2025中考數學二輪復習之圓壓軸考點解答題專項訓練

?考情分析-

中考數學圓的解答題壓軸題，常綜合考查圓的性質、直線與圓的位置關系等知識，對考生分

析和解決復雜問題的能力要求較高。以下為你詳細概述考點：

1.圓的基本性質

(1)垂徑定理及其推論：

①垂徑定理是指垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對的兩條弧。常考點為己知圓的半徑、

弦長及圓心到弦的距離中的兩個量，利用垂徑定理構造直角三角形，通過勾股定理求出第三

個量。

②其推論如平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧等，也常應用于

證明線段相等、弧相等或垂直關系。例如在證明兩條弦相等時，可通過證明圓心到兩弦的距

離相等，結合垂徑定理推論得出結論。

(2)圓周角定理及其推論：

①圓周角定理表明同弧或等弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半。這一考點常出現在求

角度問題中，已知圓心角求圓周角，或反之。

②推論“直徑所對的圓周角是直角”以及“90°的圓周角所對的弦是直徑”應用廣泛。比如

在圓中構造直角三角形，利用三角函數或勾股定理求解線段長度。在證明某條弦是直徑時，

可通過證明其所對圓周角為90°來實現。

③圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形對角互補，且外角等于它的內對角。常結合其他圖形

性質，如三角形內角和定理，用于角度的推導與計算。例如在一個包含圓內接四邊形的復雜

圖形中，通過已知角的度數，利用圓內接四邊形性質求出其他角的度數,進而解決相關問題。

2.直線與圓的位置關系

(1)切線的判定與性質：

①判定：證明一條直線是圓的切線，主要有兩種方法。一是若直線與圓有公共點，連接圓心

與公共點，證明這條半徑與直線垂直；二是若直線與圓的公共點不確定，過圓心作直線的垂

線段，證明垂線段長度等于圓的半徑。此考點常出現在證明題中，要求學生熟練掌握證明思

路與方法。

②性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑。在涉及切線的計算問題中，常利用這一性質構造

直角三角形，結合勾股定理、三角函數等知識求解線段長度或角度。例如已知圓的半徑和切

線與圓外某條線段的夾角，求切線長。

(2)切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線

平分兩條切線的夾角。?？键c為利用切線長定理進行線段長度的計算，以及證明線段相等、

角相等。例如在一個有兩條切線的圖形中，通過已知的線段長度，利用切線長定理求出其他

相關線段長度，或證明兩個角相等。

(3)三角形的內切圓：

三角形內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，到三角形三邊的距離相等。考點包括求

三角形內切圓的半徑，通常利用面積法，即三角形面積等于三角形周長與內切圓半徑乘積的

一半(S=%(a+b+c)r,其中a、b、c為三角形三邊，r為內切圓半徑)。還會考查與三角形內

切圓相關的角度計算，如利用角平分線性質求角的度數。

3.圓與其他知識的綜合

(1)圓與相似三角形：

①在圓中，常出現相似三角形。例如相交弦定理(圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線

段長的積相等)的證明就利用了相似三角形。當圓中有兩條相交弦時，通過同弧所對圓周角

相等，可得到相似三角形，進而得出線段比例關系。

②還可能結合切線與割線，通過證明三角形相似來求解線段長度或比例。比如已知圓的切線

和一條割線，利用弦切角等于它所夾弧對的圓周角，構造相似三角形，建立比例式求解相關

線段長度。

(2)圓與銳角三角函數：

在與圓相關的直角三角形中，常運用銳角三角函數求解角度或線段長度。例如在由圓的半徑、

弦心距和弦的一半構成的直角三角形中，已知一個銳角的三角函數值和一條邊的長度，可求

出其他邊的長度?；蛘咴趫A的綜合圖形中，通過角度關系找到直角三角形，利用三角函數解

決實際問題。

fii真題演陳.

1.(2023?江蘇南京?中考真題)如圖，在VA3C中，AB=AC,0。是VABC的外接圓，過

點。作AC的垂線，垂足為分別交直線3C,。。于點E,F,射線"交直線2c于點

G.

⑴求證AC=CG.

(2)若點E在CB的延長線上，且￡B=CG,求—3AC的度數.

(3)當3C=6時，隨著CG的長度的增大，EB的長度如何變化？請描述變化過程，并說明理

由.

2.(2023?浙江紹興?中考真題)如圖是6x7的網格，每個小正方形的邊長均為1,半圓ACB上

的點AB,C,O均落在格點上.請按下列要求完成作圖：要求一：僅用無刻度的直尺，且

不能用直尺中的直角；要求二：保留作圖痕跡.

⑴在圖中作出弧BC的中點。.

(2)連結AC,作出-3AC的角平分線.

(3)在A3上作出點尸，使得AP=AC.

3.(2024.山東日照.中考真題)如圖1,AB為。。的直徑，A3=12,C是。。上異于A,3的

任一點，連接AC/C,過點A作射線AC。為射線AD上一點，連接CO.

【特例感知】

(1)若BC=6.則AC=.

