蚌埠市2025屆高三年級第二次教學質量檢查考試

局二數學

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對

應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題

區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

4.本卷命題范圍：高考范圍.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.己知集合Z={x|2x—L0},5={x|/〉3》},則（）

1

A.—,+°oB.（3,+OO）D.（一叫0）O-,+oo

2

2.已知復數z滿足z（l+2i）=7+4i,則彳在復平面內對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.小胡同學測得連續10天的最低氣溫分別為4,7,12,14,6,6,5,8,9,15（單位：。c），則這組數據的80%

分位數為（）

A.8B.8.5C.12D.13

4.已知公差不為0的等差數列{4}的前"項和為S“，若515=5（生+%+歿），則正整數左的值為

（）

A.llB.12C.13D.14

5.是“函數/（力=》+1+5r;為奇函數”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

SJTJTASJTJT

—立'77I上單調遞減，直線x=------和》=一為函數/（X）的

[1212）1212

圖象的兩條對稱軸，則/（）

A.lB.-lC.V3D.—V3

22

7.已知雙曲線c：0-3=1（。〉0力〉0）的左、右焦點分別為片,鳥，過點8且斜率為療的直線與C

的右支交于46兩點，且忸閭=3|/閭，則需?的值為（）

8.函數/（x）的定義域為R,且對任意的實數x,都有〃x）=/（x—1）—42—x）,且=則

34

5[/⑴F=（）

Z=1

A.-7B.-8C.-9D.-10

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.己知隨機變量X~N（3,4）,若P（X..5）=嘰P（1<X<3）=〃，則下列說法正確的是（）

A.尸（1<X<5）=2〃B.加+〃=:

C.E（3X_2）=9D.O（3X—1）=36

10.在棱長為2的正方體48CQ—451GA中，點￡,F,G分別為棱Z）A，GA，CG的中點，則下列說法

正確的是（）

A.FG〃平面4Ao

B.直線AE與FG所成角的余弦值為豆叵

10

4

C.點E到平面B[FG的距離為-

27

D.三棱錐用-2QG的外接球的表面積為萬兀

11.在平面直角坐標系xQy中，拋物線E:r=4x的焦點為b,/（石,%）,8（%2，%）,。（七,乃）為￡上的任

意三點（異于。點），且為+屈+正=0，則下列說法正確的是（）

A.|T^|+|FS|+|FC|=6

反存在點/,使得|E4|〉3

111c

C.若直線AB,AC,BC的斜率分別為kx,k2,k3,則廠+/+/=0

/v,|/v2/v^

D.X；+x；+x；=—

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在的展開式中，常數項為.

13.鍵線式可以簡潔直觀地描述有機物的結構，在有機化學中極其重要.有機物蔡可以用如圖所示的鍵線式

表示，其結構簡式可以抽象為如圖所示的圖形.已知六邊形與六邊形CDE74汨為全等的正六邊

形，且48=4,點M為正六邊形CDEEG〃內的一點(包含邊界)，則標.標的取值范圍是

14.柯西不等式(Cauchy-SchwarzLnequality)是法國數學家柯西與德國數學家施瓦茨分別獨立發現的，它在

數學分析中有廣泛的應用.現給出一個二維柯西不等式：(/+〃Xc2+d2[(ac+bd)2,當且僅當

。1=6。時等號成立.已知。＞0力＞0,直線歹=x—2。與曲線y=ln(x+?相切，則工+工+±+]

ab\ab

的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.(本小題滿分13分)

記V48c的內角A,B,C的對邊分別為a,"c,且2acos/+bcosC=ccos(Z+C).

(1)求角/的大小；

(2)若。=亞,8。邊上的高為2互，求V4BC的周長.

7

16.(本小題滿分15分)

如圖，在四棱錐尸-45CD中，VP4D是邊長為2的等邊三角形，CA=CP=2?,BC=4,AD〃

8C,點E是棱尸。上的一點，且滿足￡>￡=2￡P,N￡，OC.

(1)求證：平面尸40_L平面48cD；

(2)求平面Z5E與平面P8C的夾角的余弦值.

