第三章函數第13講二次函數的綜合應用（8~12分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一：二次函數的應用04題型精研·考向洞悉命題點一二次函數的應用?題型01圖形問題?題型02拱橋問題?題型03最大利潤/銷量問題?題型04球類飛行軌跡?題型05噴泉問題?題型05增長率問題命題點二二次函數的綜合問題?題型01線段、周長問題?題型02面積問題?題型03角度問題?題型04特殊三角形問題?題型05特殊四邊形問題?題型06相似三角形與二次函數綜合05分層訓練·鞏固提升基礎鞏固能力提升考點要求新課標要求考查頻次命題預測二次函數的應用能用二次函數解決實際問題10年7考二次函數的應用在中考中較為常見，其中，二次函數在實際生活中的應用多為小題，出題率不高，一般需要根據題意自行建議二次函數模型;而利用二次函數圖象解決實際問題和最值問題則多為解答題，此類問題需要多注意題意的理解，而且一般計算數據較大，還需根據實際情況判斷所求結果是否有合適，需要考生在做題過程中更為細心對待。用二次函數解決實際問題的一般步驟：1.審：仔細審題，理清題意；2.設：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關系，與圖形相關的問題要結合圖形具體分析，設出適當的未知數；3.列：用二次函數表示出變量和常量之間的關系，建立二次函數模型，寫出二次函數的解析式；4.解：依據已知條件，借助二次函數的解析式、圖象和性質等求解實際問題；5.檢：檢驗結果，進行合理取舍，得出符合實際意義的結論.【注意】二次函數在實際問題中的應用通常是在一定的取值范圍內，一定要注意是否包含頂點坐標，如果頂點坐標不在取值范圍內，應按照對稱軸一側的增減性探討問題結論．利用二次函數解決利潤最值的方法：巧設未知數，根據利潤公式列出函數關系式，再利用二次函數的最值解決利潤最大問題是否存在最大利潤問題。利用二次函數解決拱橋/隧道/拱門類問題的方法：先建立適當的平面直角坐標系，再根據題意找出已知點的坐標，并求出拋物線解析式，最后根據圖象信息解決實際問題。利用二次函數解決面積最值的方法：先找好自變量，再利用相關的圖形面積公式，列出函數關系式，最后利用函數的最值解決面積最值問題。【注意】自變量的取決范圍。利用二次函數解決動點問題的方法：首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結合直線或拋物線的表達式設出動點的坐標或表示出與動點有關的線段長度，最后結合題干中與動點有關的條件進行計算．利用二次函數解決存在性問題的方法：一般先假設該點存在，根據該點所在的直線或拋物線的表達式，設出該點的坐標；然后用該點的坐標表示出與該點有關的線段長或其他點的坐標等；最后結合題干中其他條件列出等式，求出該點的坐標，然后判別該點坐標是否符合題意，若符合題意，則該點存在，否則該點不存在．命題點一二次函數的應用?題型01圖形問題1．（2024·廣東東莞·三模）如圖，有長為的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為），圍成中間隔有一道籬笆（平行于）的矩形花圃．設花圃的一邊為，面積為．(1)若要圍成面積為的花圃，則的長是多少？(2)求為何值時，使花圃面積最大，并求出花圃的最大面積．【答案】(1)AB的長為(2)AB為時，花圃面積最大，花圃的最大面積為【分析】本題考查了二次函數和一元二次方程的應用，根據題目的條件，合理地建立函數關系式，會判別函數關系式的類別，從而利用這種函數的性質解題．（1）根據題意列出一元二次方程求解即可；（2）根據題意得到，根據函數的性質以及自變量的取值范圍求函數最值．【詳解】（1）解：根據題意得，，解得，，當時，，符合題意；當時，，不符合題意，舍去，∴當的長為時，花圃的面積為；（2）解：花圃的面積，而由題意：，即，∵，∴當時，y隨x的增大而減小，∴當時面積最大，最大面積為．2．（2024·廣東·二模）（1）求邊長為的等邊三角形的面積；（2）小明將一根長為的繩子剪成2段，分別圍成兩個等邊三角形．問：如何剪才能夠使得這兩個等邊三角形的面積和最小？最小面積和為多少？【答案】（1）；（2）將繩子從中間剪開時，兩個等邊三角形的面積和最小，最小面積和為【分析】本題考查的是等邊三角形的性質，勾股定理的應用，二次函數的性質，熟練的利用二次函數的性質解決問題是關鍵；（1）過點A作于點H，則．再利用勾股定理求解，再利用面積公式即可得到答案；（2）設第一段繩子的長為，則第二段繩子的長為，其中．再建立面積函數關系式即可得到答案．【詳解】解：（1）如圖，在等邊三角形中，過點A作于點H，則．由勾股定理可得．等邊三角形的面積為．（2）設第一段繩子的長為，則第二段繩子的長為，其中．由（1）可知，第一個等邊三角形的面積為，第二個等邊三角形的面積為，兩個三角形的面積和為．當時，取等號．當，即將繩子從中間剪開時，兩個等邊三角形的面積和最小，最小面積和為．3．（2024·廣東佛山·二模）綜合應用如圖，等邊三角形的邊長為a，點D，E，F分別是邊，，上的動點，且滿足，連接，，．

(1)證明：；(2)設的長為x，的面積為y，求出y與x的函數表達式（用含a的式子表示）；(3)在（2）的條件下，當時，y有最小值，畫出y與x的函數圖象．【答案】(1)見解析(2)(3)見解析【分析】（1）由題意易得，，然后根據“”可進行求證；（2）過F作于H，可證，得，，從而是等邊三角形，由是等邊三角形，看求出，即可得，，，故，然后根據即可求解；（3）先根據當時，y有最小值，求出函數解析式，然后描點法畫出圖象即可．【詳解】（1）∵是邊長為4的等邊三角形，∴，，∵，∴，在和中，，∴；（2）過F作于H，如圖：

同（1）可證，∴，∴，∴是等邊三角形，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，，∴，∴，∴；∴y與x的函數表達式為；（3）解：，∵當時，y有最小值，∴，解得，∴，∴的圖象頂點為，過點，，，，畫出圖象如下：

【點睛】本題考查三角形綜合應用，涉及等邊三角形面積，全等三角形判定與性質，二次函數的圖象及性質等知識，解題的關鍵是掌握等邊三角形面積與邊長的關系．?題型02拱橋問題4．（2024·廣東·模擬預測）如圖，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分和矩形的三邊，，組成，已知河底是水平的，，，拋物線的頂點C到的距離是，以所在的直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立平面直角坐標系．(1)根據題意，填空：①頂點C的坐標為；②點B的坐標為(2)求拋物線的解析式．(3)已知從某時刻開始的內，水面與河底的距離l(單位：m)隨時間t(單位：h)的變化滿足函數關系，且當點C到水面的距離不大于時，需禁止船只通行，請通過計算說明，在這一時段內，有多少小時禁止船只通行？【答案】(1)①；②；(2)；(3)．【分析】本題考查了二次函數的應用，待定系數法求解析式，構建二次函數模型解決實際問題是解題的關鍵．（1）求出、、的長即可解決問題．（2）根據拋物線特點設出二次函數解析式，把坐標代入即可求解；（3）水面到頂點的距離不大于米時，即水面與河底的距離至多為，把代入所給二次函數關系式，求得的值，相減即可得到禁止船只通行的時間．【詳解】（1）解：由題意知，，，，∴，，故答案為：和；（2）解：由（1）知，，，設拋物線的解析式為：，把代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為：；（3）解：水面到頂點的距離不大于米時，即水面與河底的距離至多為(米)，，，∴，解得：，，(小時)，∴需小時禁止船只通行．5．（2024·廣東·模擬預測）素材一：秦、漢時期是中國古代橋梁的創(chuàng)建發(fā)展時期，此時期創(chuàng)造了以磚石為材料主體的拱券結構，為后來拱橋的出現創(chuàng)造了先決條件．如圖（1）是位于某市中心的一座大橋，已知該橋的橋拱呈拋物線形．在正常水位時測得橋拱處水面寬度為40米，橋拱最高點到水面的距離為10米．素材二：在正常水位時，一艘貨船在水面上航行，已知貨船的寬為16米，露出水面的高為7米．四邊形為矩形，．現以點O為原點，以所在直線為x軸建立如圖（2）所示的平面直角坐標系，將橋拱抽象為一條拋物線．(1)求此拋物線的解析式．(2)這艘貨船能否安全過橋？(3)受天氣影響，水位上升0.5米，若貨船露出水面的高度不變，此時該貨船能否安全過橋？