(2)若點CD在直線AB同側，且NADC=/3,求證：四邊形ABCD是平行四邊形；

【深入探究】

若在點C運動過程中，始終有tanZADC=石，連接OO.

(3)如圖2,當C。與。。相切時，求OD的長度；

(4)求OO長度的取值范圍.

4.(2024.山東淄博?中考真題)在綜合與實踐活動課上，小明以“圓”為主題開展研究性學習.

【操作發現】

小明作出了。。的內接等腰三角形A3C，AB=AC.并在BC邊上任取一點。(不與點2,

C重合)，連接A3,然后將△ABD繞點A逆時針旋轉得到△ACE.如圖①

小明發現：CE與。。的位置關系是,請說明理由：

【實踐探究】

連接OE,與AC相交于點尸.如圖②，小明又發現：當VA3c確定時，線段CF的長存在

最大值.

請求出當A2=3ji6.3c=6時，CT長的最大值;

【問題解決】

在圖②中，小明進一步發現：點O分線段BC所成的比CD:￡?與點/分線段DE所成的比

。產:EE始終相等.請予以證明.

5.（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖1,。是正方形ABCD對角線上一點，以。為圓心，OC

長為半徑的。。與4D相切于點E,與AC相交于點尸.

⑵若正方形A3CD的邊長為0+1,求。。的半徑.

（3）如圖2,在（2）的條件下，若點M是半徑OC上的一個動點，過點〃作"NLOC交CE

于點N.當CN:FM=1:4時，求CN的長.

6.（2024.湖南長沙?中考真題）對于凸四邊形，根據它有無外接圓（四個頂點都在同一個圓

上）與內切圓（四條邊都與同一個圓相切），

可分為四種類型，我們不妨約定：

既無外接圓，又無內切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形；

只有外接圓，而無內切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形；

只有內接圓，而無外接圓的四邊形稱為“內切型單圓”四邊形；

既有外接圓，又有內切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形.

請你根據該約定，解答下列問題:

（1）請你判斷下列說法是否正確（在題后相應的括號中，正確的打“卡，錯誤的打“x”，

①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形；（）

②內角不等于90。的菱形一定是“內切型單圓”四邊形；（）

③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內切圓圓心重合，外接圓半徑為R,內切圓半徑為

r,則有R=0r.（）

⑵如圖1,已知四邊形43CD內接于。。，四條邊長滿足：AB+CD^BC+AD.

①該四邊形ABCD是“"四邊形（從約定的四種類型中選一種填入）；

②若NBAD的平分線AE交。。于點E,ZBCD的平分線CF交。。于點F,連接EF.求證：

EF是。。的直徑.

cEFF

圖1圖2圖3

⑶己知四邊形A3。是“完美型雙圓”四邊形，它的內切圓0。與AB,BC,CD,AD分別相

切于點E,F,G,H.

①如圖2.連接EG,FH交于點P.求證：EGLFH.

②如圖3,連接Q4,OB,OC,OD,若OA=2,OB=6,0C=3,求內切圓。。的半徑廠

及0D的長.

7.（2024?湖南?中考真題）【問題背景】

已知點A是半徑為r的。。上的定點，連接。4,將線段OA繞點。按逆時針方向旋轉

。（0°＜。＜90。）得至1]0石，連接AE,過點A作。。的切線/,在直線/上取點C,使得NCAE

為銳角.

【初步感知】

（1）如圖1,當夕=60。時，ZCAE=_°；

【問題探究】

（2）以線段AC為對角線作矩形ABCD,使得邊AD過點E,連接CE,對角線AC,3。相

交于點F.

①如圖2,當AC=2r時，求證：無論a在給定的范圍內如何變化，BC=CD+ED總成立:

圖2

4CF7AR

②如圖3,當而法時，請補全圖形，并求tan，及茄的值.

圖3

8.（2024.江蘇揚州?中考真題）在綜合實踐活動中，“特殊到一般”是一種常用方法，我們可

以先研究特殊情況，猜想結論，然后再研究一般情況，證明結論.

如圖，已知VABC,CA^CB,。。是VABC的外接圓，點。在。。上（A￡>>5￡））,連

接4。、BD、CD.

【特殊化感知】

(1)如圖1,若NACB=60。，點。在A0延長線上，則AD-與CD的數量關系為；

【一般化探究】

(2)如圖2,若NACB=60。，點C、。在4B同側，判斷AD-BD與CD的數量關系并說明

理由；

【拓展性延伸】

(3)若NACB=o,直接寫出4￡＞、BD、CD滿足的數量關系.(用含a的式子表示)

9.(2023?浙江?中考真題)小賀在復習浙教版教材九上第81頁第5題后，進行變式、探究與

思考：如圖1,的直徑C。垂直弦A8于點E,且CE=8,DE=2.

圖1圖2圖3

(1)復習回顧：求A3的長.

(2)探究拓展：如圖2,連接AC,點G是8c上一動點，連接AG,延長CG交A3的延長線

于點?

