2025年普通高等學校招生全國統一考試高三第二次聯合診斷檢測數學數學測試卷共4頁，滿分150分.考試時間120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.某高校全體大一新生參加一項體能測試，將測試結果轉換為相應分值，滿分為100分，統計發現得分．若得分在的學生有300人，則得分在的學生人數滿足（）A. B.C. D.3.已知雙曲線，則“的漸近線互相垂直”是“的離心率等于”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件4.若是關于的方程的虛數根，且，則（）A.， B.，C.， D.，5.已知等差數列的前4項為，，2，，則（）A.5 B.6 C.7 D.86.已知是定義在的奇函數，且．若，則（）A. B.0 C.2 D.47.已知直線與圓相交于，兩點，若劣弧與弦圍成的圖形面積為，則（）A. B. C.2 D.8.已知函數，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.9.已知，，，則（）A. B.若，則C.若，則 D.，，10.從2024年3月1日起，新酒駕檢驗標準開始實施，只要每血液中乙醇含量大于或等于，就是酒駕，屬于違法行為；而大于或等于則認定為醉駕，屬于犯罪行為．張師傅某次飲酒后，若其血液中的乙醇含量（單位：）與酒后代謝時間（單位：）的數量關系滿足．則張師傅此次飲酒后（）A.當代謝時間時，血液中乙醇含量最低B.血液中乙醇含量開始是代謝時間的增函數，然后是代謝時間的減函數C.若執意駕車，完全不可能被認定為酒駕違法行為，更不可能被認定為醉駕犯罪行為D.若執意駕車，飲酒后接受乙醇含量測試，將被認定為醉駕11.已知為坐標原點，曲線焦點為，是的準線上一點，過點的直線與有且僅有一個交點，則（）A.若與軸平行，則B.若與軸平行，則C.若與軸不垂直，則D.若與軸不垂直，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若二項式展開式的所有項系數之和為，則______．13.函數的值域為________．14.在正四棱柱中，，，是的中點，則平面與平面夾角的余弦值為________．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內角，，的對邊分別為，，，已知．（1）證明：；（2）若，求．16.已知，函數．（1）若，判斷的單調性；（2）若，求．17.已知橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為，直線的斜率為1且與的另一個交點為，的周長為8．（1）求的方程及的值；（2）如圖，將沿軸折起，使得折疊后平面平面，求到平面的距離．18.若拋擲一枚硬幣，每次落地后正面向上的概率為，張華同學思考了以下拋擲硬幣問題：（1）一共拋擲硬幣4次，求恰有2次正面朝上且第2次拋擲是反面朝上的概率；（2）如果拋擲硬幣前約定“雙上次原則”：即最多拋擲硬幣次，當出現兩次正面朝上時就不再拋擲，拋擲硬幣次后即使沒有出現兩次正面朝上也不再拋擲．設表示“雙上次原則”中拋擲硬幣的次數．①若，求；②若（為整數）表示拋擲硬幣次時恰有2次正面朝上的概率，證明：．19.已知數列的各項均為正數，若從第二項起，的每一項都大于其相鄰兩項的等比中項，則稱為新質數列．（1）判斷正整數數列是否為新質數列，并說明理由；（2）已知函數，若的各項系數都是正數且存在3個不同零點，證明：數列，，，為新質數列；（3）設數列的前項和為，記．如果對于數列中任意三個不同項，，，都使得式子的計算結果為一個常數，當時，證明：數列為新質數列．

2025年普通高等學校招生全國統一考試高三第二次聯合診斷檢測數學數學測試卷共4頁，滿分150分.考試時間120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合，依據并集的定義計算即可.【詳解】解：由已知集合，所以.故選：C2.某高校全體大一新生參加一項體能測試，將測試結果轉換為相應分值，滿分為100分，統計發現得分．若得分在的學生有300人，則得分在的學生人數滿足（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據正態分布的性質計算判斷.【詳解】因為得分，所以，又因為若得分在的學生有300人，又，所以得分在的學生人數滿足.故選：B.3.已知雙曲線，則“的漸近線互相垂直”是“的離心率等于”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據漸近線方程可得直線斜率，即可根據垂直得，進而求解離心率，根據充要條件的定義即可判斷.