第4章三角形單元測試卷（B卷?提升能力）

【北師版】

考試時間：120分鐘；滿分：150分

題號一二三總分

得分

第I卷（選擇題）

一、單選題（共12題，每題4分，共48分）

1、在自習課上，小紅為了檢測同學們的學習效果，提出如下四種說法：

①三角形有且只有一條中線；②三角形的高一定在三角形內部；③三角形的兩邊之差大于第三邊；④三角

形按邊分類可分為等腰三角形和不等邊三角形.其中錯誤的說法是（）

A.0X2）B.0X3）C.dX2）（3）D.（TX2）（3）@

【答案】c

【詳解】①三角形有三條中線，故①錯誤；②鈍角三角形三條高，有兩條在三角形外部，故②錯誤；

③三角形的任意兩邊之差小于第三邊，故③錯誤；④三角形按邊分類可分為等腰三角形、不等邊三角形，

故④正確；綜上，選項①②③錯誤，故選：C.

2、如圖，已知45=。。,乙鉆。=/。8.能直接判斷445。均\。（加的方法是（）

A.SASB.AASC.SSSD.ASA

【答案】A

AB=DC

【解析】在AABC和ADCB中，＜ZABC=ZDCB△ABCgZV)CB(SAS),故選：A.

BC=CB

3、如圖，AD,CE分別是△ABC的中線與角平分線，若NB=NACB,N8AC=40。，則NACE的度數是

A.20°B.35°C.40°D.70°

【答案】B

1800-40°

【詳解】解：QNB=ZACB,ABAC=40°,..ZB=ZACB=-------------=70°,

2

:。￡是4^。角平分線，，/4。石=!乙4。3=35°,故選：B.

2

4、若AABC的邊長都是整數，周長為12,且有一邊長為4,則這個三角形的最大邊長為（）

A.7B.6C.5D.8

【答案】C

【詳解】解：設這個三角形的最大邊長為°,最小邊是從根據已知，得a+6=8.

根據三角形的三邊關系，得：a-Z?<4,當a-6=3時，解得a=5,6=2；故選：C.

5、將一副三角板按如圖方式放置，使所//A5,則Ne的度數是（）

A.95°B,100°C.120°D,105°

【答案】D

【詳解】如圖，設BC與EF交于點G.；EF//AB,：.NFGC=/ABC=45。.

ZBGE=ZFGC=45°.Za=ZBGE+ZE,NE=60°Na=45。+60°=105°

故選：D.

6、如圖，在AABC中，點。是BC的中點，點E是上的一點，且S—BC=7,則陰影部分的面積為（）

A.3B.3.5C.4D.4.5

【答案】B

【詳解】SAABC=7,解：二,點D是BC中點，-0-SAABD=SAACD,SAEBD=SAECD,*?-SAABE=SAACE,

_7_

,?S陰影=S4EBD+SAACE=SAABC=——3.5,故選B.

6題圖7題圖8題圖

7、如圖，A,B兩點分別位于一個池塘的兩端，小明想用繩子測量A,B間的距離，但繩子不夠長，位同

學幫他想了一個主意：先在地上取一個可以直接到達A,B的點C,連接AC并延長到點D,使CD=C4,

連接BC并延長到點E,使CE=CA,連接DE并且測出DE的長即為A,B間的距離，這樣實際上可以

得到△ABCgWEC,理由是（）

A.SSSB.AASC.ASAD.SAS

【答案】D

CA=CD

【詳解】在△ABC與ADEC中，IZACB=NECD;.AABCGDEC（SAS）故選：D

BC=CE

8、如圖，在△ABC中，ZABC=45°,AC=9cm,尸是高AD和BE的交點，則8尸的長是（）

A.4cmB.6cmD.9cm

【答案】解：如圖所示：B----------D-C

VADXBC,BELAC,：.ZADC^ZADB^90°,ZBEA=90°,又；NFBD+NBDF+NBFD=180°,

ZFAE+ZFEA+ZAFE=180°,NBFD=/AFE,：.Z.FBD=ZFAE,又：/ABC=45°,ZABD+ZBAD

，/.RD:/CAF)

=90°,NBAD=45°,：.BD^AD,在△尸2。和△C4￡)中，1/FDB：NCDA'^FBD-△CAD(AAS),

J.BF^AC,又?；AC=9CTM,；.BF=9cm.故選：D.

