第1章整式的乘除單元測試卷(B卷-提升能力)

【北師版】

考試時間：120分鐘；滿分：150分

題號一二三總分

得分

第I卷(選擇題)

一、單選題(共12題，每題4分，共48分)

1、X2+ax+b=(x-l)(x+4),則a,Z?的值分別是()

A.a=3,b=TB.a=-3,b=4C.a=-3,6=TD.a=3,b=4

【答案】A

【解析】(x-l)(x+4)=x2+4x-x-4=x2+3x-4,X%2+<xt+Z?=(x-l)(x+4),

所以％2+6+匕=尤2+3%—4,所以a=3,b=—^,故選A.

2、在計算(x+2y)(-2y+x)時，最佳的方法是()

A,運用多項式乘多項式法則B.運用平方差公式

C.運用單項式乘多項式法則D.運用完全平方公式

【答案】B

【解析】解：(x+2y)(-2y+x)=x72y)2=x2-4y2,即運用了平方差公式，故選：B.

3、(-m?-尤)(一+x)中不含/項，下列正確的是()

A.m+n—QB.m—n=0C.n-m—QD.-m-n=l

【答案】A

【解析】(-mv?-xXnx?+x)=-(〃7+〃)33-xz,；不含/項，-(加+")=0解得加+〃=0故選：A.

4、已知a+b=3,。上=2則/+〃的值等于()

A.11B.9C.5D.13

【答案】c

【解析】a2+Z?2=(?+Z?)2-2ab=32-2x2=5,故選C.

5、若a+b=2,則片―》2+4b的值為()

A.4B.3C.2D.0

【答案】A

［詳解］；a+b=2,a?_/+4萬=(a+b)(a-b)+4b=2a-2b+4b=2a+2b=4.故選擇：A.

6、若2〃=3,2〃=5,2,=15,貝★)

A.a+b—cB.a+b+l=cC.2a+b=cD.2a+2b=c

【答案】A

【詳解】解：：2"=3，2*=5,2。=15，；2'=15=3x5=2°x2"=2"+"a+Z?=c故選：A

7、將多項式V+4加上一個整式，使它成為完全平方式，則下列不滿足條件的整式是()

11

A.-4-B.±4xC.-x4D.—x2

1616

【答案】D

【解析】解：①當x2是平方項時，4±4x+x2=(2±X)2,則可添加的項是4x或一4x；

②當X2是乘積二倍項時，4+X2+,/=(2+!/)2,則可添加的項是J-犬;

16416

③若為單項式，則可加上-4.故選：D.

41

8、已知々=8產，/?=27,0=96、貝Da、b、c的大小關系是()

A.d>lo>cB.d>c>bC.tz</r<cD.lo>c>a

【答案】A

3112412361122

【解析】解:a=81=3,b=3,C=9=3,a>b>c.故選A.

9、多項式mx2一m與多項式/-21+1的公因式是()

A.x-1B.x+1C.x2-1D.(x-I)2

【答案】A

【解析】解：mx2-m—m(x-l)(x+l),x2-2x+l—(x-I)2,

多項式7n脛-根與多項式/-2尤+1的公因式是(x-1).故選：A.

10、如圖，矩形A3。的周長是10。肛以AB,AD為邊向外作正方形A8E尸和正方形AOG8,若正方形A8EF

和ADG8的面積之和為17。/，那么矩形ABC。的面積是()

HG

EBC

A.3cm2B.4cm2C.5cm2D.6cm2

【答案】B

【詳解】解：設=AD=y,1?正方形ABE尸和AOGH的面積之和為170江.?.N+y=皆,

矩形ABCD的周長是10cm,2(x+y)=10,v(x+y)2=x2+2xy+y2,---25=17+2xy,..?孫=4,

???WABCD的面積為：孫=4c",故選：B.

11、如圖，邊長分別為a和b的兩個正方形拼接在一起，則圖中陰影部分的面積為（）

A:,E匚____________F

【答案】C

【解析】由題意得：SABCD=5,CD.BC=—?(tz+Z?),6/,S^DEF=5?DF,EF=—/?2,

S^ABE=5?AE=—(b-d)-a,S四邊形ACDF=CDDF=(a+b).b,

?*-S陰影=S四邊形ACD尸-SABCD-S&DEF—SAABE=(a+b)?b—q(a+b)?a—3b2——(b—d)'a=—b2.故選C

憶’

