高二年級下學期期初測試數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知是定義在上的可導函數，若，則（）A. B. C.1 D.2.若函數，則函數的單調遞減區間為（）A. B. C.(0，3) D.3若函數，則（）A. B. C.1 D.34.若曲線在處的切線與曲線也相切，則的值為（）A. B. C.1 D.5.已知函數既有極大值又有極小值，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.6.函數在上不單調，則的取值范圍是（）A. B. C. D.7.設是定義在上的奇函數，，當時，有恒成立，則不等式的解集為（）A B.C. D.8.定義在上的可導函數，滿足，且，若，，，則a，b，c的大小關系是（）．A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.（多選）設函數在上可導，其導函數為，且函數的圖像如圖所示，則下列結論中一定成立的是（）A.有兩個極值點 B.為函數極大值C.有兩個極小值 D.為的極小值10.關于函數，下列判斷正確的是（）A.的極大值點是B.函數有且只有個零點C.存在實數，使得成立D.對任意兩個正實數，，且，若，則11.函數定義域為，下列命題正確的是（）A.對于任意正實數，函數在上是單調遞增函數B.對于任意負實數，函數存最小值C.存在正實數，使得對于任意的，都有恒成立D.存在負實數，使得函數在上有兩個零點三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數存在單調遞減區間，則實數的取值范圍為是______.13.已知函數，，是函數極值點，若對任意的，總存在唯一的，使得成立，則實數的取值范圍是__________．14.已知關于x的方程有兩個不相等的實數根，則實數a的取值范圍是______.四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數在處取得極小值5.（1）求實數的值；（2）當時，求函數的值域.16.已知函數的最大值為1．（1）求實數的值；（2）若函數有極值，求實數的取值范圍．17.設，.（1）若，求在處的切線方程；（2）若，試討論的單調性.18.已知函數（1）若求的極值；（2）若恒成立，求實數a的取值范圍.19.設函數的定義域為，其導函數為，區間是的一個非空子集．若對區間內的任意實數，存在實數，使得，且使得成立，則稱函數為區間上的“函數”．（1）判斷函數是否為上的“函數”，并說明理由；（2）若函數是上的“函數”．（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）證明：，．

高二年級下學期期初測試數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知是定義在上的可導函數，若，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根據導數的定義計算可得結果.【詳解】由導數的定義，.故選：C.2.若函數，則函數的單調遞減區間為（）A. B. C.(0，3) D.【答案】C【解析】【分析】先求函數的定義域，再求導數，最后令，解之即可得到結果.【詳解】函數的定義域為：，因為，令并且，得：，所以函數的單調遞減區間為(0，3).故本題正確答案為C.【點睛】本題主要考查利用導數研究函數的單調性，掌握常見函數的導數是關鍵，屬基礎題.3.若函數，則（）A. B. C.1 D.3【答案】B【解析】【分析】利用導數的運算法則求得，從而求得.【詳解】因為，所以，則，所以，故選：B．4.若曲線在處的切線與曲線也相切，則的值為（）A B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據題意，求得在處的切線為，設直線與曲線相切的切點為，求得，又切點在曲線和切線上，代入即可求解.【詳解】對曲線，在切點處切線的斜率，所以切線方程為：，對于曲線，設切點，則在點處切線的斜率，依題意，即，又點切點在曲線和切線上，即，所以，故選：B.5.已知函數既有極大值又有極小值，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對函數求導，問題化為至少有兩個變號零點，導數求的極值并列不等式求參數范圍.【詳解】由題設，令，則，當或時，，則在和上單調遞增，當時，，則在上單調遞減，，且時趨向，時趨向，要使函數既有極大值又有極小值，即至少有兩個變號零點，所以至少有兩個變號零點，所以.故選：A6.函數在上不單調，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由有解，結合三角函數的值域來求得正確答案.【詳解】，因為函數在上不單調，所以函數有零點，所以方程

