專題04勾股定理及其應用

1.如圖，某地修建一座高BC=5m的天橋，已知天橋斜面AB的坡度為1:6，則斜坡AB的長度為（）

D.5y/3m

2.以下有關勾股定理證明的圖形中，不是中心對稱圖形的是（）

3.如圖，點A,B都在格點上，若凱=型亙，則AC的長為（）

A.V13B.&匡C.2A/13D.3^13

3

4.如圖，在4X4的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1,E為BD與正方形網格線的交點，下列結

論正確的是（）

A.CE^ABDB.AABC^ACBDC.AC=CDD.ZABC=ZCBD

2

5.如圖，在AAOB中，AO=1,BO=AB=2.將AAOB繞點0逆時針方向旋轉90°,得到AA'OB',連接

2

6.筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的

工作原理，如圖1.筒車盛水桶的運行軌道是以軸心0為圓心的圓，如圖2.已知圓心0在水面上方，且

?0被水面截得的弦AB長為6米，。。半徑長為4米.若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在

直線的距離是（）

1

---水面

1

1

A.1米B.(4-V7)米C.2米D.(4+V7)米

7.如圖，△ABC內接于。0,AB為。。的直徑，D為。。上一點（位于AB下方），CD交AB于點E,若/BDC

=45°,60=6^2,CE=2DE,貝UCE的長為()

C.375D.473

8.如圖，在RtZkACB中，NACB=90°,AC=6,BC=8,若以AC為直徑的。。交AB于點D,則CD的長為

12B蜜C

~5-f

9.如圖，四邊形ABDC中，AC=BC,ZACB=90°,AD_LBD于點D.若BD=2,60=472-則線段AB的長

為.

10.如圖，在6x6的方格紙中，每個小方格都是邊長為1的正方形，其中A、B、C為格點，作，ABC的

外接圓，則8C的長等于.

11.如圖,將一△ABC的斜邊AB繞點A順時針旋轉a(0°<a<90°

)得到AE,直角邊AC繞點A逆時針旋轉B(0°<P<90°)得到AF,連結EF.若AB=3,AC=2,且a

+B=/B,則EF=.

B

12.如圖，方格紙中每個小正方形的邊長為1,線段AB和線段CD的端點均在小正方形的頂點上.

(1)在圖中畫出以AB為邊的正方形點E和點F均在小正方形的頂點上；

(2)在圖中畫出以CD為邊的等腰三角形COG,點G在小正方形的頂點上，且ACDG的周長為10+麗,

連接EG,請直接寫出線段EG的長.

13.如圖，點E為正方形ABCD外一點，NAEB=90°,將Rt^ABE繞A點逆時針方向旋轉90°得到AADF,

DF的延長線交BE于H點.

(1)試判定四邊形AFHE的形狀，并說明理由；

(2)己知BH=7,BC=13,求DH的長.

14.如圖，AB是。0的直徑，點D在。0上，且/A0D=90°,點C是。。外一點，分別連接CA,CB、CD,

CA交。0于點M,交OD于點N,CB的延長線交。0于點E,連接AD,ME,且/ACD=/E.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)連接DM,若。。的半徑為6,tanE=-,求DM的長.

3

15.如圖，拋物線丁=-f+法+5與％軸交于A,3兩點.

o

備用圖

(1)若過點。的直線x=2是拋物線的對稱軸.

①求拋物線的解析式；

②對稱軸上是否存在一點P,使點3關于直線。尸的對稱點8'恰好落在對稱軸上.若存在，請求出點P的

坐標；若不存在，請說明理由.

(2)當0WxW2時，函數值丁的最大值滿足3Ky<15,求b的取值范圍.

專題04勾股定理及其應用（解析版）

1.如圖，某地修建一座高BC=5m的天橋，已知天橋斜面AB的坡度為1:6，則斜坡AB的長度為（）

D.5y/3m

【答案】A

【解析】直接利用坡度的定義得出AC的長，再利用勾股定理得出A3的長.

?'z=1:，BC=5m>

BC51

AC-AC-Z/3

解得：AC=5日，

2

貝AB=S/BC"+AC-=J52+=10m?

故選：A.

【點睛】本題考查解直角三角形和勾股定理的實際應用.由坡度的定義得出AC的長是解答本題的關鍵.

2.以下有關勾股定理證明的圖形中，不是中心對稱圖形的是（）

【解析】根據中心對稱圖形的概念求解.把一個圖形繞某一點旋轉180°,如果旋轉后的圖形能夠與原來

的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.

