2025年中考數學二輪復習專題：圓與三角函數綜合訓練

1.如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊的中點，腰AC與半圓O相切于點。，底邊

與半圓。交于E,尸兩點.

(1)求證：AB與半圓O相切;

(2)連接。4.若05=4,CF=2,求sin/OAC的

值.

2.如圖，在菱形ABCD中，DH_LAB于〃，以D"為直徑的分別交AD,BD于點、E,F,

連接EP.

(1)求證：①C。是。。的切線；

②ADEFsADBA；

(2)若AB=5,DB=6,求sin/OEE.

3.如圖，AB是O。的直徑，點、E,C在。。上，點C是前的中點，A￡垂直于過C點的直

線DC,垂足為。，的延長線交直線。C于點尺

(1)求證：0c是。。的切線；

(2)若AE=2,sinZAFD=A,

3

①求OO的半徑；

②求線段￡>￡的長.

4.如圖，ZVIBC內接于。。，尸是OO的直徑AB延長線上一點，ZPCB=ZOAC,過點O

作BC的平行線交PC的延長線于點D.

(1)試判斷PC與的位置關系，并說明理由；/一'''、

(2)若PC=4,tanA=A,求△OCD的面積.-----TV~~^A

5.如圖，已知D為上一點，點C在直徑區4的延長線上，BE與。。相切，交C。的延

長線于點E,5.BE=DE.

(1)判斷CD與。。的位置關系，并說明理由；

(2)若AC=4,sinC=A,

①求。。的半徑；B一~----------

②求BD的長.

6.如圖，AB為的直徑，點C在直徑AB上(點C與A,B兩點不重合)，OC=3,點。

在O。上且滿足AC=A。，連接。C并延長到E點，使BE=BD.

(1)求證：BE是。。的切線；

E

(2)若8￡=6,試求cos/C/M的值.\

7.如圖，陰、PB是。。的切線，A、3是切點，AC是。。的直徑，連接。尸，交。。于點

D,交AB于點E.

(1)求證：BC//OP；

(2)若E恰好是。。的中點，且四邊形。4P3的面積是16y，求陰影部分的面積;

(3)若sin/BAC=L,且AO=2畬，求切線外的長.

3

8.如圖，已知AB是。。的直徑，C為。O上一點，ZOCB的角平分線交。。于點D,F

在直線上，＞DF1BC,垂足為E,連接A。、BD.

(1)求證：。尸是OO的切線;

(2)若tan/A=L,OO的半徑為3,求EF的長.

2

9.如圖，。是以為直徑的。。上一點，過點。的切線DE交A3的延長線于點E,過點

B作BC±DE交AD的延長線于點C,垂足為點F.

(1)求證：A8=8C；

(2)若。。的直徑AB為9,sinA=

3

①求線段的長；

②求線段BE的長.

10.如圖，在RtzXABC中，ZABC=90°,。為BC邊上一點，以。為圓心，02長為半徑

的O。與AC邊相切于點D,交BC于點￡.

(1)求證：AB=AD；

(2)連接若tan/EDC=」，DE=2,求線段EC的長.

11.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°，點E在BC邊上，過A,C,E三點的。。交AB邊

于另一點凡且尸是右的中點,AD是O。的一條直徑,連接DE并延長交邊于M點.

(1)求證：四邊形CDMF為平行四邊形；

(2)當CZ)=2A3時，求sin/ACF的值.

5

12.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,以斜邊AB上的中線CD為直徑作與BC

交于點M,與AB的另一個交點為E,過M作MAUAB,垂足為N.

(1)求證：是。。的切線；

(2)若。。的直徑為5,sin5=3,求ED的長.

5

13.如圖，在RtZXABC中，ZABC=90°,以AB為直徑的交AC于點D,AE與過點。

的切線互相垂直，垂足為E.

(1)求證：平分/BAE；

(2)若CD=DE,求sin/BAC的值.

13.如圖，在RtzSABC中，ZC=90°,平分/BAC交BC于點。，。為AB上一點,

經過點A、。的O。分別交A3、AC于點瓜F.

