難點(diǎn)08與圓有關(guān)的位置關(guān)系常考題型

（8大熱考題型）

題型一：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

題型二：確定圓的條件

題型三：三角形的外接圓問題

題型四：直線與圓的位置關(guān)系

題型五：切線的證明

題型六：切線的性質(zhì)

題型七：三角形內(nèi)切圓問題

題型八：切線長(zhǎng)定理

丈R精淮提分

題型一：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，中，弦NB的長(zhǎng)為46，點(diǎn)C在OO上，OCLAB,

/48C=30。.O。所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P,若O尸=5,則點(diǎn)P與。。的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)尸在。。上B.點(diǎn)P在。O內(nèi)C.點(diǎn)P在。O外D.無法確定

【變式1-1］（2022?吉林?中考真題）如圖，在V/BC中，ZACB=90°,AB=5,BC=4.以點(diǎn)A為圓心，『

為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)C在。/內(nèi)且點(diǎn)8在外時(shí)，廠的值可能是（）

A.2B.3C.4D.5

【變式1-2］（2021?上海?中考真題）如圖，已知長(zhǎng)方形48CD中，N3=4,4D=3,圓2的半徑為1,圓/

與圓2內(nèi)切，則點(diǎn)C,。與圓/的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)C在圓N外，點(diǎn)。在圓/內(nèi)B.點(diǎn)。在圓/外，點(diǎn)。在圓N外

C.點(diǎn)C在圓/上，點(diǎn)。在圓/內(nèi)D.點(diǎn)。在圓/內(nèi)，點(diǎn)。在圓/外

【變式1-3］（2021?青海?中考真題）點(diǎn)尸是非圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)P到。O上的點(diǎn)的最小距離是4c%,最大距離

是9CTM,則OO的半徑是.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2023九年級(jí)上?江蘇?專題練習(xí)）已知的半徑是4,OP=3,則點(diǎn)尸與O。的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)P在圓上B.點(diǎn)尸在圓內(nèi)C.點(diǎn)P在圓外D.不能確定

2.（2024?云南怒江?一模）平面內(nèi)，。。的半徑為10cm,若點(diǎn)P在。。內(nèi)，則0P的長(zhǎng)可以是（）

A.8cmB.10cmC.12cmD.14cm

3.（2024?江蘇宿遷?模擬預(yù)測(cè)）已知。。的半徑為1,點(diǎn)A到圓心。的距離為。，若關(guān)于尤的方程X?-2無+0=0

不存在實(shí)數(shù)根，則點(diǎn)A與。O的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)A在。。外B.點(diǎn)A在。。上

C.點(diǎn)A在OO內(nèi)D.無法確定

4.（2024?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）小明手中有幾組大小不等的三角板,分別是含45度，30度的直角三角板.從

中選擇兩個(gè)各拼成如圖所示的圖形，則關(guān)于兩圖中四個(gè)頂點(diǎn)A,/3,C,。的說法，正確的是（）

限令

甲乙

A.甲圖四點(diǎn)共圓，乙圖四點(diǎn)共圓B.甲圖四點(diǎn)共圓，乙圖四點(diǎn)不共圓

C.甲圖四點(diǎn)不共圓，乙圖四點(diǎn)共圓D.甲圖四點(diǎn)不共圓，乙圖四點(diǎn)不共圓

5.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）如圖，X,Y,Z是某社區(qū)的三棟樓，XY=40m,比=30m,XZ=50m.若在XZ

中點(diǎn)M處建一個(gè)5G網(wǎng)絡(luò)基站，該基站的覆蓋半徑為26m,則這三棟樓中在該基站覆蓋范圍內(nèi)的是（）

C.Y,ZD.Y

6.（2024?河北邯鄲?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為/）中選取9個(gè)格點(diǎn)（格線的交點(diǎn)

稱為格點(diǎn)），如果以A為圓心，，?為半徑畫圓，選取的格點(diǎn)中除點(diǎn)A外恰好有3個(gè)在圓內(nèi)，則，的取值范圍為

（）

r~~r-———t——-r——?——l———r——r

IIIIIIIIII

IIIIIIIIII

「-一6--1---）--7]-----?---1一”-1

A\

--?

A.V17<r<3V2B.2V2<r<V17

C.Vn<r<5D.5<r<V29

7.（2024?浙江紹興?二模）如圖，方格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)。，A,B,C在格

點(diǎn)（兩條網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)）上，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.