【答案】(1)(2)該船能安全通過(3)此時該貨船能安全過橋【分析】本題考查了二次函數的應用，平移的性質，待定系數法求二次函數的解析式，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）先根據經過，設拋物線的解析式為，再把代入進行計算，即可作答．（2）先求出點D的橫坐標，再代入，得出，即可作答．（3）依題意，得平移后拋物線的解析式為，把代入，進行計算，即可作答．【詳解】（1）由題易知，，拋物線的頂點為點設拋物線的解析式為，將分別代入，得解得∴拋物線的解析式為；（2）由題易知，點D的橫坐標為，把代入，得∵，∴該船能安全通過．（3）由題易知，水位上升米，相當于將拋物線向下平移個單位長度，∴平移后拋物線的解析式為把代入，得．∵，∴此時該貨船能安全過橋6．（2024·廣東深圳·模擬預測）拱橋造型優(yōu)美，是中國最常用的一種橋梁形式．現在某地，有一座拱橋，跨度為，拱頂C離地面高，拱橋的形狀是一條拋物線；(1)以的中點為坐標原點，如圖建立坐標系，請求出該拱橋所在拋物線的表達式；(2)當水面寬度小于或等于時，需要采取緊急措施．現在水面距離拱頂為，是否需要采取緊急措施；(3)某人在拱頂C處踢一足球，足球最高點位置距人水平距離為，豎直距離為，已知足球的運動軌跡為一條拋物線，請問足球會落在橋上嗎？【答案】(1)(2)所以需要采取緊急措施(3)球會落在橋上【分析】本題考查了二次函數的應用．（1）利用待定系數法求解即可；（2）將代入求得，得到此時水面寬度為，與比較即可求解；（3）設足球軌跡拋物線表達式為：，再將代入，求得足球軌跡拋物線表達式，據此求解即可．【詳解】（1）解：由題意可知：，，，C點為頂點；設拱橋所在拋物線的表達式為：，代入，得：，解得：，∴拱橋所在拋物線的表達式為：；（2）解：將代入得：，解得：，所以此時水面寬度為，又，所以需要采取緊急措施；（3）解：若人朝軸正方向踢足球，則由題意可知，足球最高點的坐標為，該點也是足球軌跡拋物線的頂點，因此可設足球軌跡拋物線表達式為：，代入得：，解得：，，令，得，所以球會落在橋上．?題型03最大利潤/銷量問題7．（2025·廣東·模擬預測）廣東某鎮(zhèn)盛產的荔枝遠近聞名，深受廣大消費者喜愛，某超市每天購進一批成本價為每千克元的該荔枝，以不低于成本價且不超過每千克元的價格銷售．當每千克售價為元時，每天售出荔枝；當每千克售價為元時，每天售出荔枝，通過分析銷售數據發(fā)現：每天銷售荔枝的數量與每千克售價(元)滿足一次函數關系，(1)請直接寫出與的函數關系式；(2)超市將該荔枝每千克售價定為多少元時，每天銷售該荔枝的利潤可達到元？(3)當每千克售價定為多少元時，每天獲利最大？最大利潤為多少？【答案】(1)；(2)每千克售價定為元時，利潤可達到元；(3)當每千克售價定為元時，每天獲利最大，最大利潤為元．【分析】（1）該函數經過點，，利用待定系數法求出與的函數關系式即可；（2）設超市將該荔枝每千克售價定為元每千克時，利潤最大，根據利潤銷量單件利潤，列出關于的一元二次方程，解方程求出荔枝的售價，把不符合題意的解舍去；（3）設利潤為，可以列出關于的函數解析式為，根據二次函數的圖象與性質可知拋物線開口向下，對稱軸為，可知當時，所獲得的利潤最大，把代入函數解析式求出最大利潤．【詳解】（1）解：根據題意可知，該函數經過點，，設與的函數關系式為，將代入，得到：，解得：，與的函數關系式為；（2）解：設超市將該荔枝每千克售價定為元每千克時，利潤最大，根據題意可得：，，整理得：，分解因式得：，解得：，，售價不低于成本價且不超過每千克元，每千克售價定為元時，利潤可達到元；（3）解：設利潤為，，函數開口向下，當時，隨的增大而增大，，當時，有最大值，此時，當每千克售價定為元時，每天獲利最大，最大利潤為元．【點睛】本題主要考查了二次函數的應用、用待定系數法求一次函數的解析式、二次函數的圖象和性質、一元二次方程的應用．解決本題的關鍵是利用二次函數的圖象與性質求出最大利潤．8．（2024·廣東深圳·模擬預測）食品安全是民生工程、民心工程．2024年的報道了多家預制菜制作不規(guī)范，存在使用未經嚴格處理的槽頭肉來制作菜品，嚴重侵害了消費者權益．某食品網店以此為警鐘，準備從正規(guī)渠道購進A、B兩種類型的速食餐進行售賣．已知每份A類速食餐比每份B類速食餐進價多5元，購進40份A類速食餐與購進60份B類速食餐的價格相等．(1)求A、B兩種速食餐的進價分別是每份多少元？(2)該網店計劃購進A類速食餐若干份．試銷時發(fā)現，A類速食餐銷售量y（份）與每份售價m（元）的關系為，若要求A類速食餐每份的利潤率不低于，那么該公司將A類速食餐售價為多少時，獲得的利潤為W最大？最大值為多少？【答案】(1)A、B兩種速食餐的進價分別是每份10元和15元(2)W的最大值為10562.5元【分析】本題考查二元一次方程組的應用，二次函數的應用，理解題意，正確列出二元一次方程組與二次函數關系式是解題的關鍵．（1）設每份A類速食餐的進價是a元，每份B類速食餐的進價是b元，根據每份A類速食餐比每份B類速食餐進價多5元，購進40份A類速食餐與購進60份B類速食餐的價格相等，列出方程組，求解即可；（2）根據利潤=每份利潤×銷售量，列出w關于m的函數關系式，再根據二次函數的性質求解即可．【詳解】（1）解：設每份A類速食餐的進價是a元，每份B類速食餐的進價是b元，

依題意得：，解得，答：A、B兩種速食餐的進價分別是每份10元和15元．（2）解：依題意：獲得的利潤，由于A類速食餐每份的利用率不低于，那么，∴，又∵，即，∴，∴，∵，∴當時，W有最大值，最大值為10562.5，答：W的最大值為10562.5元．9．（2024·廣東廣州·三模）第135屆春季廣交會于2024年4月15日—5月5日在琶洲廣交會展館舉行．某公司用5萬元研發(fā)的一批文創(chuàng)產品，在本屆廣交會中參展銷售．已知生產這種產品的成本為3元/件，在銷售過程中發(fā)現；銷售量y（萬件）與銷售價格x（元/件）的關系如圖所示，其中為反比例函數圖象的一部分，為一次函數圖象的一部分．設公司銷售這種文創(chuàng)產品的利潤為W（萬元）．(1)求出y（萬件）與銷售價格x（元/件）的函數解析式；(2)求出這種文創(chuàng)產品的利潤W（萬元）與x（元/件）的函數解析式，并求出當售價定多少時，利潤最大？是多少？【答案】(1)(2)定價為7元時，利潤最大，最大為11萬元【分析】（1）分，兩種情形解答即可；（2）根據兩種解析式，分別計算利潤，比較大小后定結論即可．本題考查了待定系數法，反比例函數的性質，構造二次函數求最值，熟練掌握待定系數法，構造法求最值是解題的關鍵．【詳解】（1）當時，設，代入，得，此時解析式為；當時，設直線的解析式為，根據題意，得，解得，故解析式，綜上所述，．（2）當時，根據題意，得：，當時，W最大，此時（萬元）；當時，根據題意，得：，當時，W最大，此時（萬元）；，綜上所述，故定價為7元時，利潤最大，最大為11萬元．?題型04球類飛行軌跡10．（2024·廣東揭陽·模擬預測）如圖是一款固定在地面處的高度可調的羽毛球發(fā)球機，是其彈射出口，能將羽毛球以固定的方向和速度大小彈出羽毛球在不計空氣阻力的情況下，球的運動路徑呈拋物線狀如圖所示設飛行過程中羽毛球與發(fā)球機的水平距離為（米）與地面的高度為（米），與的部分對應數據如表所示．（米）（米）(1)求關于的函數表達式，并求出羽毛球的落地點到發(fā)球機點的水平距離．(2)為了訓練學員的后場應對能力，需要改變球的落地點，可以通過調整彈射出口的高度來實現此過程中拋物線的形狀和對稱軸位置都不變，要使發(fā)射出的羽毛球落地點到點的水平距離增加米，則發(fā)球機的彈射口高度應調整為多少米？【答案】(1)，米(2)米【分析】本題主要考查二次函數的實際應用，由實際問題建立起二次函數的模型并將二次函數的問題轉化為一元二次方程求解是解題的關鍵．（1）由表格信息可知，拋物線的頂點為，可設拋物線的解析式為：，將點代入可求出關于的函數表達式，令拋物線解析式的，即可求出羽毛球的落地點到發(fā)球機點的水平距離；（2）根據題意可設拋物線的解析式為：，根據題意可知該拋物線過點，進而求出拋物線解析式，將代入解析式計算，即可求解．【詳解】（1）解：由表格信息可知，拋物線的頂點為，可設拋物線的解析式為：，其圖像過點，，解得：，關于的函數表達式為：，當時，，解得：，（舍去），故羽毛球的落地點到發(fā)球機點的水平距離為米；（2）拋物線的形狀和對稱軸位置都不變，可設拋物線的解析式為：，要使發(fā)射出的羽毛球落地點到點的水平距離增加米，當時，，，解得：，，當時，，發(fā)球機的彈射口高度應調整為米．11．（2024·廣東東莞·模擬預測）愛思考的小芳在觀看女子排球比賽時發(fā)現一個有趣的現象：排球被墊起后，沿弧線運動，運動軌跡可以看作是拋物線的一部分，于是她和同學小華一起進行了實踐探究．經實地測量，可知排球場地長為18m，球網在場地中央且高度為2.24m．建立如圖所示的平面直角坐標系，A為擊球點．記排球運動過程中距地面的豎直高度為y（單位：m），距擊球點的水平距離為x（單位：m）．

