重難點01以集合為背景的綜合題

明考情.知方向——

2025年考向預測：集合與函數綜合的解答題

重難點題型解讀

題型1集合新定義

題型2集合與函數綜合題

以集合為背景的綜合題題型3集合與三角函數綜合題

題型4集合與數歹監合題

題型5集合與導數綜合題

題型1集合新定義

1.（2024?上海?模擬預測）考慮｛x|O<x<12,xeN）的非空子集8,滿足8中的元素個數等于B中的最小元素，

例如，8=｛4,6,8,11｝就滿足此條件.則這樣的子集8共有個.

2.（2024.上海嘉定.二模）若規定集合E=｛0,1,2,……㈤的子集｛4外,%,…,（｝為E的第左個子集，其中

k=T'+T1+X1+……+2%,則E的第211個子集是.

3.（2024?上海靜安?二模）如果一個非空集合G上定義了一個運算*,滿足如下性質，則稱G關于運算*構

成一個群.

（1）封閉性，即對于任意的。,6WG,有a*0eG；

（2）結合律，即對于任意的。，及ceG,有（a*））*c=a*（6*c）；

（3）對于任意的a,beG,方程x*a=b與。*y=。在G中都有解.

例如，整數集Z關于整數的加法（+）構成群，因為任意兩個整數的和還是整數，且滿足加法結合律，對

于任意的*Z,方程無+q=6與>=6都有整數解；而實數集R關于實數的乘法（x）不構成群，因為

方程Oxy=1沒有實數解.

以下關于“群”的真命題有（）

①自然數集N關于自然數的加法（+）構成群；

②有理數集Q關于有理數的乘法（x）構成群;

③平面向量集關于向量的數量積（?）構成群；

④復數集C關于復數的加法（+）構成群.

A.0個；B.1個；C.2個；D.3個.

4.（24-25高三上?上海?期中）已知集合加={（尤,劉丁="尤）},若對于任意實數對（下,弘”河，存在

（々,力）€加，使占9+%%=。成立，則稱集合/是“垂直對點集”.給出下列四個集合：

①M=1（%州^=21；

②M={（x,y）|y=k>g2x}；

⑧M={（x,y）|y=2-2}

@M=|y=sinx+l}；

其中是“垂直對點集”的序號的個數為（）

A.0B.1C.2D.3

5.（24-25高三上?上海?階段練習）若非空實數集X中存在最大元素〃和最小元素機，則記A（X）=M-m.

下列命題中正確的是（）

A.已知X={—1/},丫={0力},且A（X）=A（y）,則6=2

B.已知X={x[〃x）Zg（x）,尤目-1,1]},若A（X）=2,則對任意xe[-U],都有/（x）2g（x）

C.已知X=[a,a+2],F=卜,=/,尤仁x},則存在實數a,使得八任）<1

D.已知X=[a,a+2],Y=[b,b+3],則對任意的實數。，總存在實數6,使得A（XuF）=3

6.（2022?上海黃浦?模擬預測）若集合A=kE=O.宓,〃cN*,,其中。和6是不同的數字，則A中所有元素

的和為（）.

A.44B.110C.132D.143

7.（2022?上海徐匯.模擬預測）已知集合X={1,2,3}，%={l,2,3「、〃},（"eN*）,設Sn={（a,b）\a整除

匕或匕整除a，aeX,beYn},令/（n）表示集合S,所含元素的個數，貝U“2022）=—.

8.（24-25高三上?上海?期中）設4={0,1},集合。={（%,彳2”-，馬4）|士，尤2，,玉84€4}，對于O中的任意兩個

元素。=（%,馬，…，玉84）、6=（%，％，…，％84），定義

a*fi=（xl+y1-^y1）+（^2+y2-x,y2）+---+（x384+y384-x384y384）,設“、VGQ,若a*a+v*v=384,則〃*v

的最小值為.

9.（23-24高三上?上海?開學考試）已知集合人=也,外,…,可}中的〃個元素都是正整數（/>2,〃eN）,且

q若對任意的x，yeA,且都有|x-y|z葛，則稱集合A具有性質M.