（1）過A,B,C三點(diǎn)的圓的圓心W坐標(biāo)為；

（2）請(qǐng)通過計(jì)算判斷點(diǎn)￡＞（-3,-2）與?M的位置關(guān)系.

題型二：確定圓的條件

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2023?江西?中考真題）如圖，點(diǎn)A,B,C,。均在直線/上，點(diǎn)P在直線/外，則經(jīng)過其中任

意三個(gè)點(diǎn)，最多可畫出圓的個(gè)數(shù)為（）

尸.

ABCD

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

【變式2-1]（2023?江蘇徐州?中考真題）兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時(shí)了解到;

玉璧，玉環(huán)為我國(guó)的傳統(tǒng)玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據(jù)《爾雅?釋器》記載：“肉倍好，謂之璧;

肉好若一，調(diào)之環(huán).”如圖1,“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關(guān)系見圖示，以考古發(fā)現(xiàn)看，這兩

種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關(guān)系.

圖1圖2圖3

⑴若圖1中兩個(gè)大圓的直徑相等，則璧與環(huán)的“肉”的面積之比為」

（2）利用圓規(guī)與無刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）.

①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關(guān)系是否符合“肉好若

一”？

②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關(guān)系符合“肉倍好”，請(qǐng)畫出內(nèi)孔.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2023?山東青島?二模）已知：如圖，點(diǎn)尸是//5C的邊8C上的一點(diǎn).

求作：。。，使點(diǎn)。在NABC的角平分線上，且。。經(jīng)過2、尸兩點(diǎn).

2.（2024?江西上饒?一模）平面上有4個(gè)點(diǎn)，它們不在同一直線上，過其中3個(gè)點(diǎn)作圓，可以作出不重復(fù)的

圓”個(gè)，則”的值不可能為（）

A.4B.3C.2D.1

圖1

3.（2023?貴州貴陽(yáng)?二模）下列四個(gè)命題，正確的是（）

①經(jīng)過三點(diǎn)一定可以畫一個(gè)圓；

②三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)；

③三角形的外心一定在三角形的外部；

④三角形的外心到這個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等.

A.①②B.①④C.②④D.③④

4.（2024?吉林長(zhǎng)春?三模）將邊長(zhǎng)為2的小正方形/BCD和邊長(zhǎng)為4的大正方形EFGH如圖擺放，使得。、

￡兩點(diǎn)剛好重合，且3、。、〃三點(diǎn)共線，此時(shí)經(jīng)過4F、G三點(diǎn)作一個(gè)圓，則該圓的半徑為.

5.（2024?上海奉賢?二模）上海之魚是奉賢區(qū)的核心景觀湖，湖面成魚型.如圖，魚身外圍有一條圓弧形水

道，在圓弧形水道外側(cè)有一條圓弧形道路，它們的圓心相同.某學(xué)習(xí)小組想要借助所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)探索上

海之魚的大小.

（1）利用圓規(guī)和直尺，在圖上作出圓弧形水道的圓心。.（保留作圖痕跡）

（2）如圖，學(xué)習(xí)小組來到了圓弧形道路內(nèi)側(cè)A處，將所攜帶的200米繩子拉直至圓弧道路內(nèi)側(cè)另一點(diǎn)B處,

并測(cè)得繩子中點(diǎn)。與圓弧形道路內(nèi)側(cè)中點(diǎn)D的距離為10米，圓弧形水道外側(cè)到道路內(nèi)側(cè)的距離DE為22

米（點(diǎn)。、C、E在同一直線上），請(qǐng)計(jì)算圓弧形水道外側(cè)的半徑.