dabD

12、7張如圖1的長為a,寬為b（a>6）的小長方形紙片，按圖2的方式不重疊地放在矩形ABC。內，未被

覆蓋的部分（兩個矩形）用陰影表示.設左上角與右下角的陰影部分的面積的差為S,當8c的長度變化時,

按照同樣的放置方式，S始終保持不變，則a,6滿足（）

C.a—^-bD.a—4b

2

【詳解】解：左上角陰影部分的長為AE,寬為AF=3b,右下角陰影部分的長為PC,寬為a,

'：AD=BC,§PAE+ED=AE+a,BC=BP+PC=4b+PC,：.AE+a=4b+PC,KPAE-PC=4b-a,

：.陰影部分面積之差S^AE'AF-POCG=3bAE-aPC=3b(PC+4b-a)-aPC=Gb-a)PC+Ub1-3ab,

則3b-a=0,即a=3b.

解法二：既然BC是變化的，當點P與點C重合開始，然后8C向右伸展，

設向右伸展長度為X,左上陰影增加的是%X,右下陰影增加的是aX,因為S不變,

增加的面積相等，，3bX=aX,；.a=3b.故選：B.

圖1圖，

第H卷(非選擇題)

二、填空題(共4題，每題4分，共16分)

13、若ax=3,則a?x=.

【答案】9

【解析】解：因為優=3,所以/工=(優)2=32=9.故答案為：9.

14、如圖，任意輸入一個非零數，則輸出數是.

輸入X|-，(X-l)2|減去(X+1”|―除以-2x|輸出數

【答案】2

【解析】解：由題意可得：[(x-1)2-(X+1)2]4~(-2x)=-4x+(-2x)=2.故答案為：2.

5

15、如果(％—1)=tZj%+%尤4++%尤2+Cl5X+。6?則％+。2+。3+04+05=-

【答案】1

5532

【解析】M*.*(x-1)=OyX+a2x^+c^x+a4x+a5x+a6

令X=0,貝Ij(x-l)5=〃6=一1，令X=l,貝=4+%+/+為+%+4=0,

/+/+q+。4+。5—0—(—1)=1,故答案為：1.

16、如圖，將幾個小正方形與小長方形拼成一個邊長為(〃+人+。)的正方形.用不同的方法計算這個邊長

為(〃+人+。)的正方形面積，就可以得至U一個等式(〃+匕+。)2=/+/+。2+2〃/?+2〃。+2/?。，若三個實

數X,y,z滿足2、義4'+82=L，x2+4y2+9z2=44,利用等式求得2孫—3xz—6yz的值為—.

4'

abc

【答案】-20

［解析］解：2Xx4y-8z=-;2rx22y4-23Z=2-2；2x+2y~3z=2-2，

4

x+2y-3z=-2；x2+4y2+9z2=44；%2+(2y)2+(-3z)2=44,

根據題目中給出的公式：(tz+Z?+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,

有(x+2j-3z)2+(2?+(_3Z)2+2%-2J+2x-(-3z)+2-2y-(-3z)

(-2)2=44+2(2個-3xz-6yz),2xy-3xz-6yz=-20.

三、解答題(共9題，86分)

17、(8分)計算：

⑴(x+?_(%+y)(x-y)

(2)(6/y-2x2y2-4xy3)+(-2孫)-(3尤+2y)(y-x)

【答案】(l)2xy+2y2；(2)0

【解析】(l)(x+y)2-(x+y)(x-y)=x2+2xy+y2-(x2-y2)=2xy+2y2；

(2)(6dy-2x2y2-4xy3)+(-2孫)-(3x+2y)(y-

=-3x2+xy+2y2-(3xy-3x2+2y2-2xy)

=-3x2+xy+2y2-xy+3x2-2y2

=0

18、(8分)已知l(V+〃優+〃)(尤2-3x+4)的展開式中不含/項和/項.

(1)求m,n的值；

(2)在⑴的條件下，求(根+〃)(根2一的+叫的值

佳佳的解法如下：

解:（1）（丁+川）（％2—3%+4）=尤5-3%4+（根+韋龍3+加+（4加一3〃）尤+4〃.

_m+4=0fm=—4

???展開式中不含含d項和爐項，，解得.

H=0[〃=。

(2)(m+n)(m2-nrn+n2=(-4+0)|^(-4)2-(^4-)xO+O2^=-4x16=—64.

請問佳佳的解法正確嗎？如果不正確，請寫出正確的解題過程.