①當點G是8c的中點時，求證：NGAF=NF；

②設CG=x,CF=y,請寫出y關于尤的函數關系式，并說明理由；

③如圖3,連接小，BG,當VCD尸為等腰三角形時，請計算3G的長.

10.(2023?陜西中考真題)(1)如圖①，在△OAB中，OA=OB,ZAOB=nO°,AB=24.若

。。的半徑為4,點尸在。。上，點M在A3上，連接尸河，求線段P河的最小值；

(2)如圖②所示，五邊形ABCDE是某市工業新區的外環路，新區管委會在點2處，點E處

是該市的一個交通樞紐.已知：NA=/ABC=NAED=90。，AB=AE=10000m,

8C=DE=6000m.根據新區的自然環境及實際需求，現要在矩形AFDE區域內（含邊界）

修一個半徑為30m的圓型環道。0；過圓心。，作,垂足為M,與00交于點N.連

接BN,點尸在。。上，連接母.其中，線段3N、EP及是要修的三條道路，要在所

修道路BN、之和最短的情況下，使所修道路最短，試求此時環道。。的圓心。到43

的距離。加的長.

圖①圖②

11.（2023?江蘇泰州?中考真題）已知：A、8為圓上兩定點，點C在該圓上，/C為AB所

對的圓周角.

圖①圖②圖③

知識回顧

（D如圖①，。。中，B、C位于直線AO異側，ZAOB+ZC=135°.

①求NC的度數；

②若。。的半徑為5,AC=8,求BC的長；

逆向思考

（2）如圖②，P為圓內一點，且NAPB<120。，PA=PB,ZAPB=2ZC.求證：尸為該圓的

圓心；

拓展應用

（3）如圖③，在（2）的條件下，若NAP3=90。，點C在。尸位于直線AP上方部分的圓弧上

運動.點。在。P上，滿足CO=&CB-C4的所有點。中，必有一個點的位置始終不變.請

證明.

12.（2023?山東日照?中考真題）在探究“四點共圓的條件”的數學活動課上，小霞小組通過探

究得出：在平面內，一組對角互補的四邊形的四個頂點共圓.請應用此結論.解決以下問題：

如圖1,VABC中，AB=AC,ABAC=a（60。＜夕＜180。）.點。是8C邊上的一動點（點

。不與8,C重合），將線段繞點A順時針旋轉。到線段AE,連接3E.

圖2備用圖

（1）求證：A,E,B,。四點共圓；

（2）如圖2,當A￡＞=CD時，。。是四邊形的外接圓，求證：AC是。。的切線；

（3）已知&=120。，BC=6,點M是邊8c的中點，此時。P是四邊形AEBD的外接圓，直接

寫出圓心尸與點M距離的最小值.

13.（2023?北京?中考真題）在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑為1.對于。。的弦A3和

0。外一點C給出如下定義：

若直線C4,CB中一條經過點。，另一條是。。的切線，則稱點C是弦A3的“關聯點”.

⑴如圖，點A（TO）,耳'

k22Jk22）

①在點G（-M）,C,（-V2,o）,G（°，后）中，弦的的“關聯點，，是.

②若點C是弦482的“關聯點”，直接寫出OC的長；

⑵已知點M（o,3）,N",0.對于線段上一點S,存在。。的弦P0,使得點S是弦

尸。的“關聯點”，記尸。的長為當點S在線段禰V上運動時，直接寫出f的取值范圍.

14.（2023?吉林長春?中考真題）【感知】如圖①，點A、B、P均在。。上，NAOB=90。,

則銳角ZAPB的大小為度.

【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，。。是等邊三角形ABC的外接圓，點尸在AC上

（點P不與點A、C重合），連結卜4、PB、PC.求證：尸8=PA+PC.小明發現，延長PA

至點、E,使AE=PC,連結BE,通過證明△尸3c/可推得尸3E是等邊三角形，進

而得證.

下面是小明的部分證明過程：

證明：延長PA至點E,使AE=PC,連結BE,

V四邊形ABCP是0。的內接四邊形，

ZBAP+ZBCP=180°.

ZBAP+ZBAE=180°,

:.Z.BCP=Z.BAE.

?.?△ABC是等邊三角形.

BA=BC,

:"BC、EBA（SAS）

請你補全余下的證明過程.

【應用】如圖③，。。是VABC的外接圓，ZABC=90°,AB=3C,點尸在0。上，且點P

—PB

與點8在AC的兩側，連結“、PB、PC.若PB=26PA,則正的值為.

15.（2023?浙江臺州?中考真題）我們可以通過中心投影的方法建立圓上的點與直線上點的對

應關系，用直線上點的位置刻畫圓上點的位置，如圖，是。。的直徑，直線/是0。的切

線，B為切點.P,Q是圓上兩點（不與點A重合，且在直徑的同側），分別作射線AP,

AQ交直線/于點C,點、D.

AAA

D

圖3

（2）如圖2,當誓=1，3尸=尸。時，求笑的值.

AD4CD

（3）如圖3,當sin/BAQ=邁，3C=CD時，連接BP,PQ,直接寫出堂的值.