小華第一次發(fā)球時，測得y與x的幾組數據如下表：水平距離x/m04681112豎直高度y/m22.712.82.712.242(1)根據表格數據，求排球運動過程中距地面的豎直高度y與距擊球點的水平距離x滿足的函數表達式．(2)通過計算，判斷小華這次發(fā)球能否過網，并說明理由．(3)小華第二次發(fā)球時，假設她只改變擊球點高度，排球運動軌跡的形狀及對稱軸位置不變，在點O處上方擊球，既要過球網，又不出邊界（排球壓線屬于沒出界）時，求小華的擊球點高度h（單位：m）的取值范圍．【答案】(1)(2)能，理由見解析(3)【分析】本題考查拋物線的應用，熟練掌握用待定系數法求拋物線解析式，拋物線的圖象性質是解題的關鍵．（1）根據題意，設與的函數關系式為，將代入計算即可；（2）將代入拋物線解析式，求得值與2.24比較即可；（3）解：設只改變擊球點高度后拋物線的表達式為：．把，代入，解得．故．把代入，解得．把，代入，解得．故，再把代入，解得，則可以得到取值范圍．【詳解】（1）解：由表格，可知拋物線頂點坐標為；設y與x之間的函數關系式為．將代入，得，解得．經檢驗，表格中其他數據也滿足上述關系．∴排球運動過程中距地面的豎直高度y與距擊球點的水平距離滿足的函數表達式為：；（2）解：能，理由如下：當時，．∵，∴小華這次發(fā)球能過網；（3）解：設只改變擊球點高度后拋物線的表達式為：．把，代入，解得．∴．把代入，解得．把，代入，解得．∴．把代入，解得．∴小華的擊球點高度h的取值范圍是．12．（2024·廣東深圳·模擬預測）數學活動：如何提高籃球運動罰球命中率—以小華同學為例活動背景：某學校體育節(jié)進行班級籃球比賽，在訓練過程中發(fā)現小華同學罰球命中率較低，為幫助小華同學提高罰球命中率，該班數學小組拍攝了如下圖片并測量了相應的數據（圖片標注的是近似值）．(1)模型建立：如圖所示，直線AE是地平線，A為小華罰球時腳的位置，籃球在運動過程中B、D、F為籃球的三個不同位置，B點為球出手時候的位置．已知，籃球運動軌跡是拋物線的一部分，數學小組以A、B、C、D、E、F中的某一點為原點，水平方向為x軸，豎直方向為y軸建立平面直角坐標系，計算出籃球的運動軌跡對應的拋物線解析式為，根據解析式，請你判斷該數學小組是以點（填A、B、C、D、E、F中的一個）作為坐標原點．(2)問題解決：已知籃球框與罰球線水平距離為4米，距離地面為3米，請問在（1）的情況下，小華的這次罰球能否罰進？并說明理由．(3)模型應用：如下圖所示為拋物線的一部分函數圖象，拋物線外一點，試通過計算說明在不改變拋物線形狀的情況下，把原拋物線向上平移多少個單位，能使平移后的拋物線經過點P．【答案】(1)B(2)不能罰進，理由見解析(3)個單位【分析】本題考查二次函數的實際應用，根據實際問題抽象出數學模型是解題的關鍵．（1）由拋物線解析式中常數項為0可得拋物線經過坐標原點，假設以點B為坐標原點，計算出點D和點F的坐標，判斷點D和點F是否在拋物線上即可，若不在，再假設點D或F為坐標原點；（2）先表示出籃球框所在位置的坐標，再判斷該坐標是否在拋物線上即可；（3）原拋物線向上平移m個單位后的解析式為，將代入求出m的值即可．【詳解】（1）解：拋物線解析式為，拋物線經過坐標原點，B、D、F可能為坐標原點，，當以點B為坐標原點時，點D的坐標為，即，點F的坐標為，即，當時，，當時，，點D和點F在拋物線上，該數學小組是以點B為坐標原點，故答案為：B．（2）解：不能罰進，理由如下：在（1）的情況下，籃球框所在位置的坐標為，即，當時，，點不在拋物線上，小華的這次罰球不能罰進．（3）解：設原拋物線向上平移m個單位，能使平移后的拋物線經過點P．則平移后的拋物線解析式為，將代入，得：，解得，即原拋物線向上平移個單位，能使平移后的拋物線經過點P．?題型05噴泉問題13．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖1，一灌溉車正為綠化帶澆水，噴水口離地豎直高度為米．建立如圖2所示的平面直角坐標系，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖象，把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度米，豎直高度米，下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點離噴水口的水平距離為2米，高出噴水口米，灌溉車到綠化帶的距離為米．(1)求上邊緣拋物線噴出水的最大射程；(2)求下邊緣拋物線與軸交點的坐標；(3)若米，灌溉車行駛時噴出的水______（填“能”或“不能”）澆灌到整個綠化帶，并說明理由．【答案】(1)上邊緣拋物線噴出水的最大射程為；(2)；(3)不能，理由見解析【分析】本題主要考查了二次函數的實際應用：（1）求得上邊緣的拋物線解析式，即可求解；（2）根據二次函數的性質，確定平移的單位，求得下邊緣拋物線解析式，即可求解；（3）根據題意，求得點的坐標，判斷上邊緣拋物線能否經過點即可；【詳解】（1）解：由題意可得：，且上邊緣拋物線的頂點為，故設拋物線解析式為：將代入可得：即上邊緣的拋物線為：將代入可得：解得：（舍去）或即上邊緣拋物線噴出水的最大射程為；（2）解：由（1）可得，上邊緣拋物線為：，可得對稱軸為：點關于對稱軸對稱的點為：下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，可得上邊緣拋物線向左平移個單位，得到下邊緣拋物線，即下邊緣的拋物線解析式為：將代入可得：解得：（舍去）或即點；（3）解：灌溉車行駛時噴出的水不能澆灌到整個綠化帶，理由如下；∵，∴綠化帶的左邊部分可以灌溉到，由題意可得：將代入到可得：因此灌溉車行駛時噴出的水不能澆灌到整個綠化帶．14．（2024·廣東深圳·三模）某公園在人工湖里安裝一個噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，若記水柱上某一位置與水管的水平距離為米，與湖面的垂直高度為米．（米）01234（米）根據上述信息，解決以下問題：(1)在如下網格中建立適當的平面直角坐標系，并根據表中所給數據畫出表示與函數關系的圖象；(2)若水柱最高點距離湖面的高度為米，則______；(3)現公園想通過噴泉設立新的游玩項目，準備通過只調節(jié)水管露出湖面的高度，使得游船能從水柱下方通過，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從水柱下方中間通過時，頂棚上任意一點到水柱的豎直距離均不小于米，已知游船頂棚寬度為米，頂棚到湖面的高度為米，那么公園應將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計）至少調節(jié)到多少米才能符合要求．（結果保留一位小數）．【答案】(1)見解析(2)(3)公園應將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計）至少調節(jié)到米才能符合要求【分析】本題主要考查二次函數的運用，掌握二次函數圖象的繪制方法，待定系數法求解析式，二次函數圖象平移的特點是解題的關鍵．（1）根據列表，描點，連線的方法作圖即可；（2）根據表格信息可得二次函數的最大值為時，的值最大，由此即可求解；（3）根據題意，設二次函數的解析式為：，根據表格可得二次函數解析式，根據游船通過的條件設調節(jié)后的水管噴出的拋物線的解析式為：，可得，由此即可求解．【詳解】（1）解：表格信息為：（米）01234（米）根據表格信息，描點，連線，作圖如下，（2）解：根據題意可知，該拋物線的對稱軸為直線，此時水柱離湖面最高，即，故答案為：；（3）解：根據圖象可設二次函數的解析式為：，將代入，得，∴拋物線的解析式為：，設調節(jié)后的水管噴出的拋物線的解析式為：，由題意可知，當橫坐標為時，縱坐標的值不小于，∴，解得，，∴水管高度至少向上調節(jié)米，∴（米），∴公園應將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計）至少調節(jié)到米才能符合要求．