⑴判斷集合A={1,2,3,4}是否具有性質M,并說明理由；

11H-1

(2)已知集合A具有性質M,求證：-----^―；

%an25

(3)已知集合A具有性質求集合A中元素個數的最大值，并說明理由.

10.(23-24高三上?上海?期中)給定自然數i.稱非空集合A為減，集，若A滿足:

(i)AcN*,Aw{l}；

(ii)對任意x,yGN*,只要x+yeA,就有肛-ieA.問：

⑴直接判斷尸={1,2}是否為減0集，是否為減1集；

⑵是否存在減2集?若存在，求出所有的減2集；若不存在，請說明理由；

(3)是否存在減1集?若存在，求出所有的減1集；若不存在，請說明理由.

題型2集合與函數綜合題

11.(2025?上海?模擬預測)已知函數y=的定義域是￡).對于左。，定義集合S/(,)={X『(X)2〃3.

(l)/(x)?log2x,求Sg

⑵對于集合A,若對任意xeA都有-xeA,則稱A是對稱集.若。是對稱集，證明：“函數y=/(x)是偶函

數”的充要條件是“對任意teD,是對稱集，，；

(3)若xeR,f(x)=e-^nx2.求機的取值范圍，使得對于任意6＜芍?。，都有4他)=S%).

12.(2022?上海楊浦?模擬預測)已知非常數函數/'(X)的定義域為。，如果存在正數T,使得對任意xdD,

都有『(x+T)=，〃x)恒成立，則稱函數具有性質P(T).

⑴分別判斷下列函數是否具有性質尸(1),并說明理由；

①/(x)=sin27LX；②g(X)=C0S7LX.

s

⑵若〃具有性質P⑵，"1)=1,〃2)=T,S”表示f⑺的前〃項和，G,=《2J,若

?2〃一1

6<1。&(。+1)+10恒成立，求。的取值范圍；

⑶設連續函數g(尤)具有性質尸(T),且存在M>0,使得對任意尤GR,都有|g(x)|<M成立，求證：g(x)是

周期函數.

13.(22-23高三上.上海嘉定?期中)⑴已知集合A={X||X-4<2},Bp軍■<且Aq3,求實數。的

取值范圍；

ny4-1

(2)已知函數了二一7(常數“eZ)問：是否存在整數。，使該函數在區間工內)上是嚴格減函數，并且

函數值不恒為負？若存在，求出符合條件的。，若不存在，請說明理由.

X

14.(22-23高三上?上海楊浦?階段練習)已知/(%)=履+2,不等式|/(x)|<3的解集為(-1,5),不等式>1

“X)

的解集A.

(1)求集合A：

⑵設函數g(x)=log2(方J2X+2)的定義域為8,若An3r0，求實數。的取值范圍;

⑶若函數〃口)=爐-3氏+在A上嚴格單調遞減，求實數。的取值范圍.

X—a

15.(20-21高三上?上海徐匯?期中)記集合知=高⑴"(%)=二一,XG(-l,l),^e(-l,l)}.

1-ax

⑴若求證：/(x)e(-l,l)；

⑵設集合4=｛/(尤)"。)>0且/?)€〃｝,若geA,；￡A,求。的取值范圍;

(3)若/(x),g(x)eM,求證：f(g(x))eM.

題型3集合與三角函數綜合題

16.(石方-fSWT總異掌建；苣媼"]富滓美數列，〃=sin(a")，5差起薪(W8),使得口

”€]^,”21.若集合5=｛彳|*=2，〃€2〃21｝中只含有4個元素，貝！If的可能取值有()個

A.2B.3C.4D.5

17.(23-24高三上.上海?期中)己知VABC的三邊長之比為5：6：9,記VA3C的三個內角的正切值所組成

的集合為M,則集合M中的最大元素為.

18.(22-23高三上?上海浦東新?開學考試)對開區間/=(。力)，定義M=6-a,當實數集合M為〃段("為

正整數)互不相交的開區間小6…、/”的并集時，定義1"1=￡聞，若對任意上述形式的(0,2乃)的子集A,

k=\

總存在后eZ,使得&訓4其中A=,|xeAltan[x+4)<0-i，，則4的最大值為.