9、如圖，大樹AB與大樹CO相距13機，小華從點8沿BC走向點C,行走一段時間后他到達點E,此時他

仰望兩顆大樹的頂點A和。，兩條視線的夾角正好為90°,且EA=EZ）,已知大樹AB的高為5m，小華

行走的速度為小華行走到點E的時間是（）

A.13B.8C.6D.5

D

9題圖10題圖

【答案】B

【詳解】解：VZAED=90°,AZAEB+ZDEC=90°,VAB￡=90°,AZA+ZAEB=90°,

，ZB=ZC

AZA=ZD￡C,在△ABE和△OCE中，，NA=NDEC，/\ECD(AAS),：.EC=AB=5m,

AE=DE

'：BC=13m,:.BE=8m,...小華走的時間是8+1=8(s),故選：B.

10、如圖，在△ABC中，點D,E分別在邊AB,上，點A與點E關于直線CD對稱若鉆=7,47=9,

BC=n,則ADBE的周長為()

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【詳解】連接AE,交CD于點0,,由點A與點E關于直線CD對稱，二人石LCDAO=OE

AO=OE

在AAOC與AEOC中，,.?，NAOC=Z.EOC：.AAOC=^EOC(SAS)AC=EC

oc=oc

AO=OE

同理，在AAOD與△EOD中，????NAOD=ZEOD:.AAOD^^EOD(SAS)：,AD=AE

OD=OD

vAB=7,AC=9,BC=12,?.ADBE的周長為：5D+DE+5E=5D+AD+(5C—EC)

=BD+AD+(BC-AC)=AB+BC-AC=7+12-9=10故選：B.

11、數學課上，老師給出了如下問題：

如圖1,ZB=ZC=90°,E是的中點，OE平分/ADC,求證：AB+CD=AD.

小明是這樣想的：要證明A5+CD=4。，只需要在AD上找到一點歹，再試圖說明"=A5,DF=CD

即可.如圖2,經過思考，小明給出了以下3種輔助線的添加方式.

①過點E作石交AD于點/；

②作EF=EC,交于點尸；

③在AZ）上取一點/，使得DE=DC,連接EP；

上述3種輔助線的添加方式，可以證明“A5+CD=A￡>”的有（）

【答案】B

【詳解】解：①如圖1,過作EFLAD,垂足為點歹,

2c=ZDFE

?;DE平分/ADCNFDE=NCDE,在ADCE和ADEE中，＜NCDE=NFDE,

DE=DE

:.ADEF=ADCE(AAS);：.CE=EF,DC=DF,ZCED=ZFED,?.?石是BC的中點，..CE=￡B,

BE=FE

：,EF=EB在RtAABE和RtAAFE中，\RtAAFE=RtAABE(HL),.-.AF^AB,

AE=AE

:.AD=AF+DF=AB+CD.②如圖2,作EF=EC,交AD于點/；;EF=EC,DE=DE,

NFZ汨=NCDE,.?.根據SSA不能證明ADEF三ADCE,.,.這種輔助線的添加方式不能證明結論

AO=AB+CD.③如圖3,在上取一點歹，使得連接班，

DC=DF

在ADCE和ADFE中,＜NCDE=ZFDE,ADEF=ADCE(SAS);：.CE=EFZECD=/EFD=90°

DE=DE

BE=FE

是的中點，:.CE=EB,：.EF=EB在RtAABE和RtAAFE中，＜

AE=AE

RtAAFE=RtAABE（HL）;.-,AF=AB,:.AD=AF+DF=AB+CD.故選：B

12、如圖，AABC中，ZABC=45°,CD±AB于D,BE平分4ABC,且BE1AC于E,與CD相交于點F,

則①DH=HC；②DF=FC；③BF=AC；@CE=▲BF中正

H是BC邊的中點，連接DH與BE相交于點G,

2

確有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】解：①.?.CD_LAB于D,ZBDC=90°,?JH是BC邊的中點，.?.DH=CD,二①正確;

②過F作FMJ-BC于M,見|FM<FC,

1,BE平分乙ABC,??.DF=FM,DF<FC,”②錯誤；

③?.?乙ABC=45。，CD_LAB于D,.1△BCD是等腰直角三角形，..BD=CD,

CD1ABTD,BE_LAC于E,...乙DBF+4A=90°,4ACD+4A=90°,，2DBF=4ACD,

ZDBF=ZACD

在4BDF與^CDA中，<BD=CD,ABDF^ACDA（ASA）,BF=AC,③正確；

ZBDF=ZCDA=90°

④BE平分心ABC,且BE_LAC于E,4ABE=4CBE,AAEB=ZCEB=90°,

ZABE=ZCBE

?■.iSAABE與^CBE中,BE=BE,AABE^ACBE（ASA）,AE=CE=—AC,

2

ZAEB=ZCEB=90°

1

,.AC=BF,.'.CE=—BF,④正確.所以，正確的結論是0X3）④，故選：C.