15．（2024·河南平頂山·二模）圖是某廣場中的一個景觀噴泉，水從噴頭噴出后呈拋物線形狀先向上至最高點后落下．將中間立柱近似看作一條線，以其為軸建立如圖所示直角坐標系，已知中間立柱頂端到水面的距離為，噴水頭恰好是立柱的中點，若水柱上升到最高點時，到水面的距離為，到中間立柱的距離為．(1)求圖中第一象限內拋物線的函數表達式．(2)為了使水落下后全部進入水池中，請判斷圓形水池的直徑不能小于多少米？【答案】(1)(2)【分析】（）求出點的坐標，利用頂點式假設出拋物線的解析式，再把點坐標代入計算即可求解；（）利用（）中所得的二次函數解析式求出點坐標，得出的長，根據即可求解；本題考查了二次函數的應用，利用待定系數法求出拋物線的解析式是解題的關鍵．【詳解】（1）解：由題意可知，，∴點的坐標為，由題意可得頂點的坐標為，設該拋物線的函數表達式為，把代入得，，解得，∴拋物線的函數表達式為，即；（2）解：∵，∴當時，有，解得，（不合，舍去），∴點坐標為，∴，此時有答：圓形水池的直徑不能小于．?題型05增長率問題16．（2021·重慶沙坪壩·一模）中國新冠疫苗研發(fā)成功，舉世矚目，疫情得到有效控制，國內旅游業(yè)也逐漸回溫，我市某酒店有A、B兩種房間，A種房間房價每天200元，B種房間房價每天300元，今年2月，該酒店登記入住了120間，總營業(yè)收入28000元．（1）求今年2月該酒店A種房間入住了多少間？（2）該酒店為提高房間入住量，增加營業(yè)收入，大力借助網絡平臺進行宣傳，同時將A種房間房價調低2a元，將B種房間房價下調a%，由此，今年3月，該酒店吸引了大批游客入住，A、B兩種房間入住量都比2月增加了a%，總營業(yè)收入在2月的基礎上增加了a%，求a的值．【答案】（1）80；（2）20．【分析】（1）設A、B兩種房間入住分別為x、y間，然后根據題目已知條件列方程組進行求解計算即可；（2）先根據已知條件算出A、B兩種房間的入住間數，然后算出總營業(yè)收入，然后根據算出對比與2月的增長率，列式計算即可得到答案．【詳解】解：（1）設A、B兩種房間入住分別為x、y間，由題意可知：把①×200得用②-③得：，解得把代入①中，解得故入住A房間的有80間．（2）由題意得：下調后A房間的房價=，B房間的房價=由題目已知條件和（1）中計算的結果知：下調后A房間的入住間數=，B房間的入住間數=故三月份的總收入=又∵三月份比二月份總營業(yè)收入增加了∴即解得：，（舍去）故答案為：20．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的實際應用問題，二次函數與增長率的問題，解題的關鍵在于能夠根據已知條件找到等量關系進行列式計算．17．（2021·江蘇鹽城·一模）為積極響應國家“舊房改造”工程，該市推出《加快推進舊房改造工作的實施方案》推進新型城鎮(zhèn)化建設，改善民生，優(yōu)化城市建設．（1）根據方案該市的舊房改造戶數從2020年底的3萬戶增長到2022年底的4.32萬戶，求該市這兩年舊房改造戶數的平均年增長率；（2）該市計劃對某小區(qū)進行舊房改造，如果計劃改造300戶，計劃投入改造費用平均20000元/戶，且計劃改造的戶數每增加1戶，投入改造費平均減少50元/戶，求舊房改造申報的最高投入費用是多少元？【答案】（1）20%；（2）6125000（元）【分析】（1）設平均增長率為x，根據題意列式求解即可；（2）設多改造y戶，最高投入費用為w元，根據題意列式，然后根據二次函數的性質即可求出最大值．【詳解】解：（1）設平均增長率為x，則x>0，由題意得：，解得：x=0.2或x=-2.2（舍），答：該市這兩年舊房改造戶數的平均年增長率為20%；（2）設多改造a戶，最高投入費用為w元，由題意得：，∵a=-50，拋物線開口向下，∴當a-50=0，即a=50時，w最大，此時w=612500元，答：舊房改造申報的最高投入費用為612500元．【點睛】本題考查二次函數的實際應用，解題的關鍵是正確讀懂題意列出式子，然后根據二次函數的性質進行求解．18．（2019·山東東營·一模）為了打造“清潔能源示范城市”，東營市2016年投入資金2560萬元用于充電樁的安裝，并規(guī)劃投入資金逐年增加，2018年在2016年的基礎上增加投入資金3200萬元.（1）從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為多少？（2）2019年東營市計劃再安裝A、B兩種型號的充電樁共200個.已知安裝一個A型充電樁需3.5萬元，安裝一個B型充電樁需4萬元，且A型充電樁的數量不多于B型充電樁的一半.求A、B兩種型號充電樁各安裝多少個時，所需資金最少，最少為多少？【答案】（1）從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為50%；（2）A、B兩種型號充電樁分別安裝66個，134個時所需資金最少，最少為767萬元【分析】(1)設從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為x，根據等量關系，列出方程，即可求解；(2)設安裝A型充電樁a個，則安裝B型充電樁個，所需資金為萬元，列不等式，求出a的范圍，再求出的函數解析式，進而可求出答案.【詳解】（1）設從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為x，根據題意得：，解得:，（舍去）.答：從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為50%；（2）設安裝A型充電樁a個，則安裝B型充電樁個，所需資金為萬元.根據題意，得:，解得:，，∵，∴隨a的增大而減小.∵a為整數，∴當時，最小，最小值為（萬元）.此時，.答：A、B兩種型號充電樁分別安裝66個，134個時，所需資金最少，最少為767萬元.【點睛】本題主要考查一次函數，二次函數以及一元一次不等式的實際應用，找到數量關系，列出函數解析式和一元一次不等式，是解題的關鍵.命題點二二次函數的綜合問題?題型01線段、周長問題19．（2025·廣東·模擬預測）如圖在平面直角坐標系中，直線l與x軸交于點，與y軸交于點，拋物線經過點A，B，且對稱軸是直線．(1)求拋物線的解析式；(2)點P是直線l下方拋物線上的一動點，過點P作軸，垂足為C，交直線l于點D，求的最大值及此時P的坐標；(3)在（2）的條件下，過點P作，垂足為M．求的最大值．【答案】(1)(2)的最大值是2，此時的P點坐標是(3)【分析】本題主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系，解決相關問題．（1）運用待定系數法解答即可；（2）求出直線l的解析式，設點P的坐標為，則，得，運用二次函數的性質可得結論；（3）證明，即可求解．【詳解】（1）解：設拋物線的解析式為，拋物線的對稱軸為直線，．把A，B兩點坐標代入解析式，得解得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：設直線l的解析式為，把A，B兩點的坐標代入解析式，得，解得：，直線l的解析式為；軸，設點P的坐標為，則，．∴當時，有最大值是2，當時，，，的最大值是2，此時的P點坐標是．（3）解：，，．∵在中，，．軸，，．在中，，．，．在中，，，，．此時最大，，的最大值是．20．（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，已知拋物線與x軸交于點A，B（點A在點B的左邊），與y軸負半軸交于點C，且，直線經過B，C兩點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點D在拋物線上，滿足，求點D的坐標；(3)如圖2，設拋物線的頂點為T，直線與拋物線交于點E，F（點E在點F左側），G為的中點，求的值．【答案】(1)；(2)或；(3)．【分析】（1）把代入得，求出，用待定系數法可得拋物線的解析式為；（2）求出，，，分兩種情況：①當D在下方時，設延長線交x軸于K，證明，有，得，，即可求得直線解析式為，聯立可解得；②當在上方時，設交x軸于W，過B作軸交直線于T，證明，可得，求出，，知，故直線的解析式為，聯立，解得；（3）求出拋物線頂點T坐標，聯立得，設，，則，，，，由G為的中點，知，故；根據兩點間距離公式可得，即可得的值為．