4BP

16.（2023?浙江嘉興?中考真題）己知，A3是半徑為1的。。的弦，。。的另一條弦CD滿足

CD=AB,且C。，AB于點X（其中點以在圓內，且CH>DH）.

⑴在圖1中用尺規作出弦CD與點H（不寫作法，保留作圖痕跡）.

（2）連結A。，猜想，當弦A8的長度發生變化時，線段AD的長度是否變化？若發生變化，

說明理由：若不變，求出AD的長度；

⑶如圖2,延長至點片使得HF=AH,連結CP,/"C戶的平分線CP交AD的延長

線于點P,點/為AP的中點，連結碗，若尸。=340.求證：MHLCP.

17.（2022?廣東深圳?中考真題）一個玻璃球體近似半圓。,48為直徑，半圓。上點C處有個

吊燈EF,EFHAB,CO，A民ER的中點為D,OA=4.

圖①圖②

c

AOMB

圖③

(1)如圖①，CM為一條拉線，M在08上，0M=1.6,￡>尸=0.8,求C。的長度.

⑵如圖②，一個玻璃鏡與圓。相切，H為切點，Af為02上一點，MX為入射光線，NH為

3

反射光線，N0HM=Z0HN=45°,tanZC0H=—，求ON的長度.

4

(3)如圖③，M是線段上的動點，為入射光線，=50。,HN為反射光線交圓。

于點N,在用從。運動到B的過程中，求N點的運動路徑長.

18.(2024?廣東東莞?一模)如圖1,OB是RtZXABC中/ABC的平分線，ZBAC=90。，以49

為半徑的。。與AC相交于點E,且CE=1.

(2)如圖2,設。。與8C的切點為。，連接AD.當tanN6￡>=g時，求。。的半徑；

s

(3)若尸是線段的中點，連CP與AD交于G,在(2)的條件下，求薩皿的值.

19.(2024?浙江嘉興.一模)定義：三角形一邊上的點將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的

積等于這個點到該邊所對頂點連線的平方，則稱這個點為三角形該邊的“中項點”.如圖1,

VABC中，點。是2C邊上一點，連接2D,若AD2=BDCD,則稱點。是VA3C中2C邊上

的“中項點”.

⑴如圖2,VABC的頂點是4x3網格圖的格點，請僅用直尺畫出力8邊上的一個“中項點”.

47

(2)VABC中，BC=9,tan8=§,tanC=],點。是BC邊上的“中項點”，求線段BD的長.

(3)如圖3,VABC是。。的內接三角形，點a在28上，連接C〃并延長交0。于點。.點H

是△3CD中CD邊上的“中項點”.

①求證：OHLAB-,

②若OH〃BD，。。的半徑為且七肛求黑的值.

20.(2024?湖南長沙?模擬預測)在平面直角坐標系xQy中，A為無軸上一點，以。1為半徑

作。。交y軸于B,點C為第三象限的圓上一點，如圖1所示，已知圓心到弦的距離

⑴求弦A8下方圓內陰影部分的面積;

(2)如圖1所示，若圓心。到弦2C的距離OE=2石，求C點的坐標；

⑶如圖2所示，C點坐標同第(2)問，尸是x軸下方的一個動點，使得/3PC：/30c=1:2,

四邊形的面積是否存在最大值？若存在請算出面積，并直接寫出尸點坐標;若不存在,

請說明理由.

參考答案

1.⑴見解析

(2)36°

(3)當3<CGV6時，BE=6--CG2,5E隨CG增大，從4.5附近開始逐漸減小到0；當CG>6

6

時，BE=!CG-6,BE隨CG增大，從0附近開始逐漸增大.

6

【分析】(1)連接AO并延長交3c于點且連接03、OC,根據線段垂直平分線判斷垂

直平分2C,得到NG+NGAH=90。，結合NG4H=NAFD,ZFAD+ZAFD=90°,即得

ZFAD=ZG；

(2)連接AE,設NG="，得NC4G=0,得ZACB=2a,根據￡B=CG,AH垂直平分

8C,得到AE=4G,得到ZAEG=a,根據垂徑定理推出E4=EC,得到NEAC=ZECA=2a,

在中，推出5a=180。，得到<z=36。，即得NBAC=36。；

「HC'D

(3)在Rt^CAH和Rt^CED中，根據ZCAH=ZCED,得sinZCAH=sinZCED，得一=—,

ACCE

結合AC=CG,CD^-AC,CH=-BC=3,^CE^-CG2,當3<CG<6時，

226

BE=6-CG2,BE隨CG增大而減小，從4.5附近開始逐漸減小到0；當CG>6時，

6

BE=yCG2-6,BE隨CG增大而增大，從0附近開始逐漸增大.

