安徽省江南十校2025屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設(shè)復(fù)數(shù)Z=上，貝Uz的共輒復(fù)數(shù)7的虛部為（）

1-1

,1.1.11

A.—1B.——1C.-D.—

2222

2.已知集合4={引一/+%+2>0},5={%￡訓(xùn)％—1區(qū)1},則/口5=（）

A.{1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

3.已知萬是直線2x-y+l=0的一個(gè)方向向量，若方=（檢1）,則實(shí)數(shù)加的值為（）

,11

A.-B.—C.2D.—2

22

4.已知等差數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為S",且?guī)?120,等比數(shù)列也}的首項(xiàng)為1,若%=",

則l°g.6的值為（）

2

11

A.-B.—5C.—D.5

55

5.已知角生夕的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，始邊與尤軸的非負(fù)半軸重合，角戊的終邊與圓。交

于點(diǎn)4（1,2夜）.動(dòng)點(diǎn)尸以A為起點(diǎn)，沿圓周按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的軌跡長為亨,

當(dāng)角夕的終邊為射線時(shí)，tan￡=（）

A4>/2-7n7-4V2「9+4血c9+4后

7777

22

6.已知雙曲線1r-*=1（“>0,方>0）虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為4,82，左、右焦點(diǎn)分別為"月，

若cos/^B閔=-《，則雙曲線的離心率為（）

A.—B.-C.V5D.1

523

7.若函數(shù)/（%）=1。8/+1。84+3是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.

8.已知x>0/>0,尤+3-V，則31+2”勺最小值為（）

試卷第1頁，共4頁

A.2V2B.V13C.2展D.2V3

二、多選題

9.已知數(shù)據(jù)再廣加…,％的平均數(shù)為10,方差為1，且匕=2x,+4(i=l,2,…,6),則下列說法

正確的是()

A.數(shù)據(jù)為,外，…，舔的方差為4

B.數(shù)據(jù)百戶2,…，/，必，%，…，%的平均數(shù)為17

C.數(shù)據(jù)西廣2,…，％，10的平均數(shù)為10，方差大于1

D.若數(shù)據(jù)無1，尤2,…戶6的中位數(shù)為“7,75%分位數(shù)為"，則加＜〃

10.如圖，已知圓臺的軸截面為/BCD,其中4B=3CD=12VJ,AD=8,〃■為圓弧標(biāo)的中點(diǎn),

DE=2EA>貝（）

A.圓臺的體積為2087t

JT

B.圓臺母線所在直線與平面/BCD所成角的最大值為:

C.過任意兩條母線作圓臺的截面，截面面積的最大值為326

D.過C,E,M三點(diǎn)的平面與圓臺下底面的交線長為七Y1

5

11.已知定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足/(0)=2J(3-x)+〃x)=l,設(shè)f(x)在R上的導(dǎo)函

數(shù)為g(x)，則()

A.g(2025)=0B.g1|J=；

2025

C.g(x+6)=g(x)D.2L/(?)=1011

n=\

三、填空題

試卷第2頁，共4頁

12.曲線C：>=w￡在點(diǎn)乂(1,e)處的切線方程為.

22

13.已知片，耳分別是橢圓工+匕=1的左、右焦點(diǎn)，尸,45為橢圓上三個(gè)不同的點(diǎn)，直線R4

84

的方程為x=2,且//P8的平分線經(jīng)過點(diǎn)。(1,0),設(shè)耳工人8片入內(nèi)切圓的半徑分別為

r

n，r2,則一=.

r2

14.程大位(1533-1606)是明代珠算發(fā)明家，微州人.他所編撰的《直指算法統(tǒng)宗》是最早

記載珠算開平方、開立方方法的古算書之一，它完成了計(jì)算由籌算向珠算的轉(zhuǎn)變，使算盤成

為主要的計(jì)算工具.算盤其形長方，周為木框，內(nèi)貫直柱，俗稱“檔”.現(xiàn)有一種算盤(如圖1)

共三檔，自右向左分別表示個(gè)位、十位和百位，檔中橫以梁，梁上一珠，下?lián)芤恢橛涀鲾?shù)字

5：梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1.例如：圖2中算盤表示整數(shù)506.如果撥動(dòng)圖1中算盤的

3枚算珠，則可以表示不同的三位整數(shù)的個(gè)數(shù)為.