A.不是中心對稱圖形，符合題意;

B.是中心對稱圖形，不符合題意;

C.是中心對稱圖形，不符合題意；

D.是中心對稱圖形，不符合題意.

3.如圖，點A,B都在格點上，若BC=2運，則AC的長為（）

A.V13B.里亙C.2^13D.35/13

3

【答案】B

【解析】根據勾股定理可以得到AB的長，然后由圖可知AC=AB-BC,然后代入數據計算即可.

由圖可得，

AB=J+,="36+16

3__

.\AC=AB-BC=2V13-2：/13=W13

33

4.如圖，在4X4的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1,E為BD與正方形網格線的交點，下列結

論正確的是（）

R

A.CE^ABDB.AABC^ACBDC.AC=CDD.ZABC=ZCBD

2

【答案】D

【解析】根據勾股定理可以得到BC、CD、BD的長，再根據勾股定理的逆定理可以得到△

BCD的形狀，利用相似三角形的判定與性質，可以得到EF的長，然后即可得到CE的長，從而可以得到CE

和BD的關系；根據圖形，很容易判斷aABC段ZkCBD和AC=CD不成立；再根據銳角三角函數可以得到NABC

和NCBD的關系.

由圖可得，

=

^2+22=2-\/5,CD=yj2^+1^'BD=5/32+42=5,

.\BC2+CD2=(2遙)2+(“)2=25=BD2,

/?△BCD是直角三角形，

VEF/7GD,

.".△BFE^ABGD,

???-E-F=BF,

DGBG

即史上，

34

解得EF=1.5,

.,.CE=CF-EF=4-1.5=2.5,

ACE=2^5=_1＞故選項A錯誤；

BD52

由圖可知，顯然AABC和ACBD不全等，故選項B錯誤;

VAC=2,CD=加，

.?.ACWCD,故選項C錯誤；

*/tanZABC=Ai_=A,tanZr,RF|=-^-=

AB2BC2娓2

.-.ZABC=ZCBD,故選項D正確；

5.如圖，在AAOB中，A0=l,BO=AB=2.將AAOB繞點0逆時針方向旋轉90°,得到aA，0B「連接

2

AA'.則線段AA'的長為（）

B'B

O

A.1B.V2C..1D.日志

【答案】B

【解析】由旋轉性質可判定AAOA'為等腰直角三角形，再由勾股定理可求得AA'的長.

由旋轉性質可知，OA=OA'=1,NA0A'=90°,

則AAOA'為等腰直角三角形，

?'?AA，=VOA2-K）AZ2=V^+i=V2-

6.筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的

工作原理，如圖1.筒車盛水桶的運行軌道是以軸心0為圓心的圓，如圖2.已知圓心0在水面上方，且

。。被水面截得的弦AB長為6米，。。半徑長為4米.若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在

直線的距離是（）

圖1圖2

A.1米B.（4-夜）米C.2米D.（4+夜）米

【答案】B

【解析】連接0C交AB于D,連接0A,根據垂徑定理得到AD=1AB,根據勾股定理求出0D,結合圖形計

2

算，得到答案.

解：連接0C交AB于D,連接0A,

???點C為運行軌道的最低點，

.\OC±AB,

/.AD=-1-AB=3（米），

2

在RtZ\OAD中，OD=VOA2-AD2=V42-32=A^（米），

二點C至|弦AB所在直線的距離CD=OC-0D=（4-有）米，

圖2

7.如圖，△ABC內接于。0,AB為。。的直徑，D為。0上一點（位于AB下方），CD交AB于點E,若/BDC

=45°,BC=6夜，CE=2DE,貝ICE的長為()

4后C.375D.473

【答案】D

【解析】連接C0,過點D作DGLAB于點G,連接AD,

.\ZCA0=ZCDB=45°,

：AB為。0的直徑，

ZACB=ZADB=90°,

/.ZCAB=ZCBA=45°,

；BC=6夜,

/.AB=72BC=12,

V0A=0B,

ACOXAB,

.".ZC0A=ZDGE=90°,

VZDEG=ZCEO,

AADGE^ACOE,

.DEGE_lDG

**CE-OE-2-CO?

VCE=2DE,

設GE=x,則0E=2x,DG=3,

AAG=6-3x,BG=6+3x,

VZADB=ZAGD=90°,

NDAG=NBAD,

.,.△AGD^AADB,

，DG2=AG?BG,

???9=(6-3x)(6+3x),

Vx>0,

；?x=6，

???0E=2B

在Rt^OCE中，由勾股定理得：

CE=y/oE2+OC2=712+36=4上，

故選：D.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質，勾股定理等知識，作輔助線構造出4DGE

^△COE是解題關鍵

8.如圖，在Rt^ACB中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,若以AC為直徑的。。交AB于點D,則CD的長為

D.5

【答案】C

【解析】由圓周角定理得到CDLAB,所以利用勾股定理首先求得AB的長度；然后利用等面積法來求CD的

長度即可.

