北京市房山區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知1唯3=。，log25=b,則log?15=()

b

A.abB.—C.a—bD.a+b

a

2.擲一個骰子，觀察朝上的面的點數(shù)，設(shè)事件河="點數(shù)為奇數(shù)“，事件N="點數(shù)為3的整

數(shù)倍”，若尸(M),尸(N)分別表示事件M,N發(fā)生的概率，則()

A.P(M)=1,P(N)=gB.尸(")=：,P(N)=；

C.P(M)=P(N)=LD.P(.M)=P(N)=-

23

3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間(-9+s)上單調(diào)遞增的是()

A./(x)=x-B.f(x)=2xC./(x)=x3D./(x)=lgx

4.函數(shù)/(x)=2，-x2的零點個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

5.供電部門對某社區(qū)100。位居民2024年12月份人均用電情況進行統(tǒng)計后，按人均用電量

(單位：度)分為[0,必，口0,20),[20,30),[30,40),[40,50]五組，整理得到如圖所示的頻

率分布直方圖，則下列說法錯誤的是()

A.在這1000位居民中，12月份人均用電量人數(shù)最多的一組有400人

B.在這1。0。位居民中，12月份人均用電量不低于20度的有500人

C.在這100。位居民中，12月份人均用電量為25度

D.從這1。0。位居民中，任選1位擔(dān)任安全用電宣傳員，選到的居民人均用電量在[30,40)

一組的概率為上

6.6知向量吐=(a,2),n—(8,a),則“。=Y"是"帆//〃’’的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.如圖，在平行四邊形A3CD中，M是的中點，與AC交于點N,設(shè)荏1，AD=b，

1一2-「2~

C.——a+—bD.—a——b

3333

8.若函數(shù)/(x)滿足：對定義域內(nèi)任意的玉,%(占4%),都有也2手9>/(七三)，則稱

函數(shù)/(x)具有性質(zhì)H.下列函數(shù)中不具有性質(zhì)H的是()

A./(無)=(；)*B./(%)=log2x

C.f(x)=x\x^O)D./(x)=—(x>0)

X

9.已知函數(shù)/(x)=|log/3>0且awl),那么下列命題中的假命題是()

A.若/'(2)=1,則a=g或。=2

B.若0<m<n,且則=1

C.存在正數(shù)左，使得函數(shù)京T恰有1個零點

D.不存在實數(shù)。>1,使得函數(shù)g(x)=f(x)-優(yōu)恰有3個零點

io.已知函數(shù)y(x)=^—^(。>0且。工1),給出下列四個結(jié)論：

ax+l

①函數(shù)/(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減；

②函數(shù)/(x)的值域為(0,1);

③函數(shù)/(彳)的圖象是中心對稱圖形；

④函數(shù)/(x)的圖象過定點(0,0).

其中正確結(jié)論的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

試卷第2頁，共4頁

11.函數(shù)700=不|+1以5-*)的定義域為.

12.某單位共有80名職工，其中35歲以下的有20人，35-45歲的有35人，45歲及以上的

有25人.現(xiàn)用分層抽樣的方法，從中抽取16名職工進行問卷調(diào)查，則抽取的45歲及以上的

職工人數(shù)為.

-一一illA.

13.向量。，瓦c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若c=+(4〃eR),則/=.

14.若幕函數(shù)/Xx)同時具有以下三個性質(zhì)：①/(彳)的定義域為(f,0)U(0，+s);②/(*)是

奇函數(shù)；③當(dāng)x<0時，/。)<0.則/Xx)的一個解析式是.

fX?Y<]

15.已知函數(shù)/(%)=,'一若〃x)=2,則苫=____；若/(x)=機有三個不同的實根

[log2X,X>1.

2024

xr,x2,x3,且滿足玉<X2<X3,則(玉+x2)?n+x3的取值范圍是.

16.據(jù)說古印度國王為了獎賞國際象棋的發(fā)明者，讓他提一個要求.發(fā)明者說：我想在棋盤

的第1個格子里放上1顆麥粒，在第2個格子里放上2顆麥粒，在第3個格子里放上22顆麥粒,

在第4個格子里放上23顆麥粒，L,每個格子放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2

倍，直到第64個格子，國王欣然同意.通過計算，該發(fā)明者所要求的麥粒數(shù)為264-1.你認(rèn)為

IO10,1015-1020,1025四個數(shù)中與264一1最接近的是.(參考數(shù)據(jù)：lg2a0.3010)

三、解答題

2

17.甲、乙兩人獨立解同一道數(shù)學(xué)題目，甲解出這道題目的概率是],乙解出這道題目的概

率是二.