6.（2024?吉林長(zhǎng)春?三模）圖①、圖②、圖③中每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，圖中點(diǎn)N、B、C、D、E、F、

G分別是圓上的格點(diǎn)，僅用無刻度直尺，分別確定圖①、圖②、圖③中的圓心O（保留適當(dāng)?shù)淖鲌D痕跡）

圖①圖②圖③

題型三：三角形的外接圓問題

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2020?河北?中考真題）有一題目：“已知；點(diǎn)。為2L4BC的外心,ZBOC=130°,求”嘉嘉的

解答為：畫41BC以及它的外接圓O,連接。3,OC,如圖.由N80C=244=130。，得//=65。.而淇淇

說：“嘉嘉考慮的不周全，還應(yīng)有另一個(gè)不同的值."，下列判斷正確的是（）

A.淇淇說的對(duì)，且//的另一個(gè)值是115。

B.淇淇說的不對(duì)，//就得65。

C.嘉嘉求的結(jié)果不對(duì)，N4應(yīng)得50。

D.兩人都不對(duì)，//應(yīng)有3個(gè)不同值

【變式3-1］（2022?江蘇常州?中考真題）如圖，V/8C是。。的內(nèi)接三角形.若ZABC=45°,AC=6,

則OO的半徑是.

【變式3-2］（2023-內(nèi)蒙古?中考真題）如圖，是銳角三角形N3C的外接圓，OD上AB,OE工BC,OF人4C,

【變式3-3］（2023?湖南湘西?中考真題）如圖，。。是等邊三角形的外接圓，其半徑為4.過點(diǎn)8作

3￡，/。于點(diǎn)￡,點(diǎn)尸為線段BE上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與瓦E重合），則的最小值為.

2----------------

A

【變式3-4］（2022?廣西玉林?中考真題）如圖，在5x7網(wǎng)格中，各小正方形邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)O,A,B,C,

D,￡均在格點(diǎn)上，點(diǎn)。是V/2C的外心，在不添加其他字母的情況下，則除V4BC外把你認(rèn)為外心也是O

的三角形都寫出來.

【變式3-5］（2023?山東日照?中考真題）在探究“四點(diǎn)共圓的條件”的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小霞小組通過探究得出:

在平面內(nèi)，一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.請(qǐng)應(yīng)用此結(jié)論.解決以下問題:

如圖1,V/BC中，AB=AC,ABAC=a（60。<a<180。）.點(diǎn)。是5c邊上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。不與8,C重

合），將線段AD繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a到線段/E,連接BE.

（2）如圖2,當(dāng)4D=CD時(shí)，OO是四邊形NE2。的外接圓，求證：/C是OO的切線；

（3）已知a=120。，BC=6,點(diǎn)M是邊8c的中點(diǎn)，此時(shí)。尸是四邊形的外接圓，直接寫出圓心P與點(diǎn)

"距離的最小值.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2023?河北秦皇島?一模）在V4BC中，48=45°,AB=6.甲、乙、丙分別給出了一個(gè)條件，想使8c

的長(zhǎng)唯一，其中正確的是（）

甲：AC=4；

乙：AC=8；

丙：V48c的外接圓半徑為4

A.只有甲B.只有乙C.只有丙D.乙和丙

2.（2024?寧夏固原?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在已知的V/8C中，按以下步驟作圖：①分別以及C為圓心，以大于

長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)”,N；②作直線上W交43于點(diǎn)。，連接CD.若CD=4。，Z5=25°,

則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.44cz）=65°B.ZACB=90°

C./C4D=5。。D.點(diǎn)D是V/BC的外心

3.（2024?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在V4BC中，已知BC=4也，cos/=g,。是3c的中點(diǎn)，點(diǎn)。是VNBC

的外接圓圓心，則（）

41C.1D-T

如圖，正方形紙片/BCD的中心。剛好是△45”的外心，則乙（

A.135°B.125°C.115°D.105°

5.（2024?山東淄博?二模）如圖，在V/3C中，ABAC=60°,4D1BC于點(diǎn)。，且N0=4,則V48c面積的

最小值為

6.（2023?廣東湛江?模擬預(yù)測(cè)）如圖,已知V48c.

（1）用直尺和圓規(guī)作V/2C的外接圓O。；（不寫作法，保留作圖痕跡）

Q）若AB=亞,ZACB=45°,求的半徑.

7.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）（1）如圖1,已知點(diǎn)A為線段BC外一點(diǎn)，連接48,AC,且/A4c=45。，

BC=6,求V4BC面積的最大值；

（2）如圖2,某城市有一個(gè)廢舊機(jī)車工廠，現(xiàn)在想利用這個(gè)廢舊機(jī)車工廠改造為機(jī)車主題公園，其中月產(chǎn)為

原有機(jī)車的鐵軌，長(zhǎng)500m,計(jì)劃保留放置各種年代的機(jī)車頭作為網(wǎng)紅留念打卡地標(biāo).NP兩側(cè)為面積相等

的現(xiàn)代與未來兩個(gè)主題活動(dòng)區(qū)，要求/胡C=120。，點(diǎn)尸為BC的中點(diǎn)，按照設(shè)計(jì)要求，求出符合條件的

VN8C的最大面積.