【詳解】的漸近線方程為，當的漸近線互相垂直時，則，故，因此離心率為,故“的漸近線互相垂直”是“的離心率等于”的充要條件，故選：A4.若是關于的方程的虛數根，且，則（）A.， B.，C， D.，【答案】C【解析】【分析】將代入方程中，即可根據且求解.【詳解】將代入可得，化簡可得，故且，解得，，故選：C5.已知等差數列前4項為，，2，，則（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】根據等差中項可得，即可求解公差，進而利用等差數列的性質求解.【詳解】由題意可知，2，成等差，故，解得，故公差，故，故選：A6.已知是定義在的奇函數，且．若，則（）A. B.0 C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】分析可知函數的一個周期為4，結合奇函數可得，，進而可得，，再根據周期性即可得結果.【詳解】因為，可得，可知函數一個周期為4，又因為是定義在的奇函數，則，則，即，令，可得；令，可得，即，則，所以.故選：C.7.已知直線與圓相交于，兩點，若劣弧與弦圍成的圖形面積為，則（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據扇形和三角形的面積公式可得，即可根據點到直線的距離公式求解.【詳解】設，由題意可知:圓心為坐標原點，半徑為，則劣弧與弦圍成的圖形面積，由于故在單調遞增，又，所以，則，所以圓心到直線的距離為1，即，解得故選：D8.已知函數，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分、和三種情況討論，當時，利用導數法求得，從而將題意轉化為恒成立的問題，構造函數，利用導數法研究單調性，即可求解的取值范圍.【詳解】當時，，符合題意；當時，存在，使得，即，顯然不滿足題意；當時，由得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，由得，設，則，所以在上單調遞減，又，所以，綜上，，即的取值范圍是.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.9.已知，，，則（）A. B.若，則C.若，則 D.，，【答案】ABD【解析】【分析】利用向量的坐標運算，按選項逐個判斷即可．【詳解】已知，，，對于A，因為，所以，故A正確；對于B，若，則，即，故B正確；對于C，，若，則，，所以不一定成立，故C錯誤；對于D，，由，則，所以，，，故D正確.故選：ABD.10.從2024年3月1日起，新的酒駕檢驗標準開始實施，只要每血液中乙醇含量大于或等于，就是酒駕，屬于違法行為；而大于或等于則認定為醉駕，屬于犯罪行為．張師傅某次飲酒后，若其血液中的乙醇含量（單位：）與酒后代謝時間（單位：）的數量關系滿足．則張師傅此次飲酒后（）A.當代謝時間時，血液中乙醇含量最低B.血液中的乙醇含量開始是代謝時間的增函數，然后是代謝時間的減函數C.若執意駕車，完全不可能被認定酒駕違法行為，更不可能被認定為醉駕犯罪行為D.若執意駕車，飲酒后接受乙醇含量測試，將被認定為醉駕【答案】BD【解析】【分析】整理可得，結合對勾函數性質分析單調性和最值，進而逐項分析判斷.【詳解】由題意可知：，則，由對勾函數可知：在內單調遞減，在內單調遞增，則在內單調遞增，在內單調遞減，故B正確；當時，取到最大值1，即當代謝時間時，血液中的乙醇含量最高為，即每血液中乙醇含量為，故A錯誤；因為，可知飲酒后接受乙醇含量測試，將被認定為醉駕，故C錯誤，D正確；故選：BD.11.已知為坐標原點，曲線的焦點為，是的準線上一點，過點的直線與有且僅有一個交點，則（）A.若與軸平行，則B.若與軸平行，則C.若與軸不垂直，則D.若與軸不垂直，則【答案】ACD【解析】【分析】對于A，直接由拋物線的定義即可判斷；對于B，利用向量數量積的坐標運算即可判斷；對于C，利用向量數量積的坐標運算可得，即可判斷；對于D，由坐標運算表示出，換元后利用導數求出其最小值，即可得到，即可判斷；【詳解】拋物線的焦點為，準線方程為，對于A，與軸平行時，由拋物線的定義得，所以，故A正確；對于B，設，則，又，則，，所以，故B錯誤；對于C，若與軸不垂直，直線與有且僅有一個交點，則直線是的切線，設點在軸上方，設，則，則，所以，則，若點在軸下方，由對稱性同理可得，故C正確；對于D，若與軸不垂直，直線與有且僅有一個交點，則直線是的切線，設點在軸上方，設，直線的斜率為，則直線的方程為，與聯立，消去得，由其解得，則直線的方程為，令，解得，則，所以，則，令，，則，所以，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，所以，若點在軸下方，由對稱性同理可得，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若二項式展開式的所有項系數之和為，則______．