二階電路1二階電路：用二階微分方程描述的電路。二階電路的特點：電路中的元件除電阻外，一般含有二個電感或電容或各一個電感和電容。分析二階電路的方法：首先建立描述電路的二階微分方程，并利用初始條件求解得到電路的響應。所以，必要的數學基礎是必不可少的。2§7.1LC振蕩電路1、LC振蕩回路的電量

根據圖中的參考方向，容易得出：

根據正弦函數、余弦函數的求導公式及電路的初始值，不難得出：LC振蕩回路

結論：具有初始儲能的無損耗LC電路，將產生按正弦方式變化的等幅振蕩。32、LC振蕩回路的能量

LC回路的總瞬時儲能

結論：無損耗LC回路所儲存的能量，將以磁場和電場的形式在電感和電容之間相互交換，永不消失。LC振蕩回路

LC回路的初始儲能4§7.2RLC串聯電路的零輸入響應7.2.1RLC串聯電路的數學描述KVL方程

元件VCR

代入后變換得：

5這是一個常系數非齊次線性二階微分方程。為了得到電路的零輸入響應，令uS(t)=0，得二階齊次微分方程其特征方程為

由此解得特征根

6特征根決定電路的響應特點，其實部決定電路能量衰減的快慢，虛部決定電路振蕩的頻率。1時，s1,s2為不相等的負實根。2時，s1,s2

為共軛復數根。3時，s1,s2

為相等的負實根。當電路元件參數R,L,C的量值不同時，特征根可能出現以下三種情況：71、當兩個特征根為不相等的實數根時，稱電路是過阻尼的；3、當兩個特征根為相等的實數根時，稱電路是臨界阻尼的。2、當兩個特征根為共軛復數根時，稱電路是欠阻尼的；令，由于Rd

具有電阻的量綱，是阻尼狀態的分界標準，故稱為阻尼電阻。87.2.2RLC串聯電路的零輸入響應1、過阻尼響應條件：

電路的固有頻率s1,s2不相同的實數，齊次微分方程的解為：

式中的常數A1，A2由初始條件確定。令上式中的t=0+得

對uC(t)求導，再令t=0+得

9聯立求解，可得:將A1，A2代入uC(t)得到電容電壓的零輸入響應，再利用KCL方程和電容的VCR可以得到電感電流的零輸入響應。10當uC(0+)=U0,iL

(0+)=

0時t>011例1

已知R=3

,L=0.5H,C=0.25F,uC(0+)=2V,iL(0+)=1A，求uC(t)和iL(t)的零輸入響應。則有：解：由R,L,C的值，計算出特征根12利用初始值uC(0+)=2V和iL(0+)=1A，得：解得:K1=6和K2=-4最后得到電路的零輸入響應為13過阻尼響應曲線（波形圖）uC20tiL10t14從波形可看出，在t>0以后，電感電流減少，電感放出它儲存的磁場能量，一部分為電阻消耗，另一部分轉變為電場能，使電容電壓增加。到電感電流變為零時，電容電壓達到最大值，此時電感放出全部磁場能。以后，電容放出電場能量，一部分為電阻消耗，另一部分轉變為磁場能。到電感電流達到負的最大值后，電感和電容均放出能量供給電阻消耗，直到電阻將電容和電感的初始儲能全部消耗完為止。

物理過程uC20tiL10t152、臨界阻尼響應條件固有頻率s1,s2相同的實數s1=s2=-

。齊次解式中常數K1,K2由初始條件iL(0+)和uC(0+)確定。對uC(t)求導，再令t=0+,得到

聯立求解以上兩個方程，可以得到令t=0+得到

16代入uC(t)表達式，得到電容電壓的零輸入響應，再利用KCL方程和電容的VCR可以得到電感電流的零輸入響應。當uC(0+)=U0,iL

(0+)=

0時17例2

已知R=1

,L=0.25H,C=1F,uC(0+)=-1V,iL(0+)=0，求電容電壓和電感電流。利用初始值，得則有：解：先求特征根18求解以上兩個方程得到常數K1=-1和K2=-2。電感的電流為：電容的電壓為：19臨界阻尼響應曲線iL0t物理過程：電感初始儲能為0，電容放電，一部分能量變成磁場能量，另一部分被電阻消耗；電感儲能達到最大值后，電容、電感都釋放能量，這些能量全部消耗到電阻上，直至耗盡。uC-10t203、欠阻尼響應條件