題型四：直線與圓的位置關(guān)系

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2022?四川涼山?中考真題）如圖，已知半徑為5的?！ā鼋?jīng)過x軸上一點(diǎn)C,與y軸交于/、B兩

點(diǎn)，連接/M、AC,ZC平分NO/M,AO+CO=6

（1）判斷0M與X軸的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）求的長(zhǎng)；

（3）連接2"并延長(zhǎng)交圓M于點(diǎn)D,連接CD,求直線CD的解析式.

【變式5-1］（2022?貴州六盤水?中考真題）如圖是“光盤行動(dòng)”的宣傳海報(bào)，圖中餐盤與筷子可看成直線和圓

的位置關(guān)系是（）

A.相切B.相交C.相離D.平行

【變式5-2］（2023?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）已知一次函數(shù)＞=履+2的圖像經(jīng)過第一、二、四象限，以坐標(biāo)原

點(diǎn)。為圓心、：?為半徑作O。.若對(duì)于符合條件的任意實(shí)數(shù)左，一次函數(shù)＞=履+2的圖像與。。總有兩個(gè)公

共點(diǎn)，則r的最小值為.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?江蘇南京?二模）如圖，一輛汽車的輪胎因?yàn)槁獍T掉了，將輪胎外輪廓看作一個(gè)圓，則這個(gè)圓和

與它在同一平面內(nèi)的地面（看作一條直線）的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相切C.相離D.包含

2.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）VN2C的三邊4B,AC,8C的長(zhǎng)度分別是3,4,5,以頂點(diǎn)/為圓心，2.4為

半徑作圓，則該圓與直線的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相離C.相切D.以上都不是

3.（2023?湖北孝感一模）已知O。的半徑是一元二次方程x2-3x-4=0的一個(gè)根，圓心。到直線/的距離

d=6,則直線/與。O的位置關(guān)系是（）

A.相切B.相離C.相交D.相切或相交

4.（2024?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)尸是函數(shù)y=g（x>0）的圖象上的一點(diǎn)，OP的半徑為血，當(dāng)。尸與

直線〉=x有公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)x的取值范圍是（）

A.1<%<^2B.V2-l<x<V2

C.V2-l<x<lD.V2-l<x<V2+l

5.（2024?上海嘉定?三模）設(shè)以3,4,5為邊長(zhǎng)構(gòu)成的三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多

為個(gè).

6.（2024?上海黃浦?三模）如圖，半徑為5的。。經(jīng)過V4BC的頂點(diǎn)4B,與邊BC相交于點(diǎn)。，BD=8,

AB=AD.

⑴求的長(zhǎng)；

4

⑵如果tanC=；,判斷直線45與以點(diǎn)。為圓心、9為半徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.

題型五：切線的證明

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）如圖，將VN8C沿過點(diǎn)A的直線翻折并展開，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。落在

邊48上，折痕為40,點(diǎn)。在邊48上，OO經(jīng)過點(diǎn)A、D.若N/C8=90。，判斷8c與。。的位置關(guān)系,

并說明理由.

【變式5-1](2024?山東濟(jì)寧?中考真題)如圖，V4BC內(nèi)接于。。，。是2C上一點(diǎn)，AD=AC.￡是O。外

一點(diǎn)，ZBAE=ZCAD,ZADE=ZACB,連接BE.

(1)若48=8,求/￡的長(zhǎng)；

(2)求證：E3是。。的切線.

【變式5-2](2024?山東濟(jì)南?中考真題)如圖，48,CD為。O的直徑，點(diǎn)E在麗上，連接點(diǎn)G在

BD的延長(zhǎng)線上，AB=AG,ZEAD+ZEDB=45°.

⑴求證：/G與。。相切；

(2)若BG=4V5,sinZDAE=；,求DE的長(zhǎng).

【變式5-3](2024?西藏?中考真題)如圖，NB是。。的直徑，C,。是OO上兩點(diǎn)，連接/C,BC,C。平

分/ACD,CELDB,交。8延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

c

,E

⑴求證：CE是OO的切線;

3

（2）若OO的半徑為5,sinD=|,求5。的長(zhǎng).