(1)求證：BC是。。的切線；

(2)若BE=8,sinB=旦，求的半徑；

13

(3)求證：AD2=AB-AF.

參考答案

1.【解答】(1)證明：連接O。，OA,作于H,如圖,

:△ABC為等腰三角形，。是底邊BC的中點，

J.AOLBC,A0平分NBAC,

：AC與。。相切于點Q,

：.OD±AC,

而

：.OH=OD,

是OO的切線;

(2)由(1)知OD_L4C,

在RtZXOCZ)中，CD=4,0C=0F+CF=0D+2,OD2+CD2^OC2,

：.OD2+42=(OD+2)2

：.OD=3,

CD=1

OC?

在RtAOCA中，cosC=2^=9

AC5

；.sinNOAC=^=匹

AC5

2?【解答】（1）證明：①???四邊形ABC。是菱形,

：.AB//CD,

'：DH±AB,

：.ZCDH=ZDHA=9Q°,

：.CD±OD,

VO為O。的半徑的外端點,

.??。）是。0的切線；

②連接HF,

：.ZDEF=ZDHF,

；?？跒?。0直徑,

：.ZDFH=9Q°,

ZDHF=9Q°-ZBDH,

:/DHB=90°,

：.ZDBA=90°-ZBDH,

：.ZDHF=ZDBA=ZDEF,

'：ZEDF=ZBDA,

.?.△DEFSADBA；

(2)解：連接AC交BD于G.

:菱形ABCD,BD=6,

：.AC±BD,AG=GC,DG=GB=3,

在Rt^AGB中，AG=^Ag2_GB2=4,

：.AC=2AG=S,

菱形ABCD=LAC.8O=AB.?！?，

2

由ADEFsADBA知：ZDFE=ZDAH,

24

sinZDFE=sinZDAH=

AD525

3.【解答】(1)證明：連接OC,

'CADLDF,

：.ZD=90°,

:點C是熊的中點,

???CE=CB>

：.ZDAC=ZCAB,

：.OA=OC,

：.ZCAB=ZOCA,

：.ZDAC=ZOCA,

：.AD//OC,

：.ZOCF=ZD=90°,

：0(^是。0的半徑，

?..DC是O。的切線；

(2)解：①過點。作OGLAE,垂足為G,

：.AG=EG=^AE=\,

2

?;OG±AD,

/.ZAGO=ZDGO=90°,

VZD=ZAGO=90°,

：.OG//DF,

：.ZAFD=ZAOG,

VsinZAFD=^-,

3

/.sinZAOG=sinZAFD=」,

3

在RtZXAGO中，AO=————=—=3>

sinZAOG1

3

???。。的半徑為3；

②：/OCF=90°,

：.ZOCD=ISO°-ZOCF=90°,

；/OGE=/D=90°,

四邊形OGDC是矩形,

OC=Z)G=3,

VG￡=1,

:.DE=DG-GE=3-1=2,

線段。E的長為2.

4.【解答】解：(1)尸C是O。的切線，理由如下:

,：AB是。。的直徑，

；.NAC8=90°,

：.ZOAC+ZOBC=90°,

OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB,

?：ZPCB=ZOAC,

：.ZPCB+ZOCB^90°,

ZPCO=90°,即OC±PC,

?；OC是半徑，

.??PC是。。的切線；

(2)在RtZXACB中，tanA=里,

AC

tanA=—,

2

?BC=1

'ACT

.*ZPCB=ZOAC,ZP=ZP,

?.△PCBsAR4c,

?PB=PC=BC=2

,PCPAAC

：PC=4,

,.PB=2,B4=8,

\AB=PA-PB=8-2=6,

\0C=0B=0A=3,

：BC//OD,

?.電型，即2上，

CDOBCD3

\CD=6,

：OC±CD,

-SAOCDVOC'CD=1X3X6=9'

5?【解答】解：（1）結論：CD是。。的切線;