(1)求甲、乙兩人都解出這道題目的概率；

(2)求甲、乙兩人恰有一人解出這道題目的概率；

(3)求這道題目被甲、乙兩人解出的概率.

18.已知向量。=(-1,2),石=(5廠/.

⑴求我+麗;

⑵若向量C滿足213"=魴,求向量2;

⑶在(2)的條件下，若￡-￡=2而，求實數(shù)相，”的值.

19.已知函數(shù)/(X)=log2(尤2—2x+o)的定義域是R.

⑴求實數(shù)〃的取值范圍；

(2)解關(guān)于尤的不等式a3x-11<-4.

a

20.隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，越來越多的人習(xí)慣用手機應(yīng)用程序(簡稱初P)獲取新聞資訊，

手機應(yīng)用程序已經(jīng)成為人們生活中不可或缺的一部分，它悄無聲息的改變著人們的生活習(xí)慣,

也為人們的生活提供了極大的便利.為了解用戶對某款項P的滿意度，隨機調(diào)研了3000名用

戶，調(diào)研結(jié)果如下表(單位：人)：

青年人中年人老年人

滿意600700X

一般550250y

不滿意25050100

(1)從所有參與調(diào)研的人中隨機選取1人，求此人“不滿意”的概率；

(2)若用頻率估計概率，從使用該款。卬的青年人和中年人中各隨機選取1人，估計恰有1人

“滿意”的概率；

(3)現(xiàn)需從參與調(diào)研的老年人中選擇9人作進一步訪談，若在“滿意”、“一般”、“不滿意”的老

年人中各選取3人，這種抽樣是否合理？說明理由.

21.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,對任意實數(shù)辦“?R,都有FQ"+")=/(%)"(")，且當(dāng)

x>0時，0</(x)<1.

⑴求了(0);

(2)證明：當(dāng)x<0時，/(尤)>1；

⑶當(dāng)f(lg(/-23))>1時，求實數(shù)。的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

《北京市房山區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號12345678910

答案DBCDCAABDB

1.D

【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解即可.

【詳解】因為logz3=a,log25=b,

所以log215=log2（3x5）=log23+log25=a+6.

故選：D.

2.B

【分析】利用古典概型求解概率即可.

【詳解】首先，我們知道投擲的點數(shù)有L2,3,4,5,6,

對于符合條件的有1,3,5,對于N,符合條件的有3,6,

3121

故產(chǎn)何）="=",P（N）=-=~,故B正確.

6263

故選：B

3.C

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式判斷奇偶性和單調(diào)性即可.

【詳解】因為=在（°，+8）上單調(diào)遞減，不合題意；

因為/（x）=2、不是奇函數(shù)，不合題意；

因為/（x）=lgx不是奇函數(shù)，不合題意；

因為/（乃=/在（F,+8）上單調(diào)遞增，且〃_力=_/=-/（力，是奇函數(shù)，符合題意.

故選：C

4.D

【分析】轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)交點個數(shù)問題即可.

【詳解】令/5）=2'--=0,則2工=/，

在同一坐標(biāo)系作出兩函數(shù)圖象，

答案第1頁，共11頁

從圖像知當(dāng)xe(-8,0)時，兩函數(shù)有1個交點，則〃x)在(-g0)上有1個零點，

又了⑵二/⑷=。，所以2,4也是〃x)=2"/的兩個零點，

且在x(4,+s)時，指數(shù)函數(shù)y=2*增長快于y=/，則后面兩函數(shù)不會有交點，

則總共有3個零點，

故選：D

5.C

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖逐一計算分析，求出12月份人數(shù)最多的一組，判斷選項A正

確；計算12月份用電不低于20度的頻率與頻數(shù)，判斷選項B正確；計算12月份人均用電，

判斷選項C錯誤；求出用電量在［30,40)的頻數(shù)，再根據(jù)概率計算，求出選到的居民用電量

在［30,40)一組的概率，即可判斷選項D正確.