【變式5-4］（2024?山東東營(yíng)?中考真題）如圖，V/BC內(nèi)接于O。，48是的直徑，點(diǎn)E在。。上，點(diǎn)C

是族的中點(diǎn)，AELCD,垂足為點(diǎn)。，OC的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.

D

⑴求證：CD是O。的切線;

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2025?廣西柳州?一模）如圖，是。。的直徑，四邊形NBCD內(nèi)接于O。，連接8。，AD^CD）過點(diǎn)

。作DE，2c交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡.

(1)求證：OE是。O的切線；

⑵若8。=8,。。的半徑為5,求的長(zhǎng).

2.(2024?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè))如圖，在半徑為10cm的。。中，48是OO的直徑，C。是過。。上一點(diǎn)C的

直線，且于點(diǎn)。，/C平分/氏4D,點(diǎn)￡是BC的中點(diǎn)，OE=6cm.

⑴求證：C。是。。的切線；

⑵求的長(zhǎng).

3.(23-24九年級(jí)上?陜西西安?期末)如圖，NB是。。的直徑，4D是。。的弦，C是延長(zhǎng)線上一點(diǎn),

過點(diǎn)8作BELCD交。于￡,交。。于RZEBC=2ZDAC.

⑴求證：C。是。。的切線；

3

(2)若cos/ARF=5,O。的半徑為5,求BC的長(zhǎng).

4.(2023?北京東城?模擬預(yù)測(cè))已知：如圖，在A4BC中，。是4B邊上一點(diǎn)，圓。過。、B、C三點(diǎn),

NDOC=2/ACD.

(1)求證：直線/C是圓。的切線；

(2)若OD_LOC,ZACB=75°,圓O的半徑為4,求8c的長(zhǎng).

5.(2023?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))如圖，是。。的直徑，半徑為2,交8c于點(diǎn)。，且。是8c的中點(diǎn),

DEJ.AC于點(diǎn)E,連接40.

(1)求證：是。。的切線.

(2)若/C=30。，求8C的長(zhǎng).

6.(2023?四川樂山?模擬預(yù)測(cè))如圖，在矩形/BCD中，點(diǎn)。在對(duì)角線NC上，且N4CB=NDCE.

(1)判斷直線CE與OO的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)若tanN/C8=在，BC=2,求。。的半徑.

2

7.(2024?云南昆明?模擬預(yù)測(cè))如圖，為。。的直徑，點(diǎn)￡,歹是。。上異于，，3的兩點(diǎn)，延長(zhǎng)//，BE

相交于點(diǎn)。，在AD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)C,連接3C,已知/8DC=/ZFE,ZCBD=-ZCAB,

2

⑴求證：8C是。。的切線；

(2)若。。的半徑為2,CD=6,求”的長(zhǎng).

8.(2023?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))如圖，在矩形48CD中，48=4,BC=6.E為射線C8上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為

直徑的。。交于點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸作尸GL/E于點(diǎn)G.

(1)若E為8C的中點(diǎn)，求證：尸G為。。的切線.

⑵若CE=m,請(qǐng)直接寫出。。與線段45的交點(diǎn)個(gè)數(shù)及相應(yīng)的加的取值范圍.

9.(2024?四川眉山?二模)如圖，。尸與O。相交于A,8兩點(diǎn)，。尸經(jīng)過圓心0,點(diǎn)C是。尸的優(yōu)弧標(biāo)上

任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合).連結(jié)48,AC,BC,OC；

⑴證明：ZACO=NBCO；

(2)請(qǐng)說明當(dāng)點(diǎn)C在。尸什么位置時(shí)，直線C4與。O相切；

(3)請(qǐng)說明當(dāng)//C8的度數(shù)為何值時(shí)，。尸與。。的半徑相等.

題型六：切線的性質(zhì)

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】(2024?廣東深圳?中考真題)如圖，在中，AB=BD,OO為的外接圓，3E為。O的

切線，NC為O。的直徑，連接。C并延長(zhǎng)交8E于點(diǎn)￡.

D

(1)求證：DEVBE

(2)若48=5&,BE=5,求。。的半徑.