理由：如圖，連接OD

■:EB=ED,OB=OD,

:./EBD=/EDB,ZOBD=ZODB,

?IB石是。。的切線，03是半徑，

OB±BE,

：.ZOBE^90°,

：./EBD+/OBD=90°,

；.NEDB+NODB=90°,

：.OD±DEf

???。。是半徑，

???CD是。。的切線;

(2)①設OD=OA=r,

'：OD±CD,

0D=^

OC5

?r=1

"THy

，OO的半徑為2；

②在RtACOZ)中，CD={UC2_UD2=^62_22=4祀,

,：AB是直徑，

AZADB^90°,

：.ZDBA+ZBAD=9Q°,

,：OD^OA,

：.ZOAD=ZODA,

'：ZADC+Z0DA=9Q°,

ZADC=ZCBD,

vzc=zc,

/.△CDA^ACBD,

.AD=AC=4=&

"BDCD4V22'

設AD=Mk,BD=2k,

'：AD1+BD1=AB1,

：.(&%)2+⑵)2=42,

：.k=^-(負根已經舍去)，

3

:.BD=2k=4通.

3

6.【解答】(1)證明：為。。的直徑,

/.ZADB=9Q°,

AZBDE+ZADC=90°,

'：AC=AD,

：.ZACD=ZADC,

'：ZACD=ZECB,

:?NECB=NADC,

?；EB=DB,

：./E=/BDE,

：.ZE+ZBCE=90°,

AZEBC=180°-(NE+NECB)=90°,

〈OB是。。的半徑，

???35是。。的切線；

(2)解：設。。的半徑為廠，

OC=3,

：.AC=AD=AO+OC=^r,

?；BE=6,

；?BD=BE=6,

在RtAABO中，B￡>2+A￡>2=AB2,

A36+(r+3)2=(2r)2,

n—5,n—~3(舍去)，

：.BC=OB-OC=5-3=2,

在RtAEBC中，EC=/EB2+BC2==2^/10，

cosNEC2=幽=―\,

EC2^/1010

AcosZCDA=cosZECB=,

_10

：.cosZCDA的值為H.

10

7.【解答】(1)證明：：孫，尸8是。。的切線，

：.PA=PB,

"：OA=OB,

：.OP±AB,

-AC是直徑，

ZABC=90°,

：.BC.LAB,

：.BC//OP.

(2)神軍：VOE=DE,AB±OD,

：.AO=AD,

：.AD=OA^OD,

???△AO0是等邊三角形，

???NAO￡>=60°,

設0E=機，則加，OA—2m,OP—4m,

*/四邊形OAPB的面積是16次，

??.JL?OP?A5=16V§,

2

AZAOD^ZBOD^60°,

AZAOB=2ZAOD=120°,

「?S陰=S扇形OAB-S/^AOB—12°兀'/_豈X4EX2=&L-4V3.