題型4集合與數列綜合題

19.(23-24高三上?上海虹口?期中)已知數列jaj的通項公式為4=2"+2”，其中常數XeR.

(1)若4=4%,求彳的值；

(2)若｛4｝前10項的和為1551,試分析｛%｝的單調性；

(3)對于常數f,記集合C,=｛川4="，試求當;I與f變化時，集合C,中元素個數的最大值.

k個

20.(2021?上海浦東新?模擬預測)已知數列｛。“｝：1,-2,-2,3,3,3,-4m，…，占廣工;㈠戶*，

即當(壯N*)時，記5,=%+々+???+4(〃eN*).

⑴求”>20的值;

⑵求當"12<〃三(左+1)：+2)(丘N*),試用〃、左的代數式表示S.(〃eN*)；

⑶對于teN*,定義集合耳={“電是％的整數倍,“eN*,且求集合鳥網中元素的個數.

21.(2022?上海金山?二模)對于集合入川知出,生,…,%},〃22且weN*,定義A+A={x+y|尤eA,yeA且

了片叫.集合4中的元素個數記為網，當卜+川=”心時，稱集合A具有性質「

⑴判斷集合A={1,2,3},4={L2,4,5}是否具有性質r,并說明理由；

⑵設集合3={l,3,p,q}(p,qeN,且3Vp<q)具有性質:T,若B+8中的所有元素能構成等差數列，求P、4的

值；

(3)若集合A具有性質「，且A+A中的所有元素能構成等差數列，問：集合A中的元素個數是否存在最大值？

若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由.

22.(2021?上海松江?一模)對于由m個正整數構成的有限集”={《,為，%，…,。J記尸(M)=9+/+??,+4，

特別規定尸(0)=0,若集合M滿足：對任意的正整數％4P(M),都存在集合〃的兩個子集43,使得

左=尸(4)-尸(2)成立，則稱集合M為“滿集”，

(1)分別判斷集合知|="，2}與=工4}是否為“滿集”，請說明理由；

(2)若%,2,…，金由小到大能排列成公差為d(deN*)的等差數列，求證：集合M為“滿集”的必要條件是

%=1,d=l或2；

(3)若%,2,…,冊由小到大能排列成首項為1,公比為2的等比數列，求證：集合M是“滿集”

23.（2021.上海黃浦三模）集合S={al,a2,--；an}^aiwN*,i=1,2…㈤,集合T=也跖=q+%』<i<jV"},

若集合T中元素個數為"U,且所有元素從小到大排列后是等差數列，則稱集合S為“好集合”.

2

(1)判斷集合*={1,2,3}、$2={1,2,3,4}是否為“好集合”;

(2)若集合$3={1,3,5,加}(租>5)是“好集合”，求m的值;

(3)“好集合”S的元素個數是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由.

24.(21-22高三下.上海寶山.開學考試)設集合M={1,2,3,…㈤，其中n&N,在M的所有元素個

數為K(KeN,2<K<n)的子集中，我們把每個K元子集的所有元素相加的和記為「(KeN,2<K<n),

每個K元子集的最大元素之和記為&(KeN,2<K<n),每個K元子集的最小元素之和記為外(KeN,

2<K<n).

(1)當〃=4時，求生、”的值；

(2)當〃=10時，求心的值；

⑶對任意的底3,nwN,給定的KeN,2<K<n,左是否為與〃無關的定值？若是，請給出證明并求出這

aK

個定值：若不是，請說明理由.

題型5集合與導數綜合題

25.(2023?上海徐匯?三模)對任意數集A={?,%,%},滿足表達式為y=-..I且值域為A的函數個

數為P.記所有可能的P的值組成集合B,則集合B中元素之和為.

