4.4數學歸納法（單元教學設計）一、【單元目標】了解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明數列中的一些簡單命題．二、【單元知識結構框架】三、【學情分析】在數學歸納法這一節的學習中，學生們將面臨一種全新的數學證明方法，這既是挑戰也是機遇．從之前的學習情況來看，學生們已經具備了一定的數學基礎和邏輯推理能力，但數學歸納法作為一種特殊的證明技巧，其思維方式和證明過程與以往有所不同，因此可能會給學生帶來一定的困惑．部分學生可能在初次接觸數學歸納法時感到難以理解和應用，特別是對于歸納假設的運用和歸納結論的推導可能會感到陌生．然而，通過教師的引導和大量的練習，學生們可以逐漸掌握這一方法，并發現其在證明與自然數有關的命題時的強大作用．因此，在教學過程中，教師需要注重學生的個體差異，采用多種教學方法和手段，如實例演示、小組討論、分步講解等，以幫助學生克服難點，掌握數學歸納法的精髓．同時，鼓勵學生積極思考和探索，培養他們的自主學習能力和創新思維．四、【教學設計思路/過程】課時安排：約2課時教學重點：數學歸納法的原理及應用．教學難點：（1）理解數學歸納法原理．（2）歸納遞推中歸納假設的應用．教學方法/過程：五、【教學問題診斷分析】環節一、情景引入，溫故知新情景：同學們，大家在生活中或許都有過這樣的體驗：在家里不小心犯了個小錯，父母就似乎覺得你做什么都不對；或者，一旦發現有人欺騙了你，你就感覺周圍人都不可信；再比如，做題時遇到第一道難題解不出，就覺得自己所有題目都解答不了．其實，這些都是因為我們不自覺地用了“以偏概全”的思考方式，也就是不完全歸納，這樣的結論往往并不準確．而且，這樣的思考方式還容易給我們自己貼上負面的心理標簽，對我們造成不必要的心理壓力和傷害．今天，我們就一起來探討如何克服這種心理障礙，學會更全面、更客觀地看待問題和自己吧！環節二、抽象概念，內涵辨析1．數學歸納法的理解問題1：如果你從袋子里拿出5個小球，發現全部都是綠色的，能否判斷袋子里面的小球都是綠色的？【破解方法】不能．從袋子里拿出5個小球并發現它們全部都是綠色的，并不能直接判斷袋子里面的小球都是綠色的．這是因為我們所看到的只是袋子中小球的一部分，而不是全部．這種基于部分觀察來推斷整體的情況，就是不完全歸納．在數學和邏輯學中，我們通常要求更嚴格的證明或證據來支持對整體的判斷．僅僅因為拿出的5個小球是綠色的，并不能保證袋子里剩下的所有小球也都是綠色的．可能袋子里還有其他顏色的小球，只是我們這次沒有拿到而已．因此，要判斷袋子里面的小球是否都是綠色的，我們需要更多的信息或證據，比如袋子中小球的總數、各種顏色小球的比例，或者通過更全面的抽樣來觀察．在沒有足夠信息的情況下，我們不能輕易地下結論說袋子里面的小球都是綠色的．問題2：在多米諾骨牌游戲中，如何保證所有的骨牌全部倒下？【破解方法】要確保在多米諾骨牌游戲中，每一塊骨牌倒下都能引發下一塊骨牌倒下，只需確保首塊骨牌被推倒，就能引發整串骨牌的連鎖反應．這種推理方式，即通過確認一個初始情況，并證明每個后續情況都基于前一個情況而成立，從而得出所有情況均正確的結論，被稱為數學歸納法．盡管名字中含有“歸納”，但這種方法實際上是一種嚴謹的證明手段，其結論具有確定性．簡而言之，數學歸納法就是通過驗證首個案例，并證明每個案例都能引發下一個案例，從而確保所有案例均無誤的推理過程．【歸納新知】1、數學歸納法定義：對于某些與自然數有關的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當取第一個值時命題成立；然后假設當（，）時命題成立，證明當時命題也成立這種證明方法就叫做數學歸納法知識點詮釋：即先驗證使結論有意義的最小的正整數，如果當時，命題成立，再假設當（，）時，命題成立．（這時命題是否成立不是確定的），根據這個假設，如能推出當時，命題也成立，那么就可以遞推出對所有不小于的正整數，，…，命題都成立．2、數學歸納法的原理：數學歸納法是專門證明與正整數集有關的命題的一種方法，它是一種完全歸納法．