田W

百位十位個(gè)位百位十位個(gè)位

圖1圖2

四、解答題

15.一個(gè)不透明的盒子中裝有規(guī)格完全相同的3個(gè)小球，標(biāo)號分別為1,2,3,現(xiàn)采用有放回

的方式摸球兩次，每次摸出1個(gè)小球，記第一次摸到的小球號碼為i,第二次摸到的小球號

碼為九

(1)記“，+/>i為事件A,求尸(/)；

(2)完成兩次摸球后，再將與前面3個(gè)球規(guī)格相同的4號球和5號球放入盒中，并進(jìn)行第三

次摸球，且將第三次摸到的小球號碼記為左，號碼左中出現(xiàn)偶數(shù)的個(gè)數(shù)記為X,求X的

分布列及數(shù)學(xué)期望.

16.已知函數(shù)/(X)=l-asimc-cos2x,awR.

⑴若a=2,求/(x)在(0,兀)上的極大值;

試卷第3頁，共4頁

⑵若函數(shù)g(x)=/(x)-/|j+xj,討論函數(shù)g(x)在曲兀]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

17.如圖，在四棱錐E-4BCD中，底面4BC。為直角梯形，48〃C。且45=gc。=1,

AB±BC,ZADC=6ff,cos^CDE=-44DE為等邊三角形.

4

CR--------------nj?

/

[..JM

⑴若分別是棱EC的中點(diǎn)，證明：ACV〃平面ME；

(2)求平面BCE與平面ADE夾角的余弦值.

18.已知?jiǎng)狱c(diǎn)G(x,y)滿足關(guān)系式&+3_回2_6+3+回2=2.

(1)求動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程；

(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)G的軌跡為曲線G，拋物線C2：/=4y的焦點(diǎn)為尸，過。上一點(diǎn)p作C2的兩條切

線，切點(diǎn)分別為48,弦N3的中點(diǎn)為平行于48的直線/與g相切于點(diǎn)。.

①證明：P，2，M三點(diǎn)共線；

②當(dāng)直線/與C1有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求|0目的取值范圍.

19.設(shè)｛4｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的無窮數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S“.

(1)若(%q+2=對任意neN*者B成立，且2Sn+1=Sn+2.

①求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

②已知首項(xiàng)為不，公比0滿足|同＜1的無窮等比數(shù)列｛%｝,當(dāng)"無限增大時(shí)，其前〃項(xiàng)和無

限趨近于常數(shù)自，則稱該常數(shù)為無窮等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)和.現(xiàn)從數(shù)列｛%｝中抽取部分項(xiàng)

構(gòu)成無窮等比數(shù)列低｝,且他,｝的各項(xiàng)和不大于《，求4的最大值.

(2)若J。J%+2N%+i對任意〃eN都成試證明：(％%+2)52(出。3…。"+1)屋

試卷第4頁，共4頁

《安徽省江南十校2025屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號12345678910

答案DBABCABDABABD

題號11

答案ACD

1.D

【分析】先對復(fù)數(shù)化簡，然后求出其共軌復(fù)數(shù)，從而可求出彳的虛部.

i(1+i)i+i211.

【詳解】因?yàn)閦=；=-------=F—1,

1—1(l-i)(l+i)2-------22

.一11

所以z=-]一,

所以Z的共軟復(fù)數(shù)，的虛部為《

故選：D

2.B

【分析】通過解不等式化簡集合，根據(jù)集合的基本運(yùn)算可得結(jié)果.

【詳解】由題意得，A={x\X2-X-2<0]={X\-1<X<2},5={XGN|0<X<2}={0,1,2},

.??/口8=｛0,1｝.

故選：B.