【詳解】（1）解：∵，C在y軸負半軸，∴，把代入得，∴，令得，∴，把，代入得：，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：在中，令得，解得或，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，①當D在下方時，設延長線交x軸于K，如下圖，此時，∴，即，∴，∵，∴，∴，即，∴，，由，得直線解析式為，聯立，解得或，∴；②當在上方時，設交x軸于W，過B作軸交直線于T，如上圖，此時，，又，∴，∴，在中，令得，∴，，∴，，∴，由，得直線CW的解析式為，聯立，解得或，∴；綜上所述，D的坐標為或；（3）解：由知拋物線頂點T坐標為，聯立得，設，，則，，，，∴，∵G為的中點，∴，∴；∵，∴，∴，∴，∴的值為．【點睛】本題考查二次函數綜合應用，涉及待定系數法，三角形全等的判定與性質，相似三角形判定與性質，根與系數的關系，兩點間距離公式等知識，解題的關鍵是用含字母的代數式表示相關點坐標和相關線段的長度．21．（2024·廣東清遠·模擬預測）如圖，直線與x軸、y軸分別交于點B，A，拋物線經過點A，B，其頂點為C．(1)求拋物線的函數解析式；(2)求的面積；(3)點P為直線上方拋物線上的任意一點，過點P作軸交直線于點D，求線段的最大值及此時點P的坐標．【答案】(1)(2)3(3)2.25，【分析】（1）先求出，，再利用待定系數法求解即可；（2）由（1）可得：，求出直線的解析式為，得出與軸的交點的橫坐標，再由三角形面積公式計算即可得解；（3）設，則，，表示出，結合二次函數的性質即可得解．【詳解】（1）解：在中，當時，，即，當時，，解得，即，由題意得：，解得：，∴拋物線的函數解析式；（2）解：由（1）可得：，設直線的解析式為，將，代入可得，解得：，∴直線的解析式為，當時，，解得，∴；（3）解：∵點P為直線上方拋物線上的任意一點，過點P作軸交直線于點D，∴設，則，，∴，∴當時，有最大值，為，此時，即．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式、一次函數的圖象與性質、二次函數綜合—線段問題，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．?題型02面積問題22．（2024·廣東珠海·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于C點，且．(1)求拋物線的解析式；(2)在第一象限內拋物線上是否存在點M，使，如果存在，求M點的坐標，如果不存在，說明理由；(3)若D是拋物線第二象限上一動點，過點D作軸于點F，過點A、B、D的圓與交于E點，求的面積．【答案】(1)(2)存在，(3)【分析】（1）根據題意得到，，利用待定系數法求出函數解析式即可；（2）判斷是等腰直角三角形，可求出，設交x軸于點D，則，求出點D的坐標，利用待定系數法求出直線的解析式，聯立方程組，求出公共解即可求出點M坐標；（3）記過點A、B、D的圓的圓心為點G，設，根據，可得出①，由點D在拋物線上，可得出②，將②代入①得求出，根據三角形面積公式求出，然后整體代入計算即可．【詳解】（1）解：∵，∴點B的坐標為，點C的坐標為，把，代入，得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：在第一象限內拋物線上存在點M，使，理由如下：如圖，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，設交x軸于點D，則，∴點D的坐標為；設直線的解析式為，則，解得，∴，聯立，解得，（舍）∴點M的坐標為（，（3）解：把代入，得，解得或，∴點A的坐標為，∴AB=6，設過點A、B、D得圓的圓心為點G，∵，∴點G在線段的垂直平分線上，設點G的坐標為，同理可得點G在線段的垂直平分線上，∵軸于點F，∴設，則，∴，∵，∴，整理得①，∵點D在拋物線上，∴，得②，將②代入①得，，∵，∴，即，∴．【點睛】本題主要考查了二次函數的圖像和性質，待定系數法求出函數解析式，拋物線上的點的坐標特征以及相似三角形的判定和性質，熟練掌握二次函數的圖像和性質是解題的關鍵．23．（2024·廣西南寧·二模）如圖，二次函數的圖象與軸交于兩點，與軸交于點，且自變量的部分取值與對應函數值如下表：012303430(1)求二次函數的表達式；(2)如圖，連接，在直線上方拋物線上是否存在一點，當點運動到什么位置時，的面積最大？求出此時點的坐標和的最大面積．

(3)將線段先向右平移1個單位，再向上平移6個單位，得到線段，若拋物線與線段只有一個公共點，請直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)存在，，(3)或或【分析】（1）利用待定系數法求解；（2）由表格求出，設，連接，求得的面積的面積的面積的面積，再根據二次函數的性質解答；（3）由題意可得，利用配方法得到拋物線的頂點為，當時；當時，，分兩種情況：當時，且，得；當時，且，得；當時，只有一個公共點，；由此得到或或．【詳解】（1）將代入，得，解得，∴二次函數的表達式為；（2）由表格可知，當時，或；當時，，∴，設，連接，

的面積的面積的面積的面積∴當時，的面積的面積最大，最大值是；（3）由題意可得，∴拋物線的頂點為，當時；當時，，當時，只有一個公共點，∴；當時，開口向下，則且，得；當時，開口向上，則且，得；綜上，或或．【點睛】此題考查二次函數的綜合應用，掌握二次函數圖象與x軸的交點與一元二次方程的關系，圖形面積的計算，分類討論等知識思想是解題的關鍵．24．（2024·廣東東莞·一模）如圖1，拋物線經過點，，矩形的點A，D在x軸上，B，C在拋物線上，．(1)求該拋物線的解析式；(2)求點B，C的坐標；(3)如圖2，垂直于的直線m從底邊出發(fā)，以每秒的速度沿方向勻速平移，分別交折線，，于M，N，H，當直線m到達點E時，停止運動，連接，，設運動時間為t秒，的面積記為y，請用t表示y，寫出t的相應的取值范圍，并求y的最大值．【答案】(1)拋物線的表達式為：(2)點，(3)，y的最大值為【分析】（1）將，代入中，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式．（2）設點B的橫坐標為m，由，得，則點．將點B的坐標代入拋物線的表達式中求出m的值，則可得B點坐標，根據拋物線的對稱性可得C的坐標．（3）當時，可得，，由，即可得出y與t的關系式，并求出y的最大值；當時，先求得的表達式為，由可得，則可得N點的坐標為，同理可得M點的坐標為，由可得y與t的關系式，根據拋物線的頂點坐標即可求出y的最大值．最終可得函數y的最大值為．【詳解】（1）將，代入中，得：，解得：，則拋物線的表達式為：；（2）（2）設點B的橫坐標為m，，則，則點，將點B的坐標代入拋物線的表達式得：，解得：(舍去),，∴，則點，∵拋物線的對稱軸為：，，∴點；（3）（3）當時，此時，，則，當時，；當時，如下圖：此時，設直線的表達式為：則，解得，直線的表達式為：，當時，即，則，即點，設直線的表達式為：，則，解得，直線的表達式為：，當時，即，則，可得：點，則，，故函數y有最大值，當時，函數y的最大值為，∵，故y的最大值為，即，y的最大值為．【點睛】本題是一道二次函數與幾何的綜合題，熟練掌握二次函數圖像的性質及分類討論的方法和數形結合法是解題的關鍵．?題型03角度問題25．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，，頂點為D(1)求二次函數的解析式；(2)P為直線上方拋物線上一點，求面積最大值及P點坐標；(3)P為第四象限拋物線上一點，且，求出點P的坐標；【答案】(1)(2)最大值為，(3)【分析】（1）先求得，設二次函數解析式為，再利用待定系數法求解即可；（2）先求出直線的解析式為：，設，則，求出，最后根據二次函數的性質即可得到答案；（3）過點C作，取一點E使，過點C作軸，作，先證明，可得，從而求出，由P為以為直徑的圓與拋物線的交點的中點F，可得，設可求得，再求解即可．【詳解】（1），，設二次函數解析式為，將代入得：，故二次函數解析式為；（2）如圖，連接，過點P作，設直線的解析式為：，將，代入直線的解析式得：，解得，直線的解析式為：，設，則，，，由此可得，當，最大為，當時，，；（3）如圖，過點C作，取一點E使，過點C作軸，作，，，，，，，，，P為以為直徑的圓與拋物線的交點的中點F，，，設解得：，將代入得：，【點睛】本題主要考查了待定系數法求一次函數的解析式、二次函數的圖象與性質、圓周角定理，相似三角形的判定與性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質、圓周角定理，相似三角形的判定與性質，添加適當的輔助線，是解題的關鍵．