2

第II卷（非選擇題）

二、填空題（共4題，每題4分，共16分）

13、如圖，已知41=42、=若再增加一個條件不一定能使結論△ADEMAA5c成立，則這個條件

是.

D

f

【答案】DE=BC

【解析】增加的條件為DE=8。理由：；N1=N2,N1+NH4石=N2+NA4E

ZDAE=ZBAC

-：AD=AB,DE=BC

■■■AAE>EM"LBC不一定成立，故答案為：DE=BC

14、若a,b,c是AABC的三邊長，則化簡|a+Z?—c|+弧—c—的結果是-

【答案】2a

【詳解】解:'-'a,b,c為三角形三邊上，，a+b-c>0,b-c-a<0,

則原式=a+6-c-6+a+c=2a,故答案為：2a.

15、如圖，D,E分別是6c邊A3,上的點，AD=2BD,BE=CE,設△AOC的面積為5,

△ACE的面積為S?,若S?BC=18,則，一星的值為.

【答案】3

【詳解】解：；BE=CE,

SXACE=—S?ABC=—x18=9,

22

■.AD=2.BD,

22

?1S^ACD——S"BC=—*18=12,

33

??5I-S2=5AACD_5AAC￡=12-9—3.

故答案為：3.

16、已知AMC中，ZBAC=90°,AB=AC,點。為的中點，點E、尸分別為邊A3、AC上的

動點，且/EDb=90°,連接EF,下列說法正確的是.（寫出所有正確結論的序號）①

“EF+NCFE=2N；②ED=FD；③EF=FC；④S四邊”f皿

A

F

【答案】①②3)

［詳解】ZBEF+ZCFE=(NAEB-ZAEF)+(ZAFC-ZAFE),

=(NAEB+ZAFC)-1NAEF+NAFE、,=360°-(180°-ZJ),=360°-90°=270°；

故①正確；連接AD,

???Z￡L4C=90°,AB=AC,..ZS=NC=9O。，

又,??點。為的中點，,=ZBDA=90°,ZZMC=45°,舞/EBD=ADAF,

又/EOF=90°,?EDA?ADF90°,

又ZBDA=ZBDE+ZEDA=90。，ZBDE=ZADF,

NEBD=NDAF

在ABED和AAFD中，｛BD=AD,；.八RED?八AFD.，ED=FD；故②正確；

ZBDE=ZADF

■.-^BED=AAFD,S^BED=S△叱

則S四邊形物尸=S△的+S&ADF=S4ABD+S4BED=54ABD=萬/\ABC,故④正確，

當點E移動到點A時，此時點F與點C重合，很明顯此時EF=AC,FC=O,即石尸WFC；

故③錯誤；故答案為④,

三、解答題（共9題，17、18題每題8分，19-25題每題10分，共86分）

17、已知：兩邊及其夾角，線段a,c,Za.

求作：△A6C,使5C=a,AB=c,（用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）.

請你根據所學的知識，說明尺規作圖作出NA5C=Ncr,用到的是三角形全等判定定理中的作出

的AABC是唯一的，依據是三角形全等判定定理中的.

【答案】作圖見解析；SSS,SAS.

【詳解】解：⑴如圖所示：

(2)尺規作圖作出乙ABC=4a,用到的是三角形全等判定定理中的SSS,作出的AABC是唯一的，依據是三

角形全等判定定理中的SAS.

18、王強同學用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以

放進一個等腰直角三角板(AC=BC,ZACB=9Q°)，點C在上，點A和8分別與木墻的頂端重合,

求兩堵木墻之間的距離.

DCE

【答案】解：由題意得：AC^BC,/ACB=90°,ADLDE,BELDE,：.ZADC^ZCEB^9Q°,

：.ZACD+ZBCE=90°,ZACD+ZDAC=90°,AZBCE=ZDAC,

rZADC=ZCEB

在△ADC和△CEB中，<ZDAC=ZBCE>△ADC^△CEB(AAS)；

AC=BC

由題意得：AD=EC=6cm,DC=BE=14ctn,；.DE=DC+CE=20(cm),

答：兩堵木墻之間的距離為20c〃z.