【答案】【解析】【分析】根據展開式所有項系數的求法，通過賦值，即可求得.【詳解】令得，二項式展開式的所有項系數之和為，解得.故答案為：13.函數的值域為________．【答案】【解析】【分析】設，分析可知函數為偶函數，可知函數的值域與的值域相同，進而分析的周期和對稱性，取，利用輔助角公式結合正弦函數有界性分析求解.【詳解】設，可知函數的定義域為，因為，可知函數為偶函數，當時，，可知函數的值域與的值域相同，因為，可知的一個周期為，又因為，可知關于直線對稱，且，可知關于直線對稱，則可取，則，可得，因為，則，可得，即，可知的值域為，所以的值域為.故答案為：.14.在正四棱柱中，，，是的中點，則平面與平面夾角的余弦值為________．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法求平面與平面的夾角.【詳解】如圖，以點為坐標原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，由題意，，則，設平面的一個法向量，則有，令，則，所以.設平面的一個法向量，則有，令，則，所以.設平面與平面夾角為，則.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內角，，的對邊分別為，，，已知．（1）證明：；（2）若，求．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據正弦定理邊角互化，結合和差角公式以及同角關系即可求解，（2）利用余弦定理即可求解.【小問1詳解】由和正弦定理可得，因為,所以，則有,由于，所以有【小問2詳解】由得，因為,則有，由余弦定理可得，所以，16.已知，函數．（1）若，判斷的單調性；（2）若，求．【答案】（1）在上單調遞增，在上遞減.（2）【解析】【分析】（1）計算的導函數，求以及的解，從而得出的單調性；（2）依據第（1）問結論，當時，求時的取值，并判斷時不成立可得結果.【小問1詳解】解：函數，定義域為，，因為，令，解得：，所以當時，；當時，，所以在上單調遞增，在上遞減.【小問2詳解】由（1）可知，當時，在上單調遞增，在上單調遞減.若，則，即，代入可得：，令，，則，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，則，即恒成立，且所以，即.當時，恒成立，即在上單調遞增，又，所以不恒成立，故不成立，所以.17.已知橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為，直線的斜率為1且與的另一個交點為，的周長為8．（1）求的方程及的值；（2）如圖，將沿軸折起，使得折疊后平面平面，求到平面的距離．【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）根據橢圓的幾何性質即可求解，，進而聯立直線與橢圓的方程，求解方程的根，即可利用弦長公式求解，（2）建立空間直角坐標系，求解平面法向量，即可根據點到平面的向量法求解.【小問1詳解】設，其中，因為的周長為8，所以，故，又，所以，故橢圓方程為，所以，聯立方程可得，所以，故【小問2詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，，設平面的法向量為，則,即，取，則，所以到平面的距離18.若拋擲一枚硬幣，每次落地后正面向上的概率為，張華同學思考了以下拋擲硬幣問題：（1）一共拋擲硬幣4次，求恰有2次正面朝上且第2次拋擲是反面朝上的概率；（2）如果拋擲硬幣前約定“雙上次原則”：即最多拋擲硬幣次，當出現兩次正面朝上時就不再拋擲，拋擲硬幣次后即使沒有出現兩次正面朝上也不再拋擲．設表示“雙上次原則”中拋擲硬幣的次數．①若，求；②若（為整數）表示拋擲硬幣次時恰有2次正面朝上的概率，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據獨立事件的概率乘法公式即可求解，（2）根據出現的情況有兩種，即可根據獨立事件的概率乘法公式求解①，根據以及期望的計算公式即可求解②.【小問1詳解】拋擲硬幣4次，恰好有2次正面朝上且第2次是反面朝上，則在1，3，4