【詳解】對于A：根據(jù)頻率分布直方圖知，人數(shù)最多的一組是［10,20),

有0.04x10x1000=400(人)，故選項A正確；

對于B：12月份用電量不低于20度的頻率是(0.03+0.01+0.01)x10=0.5,

有1000x0.5=500(人。故選項B正確；

對于C：12月份人均用電量為：

(5x0.01+15x0.04+25x0.03+35x0.01+45x0.01)x10=22(度),故選項C錯誤；

對于D,用電量在［30,40)的有：0.01x10x1000=100人，

所以1000位居民中任選1位，選到的居民用電量在［30,40)一組的概率為尸=黑=￡,故

選項D正確.

故選：C.

6.A

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)公式，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷.

答案第2頁，共11頁

【詳解】因為向量浣=32）,1=（8,a）,mlIn.

所以〃2=2x8,即。=±4,

故“a=-4”是“mUn”的充分而不必要條件.

故選：A.

7.A

【分析】題意可得A4VM?ACW,即可得到麗=再根據(jù)平面向量線性運算計算即

可.

【詳解】依題意在平行四邊形ABC。中，AM//CD,

又M是AB的中點，則A"=JAB=；C￡>,

又DM與AC交于點、N,

所以AANM~^CND,則——=——=—,

所以前《衣，

又通=2,而=五，

110［01

所以麗=麗一而=］前一荏=§（都+而）_存=_］旗+§而=_§力+］］

故選：A.

8.B

【分析】利用基本不等式判斷A,舉反例判斷B,利用作差法判斷C,D即可.

【詳解】對于A,任取定義域內(nèi)任意的玉,馬，且使再<々，

故）（占）+）（%）（§）'+（?",/（A±^）=d）警，

2-223

由基本不等式得（；）‘'］；）">杼不=《）空,

當(dāng)且僅當(dāng)玉=%時取等，而玉<馬,達(dá)不到取等條件，

得到""/⑷>/（i±i）成立，

即/（尤）=（；）'具有性質(zhì)H,故A錯誤，

對于B,令尤［=1,9=2,則/（占）=log21=0,/（x2）=log22=1,

答案第3頁，共14頁

，i/I1、i3/(%)+/(%2)0+11i/T

故L葉尸=1抽(5+1)=1暇5，'/~=—=~=log2＞/2,

乙乙乙乙乙乙

由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得1。氏；＞1。氏夜，故/⑷

乙LL

即/(x)=log2X不具有性質(zhì)H,故B正確,

對于C,任取定義域內(nèi)任意的國,々，且使。＜玉＜馬，

/（5）+/（%2）_%；+石+%2、_+尤2、3

2"2）—2），

故〃［）+＞。2）_+Z=1+（_小+々）3

2八2一―!’2,，

其+%；+3%考+3年%2_4%；+4%；%：+石+3%芯+

一28-88

_3d+31-3石%-3%；%_3k（七一九2）+3%；（%-玉）

-二，

88

3%；（%-x）-3考（石-9）3（x-x）（xf-xf）

—=12,

88

_3（%一%）（玉一不2）（玉+%2）_3（七一％2）"%+X）

——2＞u,

88

故了（"/（弓）＞/（土產(chǎn)）成立，

即/⑶=尤3（*\0）具有性質(zhì)H,故C錯誤，

對于D,任取定義域內(nèi)任意的玉,％2，且使。＜玉＜%2,

一12

+）=

/(西)+/(々)=%工2=玉工2%入2二%+工2，*1+%2%]+%2，

2222玉%2

/&）+/（%）了(國+九2)_九1+九22

故

222%工2玉+九2

4%％2xf+2%々+x24石光2

2%］尤2（玉+%2）2%%2（玉+%2）2xix2（xi+x2）2石%2（%+%2）

玉一2%%2+九2_（%一%2）〉0故/（%）+/（%2）〉/盧+W）成立

2xix2（xl+x2）2%次2（入1+%2）22

即/(.X)=-(^＞0)具有性質(zhì)H,故D錯誤.