有根，所以函數與

有交點（且交點非最值點），因為函數的值域為，所以

.故選：D7.設是定義在上的奇函數，，當時，有恒成立，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設函數，根據題意可知為偶函數且在上單調遞減，根據函數性質解不等式即可.【詳解】設函數，可知的定義域為，求導得，因為當時，有恒成立，則，所以在上單調遞減，且，可知，當時，；當時，；又因為是定義在上的奇函數，則，所以是偶函數，可得：當時，；當時，；所以不等式解集為；注意到不等式等價于，所以不等式解集為.故選：B.【點睛】關鍵點睛：構建函數，結合的單調性和奇偶性解不等式.8.定義在上的可導函數，滿足，且，若，，，則a，b，c的大小關系是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】變形得到，構造，求導得到，結合求出，求導得到函數單調性，變形得到其中，，，令，，求導得到函數單調性，比較出，從而得到答案.【詳解】等式兩邊同乘以得，令，則，即，設，即，故，又，故，解得，故，，令得，令得，故在上單調遞增，在上單調遞減，其中，，，令，，則，令得，令得，故在上單調遞增，在上單調遞減，故，故，即.故選：B【點睛】方法點睛：利用函數與導函數的相關不等式構造函數，然后利用所構造的函數的單調性解不等式，是高考?？碱}目，以下是構造函數的常見思路：比如：若，則構造，若，則構造，若，則構造，若，則構造.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.（多選）設函數在上可導，其導函數為，且函數的圖像如圖所示，則下列結論中一定成立的是（）A.有兩個極值點 B.為函數的極大值C.有兩個極小值 D.為的極小值【答案】BC【解析】【分析】利用函數圖象判斷符號，從而判斷的單調性，進而根據極值點、極值的概念判斷即可.【詳解】由題圖知，當時，，所以，當時，，所以，當時，，所以，當時，，所以.所以在，上單調遞減，在，上單調遞增，所以有三個極值點，為函數的極大值，和為的極小值.故AD錯誤，BC正確.故選：BC10.關于函數，下列判斷正確的是（）A.的極大值點是B.函數有且只有個零點C.存在實數，使得成立D.對任意兩個正實數，，且，若，則【答案】BD【解析】【分析】求出函數的導數，判斷函數的單調性，可得極值點，判斷A；利用導數判斷的單調性，結合零點存在定理，即可判斷B；判斷的取值情況，可判斷C；由可得，要證，只要證，利用構造函數，結合函數的單調性即可判斷D.【詳解】因為，所以當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以是的極小值，所以A錯誤；B選項中，函數，則由于，即在上恒成立，所以函數在上單調遞減，又當時，，當時，，所以函數在上有唯一零點，即函數有且只有個零點，B正確；C選項中，由，可得當且趨于無窮大時，無限接近于0，也無限趨于0，故不存在實數，使得成立，即不存在實數，使得成立，C錯誤；D選項中，由得，要證，只要證，即證，由于，故令，則，故在上單調遞增，則，即成立，故成立，所以D正確.故選：BD.11.函數定義域為，下列命題正確的是（）A.對于任意正實數，函數在上是單調遞增函數B.對于任意負實數，函數存在最小值C.存在正實數，使得對于任意的，都有恒成立D.存在負實數，使得函數在上有兩個零點【答案】ABD【解析】【分析】求得函數的導函數，判斷導函數在時的正負，確定函數的單調性，可判定A錯誤；在時，確定方程的解，并判斷函數在解的兩側的單調性，由此確定函數的最值，可判定B正確；結合函數的單調性及零點存在性定理，可判定D正確；在時，結合圖象確定的零點，可判定C錯誤.【詳解】由函數的定義域為，且，當時，在上恒成立，所以函數在上單調遞增，即對于任意正實數，函數在上是單調遞增函數，所以A正確；對于任意，設，可得，所以在上單調遞增，所以在上單調遞增，當時，，且，所以存在，使得，當時，，函數在上單調遞減；當時，，函數在上單調遞增，所以對于任意時，函數存在最小值，所以B正確；因為當時，函數存在最小值，且，所以，當且時，此時，所以存在，使得，當時，，當時，，此時函數在定義域上有兩個零點，所以D正確；如圖所示，函數，的圖象在有公共點，所以對于任意，有零點，所以C錯誤.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數存在單調遞減區間，則實數的取值范圍為是______.