,/以AC為直徑的。0交AB于點D,

/.ZADC=90°,即CD_LAB.

在Rtz^ACB中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,

則由勾股定理得到：AB=4人,2+BC2=462+82=10.

.-.-1AC?BC=-1AB-CD,BPyX6X8=yXIQ-CD-

故CD="

5

9.如圖，四邊形ABDC中，AC=BC,NACB=90°,AD_LBD于點D.若BD=2,CD=4、回，則線段AB的長

為.

【答案】前.

【解析】過點C作CE_LCD交AD于E,判斷出NACE=/BCD,進而利用SAS判斷出△ACE^A

BCD,得出AE=BD=2,CE=CD,進而利用勾股定理求出DE=8,即AD=10,最后用勾股定理即可得出結論.

解：如圖，過點C作CELCD交AD于E,

.\ZECD=90°,

VZACB=90°,

/.ZACB=ZECD,

ZACB-ZBCE=ZECD-ZBCE,

ZACE=ZBCD,VAC=BC,

BC與AD的交點記作點F,

VZACB=90°,

.".ZAFC+ZCAE=90°,

VZAFC=ZDFB,

.\ZDFB+ZCAE=90o,

VZADB=90°,

???NDFB+NCBD=90°,

???NCAE=NCBD,

AAACE^ABCD(ASA),

???AE=BD,CE=CD,

在RtaDCE中，CE=CD=4&,

?，.DE=&CD=&X蚯=8,

VBD=2,

???AE=2,

???AD=AE+DE=2+8=10,

22=22=2,

在Rt^ABD中，根據勾股定理得，AB=7AD+BD710+2^26

故答案為2726-

10.如圖，在6x6的方格紙中，每個小方格都是邊長為1的正方形，其中A、B、C為格點，作，ABC

的外接圓，則5c的長等于.

【答案］叵

2

【解析】由AB、BC、AC長可推導出4ACB為等腰直角三角形，連接0C,得出NB0C=90°,計算出0B的

長就能利用弧長公式求出BC的長了.

【詳解】:?每個小方格都是邊長為1的正方形,

，AB=26，AC=VlO，BC=再,

.,.AC2+BC2=AB2,

/.△ACB為等腰直角三角形，

ZA=ZB=45°,

二連接OC,則/COB=90°,

VOB=75

...j,90?兀?如#＞兀

的長為：......-=-—

1802

【點睛】本題考查了弧長的計算以及圓周角定理，解題關鍵是利用三角形三邊長通過勾股定理逆定理得出

△ACB為等腰直角三角形.

11.如圖，將RtAABC的斜邊AB繞點A順時針旋轉a(0°<a<90°)得至I]AE,直角邊AC繞點A逆時

針旋轉B(0°<3<90°)得至IJAF,連結EF.若AB=3,AC=2,且a+B=NB,則EF=.

【答案】V13-

【解析】由旋轉的性質可得AE=AB=3,AC=AF=2,由勾股定理可求EF的長.

由旋轉的性質可得AE=AB=3,AC=AF=2,

VZB+ZBAC=90°,且a+p=NB,

.\ZBAC+a+0=90°

；./EAF=90°

/-EF=7AE2+AF2=^

【點評】本題考查了旋轉的性質，勾股定理，靈活運用旋轉的性質是本題的關鍵.

12.如圖，方格紙中每個小正方形的邊長為1,線段AB和線段CD的端點均在小正方形的頂點上.

(1)在圖中畫出以AB為邊的正方形ABEF,點E和點F均在小正方形的頂點上；

(2)在圖中畫出以CD為邊的等腰三角形CDG,點G在小正方形的頂點上，且ACDG的周長為10+J而,

連接EG,請直接寫出線段EG的長.

【答案】(1)畫圖見解析；(2)畫圖見解析，EG=5

【解析】(1)根據正方形的判定作圖可得；

(2)根據等腰三角形與勾股定理可得答案.

【詳解】解：(1)如圖所示，正方形ABEF即為所求；

(2)如圖所示，ZXCDG即為所求，由勾股定理，得EG=+22=6.