26.(2023?上海松江.一模)已知定義在R上的函數”x)=*+6(e是自然對數的底數)滿足〃x)=「(x),

且=刪除無窮數列/（1）、/（2）,/（3）、L、/（〃）、L中的第3項、第6項、L、第3〃項、L、

（MeN,n>l）,余下的項按原來順序組成一個新數列乩｝,記數列乩｝前〃項和為人

⑴求函數“X）的解析式；

⑵已知數列匕｝的通項公式是r“=/（g（〃）），“eN,n>l,求函數g（〃）的解析式；

（3）設集合X是實數集R的非空子集，如果正實數。滿足：對任意七、x2eX,都有上-/歸。，設稱。為集

合X的一個“閾度”；記集合"=------11<,?eN,?>l,試問集合H存在“閾度”嗎？若存

,3〃1+3.（-If

/-------------

24

、\7,

在，求出集合““閾度”的取值范圍；若不存在，請說明理由；

限時提升練

（建議用時：60分鐘）

一、單選題

1.（2023?上海寶山?一模）已知集合S是由某些正整數組成的集合，且滿足：若aeS,則當且僅當。=相+根

其中〃z,〃eS且加w〃），或。=。+4（其中p,q交S,p,qeZ*且pwq）.現有如下兩個命題:①4Gs；②集合

｛x[x=3"+5,"eN｝=S.則下列選項中正確的是（）

A.①是真命題，②是真命題；B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題；D.①是假命題，②是假命題.

x,xeP

2.（24-25高三上?上海?階段練習）設函數/（%）=x2”其中R〃是實數集R的兩個非空子集，又

—+—,XEM

、2x

規定A（P）={y|y=/（x）,xGP）,A（M）={y|y=f（x）,xeM},有下列命題：

①對任意滿足尸=R的集合尸和M,都有A（P）uA（M）=R；

②對任意滿足P2M豐R的集合尸和M,都有A（P）uA（M）^R,

則對于兩個命題真假判斷正確的是（）

A.①和②都是真命題B.①和②都是假命題

C.①是真命題，②是假命題D.①是假命題，②是真命題

3.（24-25高三上?上海寶山?開學考試）群論，是代數學的分支學科，在抽象代數中.有重要地位，且群論的

研究方法也對抽象代數的其他分支有重要影響，例如一般一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論

知識證明.群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設G是一個非空集合，是G上的一個代

數運算，如果該運算滿足以下條件：

①對任意的”,6eG,有a.beG；

②對任意的a,6,ceG,有（a.6>c=a.°.c）；

③存在eeG,使得對任意的aeG,有e/=a-e=a,e稱為單位元；

④對任意的aeG,存在人eG,使==稱。與6互為逆元.

則稱G關于新構成一個群.則下列說法正確的有（）

A.G={0,1,2}關于數的乘法構成群

B.自然數集N關于數的加法構成群

C.實數集R關于數的乘法構成群

D.G={a+?|a,6eZ}關于數的加法構成群

l,xeA

4.（23-24高三下?上海?階段練習）對于全集R的子集A,定義函數以（尤）=為A的特征函數.設A，

8為全集R的子集，下列結論中錯誤的是（）

A.若則B.介(x)=l-/⑸

C./ACB（X）=/A（X>/（X）D.AUBW=Z4W+/BW

5.（22-23高三上?上海浦東新?期中）在整數集Z中，把被5除所得余數為七的所有整數組成一個“類”，記為

回即因={5〃+H〃eZ},其中讓{0,1,2,3,4}.以下判斷不正確的是（）

A.2022e[2]B.-2e[2]

C.Z=[0]U[l]U[2]U[3]U[4]D.若。—一網,則整數服b屬于同一“類”.

6.(2023?上海徐匯?一模)已知集合出={(尤,>—=/。)知若對于任意(x,y)eM,總存在與之相應的

(尤',>')€M(其中工中/)，使得I?，+W|=舊+0-卜)2+(力2成立,則稱集合M是“。集合”.下

列選項為“O集合”的是()

A.M={(x,j)|y=—,x>0}B.M-{(x,y)|_y=ex-2}

X

C.M={(x,y)|y=cosx}D.M={(x,y)|y=x3}

7.(2022.上海.模擬預測)設P、。是R上的兩個非空子集，如果存在一個從尸到。的函數y=/(x)滿足：

(1)2={/WlxeP};(2)對任意占eP,當王時，恒有/&)</(%)，那么稱這兩個集合構成“Pf。

恒等態射”，以下集合可以構成“PfQ恒等態射”的是()

A.RfZB.ZTQ

C.[1,2]f(0,1)D.(1,2)^7?