26．（2024·廣東東莞·三模）如圖，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點P是直線上方拋物線上的動點，過點P作軸交直線于點E，作軸交直線于點F，求E，F兩點間距離的最大值；(3)如圖2，連接，在拋物線上存在點Q，使，請直接寫出符合題意的點Q坐標．【答案】(1)(2)(3)點Q的坐標為或【分析】（1）用待定系數法即可求解；（2）由已知易得是等腰直角三角形，則；求出直線的表達式為，設點，則點，進而可表示出，求出的最大值即可得E，F兩點間距離的最大值；（3）分兩種情況：點Q在下方時，設交y軸于點H，由題意得，從而其正切值相等，即，從而求得點H的坐標，用待定系數法求出直線的表達式，與拋物線表達式聯立即可求得點Q的坐標；點Q在上方時，過點A作軸，使，連接，在線段上截取，連接，易得四邊形是矩形，則，；接著用證明，則有，進而得，最后求得點N的坐標；則可求得直線的表達式，聯立拋物線表達式即可求得點Q的坐標；綜合即可得結果．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于兩點，∴，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：由拋物線的表達式知，點，，，，，為等腰直角三角形，則，∵軸，軸，，，是等腰直角三角形，，由點A、C的坐標得：直線的表達式為：，設點，則點，，，故有最大值，當時，的最大值為：，則的最大值為：；（3）解：當點Q在下方時，如圖，設交y軸于點H，，，，∴，即，，故；設直線的表達式為，把點A坐標代入得：，得，故直線的表達式為：，聯立上式和拋物線的表達式得：，解得：（舍去）或，則點；當點Q在上方時，如圖，過點A作軸，使，連接，在線段上截取，連接，，，，∴四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是矩形，則，；，，，，，，；，；設直線解析式為，則有，解得：，∴直線的表達式為：，聯立上式和拋物線的表達式得：，解得：（舍去）或，則點；綜上，點Q的坐標為或．【點睛】本題是二次函數與幾何的綜合；考查了待定系數法求一次函數與二次函數的解析式，二次函數的圖象與性質，等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，正切函數，解一元二次方程等知識，綜合性強，注意分類討論與數形結合思想的應用．27．（2024·廣東清遠·模擬預測）綜合探究如圖，在中，，經過點C的直線交x軸正半軸于點，一拋物線經過點A、B、C，頂點為D，對稱軸交x軸于點E．(1)求拋物線及直線的函數表達式；(2)若點G是在第一象限內拋物線上的一動點，求使面積達到最大時點G的坐標，并求出此時面積的最大值；(3)若點P是拋物線上對稱軸右側一點，點Q是直線上一點，試探究是否存在以點E為直角頂點的，滿足．若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)最大值為4，點G坐標為(3)存在，點P的坐標為或【分析】（1）求出C點坐標，再用待定系數法求二次函數和一次函數解析式即可；（2）過點G作軸，交直線于點F，，設點G坐標為，點F坐標為，用e表示出的面積為，得出當時，面積取得最大值，最大值為4，求出點的坐標即可；（3）分別過點P、Q作x軸的垂線，垂足分別為N、M，，證，利用對應邊成比例可以解題．【詳解】（1）解：設拋物線的表達式為，∵，，∴點A的坐標為，點C的坐標為，又∵點B的坐標為，∴將點A、B、C的坐標代入拋物線表達式得：，解得，∴拋物線的表達式為．將點B、C的坐標代入直線得：，解得，∴直線BC的表達式為．（2）解：如圖，過點G作軸，交直線于點F，設點G坐標為，點F坐標為，則，故，∴當時，面積取得最大值，最大值為4，此時點G坐標為．（3）解：存在．∵拋物線的對稱軸為直線，∴點E的坐標為．設點P的坐標為、點Q的坐標為，則，，，，①當點Q在點P的左側時，如圖，分別過點P、Q作x軸的垂線，垂足分別為N、M，∴，由題意得：，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，解得（舍去負值），當時，，∴點P的坐標為．②當點Q在點P的右側時，如圖，分別過點P、Q作拋物線對稱軸的垂線，垂足分別為N、M，則，，，，同理可得：∽，∴，∴，解得（舍去負值），∴當時，，∴點P的坐標為，綜上所述，點P的坐標為或【點睛】本題主要考查了二次函數的綜合，包括解直角三角形、直角三角形存在性問題，相似三角形的判定與性質，解題關鍵是熟練運用二次函數知識，設出點的坐標，利用相似三角形的判定與性質表示出其他點的坐標，列出方程．?題型04特殊三角形問題28．（2024·廣東·模擬預測）綜合探究如圖（1）所示，在平面直角坐標系中，已知菱形的頂點A在y軸正半軸上，頂點B，C，D在二次函數（a為常數，且）的圖象上，且軸，與y軸交于點E，．(1)求的長．(2)求a的值．(3)如圖（2）所示，F是射線上的一動點，點C，D同時繞點F按逆時針方向旋轉得點，當是直角三角形時，求的長．【答案】(1)1(2)1(3)或【分析】（1）由菱形可得，根據二次函數對稱性可得，再根據求解即可；（2）設則代入計算即可；（3）過點C作于點N，設直線交射線與點M，連接，根據菱形的性質及解三角形得出，再由旋轉的性質分三種情況討論：①當以為直角頂點時，②當以A為直角頂點時，③當以為直角頂點時，分別利用旋轉的性質，相似三角形的判定和性質及解一元二次方程求解即可．【詳解】（1）解：∵四邊形是菱形，∴，，∵軸，∴，∵二次函數對稱軸為軸，B，C，D在二次函數的圖象上，，；（2）解：由（1）可得，，，設則代入得，解得，∴；（3）解：如圖2，過點C作于點N，設直線交射線與點M，連接，在菱形中，，，，，，∴在中，，，∵點C，D同時繞點F按逆時針方向旋轉得點，則繞點F逆時針旋轉得到，，∵，，，由是直角三角形，可知需分三種情況討論：①當以為直角頂點時，如圖，∵，∴點落在的延長線上，且與點M重合，∵，∴，∴點F與點N重合，∴，∴；②當以為直角頂點時，如圖，，∴點落在的延長線上，且與點M重合，，，，在中，，，；③當以A為直角頂點時，如圖，∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，設，則，∴，，，，，，，，，，，化簡得，，無解，不存在此種情況，不符合題意，綜上所述，當是直角三角形時，的長為或．【點睛】本題考查二次函數的性質，旋轉的性質，菱形的性質，全等三角形的判定與性質，解直角三角形，三角形相似的判定與性質，解一元二次方程，解直角三角形等知識，利用分類討論和數形結合是解題的關鍵．29．（2024·廣東·模擬預測）綜合運用如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于點A．C(點A在點C的右側)．與y軸交于點B．直線經過點A，B．(1)求A，B，C三點的坐標及直線的表達式．(2)P是第二象限內拋物線上的一個動點，過點P作軸交直線于點Q，設點P的橫坐標為．的長為L．①求L與m的函數關系式，并寫出m的取值范圍；②若與交于點D，求m的值．(3)設拋物線的頂點為M，問在y軸上是否存在一點N，使得為直角三角形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)①②(3)存在，或或或【分析】（1）令，求出值，令，求出的值，進而得到的坐標，待定系數法求出直線的解析式即可；（2）①求出點坐標，根據兩點間的距離求出的解析式，根據點在第二象限，寫出m的取值范圍即可；②證明，得到，進行求解即可；（3）分別以為直角頂點，為直角頂點和為直角頂點三種情況，進行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴當時，，當時，，解得：，∴，∵直線經過點A，B∴，解得：，∴；（2）①∵點P的橫坐標為，∴，∵軸，∴，∴，∴，∴，∴，∵P是第二象限內拋物線上的一個動點，∴；∴；②∵軸，與交于點D，∴，，∴，∴，∴，∴，∴（舍去）或，∴；（3）存在，設點，∵，∴，∵，∴；①當點為直角頂點時：，解得：，∴；②當點為直角頂點時，，解得：，∴；③當點為直角頂點時：，解得：或，∴或；綜上：或或或．