【變式6-1］（2024?山西?中考真題）如圖，已知V4BC,以為直徑的O。交BC于點(diǎn)。，與NC相切于點(diǎn)

A,連接OD.若4OD=80。，則NC的度數(shù)為（）

8

A.30°B.40°C.45°D.50°

【變式6-2］（2024?福建?中考真題）如圖，已知點(diǎn)43在。。上，ZAOB=72°,直線aW與。。相切，切點(diǎn)

為C,且C為標(biāo)的中點(diǎn)，則//CM等于（）

A.18°B.30°C.36°D.72°

【變式6-3］（2024?江蘇徐州?中考真題）如圖，48是。。的直徑，點(diǎn)C在的延長(zhǎng)線上，CD與。。相切

于點(diǎn)。，若NC=20。，則/C4Z）=°.

【變式6-4］（2024?浙江?中考真題）如圖，48是O。的直徑，/C與。。相切，/為切點(diǎn)，連接8c.已知

ZACB=50°,則ZB的度數(shù)為

【變式6-5］（2024?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）如圖，V/3C中，N/C8=90。，點(diǎn)。為NC邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)。為

圓心，OC為半徑作圓與相切于點(diǎn)。，連接CD.

（1）求證：ZABC=2ZACD；

（2）若/C=8,BC=6,求O。的半徑.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O/的圓心在x軸上，點(diǎn)8（4,3）在。4上，若ON

與7軸相切，則。4的半徑為.

2.（2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）如圖，/C是。。的直徑，BC與。。相切于點(diǎn)C,4B交。。于點(diǎn)。，連接8,

若NCO0=84。，則/4BC的度數(shù)為（）

A.46°B.48°C.50°D.52°

3.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）如圖，AD,CD為OO的兩條弦，過點(diǎn)C的切線交。4延長(zhǎng)線于點(diǎn)5,若ND=27。,

則N8的度數(shù)為（）

B

A.32°B.36°C.39°D.42°

4.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）如圖1是我國(guó)明末《崇禎歷書》之《割圓勾股八線表》中所繪的割圓八線圖.如

圖2,根據(jù)割圓八線圖，在扇形N08中，NAOB=90°,NC和BE都是OO的切線，點(diǎn)/和點(diǎn)2是切點(diǎn)，BE

交。。于點(diǎn)￡,OC交。。于點(diǎn)D若=則。。的半徑長(zhǎng)為（）

56.（2023?四川樂山?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方形紙片/8C。的邊長(zhǎng)為8,的半徑為2,圓心在正方形

的中心上，將紙片按圖示方式折疊，使EH恰好與。。相切于點(diǎn)H（△EE4'與G。除切點(diǎn)外無重疊部分），

延長(zhǎng)回，交邊于點(diǎn)G,則A'G的長(zhǎng)是

6.（2024?湖南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，為O。的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，連接/C,BC,過點(diǎn)8作O。的切線

BD,連接4D交于點(diǎn)E,交OO于點(diǎn)尸，連接且4D平分/A4c.

(1)求證：NDEB=ND；

(2)若DE=2,BD=y/5,求O。的半徑.

7.(2024?陜西?模擬預(yù)測(cè))如圖，在V/BC中，。為邊BC上一點(diǎn)，。。過點(diǎn)C,且與相切于點(diǎn)。，連

接CD,OD,AD=AC.

(1)求證：V/2C為直角三角形.

(2)延長(zhǎng)與。O交于點(diǎn)E,連接CE,若AD=DE=6,求CE的長(zhǎng).

8.(2024?安徽六安?模擬預(yù)測(cè))已知四邊形48co是的內(nèi)接四邊形，NC是O。的直徑，/DCE是四邊形

/3CD的一個(gè)外角，DC平分//CE.

圖1圖2

⑴如圖1,/BAD=56。,求/3/C的度數(shù)；

(2)如圖2,過點(diǎn)。作OO的切線。尸交8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，48=8,BC=6,求。尸的長(zhǎng).