二、填空題

8.(24-25高三上?上海?階段練習)已知集合"={尤假42017,xeZ},集合P是集合加的三元子集，叫

-11-1=—2

尸=他力,。}口尸中的元素〃，b,C滿足QbC,則符合要求的集合P有個數是

a+c=2b

9.(24-25高三上?上海?開學考試)已知全集。={(%曰|彳/?口},若集合AuU,且對任意a，%)eA,均

存在(%，%)€4，使得：e%+%%=。，則稱集合A為“對稱對點集”.給出如下集合：

(1)A={(x,y)|尤,yeZ}；(2)A=](x,y)|y=eR,xw0：；

(3)A={(x,y)|y=2x+l,xeR}；(4)A={(x,y)|y=x2,xeR,xw。}.

其中是“對稱對點集”的序號為(寫出所有正確的序號)

10.(23-24高三上.上海浦東新?期中)設集合4={1,2,3,…，科,“為正整數，記"〃)為同時滿足下列條件的

集合A的個數：①A=②若xeA,則2x任A,③若xeN,則貝廳。6)=

11.(2022?上海?模擬預測)對于復數a、b、c、d,若集合S={a,b,c,d}具有性質“對任意x、yeS,必有肛eS”，

則當〃=6=l,c2=/?時，abed=.

12.(22-23高三下?上海嘉定?階段練習)定義兩個點集S、T之間的距離集為d(S,T)={|PQ||PeS,QeT},

其中|尸。|表示兩點P、Q之間的距離，已知左、teR,S={(x,y)|y=Ax+f,xeR},T={(x,y)|y="7W,xeR},

若d(S,T)=(l,y),貝心的值為.

三、解答題

13.(2022高三?上海?專題練習)已知等差數列｛%｝的公差de(O,句，數歹式優｝滿足“=sin(a“)，集合

(1)若q=0,4=飛~,求集合S；

(2)若求d使得集合S恰好有兩個元素；

(3)若集合S恰好有三個元素：bn+T=bn,T是不超過7的正整數，求T的所有可能的值.

14.(21-22高三下.上海徐匯.階段練習)設自然數"W3,若由〃個不同的正整數4，出，…，。”構成的集

合5=｛仆％,…,4｝滿足：對集合S的任何兩個不同的非空子集A、B,A中所有元素之和與8中所有元素之

和均不相等，則稱集合S具有性質P.

⑴試分別判斷在集合￡=｛1,2,3,4｝與邑=｛1,2,4,8｝是否具有性質產，不必說明理由；

⑵已知集合5=…具有性質P.

①記+L+必，求證：對于任意正整數左4",都有

Z=11=1

②令4=4-2-,2=之4,求證：2》0；

Z=1

⑶在(2)的條件下，求一+—+…+一的最大值.

15.（21-22高三上?上海黃浦?開學考試）若無窮數列｛%｝滿足：4是正實數，當2時,

1%-%|=max｛q,%,…,％｝,則稱｛““｝是“r—數列”.

⑴若a｝是“y-數列”且q=1,寫出%的所有可能值；

（2）設｛。“｝是“y-數列”，證明：｛乙｝是等差數列的充分必要條件是｛《｝單調遞減；

（3）若｛。“｝是“y-數列”且是周期數列（即存在正整數T,使得對任意正整數”，都有%+”=4）,求集合

｛i\a;=o1,l</<2021,/eN*｝的元素個數的所有可能取值.

16.（20-21高三下?上海寶山?開學考試）已知集合AqR,若x”A（i=：l,2,…㈤且

，，+1

西>%22,〃wN*）,則稱x=%-%+W+…+（-l）xn為集合生成的一個“交錯數”,所有“交錯數”

組成的集合8稱為集合A生成的交錯集

（1）寫出集合A=｛2,5,7,9｝生成的交錯集；

（2）若集合A=｛x|x=3",〃eN*｝,求證：集合A的交錯數各不相同；

⑶無窮數列｛%｝的前〃項和為S“，且對任意weN*都有S“=2a“-1.記A=｛小=%,〃N*｝,判斷集合A

生成的交錯集B與正整數集N*的關系，并說明理由.