【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，涉及拋物線與坐標軸的交點問題，待定系數法求函數解析式，相似三角形的判定和性質，勾股定理等知識點，熟練掌握相關知識點，利用數形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．30．（2024·廣東東莞·模擬預測）如圖1，拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點C，連接，已知，點M是拋物線的頂點．(1)求拋物線的解析式．(2)如圖2，拋物線的對稱軸與x軸相交于點P，與線段相交于點Q，點N是拋物線的對稱軸上的點，且滿足，求點N的坐標．(3)如圖3，連接，點D是線段上的一個動點，過點D作交于點E，于點F，連接．當面積最大時，求此時點D的坐標．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根據題意得到，結合利用待定系數法求解即可；（2）先求出，分點N在x軸上方和下方兩種情況討論，當點N在x軸上方時，根據二次函數的對稱性質及等腰三角形的性質推出，則由等腰三形判定得，最后由勾股定理即可求解；當點N在x軸下方時，由對稱性即可求解；（3）如圖，過點M作交于點H，設，求出，進而求出，解直角三角形得到，，從而求出在中，，，，，證明，求出，證明，由，得到關系式，利用二次函數的性質即可求解．【詳解】（1）解：，，，，，，解得：，拋物線的解析式為：；（2）解：，，∴，，如圖，點N在拋物線的對稱軸上，，當點N在x軸上方時，∴，∴，∵，∴，∴，拋物線的對稱軸為，，，，，，，在中，由勾股定理可得：，∴，∴，；當點N在x軸下方時，由對稱性得：；綜上，點N的坐標為或；（3）解：如圖，過點M作交于點H，設，點M是拋物線的頂點，當時，，，，，在中，，，，，，，在中，，，，，，，，，，，，，，，，當時，最大，此時點D的坐標為．【點睛】本題是二次函數的綜合問題，考查了用待定系數法求二次函數與二次函數的解析式，二次函數的圖象及最大值，二次函數與特殊三角形問題，二次函數與相似三角形問題，涉及分類討論思想及方程思想，有一定的難度和運算量．?題型05特殊四邊形問題31．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知直線過點，．(1)求直線的函數解析式；(2)設點在上，拋物線G：與軸交于點，（點在點右側），與軸交于點．①當時，試用含的代數式表示四邊形的面積；②當，，中有兩點與點，圍成的四邊形是平行四邊形時，求的函數解析式．【答案】(1)(2)①或或②或或【分析】（1）待定系數法求出函數解析式即可；（2）①分，，三種情況進行討論求解即可；②分與兩點組成的四邊形為平行四邊形，且點在原點右側，與兩點組成的四邊形為平行四邊形，且點在原點左側，以及當與兩點組成的四邊形為平行四邊形，三種情況進行討論求解即可．【詳解】（1）解：設直線的函數解析式為，把，代入，得：，解得：，∴；（2）①∵點在上，∴，∵，∴當時，，令，則，解得：，設直線與軸交于點，∵，∴當時，，∴，當，即時，，則：四邊形的面積；當時，則：四邊形的面積；當，即：時，則：四邊形的面積；綜上：四邊形的面積為或或；②當與兩點組成的四邊形為平行四邊形，且點在原點右側時，如圖，則：，∴的中點坐標為，∴，兩點中點的縱坐標為，∴點坐標為，∴兩點的中點坐標為：，∴，∴，∴，∴，把代入，得：∴，即：；當與兩點組成的四邊形為平行四邊形且點在原點左側時，如圖，則：，同理可得：，，∴，∴，把，代入，得：，∴，即：；當與兩點組成的四邊形為平行四邊形時，如圖，則：，同理可得：，，∴，∴，∴，把，代入，得：，∴，即：；綜上：或或．【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，涉及到待定系數法求解析式，二次函數與拋物線的交點問題，平行四邊形的性質，等知識點，綜合性強，難度大，屬于壓軸題，正確的求出函數解析式，利用數形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．32．（2024·廣東·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于點，點，與軸交于點，其中，，．(1)求該拋物線的函數表達式；(2)點為直線下方拋物線上一點，，當線段的長度最大時，求點的坐標；(3)將沿直線平移，平移后的三角形為（其中點與點不重合），點是坐標平面內一點，若以，，，為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出所有符合條件的點的坐標．【答案】(1)(2)(3)點的坐標為、、或【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2）過點作軸交于點，利用待定系數法求出直線的解析式為，設，，則，當時，最大，此時最大，即可求解；（3）根據題意可設，得到，，，分三種情況討論：①，②，③，即可求解．【詳解】（1）解：拋物線與軸交于點，點，設拋物線解析式為，拋物線過，，，此拋物線解析式為；（2）過點作軸交于點，如下圖所示，設直線的解析式為，，，，解得：，直線的解析式為，設，，則，，，當時，最大，此時最大，；（3）根據題意可設，，，，，，①，即，，，，，②，即，，，，③，即，（不合題意，舍去），綜上所述，滿足條件的點坐標有、、或．【點睛】本題是二次函數的綜合題，涉及二次函數的圖像與性質，一次函數的圖像與性質，菱形的性質，平移的性質，解題的關鍵是靈活運用相關知識．33．（2024·廣東汕頭·模擬預測）綜合運用．如圖，在中，，，將繞點順時針旋轉后，得到，且點，，剛好在拋物線的圖圖象上，連接并延長交拋物線于點．(1)求拋物線的解析式；(2)若與關于軸對稱，連接，，猜想四邊形是什么特殊四邊形，并說明理由；(3)把拋物線沿射線的方向平移個單位長度后得到新拋物線，，分別是兩拋物線的頂點，為直線上的一動點．當是直角三角形時，求點的坐標．【答案】(1)(2)四邊形是平行四邊形．理由見解析(3)當是直角三角形時，點的坐標為或【分析】（1）根據旋轉可得，，進而得到，，，，再利用待定系數法求解即可；（2）連接，，求出直線的解析式，結合拋物線的解析式求出，得到，推出，由與關于軸對稱，，可得到，即可求解；（3）根據題意可求出，根據平移可得新拋物線的解析式為，得到，求出直線的解析式為，推出，分兩種情況：①當時，連接，，；②當時，連接，；根據平行線的判定與性質求解即可．【詳解】（1）解：由旋轉的性質可得，，，，，，，點，，在拋物線的圖象上，，解得：，拋物線的解析式是；（2）四邊形是平行四邊形．理由如下：如圖所示，連接，，設直線的解析式為：，，，，解得：，直線的解析式為，是射線與拋物線的交點，，解得：，，，，，，，又與關于軸對稱，，，，，四邊形是平行四邊形；（3），，，，，，，新拋物線可由原拋物線沿軸負方向平移個單位長度，沿軸正方向平移個單位長度得到，新拋物線的解析式為，，又，設直線的解析式為，，解得：，直線的解析式為，又直線的解析式為，，①當時，如圖，連接，，，則，由，，的坐標易得，，，是等腰直角三角形，，，，，，，與重合，；②當時，如圖，連接，，由①可知，，可得四邊形是正方形，得，，，，，，，；綜上所述，當是直角三角形時，點的坐標為或．【點睛】本題是二次函數的綜合題，涉及二次函數的圖像與性質，一次函數的圖像與性質，平行四邊形的判定與性質，平行線的判定與性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用這些知識．?題型06相似三角形與二次函數綜合34．（2024·廣東河源·一模）如圖，已知拋物線與軸交于點，且經過點，過點作軸的平行線，交軸于點，交拋物線于點，點是拋物線在第一象限內的一動點，過點作軸，垂足為．(1)求該拋物線的解析式；(2)判斷的形狀，并說明理由；(3)點N是x軸上的一點，當與相似時，求n的值．【答案】(1)(2)等腰三角形，見解析(3)【分析】（1）根據題意列方程組，即可得到結論；（2）點是拋物線在第一象限內的一動點，于是得到，求得，根據勾股定理得到，，根據等腰三角形的判定定理得到是等腰三角形；（3）根據是等腰三角形，當與相似時，得到是等腰三角形，求得或，當時，過作軸于，根據相似三角形的性質得到，延長交于，求得，解方程得到；當時，如圖，同理；于是得到結論．【詳解】（1）拋物線與軸交于點，且經過點，，，該拋物線的解析式為；（2）是等腰三角形，理由：點是拋物線在第一象限內的一動點，，，過點作軸的平行線，交軸于點，，，，，是等腰三角形；（3）過點作軸的平行線，交拋物線于點，，是等腰三角形，當與相似時，是等腰三角形，或，當時，過作軸于，，，∴，，，延長交于，，，，，，或（不合題意舍去），；當時，如圖，同理；綜上所述，當與相似時，的值為．【點睛】本題是二次函數的綜合題，考查了待定系數法求函數的解析式，相似三角形的性質，等腰三角形的判定，勾股定理，正確地求出函數解析式是解題的關鍵．35．（2024·廣東惠州·一模）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點，與y軸交于點C，拋物線經過A，C兩點且與x軸的正半軸交于點B．