36023

(3)解：在RtZ\AOE中，sin/CAB=i^=L,

AO3

???可以假設OE=X,則。4=。。=3%DE=2x,AE=I/QA2-0E2=V(3X)2-X2=2^

X，

在RtZ\A。5中，A￡)2=AE2+DE2,

???(273)2=(2缶)2+⑵)2,

.\x=l或-1(舍棄)，

：.OE=l,OA=3,AE=2點,

???胡是切線，

：.PA±OA,

：.ZOAP=90°,

：.ZCAB+ZBAP=90°,NAPO+NB45=90°,

：.ZCAB=ZAPO,

，sin/APE=sin/CAB=」=理^

3PA

PA=3AE=6?■[2■

8.【解答】解：（1）如圖，連接OD,

OC=OD,

：.ZODC=ZOCD,

：CZ）平分/OCS

ZOCD=ZBCD,

：.ZODC=ZBCD,

C.OD//CE,

：.ZCEF=ZODE,

\'CE±DF,

：.ZCEF=90°,

ZODE=90°,即ODLDF,

；.DF是。。的切線；

（2）：AB是。。的直徑，

ZADB=90°,

.,.tanZA=-^=A,則AD=2BD,

AD2

在中，NADB=90°,AB=2r=6,

：.BD2+AD2=AB2,即BZ）2+（28。）2=62,

解得瓦）=旦區，

5

由（1）知o尸是。o的切線，

：.ZBDF=ZA,

,：BELDF,

：.ZBEF=90°,

：.tanZBDF=^=^~,則。E=2BE,

DE2

在RtZkBOE中，BD=旦叵，

5

由勾股定理可得，BE1+DE1=Bb1,即B爛+（2BE）2=（逃）2,

解得BE=旦，則

55

由（1）知

9.【解答】解：（1）證明：連接OD,如圖1,

???。石是。。的切線，

：.ODA.DE.

VBCXDE,

J.OD//BC,BE

：.ZODA=ZC,

???Q4=OO,

：.ZODA=ZA.

：.NA=NC.

：.AB=BC.

(2)①連接5。，則NAD8=90°,如圖2,

在中，

?.?sinA=@U」，AB=9,

AB3

：.BD=3.

?：OB=OD,

：?/ODB=/OBD.

VZOBD+ZA=ZFDB+ZODB=90°,

NA=/FDB.

/.sinZA=sinZFDB.

在/中，

VsinZBZ?F=^=A,

BD3

：.BF=\.

②由(1)知：OD//BF,

，△EBFs^EOD.

.BEBF

??---------------?

OEOD

解得：BE=9.

7

10.【解答】(1)證明：3c=90°,

：.ABLOB,

,：AB經過OO半徑的外端點B,

切。。于點B,

又。。與AC邊相切于點D,

：.AB=AD.

(2)解：如圖,

連接8。，

,:BE為OO的直徑，

:./BDE=9U°,

:.NCDE+/ADB=90°,

又

ZADB=ZABD,

：.ZCDE+ZABD=90°,

VZABC=90°,

ZABD+ZEBD=9Q°,

ZEBD=ZEDC,

又：tan/EDC總，

tan/EBDV，

即邁」，

BD2

"：DE=2,

BD=4,BE=2,

又ZEBD=ZEDC,

:.ACDEsACBD,

.CEDCDE1

，'DC'BC"BD'"2，

設CE=x,則。C=2x,

（2X）2=X（X+2\/5>

AXI=O（舍去），x12遙,

x23

即線段EC的長為R支.

3

11.【解答】（1）證明：連接EF,

VZBAC=90°,

???PC是的直徑，

是源的中點，

AF=EF>

ZADF=ZEDF,

'：OF=OD,

：.ZADF=ZOFD,

：.ZOFD=ZEDF,

：.FC//DM,

"：OA=OD,OF=OC,ZBAC=9Q°,

四邊形AFL>C為矩形，

：.AF//CD,

.??四邊形CDMP為平行四邊形；

（2）解：：四邊形AFDC為矩形，四邊形CDMF為平行四邊形,

：.CD=AF=FM=EF,

?：CD=^AB,

5

：.CD=2（2CD+BM）,

5

：.CD=2BM,

■:BM//CD,

,△BEMsACED,

.BM=BE=2

"CDEC~2

：.EC=2BE,

設BM=a,則CD=2a,BF=3a,EF=2a,

在RtABEF中,BE=JBF2-EF1='、'5a,

D

.,.EC=2y/Sa,

在RtZ\C￡尸中，FC=I/EF2+EC2=A'

在Rt△砌C中，sin/ACF=￡E=/=9

FC276a6

12.【解答】（1）證明：連接。W,如圖1,

"：OC=OM,

：.ZOCM=ZOMC,

在RtAABC中，CD是斜邊AB上的中線,

:.CD=LAB=BD,

2

：.ZDCB=ZDBC,

：.ZOMC=ZDBC,

J.OM//BD,

'：MN±BD,

：.OM±MN,

過O,

:.MN是OO的切線；

(2)解：連接。M,CE,

：CO是。。的直徑，

ZCED=90°,NDMC=90°,

BPDMIB