方程的應(yīng)用——工程問題（教學(xué)設(shè)計(jì)）-2023-2024學(xué)年六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)北師大版主備人備課成員設(shè)計(jì)意圖嗨，親愛的同學(xué)們！今天我們要一起走進(jìn)數(shù)學(xué)的奇妙世界，探索方程的奧秘，特別是工程問題的解決之道。六年級(jí)的我們，已經(jīng)具備了初步的數(shù)學(xué)思維，今天這節(jié)課，我要帶領(lǐng)大家通過幾個(gè)有趣的工程問題，學(xué)會(huì)如何運(yùn)用方程來解決問題。讓我們一起動(dòng)手動(dòng)腦，感受數(shù)學(xué)的魅力吧！??????核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的能力，提升他們的邏輯思維和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。通過工程問題的學(xué)習(xí)，學(xué)生將學(xué)會(huì)如何從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用方程進(jìn)行求解，從而培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和解決復(fù)雜問題的能力。同時(shí)，通過合作探究，學(xué)生將提高團(tuán)隊(duì)協(xié)作和溝通表達(dá)的能力，增強(qiáng)他們的社會(huì)責(zé)任感和創(chuàng)新精神。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)：

六年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)具備了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，包括基本的四則運(yùn)算、比例、分?jǐn)?shù)和小數(shù)等。他們對(duì)方程的概念有一定的了解，能夠進(jìn)行簡(jiǎn)單的方程求解。此外，他們對(duì)于幾何圖形的認(rèn)識(shí)也在逐步加深，這為理解工程問題中的幾何關(guān)系奠定了基礎(chǔ)。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣因人而異，有的同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)問題充滿好奇心，樂于探索；有的同學(xué)則可能對(duì)數(shù)學(xué)感到困惑，需要更多的引導(dǎo)和鼓勵(lì)。他們的學(xué)習(xí)能力也各有差異，有的同學(xué)能夠迅速理解和掌握新知識(shí)，有的同學(xué)則需要更多的練習(xí)和輔導(dǎo)。學(xué)習(xí)風(fēng)格上，有的同學(xué)偏好通過視覺學(xué)習(xí)，有的同學(xué)則更傾向于動(dòng)手操作和合作學(xué)習(xí)。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

在解決工程問題時(shí)，學(xué)生可能會(huì)遇到以下困難和挑戰(zhàn)：一是如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，二是如何正確設(shè)立方程，三是如何解方程并解釋結(jié)果。此外，對(duì)于一些空間想象能力較弱的學(xué)生來說，理解工程問題中的幾何關(guān)系也是一個(gè)挑戰(zhàn)。因此，教學(xué)中需要注重引導(dǎo)學(xué)生逐步建立模型，提高他們的空間想象能力和問題解決能力。學(xué)具準(zhǔn)備Xxx課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)方法與手段1.教學(xué)方法：

-講授法：通過生動(dòng)的講解，幫助學(xué)生理解工程問題的背景和解決思路。

-討論法：組織小組討論，鼓勵(lì)學(xué)生提出問題、分享想法，提高他們的合作和交流能力。

-實(shí)踐法：設(shè)計(jì)實(shí)際操作環(huán)節(jié)，讓學(xué)生通過動(dòng)手操作來體驗(yàn)方程的應(yīng)用。

2.教學(xué)手段：

-多媒體演示：利用PPT展示工程問題的實(shí)例，直觀展示問題的解決過程。

-互動(dòng)軟件：運(yùn)用數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，讓學(xué)生在虛擬環(huán)境中進(jìn)行方程的求解練習(xí)。

-板書與實(shí)物模型：結(jié)合板書和實(shí)物模型，幫助學(xué)生建立直觀的空間概念。教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課

詳細(xì)內(nèi)容：

（1）首先，我會(huì)以一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)際問題引入，比如：“小明家的花園要圍成一個(gè)正方形，他有20米長(zhǎng)的籬笆，請(qǐng)問花園的邊長(zhǎng)是多少米？”通過這個(gè)問題，激發(fā)學(xué)生的興趣，引出正方形的周長(zhǎng)和邊長(zhǎng)的關(guān)系。

（2）接著，我會(huì)引導(dǎo)學(xué)生回顧之前學(xué)過的幾何知識(shí)，如正方形的周長(zhǎng)公式，為引入方程的概念做鋪墊。

（3）最后，我會(huì)提出本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)：“今天我們將學(xué)習(xí)如何運(yùn)用方程解決工程問題，特別是正方形花園的圍欄問題。”（用時(shí)5分鐘）