它的證明共分兩步：①證明了第一步，就獲得了遞推的基礎．但僅靠這一步還不能說明結論的普遍性．在第一步中，考察結論成立的最小正整數就足夠了，沒有必要再考察幾個正整數，即使命題對這幾個正整數都成立，也不能保證命題對其他正整數也成立；②證明了第二步，就獲得了遞推的依據．但沒有第一步就失去了遞推的基礎．只有把第一步和第二步結合在一起，才能獲得普遍性的結論．其中第一步是命題成立的基礎，稱為“歸納基礎”（或稱特殊性），第二步是遞推的證據，解決的是延續性問題（又稱傳遞性問題）．3、數學歸納法的功能和適用范圍（1）數學歸納法具有證明的功能，它將無窮的歸納過程根據歸納公理轉化為有限的特殊演繹（直接驗證和演繹推理相結合）過程．（2）數學歸納法一般被用于證明某些與正整數（取無限多個值）有關的數學命題．但是，并不能簡單地說所有與正整數有關的數學命題都可使用數學歸納法證明．問題3：數學歸納法的第一步、第二步的作用分別是什么?你認為數學歸納法中的兩個步驟有什么關系?【破解方法】數學歸納法的第一步和第二步在邏輯上緊密相連，共同構成了證明與自然數有關命題的強大工具．第一步確保了推理證明的起點正確無誤，第二步則通過歸納遞推將命題的正確性擴展到所有自然數．兩者缺一不可，共同構成了數學歸納法的完整證明過程．環節三：例題練習，鞏固理解題型一：對數學歸納法的理解【例1】用數學歸納法證明下列等式：．要驗證當時等式成立，其左邊的式子應為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，當時，左邊故選：C【對點訓練1】下列各題在應用數學歸納法證明的過程中，有沒有錯誤？如果有錯誤，錯在哪里？（1）求證：當時，．證明：假設當時，等式成立，即．則當時，左邊=右邊．所以當時，等式也成立．由此得出，對任何，等式都成立．（2）用數學歸納法證明等差數列的前n項和公式是．證明，①當時，左邊=，右邊，等式成立．②假設當時，等式成立，即．則當時，，．上面兩式相加并除以2，可得，即當時，等式也成立．由①②可知，等差數列的前n項和公式是【解析】（1）有錯誤，錯誤在于沒有證明第（1）步，即沒有證明時等式成立；（2）有錯誤，錯誤在于證明時，沒有應用時的假設，而是應用了倒序相加法，這不符合數學歸納法的證明過程．題型二：歸納—猜想—證明【例2】設，．（1）當時，計算的值；（2）你對的值有何猜想？用數學歸納法證明你的猜想．【解析】（1）由，，得；；；．（2）由（1）猜想：當時，能被8整除．①當時，有，能被8整除，命題成立；②假設當時命題成立，即能被8整除，則當時，，顯然和均為奇數，它們的和必為偶數，從而能被8整除，又依歸納假設，能被8整除，所以能被8整除，因此當時命題也成立，由①②知，當時，能被8整除．【對點訓練2】已知數列，，，…，，…，（1）計算；（2）由以上結果推測計算的公式，并用數學歸納法給出證明．【解析】（1），，；（2）由（1）猜想，下面用數學歸納法加以證明：檢驗初始值時等式成立，假設時命題成立，證明當時，命題也成立．①時，，成立；②假設時，有成立，則當時，，時，猜想也成立，故由①，②可知，猜想對都成立．題型三：證明恒等式【例3】用數學歸納法證明：若等差數列中，為首項，d為公差，則通項公式為【解析】證明：（1）當時，等式左邊，等式右邊，等式成立．（2）假設當時等式成立，即，那么，當時，有．這就是說，當時等式也成立．根據（1）和（2）可知，對任何，等式都成立．【對點訓練3】用數學歸納法證明：當時，．【解析】第一步：當時，等式左邊，等式右邊，等式成立．第二步：假設當時等式成立，即，那么，當時，有．這就是說，當時等式也成立．綜上所述，對任何，等式都成立．【對點訓練4】用數學歸納法證明．【解析】證明：①當時，左邊，右邊，等式成立；②假設當時等式成立，即．那么，即當時等式也成立．由①②知，等式對任何都成立．題型四：證明不等式【例4】觀察下列兩個數列，：數列：1，4，9，16，25，36，49，64，81，…；數列：2，4，8，16，32，64，128，256，512，…．