題型七：三角形內(nèi)切圓問題

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2023?四川攀枝花?中考真題）已知VN8C的周長(zhǎng)為/,其內(nèi)切圓的面積為加??，則VN8C的面積

為（）

A.—rlB.—7trlC.rlD.nrl

22

71.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有勾八步，股一十五步.問勾中容圓，徑幾何？”

譯文：現(xiàn)在有一個(gè)直角三角形，短直角邊的長(zhǎng)為8步，長(zhǎng)直角邊的長(zhǎng)為15步.問這個(gè)直角三角形內(nèi)切圓的

直徑是多少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據(jù)短直角邊的長(zhǎng)和長(zhǎng)直角邊的長(zhǎng)，求得斜邊的長(zhǎng).用直

角三角形三條邊的長(zhǎng)相加作為除數(shù)，用兩條直角邊相乘的積再乘2作為被除數(shù)，計(jì)算所得的商就是這個(gè)直

角三角形內(nèi)切圓的直徑.根據(jù)以上方法，求得該直徑等于步.（注：“步”為長(zhǎng)度單位）

X

股15〉■、弦

勾8

【典例2】（2023?山東聊城?中考真題）如圖，點(diǎn)。是V/BC外接圓的圓心，點(diǎn)/是V48c的內(nèi)心，連接08,

IA.若/。/=35。，則N03C的度數(shù)為（）

【變式7-1］（2023?廣東廣州?中考真題）如圖，V/2C的內(nèi)切圓。/與8C,CA,分別相切于點(diǎn)。，E,

F,若。/的半徑為％N4=a,貝1］（2尸+?！?5（7）的值和40￡的大小分別為（）

(1a

C.2r,90°——D.0,90°——

22

【變式7?2】（2023?山東?中考真題）在V4BC中，BC=3,AC=4f下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.1<AB<7B.S“BC&6

C.V/BC內(nèi)切圓的半徑r<lD.當(dāng)48=g■時(shí)，V4BC是直角三角形

【變式7-3].（2024?湖南永州?中考真題）如圖，在RtZX/BC中，ZC=90°,以8為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫

弧，分別交48,BC于點(diǎn)M,N,再分別以“，N為圓心，大于的定長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,

作射線8P交/C于點(diǎn)。，作DE上AB,垂足為E,則下列結(jié)論不亞確的是（）

【變式7-4].（2024?湖北?中考真題）如圖，在V4BC中，乙4c5=70。，△/BC的內(nèi)切圓O。與/BBC分

別相切于點(diǎn)。，E,連接。E,的延長(zhǎng)線交。E于點(diǎn)尸，則44陽(yáng)=.

【中考模擬即學(xué)即練】

14

1.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在一張RtZX/BC紙片中，44c5=90。，AC=8,tanZABC=~,GO

是它的內(nèi)切圓.小明用剪刀沿著。。的切線DE剪下一塊三角形NOE,則V/OE的周長(zhǎng)為（）

2.（2024?四川瀘州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，V4BC中,2c=90。，點(diǎn)。為V4BC的外心,BC=6,AC=8,QP

是A4BC的內(nèi)切圓.則。尸的長(zhǎng)為（）

12

A.2B.3C.45D.

5

3.（2023?河北邢臺(tái)?二模）如圖，將A/BC折疊,使/C邊落在4B邊上，展開后得到折痕ZD,再將A48c折

疊，使邊落在力B邊上，展開后得到折痕5E,若力。與BE的交點(diǎn)為。，則點(diǎn)。是（

A.A/BC的外心B.A48C的內(nèi)心

C.A48C的重心D.A48C的中心

4.（2024?寧夏銀川?二模）如圖，把VN8C剪成三部分，邊48,BC,/C放在同一直線/上，點(diǎn)。都落

在直線上，直線MN〃I.在V/BC中，若Z8OC=130。，則/8/C的度數(shù)為（）

A.50°B.65°C.75°D.80°

5.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知在Rt^/8C中，92=90°,AB=6,ZC=10,點(diǎn)尸是Rt4/BC

的內(nèi)心.點(diǎn)P到邊AB的距離為；

6.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?一模）如圖，等腰三角形N8C內(nèi)接于O。，48=NC,點(diǎn)/是V/BC的內(nèi)心，連接8/并

延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)。，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，滿足/E4D=/C4O.試證明:

（1）。/所在的直線經(jīng)過點(diǎn)/；

⑵點(diǎn)。是花的中點(diǎn).

7.（2023?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）如圖，。是V48c的外心，/是V4BC的內(nèi)心，連接血并延長(zhǎng)交8C和O。

于。，E.

E

⑴求證：EB=Eh

(2)若48=8,AC=6,BE=4,求H的長(zhǎng).

題型八：切線長(zhǎng)定理

【中考母題學(xué)方法】

【典例1