【詳解】(1)連接AO并延長交8c于點H,連接03、OC,

AB=AC,OB=OC,

：.AH垂直平分5C,

???NG+NG4H=90。，

AO=FO,

：.ZOAF=ZOFA,

VOD1AC,

???ZFAD-^ZAFD=9Q0,

：.ZFAD=ZG

：.AC=CG；

(2)連接人石，設NG=a,

由(1)知，NC4G=NG=a,

:.ZACB=ZCAG+Z.G=2a,

?；EB=CG,AH垂直平分5C,

:?EH=GH,

：.AE=AG,

：.ZAEG=/G=a,

VOD1AC,

：.AD=CD,

EA—EC,

???ZEAC=ZECA=2a,

：.ZAEC-^-ZEAC+ZECA=5cr=180°,

a—36°,

JZBAC=ZAEC=a=36°；

：.ZCAH+ZHCA=NCED+ZDCE=90°,

JNCAH=NCED,

sinACAH=sinZCED,

.CHCD

?.一，

ACCE

VAC=CG,CD=-AC,CH=-BC=3,

22

1

：.CE=-CG92,

6

當3vCG<6時，

CE=BC—BE=6—BE,

1

BE=6——CG29,

6

BE隨CG增大而減小，從4.5附近開始逐漸減小到0；

當CG>6時，

CE=BC+BE=6+BE,

1,

Z.BE=-CG2-6,

6

BE隨CG增大而增大，從0附近開始逐漸增大.

【點睛】本題主要考查了圓與三角形結合.熟練掌握等腰三角形的判定和性質，垂徑定理,

三角形外角性質，線段垂直平分線的判定和性質，正弦定義,分類討論,是解決問題的關鍵.

2.(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】(1)連2c與網格線交于一格點G,以。為端點，作射線OG與圓弧交于點￡),

(2)作射線AD,則AD即是N54C的角平分線，

(3)連結并延長，交AC的延長線于點與2C交于點尸，連結族并延長交A3于

點、P,則AP=AC.

本題考查了無刻度直尺作圖，垂徑定理，圓周角定理，角平分線的性質定理，解題的關鍵是：

熟練掌握無刻度直尺作圖，與相關定理的結合.

【詳解】(1)解：由格點可知G為中點，根據垂徑定理可得，點。為弧2C的中點，點

。即為所求，

(2)解：：點。為弧BC的中點，

根據圓周角定理，可得NG4D=N&D,AD即為所求,

ZADB=ZADE=90°,NBCE=90°,

VZCAD=ZBAD,AD=AD,

AAED^AABD(ASA),

ED=BD,ZAED=ZABD,

...4。是3E的垂直平分線，

FE=FB,

Z.FEB=Z.FBE,

：.AEPB沿ABCE(ASA),

：.ZEPB=ZBCE=90°,

：.AACF^APF(AAS),

.AP^AC,作圖如下:

3.(1)673(2)證明見解析(3)2A/21(4)2yf3<OD<6>/3

【分析】(1)根據直徑性質得到，/48=90。,根據筋=12,BC=6,運用勾股定理可得

AC=673;

(2)根據ZACB=90。.AD_LAC,得到AO//3C.得到+ABAD=180°,結合ZADC=NB,

得到N54￡>+NADC=180。，得到AB〃CD,得到四邊形ABC。是平行四邊形；

(3)連接OC.根據tanNAOC=5^,得至(JNADC=60°,ZACD=30°,根據切線性質得到，

ZACD+ZACO=90°.得到ZACD=/OCB,ZB=30。.得至l]AC=6,得到。=46,運

用勾股定理得=2庖；

(4)過點A作射線AF_LAB,使NAOP=60。，連接OC,b.得至U/OE4=30。，OF=12,

ACAF

根據AF=a)A.AC=y/3AD，可得f==，根據ZDAO=ZCAF,得到^CAF^^DAO,

ADOA

得竺="=力，得至ljoz)=且CF.^OF-OC<CF<OF+OC,得至(J6VCFV18,

DOAD3

BP^2A/3<O￡><6A/3.

【詳解】(1)解：為。。的直徑，

NACB=90。，

VAB^12,BC=6,

AC=y]AB2-BC2=673

故答案為：6^3；

(2)證明：??,A3為。。的直徑，

???ZACB=90°.

?.?AD±ACf

：.ZDAC=90°,

：.AD//BC.

???ZB+ZBAZ)=180°,

'：ZADC=ZBf

：.ZBAT>+ZAT>C=180°,

???AB//CD

???四邊形A3CD是平行四邊形.

(3)解：如圖，連接OC.

???在Rt^ACD中，tanZADC=y/3,

???ZADC=6Q°,

：.ZACD=30°,

：.OC1CD,

：.ZACD+ZACO=90°.

又ZACO-^-ZOCB=90°,

JZACD=ZOCB

：.ZB=ZACD=30°.

：.AC=-AB=6

29

ACL

在RtAACD中，CD=---------=4V3,

cos30

.,.在RRCOD中，OD=yJCD2+OC2=7(4A/3)2+62=2721;

(4)解：如圖，過點A作AF1.AB,使NAOF=60。，連接OC,CF.