2.新課講授

詳細(xì)內(nèi)容：

（1）講解方程的概念和意義，通過具體例子說明方程是如何表示未知數(shù)的。

（2）介紹工程問題的特點(diǎn)，如問題涉及多個(gè)變量、需要建立數(shù)學(xué)模型等。

（3）以課本中的實(shí)例為藍(lán)本，講解如何將工程問題轉(zhuǎn)化為方程，并引導(dǎo)學(xué)生分析問題中的已知條件和未知數(shù)。（用時(shí)10分鐘）

3.實(shí)踐活動(dòng)

詳細(xì)內(nèi)容：

（1）學(xué)生獨(dú)立完成課本中的例題，我會(huì)在教室中巡視，解答學(xué)生的疑問。

（2）分組進(jìn)行課堂練習(xí)，每組選擇一個(gè)實(shí)際問題，運(yùn)用方程進(jìn)行解決。

（3）各小組展示解題過程，其他小組進(jìn)行評(píng)價(jià)和補(bǔ)充。（用時(shí)15分鐘）

4.學(xué)生小組討論

寫3方面內(nèi)容舉例回答XXX：

（1）如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為方程？

舉例：如果一個(gè)小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是36厘米，長(zhǎng)是12厘米，求寬是多少厘米？學(xué)生需要分析長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式，將問題轉(zhuǎn)化為方程：2(長(zhǎng)+寬)=周長(zhǎng)。

（2）如何確定方程中的未知數(shù)？

舉例：在解決花園圍欄問題時(shí)，我們需要確定方程中的未知數(shù)是花園的邊長(zhǎng)。

（3）如何解方程并解釋結(jié)果？

舉例：在解決上述長(zhǎng)方形問題后，學(xué)生需要解方程2(12+寬)=36，并解釋寬的值。

5.總結(jié)回顧

內(nèi)容：

（1）回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)方程在解決工程問題中的重要性。

（2）總結(jié)解決工程問題的步驟：分析問題、建立方程、解方程、解釋結(jié)果。

（3）鼓勵(lì)學(xué)生在課后繼續(xù)探索其他類型的工程問題，并嘗試運(yùn)用方程解決。（用時(shí)5分鐘）

總計(jì)用時(shí)：35分鐘教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-工程問題在實(shí)際生活中的應(yīng)用：介紹一些日常生活中常見的工程問題，如建筑、交通、農(nóng)業(yè)等領(lǐng)域的實(shí)際問題，這些內(nèi)容可以幫助學(xué)生理解方程在現(xiàn)實(shí)世界中的應(yīng)用。

-不同類型的工程問題：除了正方形和長(zhǎng)方形，還可以介紹圓形、三角形等其他幾何形狀的工程問題，如圓形池塘的圍欄、三角形的土地劃分等。

-數(shù)學(xué)史上的工程問題：介紹一些歷史上著名的工程問題，如古埃及的金字塔、古希臘的帕臺(tái)農(nóng)神廟等，這些案例可以激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歷史的興趣。

-數(shù)學(xué)軟件的使用：介紹如何使用一些數(shù)學(xué)軟件（如GeoGebra、MATLAB等）來輔助解決工程問題，這些軟件可以幫助學(xué)生更直觀地理解數(shù)學(xué)模型和解決過程。

2.拓展建議：

-閱讀相關(guān)書籍：推薦一些適合六年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)讀物，如《數(shù)學(xué)家的故事》、《數(shù)學(xué)游戲》等，通過閱讀可以拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野。

-參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽：鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，如全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽、希望杯數(shù)學(xué)競(jìng)賽等，這些競(jìng)賽可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解題能力。

-家庭作業(yè)拓展：布置一些與工程問題相關(guān)的家庭作業(yè)，如設(shè)計(jì)一個(gè)公園的布局、計(jì)算家庭裝修的費(fèi)用等，讓學(xué)生將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際生活中。

-實(shí)地考察：組織學(xué)生參觀當(dāng)?shù)氐慕ㄖさ亍⑺O(shè)施等，讓學(xué)生親身體驗(yàn)工程問題的解決過程，增強(qiáng)他們的實(shí)踐能力。

-小組合作項(xiàng)目：鼓勵(lì)學(xué)生分組進(jìn)行小組合作項(xiàng)目，如設(shè)計(jì)一個(gè)小型的水利系統(tǒng)、規(guī)劃一個(gè)校園綠化方案等，通過團(tuán)隊(duì)合作提升學(xué)生的溝通能力和問題解決能力。

-在線學(xué)習(xí)資源：推薦一些在線學(xué)習(xí)平臺(tái)，如KhanAcademy、Coursera等，這些平臺(tái)提供豐富的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資源，學(xué)生可以根據(jù)自己的進(jìn)度進(jìn)行學(xué)習(xí)。