【點睛】本題考查作圖-應用與設計、等腰三角形的性質、勾股定理、正方形的判定和性質等知識，解題

的關鍵是學會利用思想結合的思想解決問題，屬于中考常考題型.

13.如圖，點E為正方形ABCD外一點，ZAEB=90°,將Rt^ABE繞A點逆時針方向旋轉90°得到aADF,

DF的延長線交BE于H點.

(1)試判定四邊形AFHE的形狀，并說明理由；

(2)已知BH=7,BC=13,求DH的長.

DC

【答案】見解析。

【解析】⑴利用旋轉即可得到RtZ\ABE絲RtZiADF,再根據全等三角形的性質即可求證四邊形AFHE的形

狀；

(2)設AE=x，則BE=7+x,AB=13,利用勾股定理即可求出x,進而可求出DH的長.

解：(1)四邊形AFHE是正方形，理由如下：

VRtAABE繞A點逆時針方向旋轉90°得到AADF,

ARtAABE^RtAADF,

.\ZAEB=ZAFD=90°,

.\ZAFH=90°,

VRtAABE^RtAADF,

/.ZDAF=ZBAE,

又；NDAF+NFAB=90°,

.\ZBAE+ZFAB=90°,

；./FAE=90°,

在四邊形AFHE中，ZFAE=90°,ZAEB=90°,ZAFH=90°,

，四邊形AFHE是矩形，

又?；AE=AF,

矩形AFHE是正方形；

(2)設AE=x.則由(1)以及題意可知：AE=EH=FH=AF=x,BH=7,BC=AB=13,

在RtZ\AEB中，AB2=AE2+BE2,

即132=X2+(X+7)2,

解得：x=5,

.*.BE=BH+EH=5+7=12,

.\DF=BE=12,

又：DH=DF+FH,

；.DH=12+5=17.

14.如圖，AB是。0的直徑，點D在。。上，且/A0D=90°,點C是。0外一點，分別連接CA,CB、CD,

CA交。0于點M,交0D于點N,CB的延長線交。0于點E,連接AD,ME,且NACD=NE.

(1)求證：CD是。0的切線；

(2)連接DM,若00的半徑為6,tanE=-,求DM的長.

3

【答案】(1)見解析；(2)上叵

5

【解析】(1)根據圓周角定理和等量代換可得NBAC=NACD,進而得出AB〃CD,由NA0D=90°可得0D

±

CD,從而得出結論；

(2)由tanE=—,可得tan/ACD=tan/OAN=tanE=1，在直角三角形中由銳角三角函數可求出ON、DN、

33

CD,由勾股定理求出CN,由三角形的面積公式求出DF,再根據圓周角定理可求出/AMD=45°,進而根據

等腰直角三角形的邊角關系求出DM即可.

【詳解】解：(1)VZACD=ZE,ZE=ZBAC,

ZBAC=ZACD,

；.AB〃CD,

.,.Z0DC=ZA0D=90°,

即OD±CD,

；.CD是。。的切線；

(2)過點D作DFLAC于F,

E

OO的半徑為6,tanE=—=tanNACD=tanNOAN,

3

11

???ON=—OA=—X6=2,

33

ADN=0D-0N=6-2=4,

???CD=3DN=12,

在RtZXCDN中，

CN=y/DN2+CD2=44?+12?=4^/10，

由三角形的面積公式可得，

CN?DF=DN?CD,

即4^/10DF=4X12,

…口―6河

5

又：NAMD=^-NA0D=L義90。=45°,

22

.,.在RtZXDFM中，

DM=0DF=&X=今5.

15.如圖，拋物線丁=一必+法+5與％軸交于A,3兩點.

備用圖

(1)若過點C的直線x=2是拋物線的對稱軸.

①求拋物線的解析式；

②對稱軸上是否存在一點P,使點8關于直線。尸的對稱點8'恰好落在對稱軸上.若存在，請求出點P的

坐標；若不存在，請說明理由.

(2)當0WxW2時，函數值V的最大值滿足3<15,求b的取值范圍.

【答案】(1)①y=—x?+4x+5；②存在，PQ,誓~)或q,-誓(2)4</?<7.

【解析】(1)①根據拋物線的對稱軸公式即可求出解析式；

②如圖1,若點P在x軸上方，點B關于0P對稱的點B'在對稱軸上，連接03'、PB,根據軸對稱得到

OB'=OB,PB'=PB,求出點B的坐標，勾股定理得到3'(2,萬)，再根據？6'=必，