則NQ4F=90°,

ZOFA=30°,

：.OF=2OA=12,

：.AF=y/3OA=6A/3,

VtanZADC=A/3,

/.AC=W1AD,

?生-絲-百

ADOA

???ZDAC=ZOAF=9Q°f

：.ZDAC+ZCAO=ZOAF+ZCAO,

即ND4O=NC4F,

A^CAF^DAO,

?—6

DOAD

：.OD=—CF.

3

?/OF-OC<CF<OF+OC,

：.6<CF<18,

，2A/3<OD<6A/3.

【點睛】本題主要考查了圓與三角形綜合.熟練掌握圓周角定理推論，圓切線性質，平行四

邊形的判定，含30。的直角三角形判定和性質，勾股定理解直角三角形，銳角三角函數解直

角三角形，相似三角形的判定和性質，是解決問題的關鍵.

4.操作發現：CE與。。相切；實踐探究：問題解決：見解析

【分析】操作發現：連接CO并延長交。。于點連接根據直徑所對圓周角為直角

得至IJNM4c=90°,根據旋轉的性質得到/B=NACE,由圓周角定理推出N3=/AMC,等

量代換得到/ACE=/AMC,利用直角三角形的性質即可證明NOCE=90。，即可得出結論;

實踐探究：證明得到NB=NADE=NACB,結合三角形外角的性質得到

ABBD

ZCDF=ZBAD,易證△ABDs*cF,得到——=—,設皮）=x，貝lJCD=6—%,得到

CDCF

5=亞46-1）=-巫（》-3）2+理°,利用二次函是的性質即可求解；

30'730'710

問題解決：過點￡作硒〃3c交AC于點N,由旋轉的性質知：ZB=ZACE,證明

ZENC=ZACE,推出E7V=CE,由旋轉的性質得：△ABD/△ACE,

得到BD=EN,根據硒〃5C,易證ACDFSMEF,得到——=—,即可證明結論.

ENEF

【詳解】操作發現：

解：連接CO并延長交。。于點M,連接AM,

MC是。。直徑,

??.ZMAC=90°,

.\ZAMC-^-ZACM=90°,

由旋轉的性質得NB=ZACE,

??ZB=ZAMC,

ZACE=ZAMC,

AOCE=ZACM+AACE=ZACM+AAMC^9Q0,

???OC是。。的半徑，

???C￡與。。相切；

實踐探究：

解：由旋轉的性質得：“AD=ZCAE,AD=AE,

，BAD+/C4D="4E+"4WNB4C=ND4E,

\AB=AC,

.AB_AC

一茄一衣’

:.AABC^AADE,

.?.NB=ZADE=ZACB,

???ZADC=ZADE+NCDF=NB+/BAD,

..NCDF=/BAD,

:.^ABDs^DCF,

.AB_BD

''CD~'CFf

設則CD=6—%,

.35—x

"6-x~~CF'

.?。=巫.6一力=一回（一『+酒,

30v730v710

-------<0，

30

，當x=3時，C/有最大值為嚕;

問題解決:

證明：過點￡作￡N〃5C交AC于點N,

A

由旋轉的性質知：NB=ZACE,

?/ZB=ZACB,

:.ZACB=ZACE,

:"ENC=ZACE,

1,EN=CE,

由旋轉的性質得：△Afi。之△ACE,

BD=CE,

:.BD=EN,

EN〃BC,

:.qDFs小EF,

CDDF

,E7V-EF?

?.?BD=EN,

CDDF

一茄一百’

【點睛】本題考查圓周角定理，切線的證明，旋轉的性質，三角形相似的判定與性質，二次

函數最值的應用，正確作出輔助線，構造三角形相似是解題的關鍵.

5.(1)證明見解析

⑵血

c、2a

⑶k

【分析】(1)方法一：連接0E,過點。作OGLAB于點G,四邊形ABCD是正方形，AC

是正方形的對角線，得出OE=OG,進而可得0G為。。的半徑，又OGLAB,即可得證;

方法二：連接。及過點。作OGLAB于點G,根據正方形的性質證明AAOE■絲AAOG(AAS)

得出OE=OG,同方法一即可得證；

方法三：過點。作OGLAB于點G,連接0E.得出四邊形AEOG為正方形，則OE=OG,

同方法一即可得證；

(2)根據。。與力。相切于點E,得出NAEO=90。，由(1)可知AE=OE,設

AE=OE=OC=OF=R,在RtZXAEO中，勾股定理得出AO=J5R,在RLADC中，勾股定

理求得AC,進而根據。4+OC=AC建立方程，解方程，即可求解.

(3)方法一：連接ON,設CM=左，在RtaOMV中，由勾股定理得：MN=2k,在Rt^CMV

中，由勾股定理得：CN=瓜,結合題意FC=5左=2R=2x&=2也得出Z=當，即可

得出CN=平；

方法二：連接KV,證明ACNMs△CFN得出CN2=CMCF,進而可得CM=-CF=,

55

同理可得CN

方法三：連接FN,證明得出NC2=MC?/C,沒CM=k,則尸C=5k,

進而可得NC=圓,進而同方法一，即可求解.

