

于是0=(X()+l)e%a-x；e%,又留>0,貝！|龍；一"。一。=0,

依題意，方程%；-a/-。=0有且僅有兩個(gè)不等實(shí)根，則A=q2+4a＞0,

解得。＞0或。＜-4,所以。=-5符合題意.

7.(23-24高二下?北京西城?階段練習(xí))已知直線夕=四-2是曲線歹=lnx的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.1,一11B.(e,l)C.HD.(。，1)

【答案】A

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為&加。，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，對(duì)比系數(shù)即可求出切點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(，,3),因?yàn)?lnx)'=L所以在點(diǎn)化In。處切線的斜率為L(zhǎng)

%t

所以曲線＞=lnx在點(diǎn)處的切線方程為y-ln￡=；(xT),

1

1-=e1

即=所以f,解得f=—,

t[-2=ln/-le

所以切點(diǎn)為[：,T]

故選：A

8.(24-25高三上?上海?開學(xué)考試)經(jīng)過點(diǎn)P(L-2)可以作與曲線2/_3x7=0相切的不同直線共有()

A.0條B.1條C.2條D.3條

【答案】D

【分析】設(shè)切點(diǎn)為(%,2片-3%),則切線的斜率為6年-3,又切線過點(diǎn)尸(1,-2),可得4x；-6x；+l=0,設(shè)

g(%)=4焉-6x；+1,由導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)的存在性可得g(%)與x軸有3個(gè)交點(diǎn)，則有3條切線.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為(%,2%-3x°),/=6X2-3,

則切線的斜率為6x；-3,

又切線過點(diǎn)尸(1廠2),

所以2x；-3x0+2=(6XQ-3)(X0-1),

貝l]4焉一6x；+l=0,設(shè)g(尤o)=4x；-6x：+1,

則8'(%)=12片-12%,令g'(xo)=。，

解得％=0或%=1,

當(dāng)/€(-8,0)和/€(1,+8)時(shí)g，(X())>0,函數(shù)g(X(>)單調(diào)遞增，

當(dāng)/?0,1)時(shí)g[Xo)<0,函數(shù)g(%)單調(diào)遞減,

又g(T)=-4-6+1=-9<0,^(0)=1>0,

g(l)=4-6+1=-1<0,g(2)=4x8-6x4+l=9>0,

所以存在西e(-8,0),g(xJ=0；x2e(0,l),g(x2)=0；x3e(l,+oo),g(x3)=0,

所以g(x())=4x；-6x；+1與x軸有3個(gè)交點(diǎn),

則經(jīng)過尸(1,-2)有3條切線.

故選：D.

易錯(cuò)點(diǎn)04：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間忽略定義域

易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例(23-24高二下?寧夏吳忠?期中)函數(shù)/(x)=2的單調(diào)減區(qū)間為()

IWC

A.(-s,e)B.(0,e)C.(l,e)D.(0,1)和(Le)

【答案】D

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再解不等式即得答案.

【詳解】函數(shù)/(X)=F的定義域?yàn)?0，1)口(1，+8)，求導(dǎo)得/'(x)='^W，

Inx(Inx)

由/''(x)<0,即V<0,解得0<x<l或l<x<e,

？(lux)

所以函數(shù)/(x)=品的單調(diào)減區(qū)間為(0,1)和(1,e).

故選：D

【易錯(cuò)剖析】

本題容易忽略定義域?yàn)?0,1)口(1,+8)而錯(cuò)選B.

【避錯(cuò)攻略】

1.函數(shù)單調(diào)性的判定方法

設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f(x)>0,則y=/(x)為增函數(shù);如果"x)<0,則y=/(x)

為減函數(shù).

【解讀】①利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，要在函數(shù)的定義域內(nèi)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào);

②在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，/'(x)>0(/'(x)<0)是函數(shù)/(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增(減)的充分條件，而不是必

要條件.例如，函數(shù)/(x)=d在定義域(—00,+00)上是增函數(shù)，但/<乃=3/20.

2.求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟

①確定函數(shù)/(x)的定義域；

②求/'(x),令/(x)=o,解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)；

③把函數(shù)/(x)的間斷點(diǎn)的橫坐標(biāo)和/'(x)=0的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來(lái)，然后用這些點(diǎn)把

函數(shù)/(x)的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間；

④確定/'(x)在各小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)/'(x)的符號(hào)判斷函數(shù)/(x)在每個(gè)相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的增減性.

3函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)與求函數(shù)單調(diào)區(qū)間

f'(x)>0=>/(x)單調(diào)遞增；/(x)單調(diào)遞增nf'(x)>0；

r(x)<0=>/(x)單調(diào)遞減；/(x)單調(diào)遞減=>f\x)<0.

易錯(cuò)提醒：(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須樹立定義域優(yōu)先的思想，即先求函數(shù)的定義域，然后再定義域上求

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)含參函數(shù)單調(diào)性討論的分類標(biāo)準(zhǔn)：①函數(shù)類型；②開口方向；③判別式；④導(dǎo)數(shù)等

于0有根無(wú)