17.(本小題滿分15分)

已知函數/(x)=(ax+l)e*T(aeR).

(1)若a=—2,求/(x)的極值；

(2)若/(X),,(a+l)x對任意的xe[0,+“)恒成立，求。的取值范圍.

18.(本小題滿分17分)

某大學排球社團為了解性別因素是否對學生喜歡排球有影響，隨機調查了男、女生各200名，得到如下數

據：

排球

性別

喜歡不喜歡

男生78122

女生11288

(1)依據小概率值a=0.001的獨立性檢驗，能否認為是否喜歡排球與性別有關聯？

(2)在某次社團活動中，甲、乙、丙這三人相互做傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球

者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人.記n次傳球后球在乙手中的概率為P,,,〃=1,2,3,….

(i)求

(ii)若隨機變量X,服從兩點分布，且P(X,=1)=1-P(X,.=0)=q,J=l,2,…,〃，則

n\n

EfXj=Xz?.記前〃次(即從第1次到第〃次傳球)中球在乙手中的次數為隨機變量y,求y的數

\1=17i=l

學期望.

2

2_n(ad-be)

附，,(Q+b)(c+d)(a+c)0+d)其中n=a+b+c+d.

a0.0100.0050.001

Xa6.6357.87910.828

19.（本小題滿分17分）

橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”.記橢圓G的“特征三角

形”為橢圓G的“特征三角形”為△?，若△[sZ\2,則稱橢圓G與G相似，并將△】與的相

似比稱為橢圓G與Q的相似比.已知橢圓G：：+[=1與橢圓&：[=1（。〉6〉0）相似，且G

與。2的相似比為2.

（1）求。2的方程；

（2）已知點少是。2的右焦點，過點廠的直線/與G交于48兩點，直線/與G交于0，￡兩點，其中點

。在X軸上方.

（i）求證：|40|=忸同;

（ii）若過點歹與直線/垂直的直線交G于G,7/兩點，其中點G在X軸上方，M,N分別為DE,GH

的中點，設尸為直線G。與直線E"的交點，求VPMN面積的最小值.

蚌埠市2025屆高三年級第二次教學質量檢查考試-高三數學

參考答案、提示及評分細則

1.D因為N=｛x|2x-l…0｝==卜/〉3.=(-oo,0)u(3,+oo),所以

A<JB=(-00,0)5，+°°：故選D.

/、7+4i(7+4i)(l-2i)

2.A因為復數z滿足z(l+2i)=7+4i,所以2=。<=3_2i,所以彳=3+2iN在

''1+21(1+21)(1-21)

復平面內對應的點為(3,2),位于第一象限.故選A.

3.D將這組數據從小到大排列為：4,5,6,6,7,8,9,12,14,15,又10x80%=8,所以這組數據的80%分

位數為三14=13.故選D.

2

4.B設等差數列｛4｝的公差為d,由幾=5(%+%+%)，得

15x14I-1

15%+—-—d=5[%+4d+q+6d+q+(左一l)dj,所以(左一l)d=lld,又dwO,所以左二12.故

選B.

5.A若函數/(x)=x+l+r——為奇函數，則/(-1)=一/。)，即

2—d

(2a\、2

-1+1+-I1+1+-I,解得Q=1或〃=一1.當〃=1時，f(x)=x+l+—―-,由

2「170,解得XHO,此時函數/(x)的定義域為餌xwO｝關于原點對稱，且

22

/(-x)+/(x)=-x+l+——+X+14-——=0,故函數/(X)為奇函數,符合題意；當a=—1時,

2—12—1

2

/(x)=x+l-^-j,此時函數/(X)的定義域為R關于原點對稱，且

2?

/(-x)+/(x)=-x+l-—7-j+x+l--r-j=0,故函數〃x)為奇函數，符合題意.所以“a=—l”

是“函數/(x)=x+l+亍二為奇函數”的充分不必要條件.故選A.

sjrjr\57rjr

-不，有I上單調遞減，直線X=-----和工=一為函數

[1212)1212

jr(5兀、T27T

/(X)的圖象的兩條對稱軸，所以為—1―萬卜萬，所以7=兀，即|同=不=2,所以0=2或—2.又

/[1]=一2,所以2sin12x^|+e[=—2或2sin1—2xA+e]=—2,所以

TTTTJTTT27T

2x一+0=——+2左兀,左eZ或一2x—+0=—+2左兀,左￡Z,解得(p------+2左兀,左EZ或

1221223

0=-1+2左兀，左EZ,所以/(1)=25吊[21一]]或/(1)=2$m]一2、一^],所以

f=2sin[5兀-g]=6或/[g]=2sin]-5兀-=V3.故選C.