-科技展覽參觀：組織學(xué)生參觀科技展覽，如機(jī)器人展覽、建筑模型展覽等，通過直觀的展示激發(fā)學(xué)生對(duì)工程問題的興趣。教學(xué)評(píng)價(jià)1.課堂評(píng)價(jià)：

-提問：在課堂上，我會(huì)通過提問的方式檢查學(xué)生對(duì)工程問題相關(guān)知識(shí)的掌握程度。例如，在講解完一個(gè)工程問題后，我會(huì)問：“誰能告訴我，這個(gè)方程是如何建立的？”這樣的問題可以幫助我了解學(xué)生對(duì)問題分析和方程設(shè)立的理解。

-觀察：通過觀察學(xué)生的課堂表現(xiàn)，我可以評(píng)估他們的參與度和學(xué)習(xí)態(tài)度。例如，觀察學(xué)生在小組討論中的參與程度，是否積極思考并分享自己的觀點(diǎn)。

-測(cè)試：在課程結(jié)束時(shí)，我會(huì)進(jìn)行一個(gè)小測(cè)驗(yàn)，測(cè)試學(xué)生對(duì)工程問題解決方法的理解和應(yīng)用能力。測(cè)試題可以包括選擇題、填空題和簡(jiǎn)答題，以全面評(píng)估學(xué)生的知識(shí)掌握情況。

-反饋：對(duì)于學(xué)生的回答，我會(huì)給予即時(shí)的反饋，無論是肯定還是指出錯(cuò)誤，都要用鼓勵(lì)性的語(yǔ)言，幫助學(xué)生理解并改正錯(cuò)誤。

2.作業(yè)評(píng)價(jià)：

-批改：我會(huì)認(rèn)真批改學(xué)生的作業(yè)，確保每個(gè)問題都得到正確的解答。對(duì)于作業(yè)中的錯(cuò)誤，我會(huì)用紅筆進(jìn)行標(biāo)注，并在旁邊寫上詳細(xì)的評(píng)語(yǔ)，幫助學(xué)生理解錯(cuò)誤的原因。

-點(diǎn)評(píng)：在作業(yè)評(píng)語(yǔ)中，我會(huì)針對(duì)學(xué)生的解題過程進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，指出他們的優(yōu)點(diǎn)和需要改進(jìn)的地方。例如，如果學(xué)生在建立方程時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，我會(huì)指出錯(cuò)誤并解釋正確的解題思路。

-反饋：作業(yè)的反饋通常在下次上課時(shí)進(jìn)行，我會(huì)針對(duì)作業(yè)中的共性問題進(jìn)行講解，確保所有學(xué)生都能理解并掌握正確的解題方法。

-鼓勵(lì)：在評(píng)價(jià)中，我會(huì)特別強(qiáng)調(diào)學(xué)生的進(jìn)步和努力，即使他們的答案不正確，也會(huì)給予正面的鼓勵(lì)，鼓勵(lì)他們繼續(xù)努力。

3.形成性評(píng)價(jià)：

-小組合作評(píng)價(jià)：在小組討論和實(shí)踐活動(dòng)后，我會(huì)對(duì)每個(gè)學(xué)生的貢獻(xiàn)進(jìn)行評(píng)價(jià)，包括他們的參與度、解決問題的能力以及與團(tuán)隊(duì)成員的協(xié)作情況。

-自我評(píng)價(jià)：鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行自我評(píng)價(jià)，讓他們反思自己在學(xué)習(xí)過程中的表現(xiàn)，包括哪些方面做得好，哪些方面需要改進(jìn)。

-同伴評(píng)價(jià)：組織學(xué)生進(jìn)行同伴評(píng)價(jià)，讓他們互相評(píng)價(jià)在學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)，這有助于學(xué)生從不同的角度看待自己的學(xué)習(xí)過程。內(nèi)容邏輯關(guān)系①方程的應(yīng)用——工程問題的基本概念

-重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：工程問題、數(shù)學(xué)模型、方程求解

-關(guān)鍵詞：工程問題、幾何圖形、數(shù)學(xué)模型、變量、方程

-關(guān)鍵句：工程問題是現(xiàn)實(shí)世界中常見的數(shù)學(xué)問題，通過建立數(shù)學(xué)模型和求解方程，我們可以找到問題的解決方案。

②工程問題的類型與特點(diǎn)

-重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：正方形、長(zhǎng)方形、圓形等幾何圖形的周長(zhǎng)和面積計(jì)算

-關(guān)鍵詞：正方形、長(zhǎng)方形、圓形、周長(zhǎng)、面積、比例

-關(guān)鍵句：工程問題通常涉及幾何圖形的尺寸和面積，需要運(yùn)用比例和面積公式來解決問題。

③解決工程問題的步驟與方法

-重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：?jiǎn)栴}分析、方程建立、方程求解、結(jié)果解釋