3.A

【分析】先由直線方向向量定義結(jié)合直線方程求出直線的一個(gè)方向向量，再利用向量平行的

坐標(biāo)表示即可求解.

【詳解】因?yàn)橹本€2x-y+l=0的斜率為左=2,所以直線的一個(gè)方向向量為(1,2),

所以若a=(嘰1),貝1]2加-1=0,解得加=；.

故選：A.

4.B

【分析】先由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式結(jié)合下標(biāo)性質(zhì)求出外，進(jìn)而求出等比數(shù)列｛2｝的公比即

可計(jì)算求解.

【詳解】由題得1鞏=120=外=8,

所以"=6=8,設(shè)等比數(shù)列｛2｝的公比為4,所以/=幺=800=2,

答案第1頁，共15頁

貝Ijlog也=log,25二-5

22

故選：B

5.C

【分析】先由題意結(jié)合三角函數(shù)、弧長公式等依次求出tana、圓。的半徑和乙再由

tan￡=tana+:結(jié)合兩角和正切公式即可求解.

【詳解】由題得tana=迪=2s，且圓。的半徑為r=

二3，

1

371

所以//。8=4=兀，

34

收

所以tan尸=tan[a+弓）=tana+12^2+19+4

1-tana1-272（2亞-1）（2亞+1）7

故選：C

6.A

【分析】由題意結(jié)合倍角公式以及cos/尸田。=7占即可求解.

、2

b

【詳解】由題片與鳥=2片與。一二

cos/2COS/12J/+/,

c293出

所以9〃=402,即9/=5/,所以e?==2,即e

a255

故選：A

7.B

【分析】根據(jù)/'(x)V0可得如Wlnf（72+Q）20

<0,利用，求出。的取值范圍驗(yàn)證取舍

1naIna<0

可得結(jié)果.

【詳解】由題意得，函數(shù)/(x)定義域?yàn)?0,+功.

11ln（a+l）+ln〃ln（/+〃）

???/（X）=log/+10g4lX,???O---------------1-——<0,

xlnoxln（a+l）xln〃」n（a+l）xln〃」n（Q+l）

答案第2頁，共15頁

?.5>0且”1,.1.ln(a+l)>0,則1/-+嘰0,

\na

ln(a2+^)>0-i1./s

???/+Q〉〃，???I>,解得

Intz<02

”上立時(shí)，力+”1,"加

當(dāng)帥』)=0,不合題意,

2v7xlna-ln(a+l)

3"

???”的取值范圍是

故選：B.

8.D

【分析】先化簡得出3+工=/了,

再應(yīng)用基本不等式計(jì)算的最小值即可求解.

xy

4X2>2yj^6=12，

xy

當(dāng)且僅當(dāng)1=4/,即％=立,y痣+26時(shí)等號成立,所以3+2的最小值為2月.

X23xy

故選：D.

9.AB

【分析】根據(jù)方差性質(zhì)計(jì)算判斷A,根據(jù)平均數(shù)及方差計(jì)算求解判斷B,C,特例法，先從

小到大排列，計(jì)算中位數(shù)及分位數(shù)判斷D.

【詳解】對于A：數(shù)據(jù)%,名，…,為的方差為22x1=4,A選項(xiàng)正確;

對于B：數(shù)據(jù)石戶2,…，％6,%，%，…，穌的平均數(shù)為

6x10+6x24*

石+X2H---------4+必+J2H-----------白6B選項(xiàng)正確;

1212―

,,rz-ikLsf%]+%,+,,,+4+106X10+10

對于C：數(shù)UzZ據(jù)項(xiàng),工2，…，％6，10的平均數(shù)為---------------二——-——=10,

方差(X]—10)2+(%—10)?+???+(r6-10J+^0-10j_6x1+06

=—<1，C選項(xiàng)錯(cuò)誤;

777

答案第3頁，共15頁

對于D：若取數(shù)據(jù)9,9,10,10,10,12,平均數(shù)為10,方差為1,

則中位數(shù)為/=色土幺=10,因?yàn)?x0.75=4.5,所以第5個(gè)數(shù)為75%分位數(shù)〃=10,

2

所以冽=〃，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AB.