17.(20-21高三上?上海寶山.開學考試)定義：有限非空數集。的所有元素的“乘積”稱為數集。的“積數”,

例如：集合。={1,2,3},其“積數”=lx2x3=6.

(1)若有限數集A={q,%,多},求證：集合A的所有非空子集的“積數”之和梟滿足

SA=(1+%)(1+2)(1+%)—1；

(2)根據(1)的結論，對于有限非空數集A={%,外,…,4}(neN*,n*2),記集合A的所有非空子集的

“積數”之和S,，試寫出S?的表達式，并利用“數學歸納法”給予證明；

(3)若有限集。=…

①試求由。中所有奇數個元素構成的非空子集的“積數”之和S奇教；

②試求由O中所有偶數個元素構成的非空子集的“積數”之和SRa.

18.(21-22高三上?上海嘉定?期中)設非空實數集X中存在最大元素”和最小元素機，記A(X)=M-祖.

⑴已知x={-i,i},y={o,6},且A(x)=A(y),求實數從

⑵設X=[a,a+2],Y={y\y=x2,x^x},是否存在實數。，使得△(/)=1?若存在，求出所有滿足條件的

實數。，若不存在說明理由.

在區間上,7+1]上值域記為y,若對任意reg,l,函數都滿足△(/)?：1,

(3)設a>0,函數/(x)=log?-----FQ

X

求。的取值范圍.

19.(2022?上海青浦?二模)設函數/(x)=x2+px+q(p,qeR),定義集合烏={x"(/(x))=R},集合

%={x"(/(x))=0,xeR}.

(1)若。=4=。，寫出相應的集合。,和%;

⑵若集合0={。},求出所有滿足條件的，夕；

⑶若集合得只含有一個元素，求證：p20,qN0.

重難點01以集合為背景的綜合題

明考情■知方向=

2025年考向預測：集合與函數綜合的解答題

重難點題型解讀

題型1集合新定義

題型2集合與函數綜合題

以集合為背景的綜合題題型3集合與三角函數綜合題

題型4集合與數"監合題

題型5集合與導數綜合題

題型1集合新定義

1.（2024?上海?模擬預測）考慮｛x|O<x<12,xeN）的非空子集8,滿足8中的元素個數等于B中的最小元素，

例如，8=｛4,6,8,11｝就滿足此條件.則這樣的子集8共有個.

【答案】144

【知識點】組合數的計算、集合新定義

【分析】由題意，。e3,且集合8中的最小元素不能大于6,再根據集合8中的最小元素進行討論，即可

得解.

【詳解】由題意，OeB,且集合8中的最小元素不能大于6,

當集合8中的最小元素1時，這個的集合8只有｛1｝這1個，

當集合B中的最小元素2時，這個的集合8有C；。=10個，

當集合8中的最小元素3時，這個的集合8有C；=36個，

當集合5中的最小元素4時，這個的集合8有C；=56個，

當集合8中的最小元素5時，這個的集合8有C：=35個，

當集合2中的最小元素6時，這個的集合B有Cr=6個，

所以滿足題意的子集8共有1+10+36+56+35+6=144個.

故答案為：144.

2.（2024?上海嘉定?二模）若規定集合E=｛0,1,2,……㈤的子集｛%,外,生,…,（｝為E的第左個子集，其中

笈=2"，+2傳+2%+……+2%,則E的第2n個子集是.

【答案】｛0」,4,6,7｝

【知識點】集合新定義、求集合的子集（真子集）

【分析】正確理解上的含義，左=211時，即要先求出滿足2"<211,2用>211的〃=7,即E的第211個子集

應含有的元素，計算出211-27=83,再要求滿足2”<83,2向>83的〃=6,即E的第211個子集應含有的元

素，如此類推即得.

【詳解】027=128<211,28=256>211,則E的第211個子集必包含7,止匕時211-128=83；

又因2S=64<83,27=128>83,則E的第211個子集必包含6,此時83-64=19；

又2"=16<19,25=32>19,貝UE的第211個子集必包含4,此時19-16=3；

又2i=2<3,2?=4>3,則E的第211個子集必包含1；而2°=1.