【詳解】(1)方法一：證明：連接OE,過點。作OGLAB于點G,

V。。與4D相切于點E,

OELAD.

???四邊形ABCD是正方形，AC是正方形的對角線，

ABAC=ZDAC=45°,

..OE=OG,

???OE為。。的半徑，

；.0G為。。的半徑，

OG±AB,

二.AB與。。相切.

方法二：

證明：連接?！?過點。作OGLAB于點G,

V0。與2D相切于點E,；.OEYAD,

■■ZAEO^ZAGO^90°,

■：四邊形ABCD是正方形，

Z￡L4C=ZZMC=45°,

又■:AO=AO,

..AAOE均AOG(AAS),

OE=OG,

???OE為。。的半徑，

；.OG為。。的半徑，

???OGVAB,

.〔AB與。。相切.

AED

方法三：

證明：過點。作OGLAB于點G,連接OE.

?.?AD與0。相切，0E為。。半徑，

OEYAE,

..ZAEO=9Q°,

OG±AB,

ZAGO=90°,

又?.?四邊形ABCD為正方形，

ZBAD=90°,

.??四邊形AEOG為矩形，

又「AC為正方形的對角線，

ZEAO=ZGAO=ZAOE=45°,

OE=AE,

二矩形AEOG為正方形，

OE=OG.

又「OE為。。的半徑，

，OG為。。的半徑，

又；OG±AB,

.〔AB與。。相切.

(2)解：:AC為正方形A3CD的對角線，

ZDAC=45°,

?--與2。相切于點E,

ZAEO=90°,

.,?由(1)可知AE=OE,設AE=OE=OC=OF=R,

在Rt/VlEO中，

VAE2+EO2=AO2,

AO2=R2+R2,

??/?>0,AO=y/2R，

又,??正方形ABCD的邊長為0+1.

在RUADC中,

：.AC=yjAD2+CD2=V2(V2+1),

VOA+OC^AC,

同+R=Q&+1),

■-R=-y/2"

???。。的半徑為

(3)方法一：

解：連接ON,設CM=k,

■：CM:FM=1A,

二CF=5k,

OC=ON=2.5k,

OM=OC-CM=1.5k.

在RtaOMN中，由勾股定理得：MN=2k,

在RSCMV中，由勾股定理得：CN=瓜,

又,:FC=5k=2R=2x血=2五，

.,2近

??K=------?

5

.「N/?2^22M

…CJN=vZxy------=--------.

55

AED

方法二：

解：連接FN,

???C尸為0。的直徑，

/.ZCNF=90°,

???/FNM"CNM=93,

MN工AC,

ZNFM+/FNM=90。,

ZNFM=/CNM,

??.ZNCM=ZFCN,

ACNMs"FN,

???CN2=CMCF,

/CM.FM=\A,CF=5CMf

CN=45CM,

??.c/=2H=2x夜=2夜，

?1廠門2夜

…CM=—CF=------,

55

.…片2應2V10

…CN=，5x------=--------,

55

AED

方法三：

解：連接-V,

???CF為。。的直徑，

ZCNF=90°,

NFNM+NCNM=90。,

-：MN±AC,

ZNFM+/FNM=90。,

■.ZNFM=NCNM,

■：ZNCM^ZFCN,

???MNMsMFN,

.NCFC

"MC-7VC)

NC-=MCFC,

■：CM:FM=1:4,

CM:FC=1:5,

設CM=k,則FC=53

NC2=kx5k,

■■■NC=瓜.

又；FC=5k=2R=2x血=2五，

.,2近

??K=---,

5

.?。葚?近2M

…CN=V5x------=--------.

55

AED

【點睛】本題考查了切線的性質與判定，正方形的性質，全等三角形的性質與判定，勾股定

理，垂徑定理，相似三角形的性質與判定，正確的添加輔助線是解題的關鍵.

6.⑴①x；②/③<

（2）①外接型單圓；②見解析

（3）r=-A/^3,OD=A/3）

【分析】（1）根據圓內接四邊形和切線長定理可得：有外接圓的四邊形的對角互補；有內切

圓的四邊形的對邊之和相等，結合題中定義，根據對角不互補，對邊之和也不相等的平行四

邊形無外接圓，也無內切圓，進而可判斷①；根據菱形的性質可判斷②；根據正方形的性質

可判斷③；

（2）①根據已知結合題中定義可得結論；

②根據角平分線的定義和圓周角定理證明EBF=EDF即可證得結論；

（3）①連接OE、OF、OG、OH、HG,根據四邊形ABC。是“完美型雙圓”四邊形，結合

四邊形的內角和定理可推導出NA+/EOH=180。，ZFOG+ZC=180°,ZA+ZC=180°,

進而可得=NR9G+N￡?H=180。，然后利用圓周角定理可推導出NHPG=90。,

即可證得結論；

②連接OE、OF、OG、OH,根據已知條件證明NQAH=NCOG,進而證明

得到CG=』r,再利用勾股定理求得r=三耳，BE=2回,同理可證ABEOSAOH。求

21313

解OD即可.