10.ABD

【分析】求出圓臺的高，根據(jù)體積公式可得選項(xiàng)A正確；把圓臺補(bǔ)成圓錐，根據(jù)母線刀〃與

7T

平面N2CZ)所成的角最大可得選項(xiàng)B正確；利用兩條母線所在直線夾角為彳時(shí)截面面積最

大可得選項(xiàng)C錯(cuò)誤；找出過GE,"三點(diǎn)的平面與圓臺下底面的交線，結(jié)合垂徑定理可得選

項(xiàng)D正確.

【詳解】A.；4B=3CD=12內(nèi),AD=8,二圓臺上底面圓半徑為26，下底面圓半徑為6vL

...圓臺的高力=小82-18-26『=4,

1-22—

圓臺的體積k=§兀x4x(2Gj+2gx6G+(66)-=208兀，A正確.

4

B.由0=4,BC=S,sinZOBC=-由得，ZOBC=~.

8

如圖，將圓臺補(bǔ)成圓錐，頂點(diǎn)記為T,底面圓的圓心記為。，連接,

為圓弧荔的中點(diǎn)，...MOL48.

,/TO'平面AMB,MOu平面AMB,二TO'MO,

T0(~]4B=O,TO,N3t平面ABCD,MO_L平面ABCD,

,：MOu平面TMO,：.平面TMO"平面ABCD,

此時(shí)母線所在直線7M與平面/BCD所成的角最大，最大為BM7O,BMTO=^--y=^,B

263

正確.

C.由￡)"。=殳,。3=6指得，70=6,27=12,ATC=12-8=4,

6

當(dāng)兩條母線所在直線夾角為5時(shí),截面面積最大，最大值為1創(chuàng)22Sing-1倉磬sin1=64,

22222

C錯(cuò)誤.

答案第4頁，共15頁

D.如圖，在梯形4BC。中，連接CE并延長交氏4的延長線于點(diǎn)尸，連接板交底面圓于點(diǎn)N,

則MN為截面與底面圓的交線.

mnFOP2M43

由一^---=2得，AF=26,OF-8^/39**?tanDOMF------——■==-cosDOMF--,

AFEAOM6V33f5

取MV中點(diǎn)G,則OG”跖V,跖V=2MG,

:.MN=2x6也xces/OMF,D正確.

5

故選：ABD.

11.ACD

【分析】先由題設(shè)結(jié)合奇偶性和對稱性性質(zhì)、求導(dǎo)運(yùn)算依次求出g(x)是奇函數(shù)、g(0)=。、

函數(shù)/'(尤)和g(x)是周期為6的函數(shù)和g(3)=g(0)=0即可依次分析判斷ABC,由題設(shè)

/(0)=2,/(3-x)+/(x)=l依次求出/⑴+/(2)=/(4)+〃5)=1,/(3)=-1,〃6)=2即可

判斷D.