-關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}分析、方程建立、方程求解、結(jié)果解釋、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模

-關(guān)鍵句：解決工程問題需要先分析問題，確定未知數(shù)，建立方程，然后求解方程，最后解釋結(jié)果是否符合實(shí)際情況。典型例題講解例題1：

小明的花園要圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)是8米，寬是4米。請(qǐng)問，小明需要多少米長(zhǎng)的籬笆來圍住花園？

解答：

我們知道長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式是\(C=2\times(長(zhǎng)+寬)\)。根據(jù)題目，花園的長(zhǎng)是8米，寬是4米，所以我們可以將這些值代入公式中計(jì)算周長(zhǎng)。

\[C=2\times(8+4)=2\times12=24\text{米}\]

所以，小明需要24米長(zhǎng)的籬笆來圍住花園。

例題2：

一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是15厘米，如果長(zhǎng)增加5厘米，面積將增加多少平方厘米？

解答：

首先，我們需要知道原始長(zhǎng)方形的面積。面積公式是\(A=長(zhǎng)\times寬\)。原始長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是15厘米，寬未知，我們?cè)O(shè)寬為\(x\)厘米。所以原始面積是\(A_1=15\timesx\)平方厘米。

當(dāng)長(zhǎng)增加5厘米后，新的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是\(15+5=20\)厘米。新的面積是\(A_2=20\timesx\)平方厘米。

面積的增加量是\(A_2-A_1=(20\timesx)-(15\timesx)=5\timesx\)平方厘米。

由于我們沒有寬的具體數(shù)值，我們無法得到面積增加的具體數(shù)值。

例題3：

一個(gè)圓形的半徑增加了2厘米，面積增加了多少平方厘米？

解答：

圓形的面積公式是\(A=\pir^2\)。設(shè)原來圓形的半徑為\(r\)厘米，那么原來的面積是\(A_1=\pir^2\)平方厘米。

半徑增加了2厘米后，新的半徑是\(r+2\)厘米。新的面積是\(A_2=\pi(r+2)^2\)平方厘米。

面積的增加量是\(A_2-A_1=\pi(r+2)^2-\pir^2\)。

展開后得到：

\[A_2-A_1=\pi(r^2+4r+4)-\pir^2=\pir^2+4\pir+4\pi-\pir^2=4\pir+4\pi\]

所以，面積增加了\(4\pir+4\pi\)平方厘米。

例題4：

一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是10米，如果邊長(zhǎng)減少2米，那么面積減少了多少平方米？

解答：

正方形的面積公式是\(A=a^2\)。原來正方形的邊長(zhǎng)是10米，所以面積是\(A_1=10^2=100\)平方米。

邊長(zhǎng)減少2米后，新的邊長(zhǎng)是\(10-2=8\)米。新的面積是\(A_2=8^2=64\)平方米。

面積減少了\(A_1-A_2=100-64=36\)平方米。

例題5：

一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是4厘米、3厘米和2厘米。如果長(zhǎng)增加2厘米，寬增加1厘米，高增加1厘米，那么體積增加了多少立方厘米？

解答：

長(zhǎng)方體的體積公式是\(V=長(zhǎng)\times寬\times高\(yùn))。原來長(zhǎng)方體的體積是\(V_1=4\times3\times2=24\)立方厘米。

長(zhǎng)增加2厘米后，新的長(zhǎng)是\(4+2=6\)厘米；寬增加1厘米后，新的寬是\(3+1=4\)厘米；高增加1厘米后，新的高是\(2+1=3\)厘米。新的體積是\(V_2=6\times4\times3=72\)立方厘米。

體積增加了\(V_2-V_1=72-24=48\)立方厘米。教學(xué)反思與總結(jié)回望今天這堂課，我感到既有所得，也有所思。讓我們一起來回顧一下這節(jié)課的點(diǎn)點(diǎn)滴滴。

在教學(xué)方法上，我嘗試了多種方法來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。比如，在導(dǎo)入新課時(shí)，我通過一個(gè)實(shí)際的花園圍欄問題引起了學(xué)生的興趣，讓他們感受到數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。我發(fā)現(xiàn)，這樣的教學(xué)方法能夠讓學(xué)生更加主動(dòng)地參與到課堂中來。

在策略上，我注重了小組討論和實(shí)踐活動(dòng)的安排。在小組討論環(huán)節(jié)，學(xué)生能夠互相學(xué)習(xí)，共同進(jìn)步。他們?cè)谟懻撝胁粌H鞏固了知識(shí)，還鍛煉了團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。而在實(shí)踐活動(dòng)中，學(xué)生通過動(dòng)手操作，更加直觀地