特征根s1,s2為兩個共軛復數根，即：

其中

21齊次微分方程的解為：(用歐拉公式)

式中

由初始條件iL(0+)和uC(0+)確定常數K1,K2后，可以得到電容電壓的表達式，再利用KCL和VCR方程，可以得到電感電流的表達式。

22例3已知R=6

,L=1H,C=0.04F,uC(0+)=3V,iL(0+)=0.28A，求電容電壓和電感電流的零輸入響應。于是有

利用初始值uC(0+)=3V和iL(0+)=0.28A得:

解：先求特征根23解得K1=3和K2=4。電容電壓和電感電流的表達式分別為：

24(a)

=3的電容電壓波形(b)

=3的電感波形(c)

=0.5的電容電壓的波形(d)

=0.5的電感電流的波形欠阻尼波形圖25物理過程：欠阻尼情況的特點是能量在電容與電感之間交換，形成衰減振蕩。電阻越小，單位時間消耗能量越少，曲線衰減越慢。本例中，當電阻由R=6Ω減小到R=1Ω，衰減系數由3變為0.5時，可以看出電容電壓和電感電流的波形曲線衰減明顯變慢。假如電阻等于零，使衰減系數為零時，電容電壓和電感電流將形成無衰減的等幅振蕩。

26例4

已知R=0,L=1H,C=0.04F,uC(0+)=3V,iL(0+)=0.28A，求電容電壓和電感電流的零輸入響應。則：

利用初始條件得：

解：先求特征根：

27解得：K1=3和K2=1.4，得電容電壓和電感電流的零輸入響應波形圖28

當電阻為0時，由于電路中沒有損耗，能量在電容和電感之間交換，總能量不會減少，形成等振幅振蕩。物理過程

電容電壓和電感電流的相位差為90

，當電容電壓為零時，電場儲能為零，此時電感電流達到最大值，全部能量儲存于磁場中；而當電感電流為零時，磁場儲能為零，此時電容電壓達到最大值，全部能量儲存于電場中。

29RLC二階電路的零輸入響應一攬301.過阻尼情況，s1和s2是不相等的負實數，響應按指數規律衰減。2.臨界阻尼情況，s1=s2是相等的負實數，響應按指數規律衰減。3.欠阻尼情況，s1和s2是共軛復數，響應是振幅隨時間衰減的正弦振蕩，其振幅隨時間按指數規律衰減，衰減系數

越大，衰減越快。衰減振蕩的角頻率

d

越大，振蕩周期越小，振蕩越快。圖中按Ke-

t畫出的虛線稱為包絡線，它限定了振幅的變化范圍。4.無阻尼情況，s1和s2是共軛虛數，

=0，振幅不再衰減，形成角頻率為

0的等幅振蕩。可以推斷，當特征根的實部為正時，響應的振幅將隨時間增加，電路是不穩定的。也就是說，只有當特征根具有負實部時，電路才是穩定的。

31§7.3RLC串聯電路的全響應

1、直流激勵的RLC串聯電路

對于直流激勵的RLC串聯電路，當uS(t)=US時，可以利用初始條件uC(0+)=U0和iL(0+)=I0來求解以下非齊次微分方程,從而得到全響應。電路的微分方程：322、RLC串聯電路的全響應

全響應由對應齊次微分方程的通解與微分方程的特解之和組成電路的特征根為當s1

s2時，對應齊次微分方程的通解為特解為33全響應為

利用初始條件，可以得到聯立求解，得到常數K1和K2后，就可得到電容電壓的全響應，再利用KCL和電容元件VCR可以求得電感電流的全響應。34類似地，當s1=s2時，全響應為求兩個待定系數的方法也類似：

于是，電容電壓確定。再根據元件的VCR或KVL，計算其它響應。

35類似地，當特征根為共軛復根時，全響應為

求兩個待定系數的方法也類似：

類似地，可根據元件的VCR或KVL計算其它響應。

36§7.4GCL并聯電路分析RLC串聯電路的微分方程

GCL并聯電路的微分方程

提示：GCL并聯電路的分析，可以應用對偶規則，通過與RLC串聯電路的對偶關系求得。

37其特征方程為

解得特征根

對偶地，特征根可能出現以下三種情況：1、時，s1,s2為不等的