【詳解】由題得〃-x)=/(x),所以-T(-x)=/'(x)即-g(-x)=g(x),

所以g(x)是奇函數(shù)，故g(0)=0,

又由「(3-x)+〃x)=l得函數(shù)/(X)關(guān)于點(diǎn)對稱，/(-x)+/(x+3)=l,

所以〃x)+/(x+3)=l,故〃x+3)=/(3-x)=/(x-3),

所以/(x+6)=/(x),即函數(shù)/(x)是周期為6的函數(shù)，

所以g(x)也是周期為6的函數(shù)，即g(x+6)=g(x),

由/(3-x)+/(x)=l求導(dǎo)得-r(3-x)+/(尤)=0即g(x)=g(3-x),

所以g(3)=g(0)=0,

對于A,g(2025)=g(6x337+3)=g(3)=0,故A正確；

答案第5頁，共15頁

對于B,由函數(shù)小）關(guān)于點(diǎn)對稱得g1|j=O,故B錯(cuò)誤；

對于C,由上g（無）也是周期為6的函數(shù)，即g（尤+6）=g（x）,C正確；

對于D,由/■（r）+/（x+3）=l得/⑴+/（2）=1,

且/（0）+/⑶=1即〃3）=-1,且/（一1）+〃4）=1即/（4）=1一/⑴，

且/（一2）+/■⑸=1即/（5）=1-/⑵,/（6）=/（0）=2

所以/（5）+/（4）=1-/（2）+1-/⑴=2—1=1,

所以〃1）+/⑵+/⑶+〃4）+/（5）+/（6）=1-1+1+2=3,

2025337x6+3

所以￡/（"）=￡/（"）=337x3+/。）+/?-/6）=1011，故D正確.

n=ln=l

故選：ACD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是求出函數(shù)/（x）和g（x）是周期為6的函數(shù).

12.y=2ex-e

【詳解】試題分析：因?yàn)閂所以切線斜率為2e,切線方程為y-e=2e（x-1）,

y=2ex-e

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)幾何意義

13.5

【分析】先由題意依次求出H閶，戶閶/周，閨周即可由L叱[附+）?+忖工^求出小

接著由正切函數(shù)定義和兩角和的正切公式結(jié)合點(diǎn)P求出直線的方程，進(jìn)而求出直線總過

點(diǎn)片，再聯(lián)立橢圓方程求出為即可同理〃求出2得解.

【詳解】由題意可知M閶=|尸閭=[=+=0,|“周=2"M閶=30,由用=2c=4,

所以由

=邑狂孚9產(chǎn)^F2imi=2也

=r=2S,g=聞=4亞=2.9

1I/耳國/巴|+|耳聞H周+M閭+寓閭4+4行

答案第6頁，共15頁

由上得tan/月尸0=擺=*="，且尸（2,后）

2tan^FPQ

所以tan/EP8=2斗26

l-tan2Z7^Pg

1--

2

所以左P6=tan/FPB=工'所以L：歹二字（工一2）+后即x—2后y+2=0,

令＞=0得x=-2,故直線尸5經(jīng)過點(diǎn)片,

x-2"\[^y+2=0

聯(lián)立/產(chǎn)=1Oy2+Sy/~2y—4=0,

—+—=1

184

所以亞力=一22V2

一，

5

所以同理可得，2S.Bg_2x［詞陽閔='_2-72,

「陽+忸周+歸百「陽+陽i+F再r4+455

/]_2-V2_

所以r「2-A/2一

5

故答案為：5.

14.26

【分析】分“百位”撥動(dòng)3枚算珠、“百位”撥動(dòng)2枚算珠、“百位”撥動(dòng)1枚算珠三種情況羅列

出可表示的數(shù)據(jù)即可得解.

【詳解】由題“百位”撥動(dòng)3枚算珠可以表示的不同的三位整數(shù)有：300、700；

“百位”撥動(dòng)2枚算珠可以表示的不同的三位整數(shù)有：210、250、201、205,610、650、601、

605；

“百位”撥動(dòng)1枚算珠可以表示的不同的三位整數(shù)有：120、102、160、106、111、151、115、

155；

答案第7頁，共15頁

520、502、560、51k551、515、555.

則符合條件的三位整數(shù)的個(gè)數(shù)為26.

故答案為：26.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是理解題意，將問題拆分“百位”撥動(dòng)3枚算珠、“百位”

撥動(dòng)2枚算珠、“百位”撥動(dòng)1枚算珠三種簡單情況進(jìn)行分析再整合即可得解.

5

15.⑴§

(2)分布列見解析；.

【分析】(1)根據(jù)古典概型的計(jì)算公式即可求得答案.

(2)先確定X的取值，結(jié)合獨(dú)立事件概率乘積公式及組合數(shù)求得每個(gè)值對應(yīng)的概率，即可

得分布列，繼而求得數(shù)學(xué)期望.