【答案】佳佳的解法不正確，正確的解題過程詳見解析

【解析】佳佳的解法不正確.正確的解題過程如下：

⑴(尤3+阿什〃)(九2-3%+4)

=x5—3x4+(m+4)x3+(n—3m)x2+(4m—3n)x+4〃.

m+4=0

根據展開式中不含九3項和f項，得

n—3m—0

m=-4

解得《-

n=-12

(2)(根+ri)(加_nm+/)=加_m2n+mn2+m2n—mn2+n3=m3+n3

當帆=T,〃=—12時，原式=(—4)3+(—12)3=—64—1728=—1792.

21

19、(10分)⑴先化簡，再求值：(〃+23(〃-2。)+(〃+2沖-4ab,其中.=1,b=—.

(2)已知而=9,a-b=-3,求〃2+3"+〃的值.

【答案】(l)2a2,2；(2)54

【詳解】解：(1)(。+2/?)(。-2/?)+(〃+2/?)2-4"="—皿2+々2+助2+4帥一4a6=2〃2

將a=l代入，原式=2XM=2；

(2)「ab=9,a-b=-3,a2+3ab+b2=a2-2ab+b2+5ab^(a-b^+5aZ?=(-3)2+5x9=54

20、(10分)(1)如圖，長方形ABCD的周長為16,四個正方形的面積和為68,求矩形ABCD的面積.

(2)若(x2+nx+3)(x2-2x+m)的展開式中不含x2項和x3項，求mn的值.

【答案】(1)15；(2)1

【詳解】(1)設AB=x,BC=y,由題意得，

;長方形ABCD的周長為16,2(x+y)=16,即x+y=8①，

又?四個正方形的面積和為68,???2x2+2y2=68,即：x2+y2=34(2),

①的兩邊平方得(x+y)2=64,即x2+2xy+y2=64,

將②代入得，2xy=30,/.xy=15,

即矩形ABCD的面積為15；

(2)(x2+nx+3)(x2-2x+m)=x4+(-2+n)x3+(m-2n+3)x2+(mn-6)x+3m,

〔,不含x2和x3項，-2+n=0,m-2n+3=0,解得：m=l,n=2,

m-n=r2=i

21、(10分)如圖1所示，邊長為。的正方形中有一個邊長為6的小正方形，如圖2中陰影部分剪裁后拼成

的一個長方形.

(1)設如圖1中陰影部分面積為Si,如圖2中陰影部分面積為S2,請直接用含。，b的代數式表示Si,&；

(2)請寫出上述過程所揭示的乘法公式；

(3)試利用這個公式計算：(2+1)(22+1)(24+1)08+1)+1

【答案】解：(1)：圖1中陰影部分面積為Si,圖2中陰影部分面積為S2,.?.51=/-啟，S2=(a+6)(a-6)；

(2)依據陰影部分的面積相等，可得(a+b)(a-b)=a2-廬；

(3)原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=(24-1)(24+1)(28+1)+1

=(28-1)(28+1)+1=(216-1)+1=216.

22、(10分)先閱讀下列材料，再解答后面的問題.

一般地，若。"=仇a>0且awl,b>0),貝叫做以a為底b的對數，記為log〃b(即

logfl&=n).34=81,則4叫做以3為底81的對數，記為Iog381(即log381=4).(1)計算以下各對

數的值：log24=,log,16=,log264=.(2)觀察(1)中三數4、16、64之間滿足怎樣

的關系式，log24Jog216Jog264之間又滿足怎樣的關系式？⑶猜想一般性的結論:logflM+logaN=

("0且”1,M>0,N>0).

【答案】(1)2,4,6；(2)log24+log216=log264;(3)logfl(W).

【解析】(1)log24=2,log216=4,log264=6；(2)log24+log216=log264；

(3)猜想logaM+logaN=loga(MN).證明：設logaM=bi,logaN=bz,貝|abi=M,ab2=N,

故可得MN=ab%ab2=ab「b2,bi+b2=loga(MN),即logaM+logaN=loga(MN)

23、(10分)閱讀材料：若旭2-2祖W+2”2-8〃+16=0,求“z,〃的值.

解："."nr-Imn+ln2-8w+16=0,/.(zn2-2mn+rr')+(rr-8w+16)=0.

,\(m-n)2+(n-4)2=0,*.*(m-n)2^0,(n-4)2^0,.'.(m-n)2=0,(n-4)2=0,.,.n—4,m—4.

根據你的觀察，探究下面的問題：

(1)已知：x2+2xy+2y2+2y+1=0,求2x+y的值；

(2)已知：ZkABC的三邊長a,b,c都是正整數，且滿足：cr+lr-12a-16Z?+100=0,求△ABC的最大邊

c的值；

(3)已知：a-5b+2c=20,4AZ?+8C2+20C+125=0,直接寫出a的值.