X

故選：B

9.D

【分析】由hg.Z=l，a＞。且awl即可求解判斷A；由對數(shù)函數(shù)y=log0x,。＞0且awl,為

單調(diào)函數(shù)結(jié)合題設(shè)即可求解7M判斷B；在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)以及函數(shù)y=10g0％在

答案第4頁，共11頁

點(1,0)處的切線和y=丘+1函數(shù)圖象即可判斷C；由y=/與y=log。％圖象均與直線y=X

相交于兩點時可判斷D.

【詳解】對于A,7(2)=|log“2|=l,a>0且。片1,所以。=4或。=2,故A正確；

對于B,因為函數(shù)y=log“x,a>0且awl,為單調(diào)函數(shù)，0<m<",且/(%”<(〃)，

所以log產(chǎn)+log/=logJ7M=0=>mn=l,故B正確；

對于C,當(dāng)a>l時，作出函數(shù)/(X)以及函數(shù)y=10g〃X在點(1,0)處的切線和》=丘+1函數(shù)圖

象如圖所示，

由圖可知存在正數(shù)上,使得函數(shù)ga)=ra)-質(zhì)-1恰有1個零點；故c正確;

對于D,因為，=優(yōu)與y=log。％圖象關(guān)于直線y=x對稱，如圖：

由圖可知當(dāng)y=a"與y=log“X圖象均與直線y=x相交于兩點時，y=a'圖象與函數(shù)/(X)圖

象相交于3個點，

所以存在實數(shù)使得函數(shù)g(x)=ra)-優(yōu)恰有3個零點，故D錯誤.

故選：D.

10.B

【分析】舉反例判斷①，②，利用函數(shù)的奇偶性判斷③，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷④即可.

【詳解】令。=2,止匕時/(x)=-1，而/(o)=9U0-1=o,

2+12+1

答案第5頁，共11頁

1

/⑴=71_」1=L1>0,故函數(shù)/(%)在其定義域內(nèi)不單調(diào)遞減，

21+13

函數(shù)了。)的值域不可能為(0,1);即①，②錯誤，

l-ax

ax-1“％l-ax

因為/(-=U==~r，/(%)的定義域關(guān)于原點對稱，

〃+11+a1+a

ax

故f(-x)+/(%)=y+4=o,即〃T)=一人幻，

1+aa+1

得到了(X)是奇函數(shù)，則函數(shù)/(x)的圖象是中心對稱圖形，故③正確，

0_1

當(dāng)x=0時，y(x)=W=o,故函數(shù)/(x)的圖象過定點(。,。)，即④正確.

a+1

綜上，其中正確結(jié)論的個數(shù)是2,故B正確.

故選：B

11.(3,5)

【分析】根據(jù)分母不為0,根號內(nèi)要大于等于0且對數(shù)函數(shù)的定義域列不等式組，解不等式可

得.

fx-3>0

【詳解】由題可知，，八解得3Vx<5.

[5-x>0

故答案為：(3,5).

12.5

【分析】首先求出抽樣比，即可求出45歲及以上的職工應(yīng)抽取的人數(shù).

【詳解】因為抽樣比例為普=

o(J5

所以45歲及以上的職工應(yīng)抽取25x；=5(人).

故答案為：5.

13.4

【分析】記正方形風(fēng)格邊長為1,向右的單位向量為入向上的單位向量為工用表示出

a,b,c,再由向量的線性運算求解.

【詳解】記正方形網(wǎng)格邊長為1,向右的單位向量為7，向上的單位向量為九

貝c=-i-3j,b=6i+2j,

答案第6頁，共11頁

A二—2

iii,f—A+6//=—1,,

由c=+4為得ja+2〃__3，解得＜1,

M=--

所以2=4,

故答案為：4.

14.＞=/（答案不唯一）

【分析】根據(jù)所學(xué)基本初等函數(shù)確定，也可以由已知性質(zhì)構(gòu)造一個函數(shù)滿足題意.

【詳解】滿足題設(shè)三個性質(zhì)的函數(shù)，如反比例（幕函數(shù)）》=無一（這類函數(shù)就有無數(shù)個），

故答案為：y（答案為唯一，如丁=尸也是）.

15.-72,4（1⑵

【分析】/（尤）=2直接解方程即可，作出函數(shù)"x）的圖象與直線y=7%觀察可得占,和飛的

關(guān)系及鼻范圍，從而得結(jié)論.