猜想從第幾項起小于，并證明你的結論．【解析】根據題意可得：數列的通項公式為，數列的通項公式為，由，猜想從第項起，即證當時，，⑴當時，，，顯然，猜想成立；⑵假設當時，猜想成立，即，當時，，即，即當時，猜想成立，由⑴⑵可知，當時，都有，即．【對點訓練5】已知數列滿足，．試用數學歸納法證明并比較與的大小關系．【解析】證明：，當時，，成立，假設當時成立，則，那么時，若，則，矛盾，故，因此，，因此，題型五：用數學歸納法證明整除性問題【例5】證明：能夠被6整除．【解析】⑴當時，，顯然能夠被6整除，命題成立；⑵假設當時，命題成立，即能夠被6整除，當時，，由假設知：能夠被6整除，而為偶數，故能夠被6整除，故能夠被6整除，即當時，命題成立，由⑴⑵可知，命題對一切正整數成立，即能夠被6整除．題型六：用數學歸納法證明幾何問題【例6】在平面上畫n條直線，且任何2條直線都相交，其中任何3條直線不共點．問：這n條直線將平面分成多少個部分？【解析】記n條直線把平面分成個部分，我們通過，2，3，4，5，畫出圖形觀察的情況（如圖）從圖中可以看出，，，，，．由此猜想．接下來用數學歸納法證明這個猜想．（1）當，2時，結論均成立．（2）假設當時結論成立，即．那么，當時，第k+1條直線與前面的k條直線都相交，有k個交點，這k個交點將這條直線分成k+1段，且每一段將原有的平面部分分成兩個部分，所以，結論也成立．根據（1）和（2）可知，對，都有，即．環節四：小結提升，形成結構問題4：請你帶著下列問題回顧本節課學習的內容：（1）你能從數學知識、思想方法、應用等方面構建本節課的知識結構圖嗎？（2）我們是通過怎樣的方式得到數學歸納法原理的？（3）用數學歸納法證明關于正整數n的命題的基本步驟是什么？（4）用數學歸納法證明的第二步的本質是什么？（5）在具體應用數學歸納法證明關于正整數n的命題時，應注意哪些細節？【破解方法】學生回顧課堂知識、梳理知識框架，主動展示交流，然后教師點評、總結．六、【教學成果自我檢測】環節五：目標檢測，檢驗效果1．用數學歸納法證明：【解析】（1）當時，左邊=-1，右邊=-1，等式成立；（2）假設當時等式成立，即，則當時，左邊=右邊．所以，當時，等式成立；由（1）（2）可知，對．2．猜想滿足，的數列的通項公式，并用數學歸納法證明你的結論．【解析】由可得，得，，．推測．下面用數學歸納法證明：①當時，左邊，右邊，結論成立．②假設時等式成立，有，則當時，故當時，結論也成立．由①②可知，對任何都有．3．已知數列滿足，．計算，，，由此猜想數列的通項公式，并用數學歸納法證明．【解析】由得，，，同理可求，，，猜想證明：①當時，猜想成立．②設當時，猜想成立，即，則當時，有，所以當時猜想也成立．綜合①②，猜想對任何都成立．4．已知數列，，，…，，…的前n項和為．計算，，，，由此猜想的表達式，并用數學歸納法證明．【解析】由題意，數列，，，…，，可得，可以看出，上面的四個結果的分數中，分子與項數一致，分母可用項數表示為，所以可猜想，數學歸納法證明如下：①當時，左邊，右邊，猜想成立；②假設時，猜想成立，即，當時，，所以當時，猜想也成立，由①②可知，對任意都有成立，所以．5．已知命題：設，為非負實數，，為正實數，若，則．請將該命題推廣到一般形式，并用數學歸納法證明你所推廣的命題．【解析】用數學歸納法證明如下：①當時，，有，所以不等式成立；②假設時不等式成立，即設為非負實數，為正實數，若，則．則當時，需證：設為非負實數，為正實數，若，則，因為，所以，且，所以，所以因為，所以，所以由歸納假設可得，從而，又由，所以，故當時不等式成立．由①②知，對一切正整數，所推廣的命題成立．【設計意圖】落實與理解教材要求的基本教學內容．環節六：布置作業，應用遷移作業：教科書第51頁習題4．4第3、4、5、7、9、10題．【設計意圖】鞏固本節課的知識點．七、【教學反思】本節課教授了數學歸納法，一種在數學中證明與自然數有關命題的重要方法．通過實例演示和逐步引導，學生們對數學歸納法的兩個步驟有了初步的