專題14二次函數的圖象與性質（39題）

一、單選題

1．（2024·內蒙古包頭·中考真題）將拋物線yx22x向下平移2個單位后，所得新拋物線的頂點式為（）

2222

A．yx13B．yx12C．yx13D．yx12

k

2．（2024·廣東廣州·中考真題）函數yax2bxc與y的圖象如圖所示，當（）時，y，y均隨

12x12

著x的增大而減小．

A．x1B．1x0C．0x2D．x1

22，，，，5，，，

3．（2024·四川涼山·中考真題）拋物線yx1c經過2y10y2y3三點，則y1y2y3的

32

大小關系正確的是（）

A．y1y2y3B．y2y3y1C．y3y1y2D．y1y3y2

4．（2024·四川達州·中考真題）拋物線yx2bxc與x軸交于兩點，其中一個交點的橫坐標大于1，另

一個交點的橫坐標小于1，則下列結論正確的是（）

A．bc1B．b2C．b24c0D．c0

5．（2024·四川瀘州·中考真題）已知二次函數yax22a3xa1（x是自變量）的圖象經過第一、二、

四象限，則實數a的取值范圍為（）

93

A．1aB．0a

82

93

C．0aD．1a

82

6．（2024·陜西·中考真題）已知一個二次函數yax2bxc的自變量x與函數y的幾組對應值如下表，

x…42035…

y…2480315…

則下列關于這個二次函數的結論正確的是（）

A．圖象的開口向上B．當x0時，y的值隨x的值增大而增大

C．圖象經過第二、三、四象限D．圖象的對稱軸是直線x1

7．（2024·湖北·中考真題）拋物線yax2bxc的頂點為1,2，拋物線與y軸的交點位于x軸上方．以

下結論正確的是（）

A．a0B．c0C．abc2D．b24ac0

2

8．（2024·廣東·中考真題）若點0,y1,1,y2,2,y3都在二次函數y=x的圖象上，則（）

A．y3y2y1B．y2y1y3C．y1y3y2D．y3y1y2

n1

9．（2024·四川自貢·中考真題）一次函數yx2n4，二次函數yx2(n1)x3，反比例函數y

x

在同一直角坐標系中圖象如圖所示，則n的取值范圍是（）

A．n1B．n2C．1n1D．1n2

10．（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，已知拋物線yax2bxc（a、b、c為常數，且a0）的對稱軸

為直線x=1，且該拋物線與x軸交于點A1,0，與y軸的交點B在0,2，0,3之間（不含端點），則

下列結論正確的有多少個（）

①abc0；

②9a3bc0；

2

③a1；

3

④若方程ax2bxcx1兩根為m,nmn，則3m1n．

A．1B．2C．3D．4

11．（2024·江蘇連云港·中考真題）已知拋物線yax2bxc（a、b、c是常數，a<0）的頂點為(1,2)．小

燁同學得出以下結論：①abc<0；②當x1時，y隨x的增大而減小；③若ax2bxc0的一個根為3，

1

則a；④拋物線yax22是由拋物線yax2bxc向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到

2

的．其中一定正確的是（）

A．①②B．②③C．③④D．②④

12．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，二次函數yax2bxc（a，b，c為常數，a0）的圖象與x軸

31

交于點A,0，對稱軸是直線x，有以下結論：①abc<0；②若點1,y1和點2,y2都在拋物線

22

11

上，則yy；③am2bmab（m為任意實數）；④3a4c0．其中正確的有（）

1242

A．1個B．2個C．3個D．4個

13．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，二次函數yax2bxca0的圖象與x軸交于點A3,0，與y軸