【詳解】尤2=2得了=一五（血舍去），log?x=2得x=4,因此〃x）=2的解為一&和4；

再作函數(shù)了=/（無）的圖象，作直線＞=機，由圖象可知OcmVl時，/。）=加有三個解%，%,三，

當(dāng)玉＜々＜兀3時，石+%2=0，10g2X=l^＞X=2,因止匕1＜兀3（2,

2024

所以（%+x2）m+w=&e（1,2],

故答案為：-&,4；（1,2].

【分析】計算264的對數(shù)，比較可得答案.

【詳解】Ig（264-l）?lg264=641g2,因為lg2=0.3010,所以IgQe”-1卜19.2659,

所以10210卜，10?。，1（）25四個數(shù)中與264—1最接近的是1020.

故答案為：1。2。

答案第7頁，共11頁

【分析】(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式求解即可；

(2)分甲解出乙沒有解出和乙解出甲沒有解出兩種情況，利用對立事件的性質(zhì)和相互獨立

事件的概率乘法公式求解即可；

(3)分甲、乙兩人都解出和只有一人解出，利用對立事件的性質(zhì)和相互獨立事件的概率乘

法公式求解即可.

【詳解】(1)設(shè)事件A="甲、乙兩人都解出這道題目”，

則尸(A)=；2x]4=]8.

(2)設(shè)事件5="甲、乙兩人恰有一人解出這道題目”，

4462

x—=——二—

5155

(3)設(shè)事件C="這道題目被甲、乙兩人解出”,

42414

X—=——

18.⑴&

⑵。=（一2,2）

【分析】(1)利用向量坐標(biāo)的運算求出Z+4行表示的坐標(biāo)，再求其模長；

(2)利用向量坐標(biāo)的運算解向量方程即得；

(3)將各向量坐標(biāo)代入，利用方程兩邊對應(yīng)項系數(shù)相等可得方程組，解之即得.

【詳解】(1)因為向量￡=(-1,2),'=

所以￡+4石=(-1,2)+4(2,=(1,1).

24

所以y+4畫=便.

(2)因為2Z-3工=麗,

一fff11

所以3c=2。—8Z?=2(—1,2)—8(—,—)=(—6,6).

24

答案第8頁，共11頁

所以工=(一2,2).

(3)因為a—me=2nb，由(2)知，c=(—2,2).

所以(一L2)-機(-2,2)=2"4,一).

24

2m-l=n,\3

m=一

所以ccn即2'

I2〔"=2.

19.(1)(1,+?2)

(2)(-3,+co)

【分析】(1)由條件可得d-2x+a>0恒成立，然后可得答案；

(2)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解出答案即可.

【詳解】(1)???函數(shù)〃尤)=1。82，-2》+0)的定義域是7?,

尤,一2x+a>0恒成立，則A=4—4a<0,解得。>1,，實數(shù)a的取值范圍為+8).

(2)a3x-n<\,即a，-u<0-2,A-3x-ll<-2,即3x>-9,解得尤>一3,

a

故不等式<，的解集為(—3,+8).

20.(1)—

15

37

(2)—

70

(3)這種抽樣不合理，理由見解析

【分析】(1)利用古典概型求解概率即可.

(2)由相互獨立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式可求解概率.

(3)利用分層抽樣的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】(1)所有參與調(diào)研的人共有3000人，

不滿意的人數(shù)是250+50+100=400.

記事件。=“從所有參與調(diào)研的人中隨機選取1人，此人不滿意”，

則所求概率為尸(。)=蒜=5

(2)參與調(diào)研的青年人共有1400人，滿意的有600人.

記事件M="從使用該款app的青年人中隨機選取1人，此人滿意”,

答案第9頁，共11頁

則尸(/)的估計值為黑=*

參與調(diào)研的中年人共有1000人，滿意的有700人.

記事件N="從使用該款。曲的中年人中隨機選取1人，此人滿意”,

則尸(N)的估計值為謐=需.

則從使用該款。卬的青年人和中年人中各隨機選取1人，

恰有1人“滿意”的概率估計為P{MN+MN)=P(M).P(N)+P(而).P(N),

(3)這種抽樣不合理.

理