7.B如圖，因為直線的斜率為J7,所以tan//外丹=J7,所以cos/47^F；=寧，

cos/%片=-￥.設M/=加,則忸閶=3加,又忸周—忸八|=2/|2周—M)|=2a,所以

\BFi\=2a+3m,\AF1\=2a+m,在V8片心中，由余弦定理得

222

忸周2=忸用2+閨聞2_2忸聞.陽鳥\COS^BF2F},即(2a+3m)=(3m)+(2c)-

2-3m-2cx---,整理得_4/+12。機=3近機。?在丫幺大片中，由余弦定理得

\/

H胤2+閨巴『一2以巴卜|4周cos/Z6耳,即(2a+機)2=m2+(2c)2-2.m-2cx^,整理

2

得—4/+4。加=—，所以8。加=4A/^"7。，即。二/^。，所以6=〃，加=]。，所以

以周+=2.故選B.

忸國2a+2a3

8.C因為/(》)=/(%-1)一/(2-力，所以/(l+x)+/(l-x)=/(x),令x=0,得

/(0)=2/(1)=2;令x=l,得/(2)+〃0)=/⑴,所以/(2)=/⑴_/(0)=1-2=_1；用-x

替換X,可得〃l—x)+/(l+x)=/(-x),所以〃x)=〃—x),所以函數為偶函數.令x=2,

得/(3)+/(T)=/(2),所以/(3)=/(2)-/(-1)=/(2)-/(1)=-1-1=一2；用x+1替換x,可

得/(2+x)+/(—x)=/(x+l),所以/(2+x)+/(x)=/(x+l),所以

f(x)^f(x+l)-f(x+2),所以

/(x)=/(x+l)-/(x+2)=/(x+2)-/(x+3)-/(x+2)=-/(x+3),即/(x+3)=—〃x).所以

f(x+6)=-f(x+3)=f(x),故/(x)是以6為周期的周期函數,又

〃4)=-/⑴=-1,/(5)=-/(2)=1,〃6)=-/(3)=2,所以

34

￡[/(祝3=5[13+(-1)3+(-2)3+(-1)3+13+23]+13+(-1)3+(-2)3+(-1)3=—9.故選C.

Z=1

9.ABD因為隨機變量X~N(3,4),所以尸(1<X<5)=2尸(1<X<3)=2〃，故A正確；

尸(X>3)=尸(X..5)+尸(3<X<5)=尸(X...5)+尸(1<X<3)=M+〃=；,故B正確；隨機變量

X~N(3,4),所以E(X)=3,O(X)=4,所以

E(3X-2)=3E(X)-2=7,O(3X-1)=9O(X)=36,故C錯誤，D正確.故選ABD.

10.AC在棱長為2的正方體48c3-451GA中，點凡G分別為棱GA，CG的中點，所以尸G〃

,又EG<Z平面48。,48u平面45。，所以EG〃平面45。，故A正確；連接易

得4E〃BG,所以/8GE為直線ZE與EG所成的角或補角，又易得BG=逐,GF=0BF=3,

由余弦定理得“GF=叫焉產==-f'所以直線4E與FG所成

角的余弦值為巫，故B錯誤；在V8/G中，B[F=B[G=M,FG=6,所以

//-、2

2

SVB]TO=|xV2x（V5）-苧=|＜設點￡到平面用尸G的距離為丸,又VE-B,FG=%「EFG，所以

1311/-I-44

_X-/2=-X-XV2XV2X2,解得〃=—,即點￡到平面5/G的距離為一，故C正確；易得

323233

DD[=2,B]Di=141,DB}=273,所以V8QA為直角三角形，所以G在底面的射影為用。的

中點，設為。1，設外接球半徑為A,球心為。，由衣2=oo：+qg2=OO；+3,R—og=GO]=應,

解得氏=迪，所以外接球的表面積為4位?2=生兀，故D錯誤.故選AC.