【詳解】(1)兩次摸球，摸出的小球號碼的所有情況共C；xC；=9種,

其中，滿足“，+/>”?”的情形有:

，=1時(shí)，J=1,2,3；z=2Bt,/=1；i=3時(shí)，J=1；共5種情況,

故P(/)=g；

(2)X的可能取值為0,1,2,3,

C；C；C；_12_4C；C；C；+C；C；C；+C；C；C；204

貝I］尸(x=o)=尸(X=l)=

C；C；C；-45-15’C'C'C'453'

C；C：C；+C：C；C；+C；C：C；11j)：C；C；C；=2

尸(X=2)=45'(一)一C；C；Cl-45'

c；c；c；

故X的分布列為:

X0123

44112

P

1594545

xAlxi2xH216

故E(X)=0+++3x——=

159454515

16.(1)極大值為0,

(2)答案見詳解

【分析】(1)求出導(dǎo)數(shù)，列表分析/'(x)隨x變化情況，根據(jù)單調(diào)性和極值定義求解;

答案第8頁，共15頁

(2)化簡得g(%)=(cos%—sin-2(sinx+cosx)],令g(x)=0,得x=;或sinx+cosx=T,

分〃<—2或〃>2拒，a=242，2<a<2y/2，—2?a<2討論判斷方程sinx+cosx=]解得

個(gè)數(shù)得解.

【詳尚畢】(1)當(dāng)〃=2時(shí)，/(x)=l-2sinx-cos2x=2sin2x-2sinx,

貝Ij/'(x)=4sinxcosx-2cosx=4cosx卜inx-,

令/'(')=0,得x=g或1或去

626

因此，當(dāng)X變化時(shí)，/(X),/'(X)的變化情況如下表所示：

71兀715兀)5兀

X5

6212Tj6

/‘(X)-0+0-0+

/(X)單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增

所以當(dāng)時(shí)，/(%)有極大值，極大值為了］?

=0.

\-asin(fx]—cos2(fx[

(2)g(x)=/(%)―/\-asinx-cos2r一

=-asinx-cos2x+〃cosx-cos2x

=a(cosx-sinx)-2cos2x

=(cosx-sinx)[a-2(sinx+cos%)],

當(dāng)工￡[0,兀]時(shí)，由g(x)=0,得1=;或sinx+cosx=T,

其中sinx+cosx=V2sinI%+：兀71571

XH-----G?則sinx+cosxG[-1,閭

44T

當(dāng)。<-2或0>2應(yīng)時(shí)，方程$m》+??*=■|無解，此時(shí)函數(shù)g(x)只有一個(gè)零點(diǎn)x=:,

當(dāng)a=2夜時(shí)，方程g(x)=。只有一解為》=：，此時(shí)函數(shù)g(“只有一個(gè)零點(diǎn),

當(dāng)24a<2后時(shí)，方程sinx+cosx=|有兩個(gè)不同的解且均不等于，，此時(shí)函數(shù)g(x)有三

個(gè)零點(diǎn),

答案第9頁，共15頁

當(dāng)-2Va<2時(shí)，方程sinx+cosx=怖有一解且不等于,此時(shí)函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上，當(dāng)。<-2或行時(shí)，函數(shù)g(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)24°<2后時(shí)，函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)-2。<2時(shí)，函數(shù)g(無)有兩個(gè)零點(diǎn).

17.(1)證明見解析

⑵呼

【分析】(1)通過線線平行得到平面跖VF//平面進(jìn)而證明“N〃平面/5E.

(2)通過分析可得兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求

兩平面夾角的余弦值.

【詳解】(1)

9V---------13

//Xa/II

IN

D：-----f-----

如圖，取的中點(diǎn)尸，連接MF,NF.

VM,N分別是棱AD,EC的中點(diǎn)，.?.〃尸||NE,NF||C。.

,/AB//CD,：.NF//AB.

VMF//AE,平面A4E,/Eu平面A4E,

，血田//平面8/E,同理可得NF//平面,

；MFcNF=F,MF,NFu￥回MNF,平面AGVF〃平面A4E,

平面肱VF,〃平面/3E.