19、如圖，AB//CD.與相交于點E,AF平分乙BAD交于點￡交CQ的延長線于點G.

AB

(1)若4G=29。，求乙AOC的度數；

⑵若點F是的中點，求證：AB=AD+CD.

【答案】(1)58°；⑵詳見解析

【解析】證明：(1)：AB〃CDABAG=AG,ABAD=AADC.

...AB平分乙BAD,???ABAD^2ABAG^2AG.

■■■AADC=ABAD=2AG.

???ZG=29°,AADC=58°.

(2)...AF平分乙BAD???^BAG=ADAG.

■：乙BAG=LG,■■■乙ZMG=4G.

?*-AD=GD.

??,點尸是BC的中點，.-.BF=CF.

在AAB尸和AGC尸中，

ZBAF=NG,

?.?<NAFB=ZGFC,

FB=FC.

■■■AABF^AGCF.

.AB=GC.

AB=GD+CD=AD+CD.

20、如圖，已知AN分別是AA6c的高和中線，AB=5cm,AC=12cm,BC=13cm,

ZBAC=90°.試求：

(DAM的長；

(2)A4BN的面積；

(3)AACN和AABN的周長差.

【答案】⑴[cm;(2)15cm2；閉7皿

【詳解】(D；NR4c=90。，AM是邊上的高，=

22

AM=ABAC=5x12^13=—(cm),即AM的長度為的cm;

BC1313

(2)如圖，:△ABC是直角三角形，ABAC=90°.AB=5cm,AC=12cm,

2

SABC=-AB-AC=-x5xl2=30(cm).又：AiV是邊BC的中線，?.5N=NC,

：.；BN.AM=gNC.AM,即S..N=1^,，,S“BN=；S“BC=15(cm2).

「?△ABN的面積是15cm2.

(3)；AN為BC邊上的中線，

；BN=NC,

AAOV的周長-AABN的周長=AC+A/V+CN—(AB+5N+A2V)=AC—AB=12—5=7(cm),

即八4@和AABN的周長的差是7cm.

21、如圖，已知△ABC中，AB^AC^lQcm,BC=8cm,點。為AB的中點.如果點尸在線段BC上以3CT?I/S

的速度由點B向C點運動，同時，點。在線段CA上由點C向A點運動.

(1)若點。的運動速度與點P的運動速度相等，經過1秒后，與△CQP是否全等，請說明理由.

(2)若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△2尸。與△C。尸

全等？

【答案】解：⑴經過1秒后，PB=3cm,PC=5cm,CQ=3cm,

?.,△ABC中，AB=AC,

.,.在△BP。和△CQP中，

'BD=PC

<ZABC=ZACB>

BP=CQ

△8PD@△CQP(SA5).

⑵設點。的運動速度為x(x#3)cm/s,經過ts/\BPD與△CQP全等;

則可知P2=3tcv",PC=8-3tcm,CQ=xtcm,

'：AB^AC,:.NB=NC,

根據全等三角形的判定定理SAS可知，有兩種情況：

①當B￡>=PC,BP=C。時，②當8。=。。，8P=PC時，兩三角形全等；

①當B￡)=PC且BP=C。時，8-3/=5且次=尤3解得x=3,Vx#3,舍去此情況；

@BD=CQ,時，5=?且笈=8-33解得：％=至；

4

故若點。的運動速度與點P的運動速度不相等,當點Q的運動速度為義QM/S時,能夠使與△CQP

4

全等.

22、某中學八年級(5)班的學生到野外進行數學活動，為了測量一池塘兩端A、B之間的距離，同學們設計了

如下兩種方案：

方案1：如圖(1),先在平地上取一個可以直接到達A、B的點C,連接AC并延長AC至點。，連接3c

并延長至點E,使DC=AC,EC=BC,最后量出。E的距離就是AB的長.

方案2：如圖(2),過點2作A2的垂線在8尸上取C、。兩點，使BC=CD接著過D作BD的垂

線DE,交AC的延長線于E,則測出。E的長即為A8間的距離

問：(1)方案1是否可行？并說明理由；

(2)方案2是否可行？并說明理由；

(3)小明說：“在方案2中，并不一定需要DE±BF,aBF±AB,DE±BF),換成條件48〃

DE也可以你認為小明的說法正確嗎？如果正確的話，請你把小明所說的條件補上.