42

H.ACD因為46,C為E上的任意三點，且為+而+正=0,所以歹為V45c的重心，尸（1,0）,

所以X]+》2+》3=3，V[+v2+v3=0,所以++=西+%2+X3+3=6,故A正確；

M=（%+%）[，2（￡+乂），所以孫,2（%+%）=2（3-再），解得再”2,所以]E4bxi+1”3,故B

錯誤；因為y；=4》1，狀=4/兩式相減，得（乂+%）（凹-乂）=4（石-/），所以

,v-y4,4,4111

12=------,同理可得左2=------，小=-------，所以1+廠+1=

占一々％+為Ji+v3y2+y3勺k2左3

2（%+72+%）

=0，故C正確；不妨設%.0,%20,為＜0,則必=26,%=2m"，%=一2直

4

2

I,所以

Xi%=X1+X2

X；+

2

=9—2卜+x2-1-

=9-2（X]+%2）+6（X]+%2）---6（再+%2）+2（再+12）——故D正確.故選ACD.

12,672由題意得7；+[(—x)'=(—1)'2沙(2"318,令5―18=0,解得廠=6,故常數項為

7；=(—1)623(2；=672.

13.[16,48]過點河作直線4g的垂線，垂足為,所以方.彳而=花.彳而—當點V與點〃重合

時，AS-ZA/min=4x4=16＞當點河與點E重合時，方?而max=4x12=48，所以懿?刀狂的取

值范圍是[16,48].

14.10由y=ln（x+6）,所以y'=----設切點為(%,%),則-----=1故%=1-6,又

x+b?X。?U

%=%-2%為=皿/+6）,所以為=皿/+與=0,%-2a=0,所以2a+b=l,所以

="+3也.生+2絲.皿=10,當且僅當349b--Y~,即a=2時等號成

5a5b5a5b'5a5b105

的最小值為10.

15.解：（1）因為2次0$/+慶0$。=。（\）$（/+。），所以2ocos4+bcosC=—ccosB,

由正弦定理得2siib4cos/+sin5cosc=-sinCcos5,

所以2siib4cos/=-sinCcosB-sinScosC=-sin（5+C）=-siivl,又siib4w0,所以cos4=—1,又

AG（0,7i）,所以4=?-.

（2）因為Q=邊上的高為其2,

7

所以V45c的面積S=—bcsinA=—bcsin—=-xV21x,解得/）c=4,

22327

由余弦定理得/=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc=（b+c）2-be，即=（Z?+c）2-4，解得

b+c=5.

所以V48c的周長a+b+c=5+J五.

16.(1)證明：取R4的中點歹，連接。尸,。尸，如圖所示，

又C4=CP,所以CELR4,

因為VP4D是邊長為2的等邊三角形，點廠是尸/的中點，所以。尸，R4,又

DFcCF=F,DF,CFu平面DCF,所以尸ZJ_平面。CE,

又。Cu平面。CE,所以尸2,DC,

又ZE_LDC,AEcPA=A,AE,PAu平面PAD,所以。C，平面PAD,

又DCu平面/BCD,所以平面尸ND，平面Z8CD.

(2)解：由(1)知。平面P40,又4Du平面尸40,所以。40,又CA=20AD=2,

所以DC=JCA2—AD?=2.

取40的中點。，連接P。，則尸0J.4D,由(1)可知，平面尸40_1_平面48cZ),

平面PADc平面ABCD=40,尸。u平面PAD,所以PO，平面45CD.

以。為坐標原點，。。,。尸所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示,

(]2O

所以尸(0,0,6),5(2,—3,0),C(2,1,0),2(0,—1,0),E0,-,^-,

I33J

設平面48￡的一個法向量為五=(x,y,z),又方=(2,—2,0),/=

(42后、n-AB=2x-2y=0,

°可，亍'所以-前42Gn

IJJ)n-AE=-y-i-------z=0,

I33

令y=G，解得x=g,z=—2,所以平面45E的法向量為五=(G,G,—2).