綜上所述，E的第211個子集是｛0,1,4,6,7｝.

故答案為：｛0,1,4,6,7｝.

【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵在于仔細閱讀題目所提供的信息，正確理解集合的新定義的含義，

將文字語言轉化為數學語言.

3.（2024?上海靜安.二模）如果一個非空集合G上定義了一個運算*,滿足如下性質，則稱G關于運算*構

成一個群.

（1）封閉性，即對于任意的aSeG,有a*》eG；

（2）結合律，即對于任意的a,6,ceG,有（a*〃）*c=a*（Z?*c）；

（3）對于任意的a,6wG,方程x*a=6與。*y=b在G中都有解.

例如，整數集Z關于整數的加法（+）構成群，因為任意兩個整數的和還是整數，且滿足加法結合律，對

于任意的a,/Z,方程x+o=6與a+y=6都有整數解；而實數集R關于實數的乘法（x）不構成群，因為

方程Oxy=1沒有實數解.

以下關于“群”的真命題有（）

①自然數集N關于自然數的加法（+）構成群；

②有理數集Q關于有理數的乘法（x）構成群；

③平面向量集關于向量的數量積L）構成群；

④復數集C關于復數的加法（+）構成群.

A.0個；B.1個；C.2個；D.3個.

【答案】B

【知識點】集合新定義

【分析】根據群的定義需滿足的三個條件逐一判斷即可.

【詳解】對于①，x+3=2,在自然數集中無解，錯誤；

對于②，Oxy=l,在有理數集中無解，錯誤；

對于③，7B是一個數量，不屬于平面向量集，錯誤；

對于④，因為任意兩個復數的和還是復數，且滿足加法結合律，

且對任意的a,6eC,方程尤+。=6與。+y=6有復數解，正確.

故選：B

【點睛】關鍵點點睛：本題考查新定義，解題關鍵是理解新定義，用新定義解題.解題方法是根據新定義的

3個條件進行驗證，注意實數或復數運算的運算律與新定義中運算的聯系可以很快得出結論.

4.(24-25高三上?上海?期中)已知集合”={(尤4)1丁=了(力},若對于任意實數對存在

使占超+%%=。成立，則稱集合M是“垂直對點集”.給出下列四個集合：

①M=1(x,y)|y=m；

②M={(x,y)|y=log2x}；

@M={(x,y)|y=2"-2}

@M={(x,y)|y=sinx+l}；

其中是“垂直對點集”的序號的個數為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【知識點】集合新定義

【分析】根據“垂直對點集”的定義可判斷①；舉出反例判斷②；數形結合并結合“垂直對點集”的定義可判斷

③④,即可得答案.

【詳解】對于①，M=1(x,y)ly=:1,y=，為偶函數，定義域為(一8,0)口(0,+8),

對于任意實數對,

則存在‘滿足x'lj+Jxf=0,集合M是“垂直對點集”；

對于②，M={(x,y)|y=log2x),取實數對(1,0)eM,

假設存在(孫力)€加,々＞°，使Ixz+Ox%=。成立，貝IJ無2=。，與尤2＞。矛盾，

即Af={(x,y)|y=log?%}不是''垂直對點集“；

對于③，“={(羽＞)1、=2'-2},作出函數)；=2，-2的圖象如圖，

圖象過點(0,-1),向右向上無線延伸，向左向下無限靠近直線＞=-2,

在y=2「2的圖象上任取一點A（/yJ,連接。4,作O3_LOA,

則。3總與函數圖象相交，設交函數圖象于3（%,%）,

即對于任意實數對（士,其）€加，總存在（尤2，%）€“，使得占尤?+%%=。成立，故集合〃是“垂直對點集”;

對于④M={（尤,y）ly=sinx+l},作出函數'=$向+1的圖象如圖，

圖象向左向右無線延伸，

在〉=$以+1的圖象上任取一點連接。4,作OBLOA,

則。8總與函數圖象相交，設交函數圖象于3（%,%），

即對于任意實數對（4yJeM,總存在（工2，%）?“，使得再多+%%=。成立，故集合M是“垂直對點集”;

故集合M是“垂直對點集”的有3個，

故選：D

5.（24-25高三上?上海?階段練習）若非空實數集X中存在最大元素M和最小元素〃?，則記A（X）=M-加.