(1)求k的值及拋物線的解析式．(2)如圖1，若點D為直線上方拋物線上一動點，當時，求D點的坐標；(3)如圖2，若是線段的上一個動點，過點作直線垂直于軸交直線和拋物線分別于點、，連接．設點的橫坐標為．①當為何值時，線段有最大值，并寫出最大值為多少；②是否存在以，，為頂點的三角形與相似，若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)的坐標為(3)①當時，線段有最大值為4；②存在，當的值為或時，以，，為頂點的三角形與相似【分析】（1）將點的坐標直接代入直線解析式可得出的值；再求出點的坐標，將，的坐標代入拋物線解析式，即可得出結論；（2）由（1）可得，則，所以，過點作軸交拋物線于點，過點作的垂線，垂足為，則，設，可表達點的坐標，代入拋物線的解析式即可得出結論；（3）①由點，坐標可得出直線的解析式，由此可表達點，的坐標，進而表達的長度，結合二次函數的性質可得出結論；②根據題意需要分兩種情況，當時，當時，分別求出的值即可．【詳解】（1）解：直線與軸交于點，，，直線的表達式為；當時，，點的坐標為，將點的坐標為，點的坐標為，代入，得：，解得：，拋物線的解析式為；（2）解：如圖，過點作軸交拋物線于點，過點作的垂線，垂足為，

軸，，，，，，，，，設，∴的坐標為，將點的坐標代入解析式可得，，解得或（舍去）∴的坐標為；（3）解：①由（1）可知，直線的解析式為：，點的橫坐標為，點的坐標為，點的坐標為，設線段的長度為，則，當時，線段有最大值為4；②存在，理由如下：由圖形可知，若與相似，則需要分兩種情況，當時，由（2）可知，，此時；當時，過點作軸交拋物線于點，

令，解得（舍或，即此時綜上，當的值為或時，以，，為頂點的三角形與相似．【點睛】本題是二次函數的綜合題，主要考查的是待定系數法求二次（一次）函數解析式、二次函數圖象上點的坐標特征、相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是第（3）問中需分兩種情況討論．36．（2024·廣東汕頭·三模）如圖1，拋物線和直線交于A，兩點，過點作直線軸于點．(1)求的度數．(2)如圖2，點從點A出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿線段向點運動，點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿線段向點A運動，點，同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，另一個點也隨之停止運動，設運動時間為秒．以為邊作矩形，使點在直線上．①當為何值時，矩形的面積最小？并求出最小面積；②直接寫出當為何值時，恰好有矩形的頂點落在拋物線上．【答案】(1)(2)①當時，矩形的面積最小：；②、或2.【分析】本題屬于二次函數的綜合應用，主要考查了一次函數與坐標軸的交點問題、相似三角形的判定和性質、矩形的性質、二次函數求最值等知識點，掌握數形結合和分類討論的數學思想是解題的關鍵．（1）設直線與軸交于點，然后確定點、，進而說明是等腰直角三角形，最后根據等腰直角三角形的性質即可解答；（2）①如圖，過點作軸于點，根據題意可得、、，再聯立和可得，秒時點坐標為、點坐標為，即；再證明可得，即,進而得到再結合可得，然后根據二次函數的性質即可解答；②由（1）點坐標為、、；由①證得可得，進而說明、，然后討論M、N、Q的位置情況并分別求出t值即可．【詳解】（1）解：設直線與軸交于點，當時，，，當時，，，，∴是等腰直角三角形，，；（2）解：①如圖，過點作軸于點，

，點速度為每秒個單位長度，點的速度為每秒2個單位長度，，，，聯立和可得，，，秒時點坐標為，點坐標為，，矩形，，，，，又，，，矩形的面積，，，當時，矩形的面積最小：；②當、或2時，矩形的頂點落在拋物線上．由（1）點坐標為，，，，，，點坐標為，矩形對邊平行且相等，，，，點坐標為，當在拋物線上時，則有，解得：，當點到時，在拋物線上，此時，當在拋物線上時，，重合：，解得：，綜上所述，當、或2時，矩形的頂點落在拋物線上．基礎鞏固1．（2024·廣東汕頭·一模）某企業(yè)設計了一款工藝品，每件成本是50元，為了合理定價，投入市場進行式銷，據調查，銷售單價是100元時，每天銷售量是50件，而銷售單價每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價不得低于成本，設銷售單價元，銷售利潤元．(1)求出銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？(2)該企業(yè)要使每天的銷售利潤不低于4000元，求出銷售單價的取值范圍？【答案】(1)時，有最大值，最大值為4500元(2)【分析】本題考查二次函數的實際應用．（1）根據題意可得，將其化為頂點式即可；（2）當時，求出相應的的值即可．【詳解】（1）解：依題意得∵，拋物線開口向下∴時，有最大值，最大值為4500元；（2）當時，解得∴當時，每天的銷售利潤不低于4000元．2．（2023·浙江湖州·中考真題）某水產經銷商以每千克30元的價格購進一批某品種淡水魚，由銷售經驗可知，這種淡水魚的日銷售量y（千克）與銷售價格x（元/千克）存在一次函數關系，部分數據如下表所示：銷售價格x（元/千克）5040日銷售量y（千克）100200(1)試求出y關于x的函數表達式．(2)設該經銷商銷售這種淡水魚的日銷售利潤為W元，如果不考慮其他因素，求當銷售價格x為多少時，日銷售利潤W最大？最大的日銷售利潤是多少元？【答案】(1)(2)銷售價格為每千克45元時，日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是2250元【分析】（1）設y與x之間的函數關系式為，由表中數據即可得出結論；（2）根據每日總利潤=每千克利潤×銷售量列出函數解析式，根據函數的性質求最值即可．【詳解】（1）解：設y關于x的函數表達式為．將和分別代入，得：，解得：，∴y關于x的函數表達式是：；（2）解：，∵，∴當時，在的范圍內，W取到最大值，最大值是2250．答：銷售價格為每千克45元時，日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是2250元．【點睛】本題考查一次函數、二次函數的應用，關鍵是根據等量關系寫出函數解析式．3．（2022·廣東茂名·二模）我市某工藝廠設計了一款成本為20元/件的工藝品投放市場進行試銷．經過調查，發(fā)現銷售單價為30元/件時，每天的銷售量為500件；銷售單價為40元/件時，每天的銷售量400件．設銷售單價為x元/件，每天的銷售量為y件．(1)已知x、y的值滿足一次函數關系，請求出y與x的函數關系式；(2)物價部門規(guī)定，該工藝品銷售單價最高不能超過45元/件．銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)對應的函數關系式為(2)銷售單價定為45元時，每天獲得利潤最大，最大利潤為8750元【分析】（1）根據待定系數法求出關系式即可；（2）根據，整理為二次函數關系式，再配方并結合自變量的取值范圍討論極值即可．【詳解】（1）解：設對應的函數關系式為，由題意得：，解得：對應的函數關系式為；（2）設每天獲得的利潤為元，由題意得：．當時，有最大值，且當時，隨的增大而增大，每天的單價不能超過45元，當時，有最大值元．答：銷售單價定為45元時，每天獲得利潤最大，最大利潤為8750元．【點睛】本題主要考查了求一次函數關系式，求二次函數的極值等，討論二次函數最值時要結合自變量取值范圍，不能落解或錯解．4．（2023·廣東廣州·一模）古往今來，橋給人們的生活帶來便利，解決跨水或者越谷的交