設平面P8C的一個法向量為玩=(a,"c),又前=(0,4,0),而=卜2,-1,6)，所以

m-BC=4b=0,

<

mCP=-2a-b+也c=0,

令a=5解得6=0,c=2,所以平面P8C的法向量為成=(G,0,2),

設平面48E與平面P8C的夾角為。，所以

??\n-m\1VTO

cos6)=cos<?,?>=匕=1-i==——,即平面ABE與平面PBC的夾角的余弦值

11|?|-|m|V3+3+4xV3+470

為回

70

17.1?：(1)若a=—2,則/(x)=(—2x+l)e'—l,所以/'(x)=(—2x+l)e、-2二=(―2x—l)e*,

令r(x)=o,解得》=—令r(x)〉o,解得x<—g,令r(x)<o,解得x>—g,所以在

上單調遞增，在上單調遞減，

所以/(弓的極大值為g]=2屋5—1,無極小值.

(2)/(X),,(a+l)x對任意的xe[0,+oo)恒成立，即(a+1)》一(如+1)二+L0對任意的xe[0,+功

恒成立，令g(x)=(a+l)x-(ax+l)ex+1,x...0,所以g'(x)=(a+1)-(ax+a+1)ex,

令=g'(x),所以〃'(x)=-(ax+2a+l)e*,x.0

,當a”一^時，2a+l”0,又x...0,所以(ax+2a+l),,0,

所以/(x)=-(ar+2a+1)eA...0在[0,+<x>)上恒成立，

所以即g'(x)在區間[0,+功上單調遞增，

所以g'(x)…g'(0)=0,所以g(x)在區間[0,+句上單調遞增，

所以g(x)…g(0)=0,符合題意；

當一1<a<0時，令i/(x)<0,解得0,,x<-2。+1,

2a

則“(X)即g'(x)在區間1°，一與B上單調遞減；

所以當時，g,(x)<g,(o)=o,所以g(x)在區間上單調遞減，

所以當xe[O,——1J時，g(x)<g(O)=。，不符合題意；

當a..O時，又"0,所以0,所以M(X)即g'(x)在區間(0,+。)上單調遞減，

所以g'(x)，，g'(0)=0,所以g(x)在區間(0,+巧上單調遞減，所以g(x)“g(0)=0,不符合題意.

綜上，a的取值范圍為.

18.解：(1)零假設為〃°：是否喜歡排球與性別無關聯.

根據表中的數據，經計算得到

_________400x(78x88—122x112)24624

Z*2-----?11.589>10,828

(78+122)x(112+88)x(78+112)x(122+88)399

=X0.0015

所以依據小概率值a=0.001的獨立性檢驗，我們推斷〃。不成立，可以認為是否喜歡排球與性別有關聯.

(2)(i)由題意知p]=；,0角=g(l—0)+O.p,=—gp“+g,

i13311

設。“+1+2=一不(2“+2)，所以夕"+1=一5)"一54,所以一54=不，解得彳=

所以P

又白_工=工，故數列1p〃是以[為首項，—g為公比的等比數列，所以P"—；=g]

36I

所以―,即第力次傳球后球在乙手中的概率為』+工

36

(ii)因為p,.+,i=l,2,---,n>

所以當〃eN*時，y的數學期望

1-1

+…+夕“=|+-|xii

E(y)=0+?2__|--x

I36

372+1：x(一,即y的數學期望為即土1—1x(—工

9912；9912

22

19.(1)解：由題意知橢圓G：右+、=1的長軸長為4行，短軸長為4,橢圓

=l(a〉6〉0)的長軸長為2a,短軸長為26,又G與G的相似比為2,所以

b2

生旦=汽=2,解得。=0,b=l,

2a2b

丫2

所以。2的方程為］+/=1.

(2)(i)證明：由(1)知尸(1,0),顯然直線/的斜率不為0,設直線/的方程為》=叼+1,

[x2y21

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TTS#(222m

由＜m+2)j+2mv-7=0,設/(再,%),8(%,為)，所以