【答案】【解析】【分析】求導后結合二次函數的性質分析即可.【詳解】，因為函數存在單調遞減區間，所以存在，使得小于零，所以導函數的判別式，解得或，所以實數的取值范圍為是，故答案為：.13.已知函數，，是函數的極值點，若對任意的，總存在唯一的，使得成立，則實數的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】首先利用導數分別求出在的值域，根據極值點性質得到，從而得到函數的單調性和，根據題意得到，再解不等式即可.【詳解】，，令，解得.所以，，為增函數.所以時，.，，因為是函數的極值點，所以，解得.所以.所以，，增函數，，，為減函數，且因為對任意的，總存在唯一的，使得成立，所以，即，解得.故答案為：14.已知關于x的方程有兩個不相等的實數根，則實數a的取值范圍是______.【答案】.【解析】【分析】令，求得，令，可得，證得存在，使得，且，得到函數得單調性，結合題意，轉化為，令，求得在上遞增，且，得到，再由，利用導數求得滿足，得到，即可求解.【詳解】令，可得令，可得，即，令，其中，可得恒成立，所以在上單調遞增，又由，，所以存在，使得，此時當時，；當時，，所以函數在上單調遞增，在單調遞減，且時，，時，，要使得方程有兩個不同的實數根，則滿足，令，可得恒成立，所以在上單調遞增，且，所以，又由，其中，令，可得，所以單調遞減，因為，所以，所以，解得，所以實數的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數在處取得極小值5.（1）求實數的值；（2）當時，求函數的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意得到，求出，檢驗后得到答案；（2）求導，得到函數單調性，進而得到極值和最值情況，得到答案.【小問1詳解】由題意可知，因為在處取極小值5，所以，解得，此時，所以在上單調遞減，在上單調遞增所以在時取極小值，符合題意所以，又，所以.綜上.【小問2詳解】由（1）得，所以列表如下：0123001極大值6極小值510故時，的值域為.16.已知函數的最大值為1．（1）求實數的值；（2）若函數有極值，求實數的取值范圍．【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）先求導函數及其零點，再分段討論求單調區間及最值計算參數即可；（2）根據函數有極值得在上有零點，結合二次函數零點分布分類討論計算即可.【小問1詳解】由題意得，令，，當時，，遞增；當時，，遞減.，所以．【小問2詳解】，有極值，即在上有零點，令，即在上有解當時，，在上單調遞增，無極值；當時，在上有解，所以，所以.17設，.（1）若，求在處的切線方程；（2）若，試討論的單調性.【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）當時，先求導，再求，利用點斜式即可寫出切線方程；（2）分，，，四種情況，結合求導討論即可求解．【小問1詳解】若，則，，又，故，所以在處的切線方程為，即；【小問2詳解】，，當時，，令，即，解得，令，解得，所以在上單調遞減，,上單調遞增；當時，，在上單調遞增，當，即時，令，解得，或，令．解得，所以在，,上單調遞增，,上單調遞減；當，即時，令，解得，或，令．解得，所以在，,上單調遞增，,上單調遞減．綜上：當時，所以在上單調遞減，上單調遞增；當時，所以在，,上單調遞增，,上單調遞減；當時，，在上單調遞增，當時，所以在，,上單調遞增，,上單調遞減．18.已知函數（1）若求的極值；（2）若恒成立，求實數a的取值范圍.【答案】（1）的極小值為，無極大值（2）【解析】【分析】（1）由題可求導函數，利用導數求出函數的單調區間，進而再求出極值即可；（2）令，求導函數，分和兩種情況，分析導函數的符號，求得的最值，繼而可得答案.【小問1詳解】當，令，解得，則當單調遞減，當單調遞增，故的極小值為，無極大值；【小問2詳解】由題意可得令則當時，則時，，不合題意；當時，設，，，所以存在時，，因為，所以在上單調遞增，所以當，；當，，則當，；當，，則在單調遞減，在單調遞增，所以因為，所以，即故解得綜上所述，實數a的取值范圍【點睛】方法點睛：對于利用導數研究函數的綜合問題的求解策略：1、通常要構造新函數，利用導數研究函數單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；2、利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．3、根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區別．19.設函數的定