【答案】解：(1)在△ABC和△DEC中，

rAC=DC

<ZACB=ZECD>:.AABg△DEC(SAS),：.AB^DE；

CB=EC

(2)\'BF±AB,DELBF,：.ZB=ZBDE,

rZB=ZCDE

在△ABC和△DEC中，<CB=CD，**-AABC^Ar?EC(ASA),

ZBCA=ZDCE

(3)只需即可，

'：AB//DE,：.ZB=ZBDE,

fZB=ZCDE

在ZVIBC和△DEC中，<CB=CD，

ZBCA=ZDCE

△ABC絲△DEC(ASA),/.AB=DE,

故答案為：AB//DE.

23、在△ABC中，A8=AC,點。是直線BC上一點(不與8、C重合)，以為一邊在AD的右側作△AOE,

使ZDAE=ZBAC,連接CE.

A

(1)如圖1,當點。在線段3C上，如果/BAC=90°,則NBCE=90度;

如圖2,當點。在線段BC上，如果/BAC=60°,則/BCE=120度;

(2)設N8AC=a,ZBCE=p,

如圖3,當點D在線段BC上移動，則a,0之間有怎樣的數量關系？請說明理由.

【答案】解：(l)：/BAC=90°,：.ZDAE=ZBAC=9Q°,

"：AB=AC,AD=AE,：.ZB=ZACB=45°,ZADE=ZAED=45°,

ZDAE=ZBAC,：.ZBAD=ZCAE,

'AB=AC

在△BAZ)和△口!￡■中，＜NBAD=/CAE，ABAD^△CAE(SAS),

AD=AE

AZACE=ZB^45°,/.ZBCE^ZACB+ZACE^90°,故答案為：90；

(2)VZBAC=60°,：.ZDAE^ZBAC^60°,

"：AB=AC,AD=AE,：.ZB=ZACB=60°,ZADE=ZAED=60°,

由(1)得，ZACE=ZB=60°,

：.ZBCE=ZACB+ZACE=120°,

故答案為：120；

(3)a+p=180°,理由如下：

VZBAC=a,AZB=ZACB=A(180°-a),

2

由(1)得，ZAC￡=ZJ3=A(18O°-a),

2

Ap=ZBCE=ZACB+ZACE=ISQ0-a,

a+0=18O°.

24、問題1

現有一張△ABC紙片，點D、E分別是△ABC邊上兩點，若沿直線。E折疊.

研究（1）：如果折成圖①的形狀，使A點落在CE上，則/I與N4的數量關系是.

研究（2）：如果折成圖②的形狀，猜想N1+/2和/A的數量關系是

研究（3）：如果折成圖③的形狀，猜想/I、/2和/A的數量關系，并說明理由.

問題2

研究（4）：將問題1推廣，如圖④，將四邊形ABC。紙片沿EF折疊，使點4B落在四邊形EFC。的內部

時，N1+N2與/A、/B之間的數量關系是.

【解答】解：（1）如圖1,Zl=2Z/4,理由是：由折疊得：ZA=ZDA'A,

?：Z1=ZA+ZDA'A,；.N1=2NA；故答案為:Nl=2/A；

(2)如圖2,猜想：/l+/2=2/A,理由是：由折疊得：ZADE=ZA'DE,ZAED=ZA'ED,

VZADB+ZAEC=360°,AZl+Z2=360°-ZADE-Z/l,DE-NAED-NA'ED=360°-2ZADE-2

ZAED,AZl+Z2=2(180°-ZADE-ZAED)=2ZA；故答案為：Z1+Z2=2ZA；

(3)如圖3,/2-Nl=2NA,理由是：

"：Z2=ZAFE+ZA,/AFE=/A'+Z1,：.Z2=ZA'+NA+/L

VZA=ZA',：.Z2=2ZA+Z1,：.Z2-Z1=2ZA；

(4)如圖4,由折疊得：ZBMN=ZB'MN,ZANM=ZA'NM,

'：ZDNA+ZBMC^3G0°,/l+N2=360°-2ZBMN-2ZANM,

'：/BMN+/ANM=360°-ZA-ZB,

.\Zl+Z2=360°-2(360°-ZA-ZB)=2(Z/l+ZB)-360°,

故答案為：Zl+Z2=2(.ZA+Z