【答案】解：(1)^'+2xy+2y2+2y+1=0,(x2+2xy+y2)+(_y2+2y+1)=0,

(x+y)2+(y+1)2=0,.".x+j=0,y+l=0,.'.x=l,y=-1,'.2x+y=2-1=1,即2x+y的值是1.

(2)；/+廬-⑵-166+100=0,.".(a2-12。+36)+(■-166+64)=0,

(a-6)2+3-8)2=0,'.a-6=0,b-8=0,.,.a=6,b=8,

V8-6<c<8+6,c28,c為正整數,.,.8^c<14,

...△ABC的最大邊c的值可能是8、9、10、11、12、13.

(3)：a-56+2c=20,：.a=5b-2c+20,

V4aZ7+8c2+20c+125=0,；.4(5b-2c+20)b+8c2+20c+125=0,S.lQb1-8bc+80b+Sc2+20c+125=0,

(2b-2第+(46+10)2+(2C+5)2=0,；.6=c=工，：.a=12.5.

2

24、(10分)對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數學等式，例如圖1可以得

至!](4+力2=屋+2"+戶，請解答下列問題.

b

□亡口

圖3

(1)寫出圖2中所表示的數學等式.

（2）根據整式乘法的運算法則，通過計算驗證上述等式；

（3）利用（1）中得到的結論，解決下面的問題：若〃+Z?+c=10,ab+ac+bc=35,求d+^+cZ；

（4）小明同學用圖3中2張邊長為a的正方形，3張邊長為b的正方形m張邊長分別為a、b的長方形紙

片拼出一個長方形或正方形，直接寫出m的所有可能取值.

【分析】（1）邊長為（a+b+c）的正方形的面積整體看和分部分來看兩部分相等.問題可解；

（2）根據多項式乘法法則展開運算即可；

（3）由（1）中得到的結論得到?2+/?2+c2=（?+/?+c）2-2ab-2bc-2ac,代入已知條件計算即可；

（4）所拼成的長方形或正方形的面積為：2〃2+3層+根"，從因式分解的角度看，可分解為（2〃+。）（〃+3。）或

（2。+3。）（〃+/?）展開計算即可得加的值.

【答案】解：（1）..,邊長為3+A+c）的正方形的面積為：（〃+0+c）2

分部分來看的面積為。2+廬+。2+2次?+2。0+24c

兩部分面積相等.

故答案為:（〃+b+C）2—〃2+。2+。2+2仍+2。。+24c

（2）;（〃+〃+c）2=（q+O+c）（〃+O+c）=c^-^-ab+ac+ab+l^+bc+ac+bc+c2,=c^+^+c2+lab+lbc+lac

（3）Va+b+c=10,ab+ac+bc=35

/.6Z2+Z?2+C2=（4z+/?+c）2-lab-2bc-2ac=102-2X35=30

???〃2+■+d的值為30.

（4）由題意可得，所拼成的長方形或正方形的面積為：2/+3層+根乃

從因式分解的角度看，可分解為（2〃+。）（。+3。）或（2〃+3。）（〃+份

/.（2〃+。）（〃+3/?）=2/+3。2+7〃。或（2〃+3。）（〃+。）=2〃2+3廿+5〃。

.,.m=5或7.

25、（10分）如果一個正整數機能寫成機=/-廬（〃、人均為正整數，且我們稱這個數為“平方差

數”，則〃、b為機的一個平方差分解，規定：F（m）=—.

a

例如：8=8X1=4X2,由8=。2-廬=（。+匕）Q-b）,可得卜十48或1a+b=4.因為。、匕為正整數，解

la-b=lla-b=2

得［a-3,所以尸（8）=X.又例如：48=132-112=82-42=72-I2,所以/（48）或工或

lb=l31327

（1）判斷：6平方差數（填“是”或"不是”），并求F（45）的值；

（2）若s是一個三位數，才是一個兩位數，s=100x+5,/=10y+x（1WXW4,lWyW9,x、y是整數），且滿

足s+/是11的倍數，求方（力的最大值.

【解答】解：（1）則可判斷出6不是平方差數.故答案為：不是.

根據題意，45=3X15=5X9=1X45,由45=/-/=萬），可得卜+工15或［a+b=9或［a+b=45.

la-b=3la-b=5la-b=l

??力和6都為正整數，解得卜=9或卜=7或卜=23...尸⑷）=2或2或空

lb=6lb=2lb=223723

（2）根據題意，s=100x+5,t=10y+x,；.s+f=