交于點B，對稱軸為直線x1，下列四個結論：①bc0；②3a2c0；③ax2bxab；④若2c1，

84

則abc，其中正確結論的個數為（）

33

A．1個B．2個C．3個D．4

2a

14．（2024·福建·中考真題）已知二次函數yx2axaa0的圖象經過A,y1，B3a,y2兩點，則

2

下列判斷正確的是（）

A．可以找到一個實數a，使得y1aB．無論實數a取什么值，都有y1a

C．可以找到一個實數a，使得y20D．無論實數a取什么值，都有y20

15．（2024·貴州·中考真題）如圖，二次函數yax2bxc的部分圖象與x軸的一個交點的橫坐標是3，

頂點坐標為1,4，則下列說法正確的是（）

A．二次函數圖象的對稱軸是直線x1

B．二次函數圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是2

C．當x1時，y隨x的增大而減小

D．二次函數圖象與y軸的交點的縱坐標是3

16．（2024·四川樂山·中考真題）已知二次函數yx22x1xt1，當x=1時，函數取得最大值；

當x1時，函數取得最小值，則t的取值范圍是（）

A．0t2B．0t4C．2t4D．t2

17．（2024·黑龍江綏化·中考真題）二次函數yax2bxca0的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線x=1，

則下列結論中：

b

①0②am2bmab（m為任意實數）③3ac1

c

④若Mx1,y、Nx2,y是拋物線上不同的兩個點，則x1x23．其中正確的結論有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

18．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知拋物線yax2bxc過點C0,2與x軸交點的橫坐標分別為

x1，x2，且1x10，2x23，則下列結論：

①abc<0；

②方程ax2bxc20有兩個不相等的實數根；

③ab0；

2

④a；

3

⑤b24ac4a2．其中正確的結論有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

19．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線yax2bxca0與x軸交于A、B

兩點，A3,0,B1,0，與y軸交點C的縱坐標在3～2之間，根據圖象判斷以下結論：①abc20；

45

②b2；③若ax2bxax2bx且xx，則xx2；④直線ycxc與拋物線

3112212126

1

yax2bxc的一個交點(m,n)(m0)，則m．其中正確的結論是（）

2

A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④

20．（2024·內蒙古赤峰·中考真題）如圖，正方形ABCD的頂點A，C在拋物線yx24上，點D在y軸

上．若A，C兩點的橫坐標分別為m，n（mn0），下列結論正確的是（）

m

A．mn1B．mn1C．mn1D．1

n

21．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，拋物線yax2bxca0的圖象交x軸于點A3,0、B1,0，

交y軸于點C．以下結論：①abc0；②a3b2c0；③當以點A、B、C為頂點的三角形是等腰

297

三角形時，c7；④當c3時，在AOC內有一動點P，若OP2，則CPAP的最小值為．其

33

中正確結論有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

22．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，二次函數yax2bx2a0的圖象與x軸交于1,0，

(x1,0)，其中2x13．結合圖象給出下列結論：

①ab0；②ab2；

③當x1時，y隨x的增大而減小；

2

④關于x的一元二次方程ax2bx20a0的另一個根是；

a

4

⑤b的取值范圍為1b．其中正確結論的個數是（）

3

A．2B．3C．4D．5

二、填空題

23．（2024·四川內江·中考真題）已知二次函數yx22x1的圖象向左平移兩個單位得到拋物線C，點

P2,y1，Q3,y2在拋物線C上，則y1y2（填“＞”或“＜”）；

24．（2024·吉林長春·中考真題）若拋物線yx2xc（c是常數）與x軸沒有交點，則c的取值范圍

是．

25．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）將拋物線yax2bx3向下平移5個單位長度后，經過點2,4，

則6a3b7．

26．（2024·四川成都·中考真題）在平面直角坐標系xOy中，Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3是二次函數

2

yx4x1圖象上三點．若0x11，x24，則y1y2（填“”或“”）；若對于mx1m1，

m1x2m2，m2x3m3，存在y1y3y2，則m的取值范圍是．

27．（2024·上海·中考真題）對于一個二次函數ya(xm)2k（a0）中存在一點Px,y，使得

11

xmyk0，則稱2xm為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線yx2x3“開口大小”