(2)

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如圖，連接CW,/C,取DC的中點(diǎn)G,連接/G,

：NB〃CD且/B=工。=1,；.AS〃CG且/B=CG,

2

...四邊形/BCG為平行四邊形，故8C||/G,

ABIBC,：.AG1CD,且GD=1,

,?*Z.ADC=60°>AD=2,故△/￡>(7為等邊三角形,

CMVAD,CM=B

,/VNOE1為等邊三角形，DE=2,EM=43,ME1AD.

在ACDE中，由余弦定理得，CE2=DC2+DE2-2DC-DE-cosZCDE=4+4-2x2x2x^=6,

4

：.CM?+ME?=CE°,即CM_LME,故〃兩兩互相垂直.

以“為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則C（0,0,9,￡（0,6,0）,0（1,0,0）,Z（T,0,0）,

一1一

由48=5，C=

￡C=(0,-AV3),E3=-|,-V3,y-

M-￡V=-V3V+V3Z=0

設(shè)平面8CE的一個(gè)法向量為萬=（x,%z）,_3A7出n

n-EB=——x-V3yH----z=0

22

令z=3,貝Uy=3,x=—石，故/=卜百,3,3).

3_V21

取平面4DE的一個(gè)法向量而=（0,0,1）,貝!]cos雙萬=告白

亞xl―7

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???平面BCE與平面ADE夾角的余弦值為也.

7

18.(l)y2-x2=l(y<-l)

(2)①證明見解析；②尸|的取值范圍為1TL,2).

【分析】(1)由雙曲線定義即可求解；

(2)①由切線方程和導(dǎo)數(shù)幾何意義依次求出“=xp和&=x〃即可得證；

②求出直線/的方程，與曲線。聯(lián)立，利用判別式結(jié)合焦半徑公式口刊=11即可求解.

【詳解】⑴設(shè)片(0,甸,乙(0,-⑹，

則西+(了一夜)2-6+3+揚(yáng)2=2即向用一匕周=2<2也=H￡|,

所以由雙曲線定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)G的軌跡是以4(0,收),5(0,-血)為焦點(diǎn)的雙曲線的下支，且

a=l,c=V2=>6=1

所以動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程為V=1(”-1).

(2)①證明：由(1)曲線尸(0,1),設(shè)尸(%,%),/卜,9

#2,X

對函數(shù)p=二求導(dǎo)得>=1,

42

所以兩切線方程為：y-^=^(x-a),y-^-=^(x-b),即依=2[了+!),酗=2]y+]

又切線過點(diǎn)P,所以。X。=2卜+?|也=2卜+g

即滿足*0=2%+彳，即滿足方程一—2X0X+4%=0,

所以知二苫^二—二餐，

設(shè)。(利,均)，貝11由方=W)=%。=44a+b

AB~(。卜2—a-b

442

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所以X°=XM=X。，即尸三點(diǎn)在直線x=x°上，即尸,。,加三點(diǎn)共線;

②由上得。卜，雷，所以直線/的方程為廣[吟）即y=￡x_f,

X。

y=—X--------

聯(lián)立24

y2-x2=l（j；<-1）

因?yàn)橹本€/與。有兩個(gè)交點(diǎn)，則由題意可知方程有兩個(gè)不等負(fù)根,

巫-1H0

4

△工一4匡一?恒一1]=芯+x；-4>0

16（4乂16）4

-0

所以<—<02,\/5-2<x；<4,

也__1

1

ZL-1

14

丫2（31/

所以|°可=才+1￡

2'.

\7

/[-X

所以|。尸|的取值范圍為號±2

（2）證明見解析

【分析】（1）①應(yīng)用等比數(shù)列及S“-ST=4”計(jì)算求解得出通項(xiàng)公式；②應(yīng)用求和公式結(jié)合

答案第13頁，共15頁

指數(shù)運(yùn)算計(jì)算求解得出最大值即可;

（2）先應(yīng)用分析法將問題轉(zhuǎn)化為片+