【詳解】（1）解：由題干條件可得：有外接圓的四邊形的對角互補；有內切圓的四邊形的對

邊之和相等，所以

①當平行四邊形的對角不互補，對邊之和也不相等時，該平行四邊形無外接圓，也無內切圓，

.,?該平行四邊形是“平凡型無圓”四邊形，故①錯誤；

②：內角不等于90。的菱形的對角不互補，

???該菱形無外接圓，

..?菱形的四條邊都相等，

???該菱形的對邊之和相等，

該菱形有內切圓，

???內角不等于90。的菱形一定是“內切型單圓”四邊形，故②正確；

③由題意，外接圓圓心與內切圓圓心重合的“完美型雙圓“四邊形是正方形，如圖,

則=ON=R,OM±MN,NONM=45°,

二為等腰直角三角形，

ON=y/2OM,即R=仿；

故③正確，

故答案為：①義；②4；③勺；

(2)解：①若四邊形ABCD中有內切圓，則AB+CD=3C+AD,這與AB+CDw3C+AD

矛盾，

四邊形A3。無內切圓，

又：該四邊形有外接圓，

該四邊形A3CD是“外接型單圓”四邊形，

故答案為：外接型單圓；

②,/NBAD的平分線AE交。。于點E,NBCD的平分線CF交。。于點E

AZBAE=ZDAE,ZBCF=ZDCF,

??BE=DE，BF-DF，

?**BE+BF=DE+DF，

EBF=EDF，即EBF和EDF均為半圓，

/.是。。的直徑.

(3)①證明：如圖，連接OE、OF、OG、OH、HG,

：O。是四邊形ABCD的內切圓，

AOE1.AB,OFLBC,OG±CD,OHLAD,

ZOEA=ZOHA=90°,

在四邊形AEOH中，NA+NEOH=360。一90。-90。=180。，

同理可證，ZFOG+ZC=180°,

?/四邊形A3CD是“完美型雙圓”四邊形，

該四邊形有外接圓，則NA+NC=180。，

ZEOH=NC,則ZFOG+ZEOH=180。，

,/ZFHG=-ZFOG,ZEGH=-ZEOH,

22

ZFHG+ZEGH=:(ZFOG+ZEOH)=90°,

ZHPG=180°-(NFHG+NEGH)=90°,

EGLFH-,

②如圖，連接OE、OF、OG、OH,

:四邊形ABCD是'完美型雙圓”四邊形，它的內切圓。。與AB,BC,CD,AD分別相切于

點、E,F,G,H,

：.：.OELAB,OF±BC,OGLCD,OHLAD,OE=OF=OG=OH,

：.ZEAH+ZFCG=180°,ZOAH=ZOAE,ZOCG=ZOCF,

.??ZOAW+ZOCG=90°,

NCOG+NOCG=90。，

：.ZOAH=ZCOG.XZAHO=ZOGC=90°,

：?AAOHSQCG,

.OAOH

'~OC~~CG

,.?Q4=2,OC=3,

,23

則CG=z乙

*,3CG2

在Rt/XOGC中，由OG2+CG2=OC2得/十r=3\

解得r*瓜

在RtAOBE中，OB=6,

BE=y/OB2-OE2=卜—唇而）=a,

同理可證ABEO^AOHD,

.BEOB

"~OH~~dD

.底6

工而OD，

OD=M.

【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質、正方形的性質、菱形的性質、圓周角定理、內切

圓的定義與性質、外接圓的定義與性質、相似三角形的判定與性質、四邊形的內角和定理、

勾股定理、角平分線的判定等知識，理解題中定義，熟練掌握這些知識和靈活運用性質和判

定是解題的關鍵.另外還要求學生具備扎實的數學基礎和邏輯思維能力，備考時，重視四邊

形知識的學習，提高解題技巧和速度，以應對中考挑戰.

7.(1)30°；①證明見解析；②補全圖形見解析，4|1

3z

【分析】(1)可證△OE4是等邊三角形，貝l]NQ4E=60°,由直線/是。。的切線，得到

ZOAC=90°,故NC4E=90°-60°=30°；

(2)①根據矩形的性質與切線的性質證明△。4￡絲/k尸CD,則AE=CD,而3C=AD,由

AD=AE+DE,得到3c=GD+OE；

②過點。作OGLAE于點G,AHLOE于點H,在Rt^AOC中，先證明點E在線段OC上,

tana=41=1,由等腰三角形的性質得NEOG=1a,根據互余關系可得

AO32

Z.EAH=Z.EOG=—a,可求tana=4^=3,解△OAE,求得tan/E4H=，，可證明

2OH32

1zyAft1

ZACB=-a故在RtZXABC中，tanZACB=tan-=——=-.

2f2BC2

【詳解】解：(1)由題意得NAOE=c=60。，

OA=OE,

???△(?￡＜是等邊三角形，

/.NQ4E=60。,

??,直線/是O。的切線，

???ZOAC=90°,

???ZCAE