23

為．

28．（2024·湖北武漢·中考真題）拋物線yax2bxc（a，b，c是常數，a0）經過1,1，m,1兩點，

且0m1．下列四個結論：

①b0；

2

②若0x1，則ax1bx1c1；

③若a1，則關于x的一元二次方程ax2bxc2無實數解；

11

④點Ax,y，Bx,y在拋物線上，若xx，xx，總有yy，則0m．

112212212122

其中正確的是（填寫序號）．

1

29．（2024·四川德陽·中考真題）如圖，拋物線yax2bxc的頂點A的坐標為,n，與x軸的一個交

3

點位于0和1之間，則以下結論：①abc0；②5b2c0；③若拋物線經過點6,y1,5,y2，則y1y2；

④若關于x的一元二次方程ax2bxc4無實數根，則n4．其中正確結論是（請填寫序號）．

30．（2024·山東煙臺·中考真題）已知二次函數yax2bxc的y與x的部分對應值如下表：

x43115

y059527

下列結論：①abc0；②關于x的一元二次方程ax2bxc9有兩個相等的實數根；③當4x1時，

y的取值范圍為0y5；④若點m,y1，m2,y2均在二次函數圖象上，則y1y2；⑤滿足

ax2b1xc2的x的取值范圍是x<2或x3．其中正確結論的序號為．

三、解答題

31．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，已知二次函數yx2bxc的圖像與x軸交于A(2,0)，B(1,0)兩

點．

(1)求b、c的值；

(2)若點P在該二次函數的圖像上，且PAB的面積為6，求點P的坐標．

32．（2024·安徽·中考真題）已知拋物線yx2bx（b為常數）的頂點橫坐標比拋物線yx22x的頂

點橫坐標大1．

(1)求b的值；

22

(2)點Ax1,y1在拋物線yx2x上，點Bx1t,y1h在拋物線yxbx上．

（ⅰ）若h3t，且x10，t0，求h的值；

（ⅱ）若x1t1，求h的最大值．

33．（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線yax22a2xa0.

(1)當a1時，求拋物線的頂點坐標；

(2)已知Mx1,y1和Nx2,y2是拋物線上的兩點.若對于x13a，3x24，都有y1y2，求a的取值范圍.

34．（2024·浙江·中考真題）已知二次函數yx2bxc（b，c為常數）的圖象經過點A(2,5)，對稱軸為

1

直線x．

2

(1)求二次函數的表達式；

(2)若點B(1,7)向上平移2個單位長度，向左平移m（m0）個單位長度后，恰好落在yx2bxc的圖

象上，求m的值；

9

(3)當2xn時，二次函數yx2bxc的最大值與最小值的差為，求n的取值范圍．

4

35．（2024·廣西·中考真題）課堂上，數學老師組織同學們圍繞關于x的二次函數yx22axa3的最值

問題展開探究．

【經典回顧】二次函數求最值的方法．

（1）老師給出a4，求二次函數yx22axa3的最小值．

①請你寫出對應的函數解析式；

②求當x取何值時，函數y有最小值，并寫出此時的y值；

【舉一反三】老師給出更多a的值，同學們即求出對應的函數在x取何值時，y的最小值．記錄結果，并

整理成下表：

a…42024…

x…*2024…

y的最小值…*93515…

注：*為②的計算結果．

【探究發現】老師：“請同學們結合學過的函數知識，觀察表格，談談你的發現．”

甲同學：“我發現，老師給了a值后，我們只要取xa，就能得到y的最小值．”

乙同學：“我發現，y的最小值隨a值的變化而變化，當a由小變大時，y的最小值先增大后減小，所以我

猜想y的最小值中存在最大值．”

（2）請結合函數解析式yx22axa3，解釋甲同學的說法是否合理？

（3）你認為乙同學的猜想是否正確？若正確，請求出此最大值；若不正確，說明理由．

3

36．（2024·云南·中考真題）已知拋物線yx2bx1的對稱軸是直線x．設m是拋物線yx2bx1與