下列命題中正確的是（）

A.已知x={—1』},丫={0,%且A（x）=A（y）,則b=2

B.已知X={巾若A（x）=2,則對任意都有〃x"g（x）

C.已知X=[a,a+2],Y^[y\y=x2,x^x],則存在實數a,使得A（y）＜l

D.已知X=[a,a+2],Y=[b,b+3],則對任意的實數。，總存在實數6,使得A（X3）=3

【答案】D

【知識點】函數新定義、集合新定義

【分析】由A（X）=A（y）,得到網=2,可判斷A；由=g（o）=。時可判斷B；分情況討論。的

范圍可判斷C,由b=a時，求得A（Xuy）=3可判斷D.

【詳解】A選項，由乂={-1,1},丫={02},可得A（X）=2,A（y）=|fe|,

因為A(X)=A(y),所以同=2,b=±2,故A錯誤；

B選項，由A(X)=2知，TeX且leX,

則/⑴Ng(l)且/(-l)Ng(-l),

但是"0)2g(O)不一定成立，例如：/(x)=x2-l,g(0)=0,故B錯誤；

C選項，由*=[°,4+2],y={y3=x2,xex},

當a+2W0,即aW-2時，A(y)=a2-(a+2)2=-4a-4>4；

當-2<aW-l時，可得八(卜)=/21；

當-1<”0時，可得△⑺=(a+2)2>1；

當口20時，可得△(y)=(a+2)，2=4。+4",

所以不存在實數。，使得△(￥)<：!,故C錯誤；

D選項，由*=[°,。+2],Y=\b,b+3\,取。=a,

可得A(Xuy)=3,對任意實數a,總存在6使之成立，故D正確.

故選：D.

【點睛】方法點睛：本題主要考查函數新定義的運用，需要準確把握定義要求，根據信息利用具體函數排

除法，反證法，分類討論法以及數形結合法一一判斷即可.

6.(2022?上海黃浦?模擬預測)若集合A=，〃E=0.而,“eN*，，其中。和6是不同的數字，則A中所有元素

的和為().

A.44B.110C.132D.143

【答案】D

【知識點】集合新定義、無窮等比數列各項的和

【分析】由題意得工=0."=*史，從而表示出10。+6=歸，再由(10a+b)eN*,得力的可能取值，從

n99n

而得。和6的值，可確定”的值.

?,;八7???O.abab

?、4e、e、r=\J.Clb+\J.\J\Jd7b+...+=-----；—=—

【詳解】因為?199，

100

1,,10〃4-h99

所以±=0.Qb=^^,所以10〃+。=',

n99n

所以〃可以為1,3,9,11,33,99,

所以(外切可以為(9,9),(3,3),(1,1),(0,9)(0,3),(0,1)

因為。和6是不同的數字,所以(。㈤可以為(0,1),(0,3),(0,9),

此時〃=99,33,11,所以A中所有元素的和為11+33+99=143,

故選：D

【點睛】求解本題的關鍵是理解0/3是循環節長度為兩位的循環純小數，從而得0.1％=黑，進而代入集合

A化簡計算.

7.（2022.上海徐匯.模擬預測）已知集合X={1,2,3}，}；,={1,2,3,（neN*）,設Sn=[{a,b）\a整除

6或6整除a，aeX,此％},令/（?）表示集合Sn所含元素的個數，則/（2022）=—.

【答案】3709

【知識點】集合新定義

【分析】根據S“的定義進行分析，從而確定正確答案.

【詳解】“2022）表示集合S皿所含元素的個數，

其中ae{l,2,3},be{1,2,3,…,2022},

6整除。的有（1,1）,（2,1）,（3,1）,（20,（3,3）共5個.

a整除6的：

（1）1整除1的有2022個;

（2）2整除b的有2己02匕2=1011個；

2

（3）3整除匕的有2名022-=674個.

重復的有（U），（2,2）,（3,3）共3個.

所以〃2022）=5+2022+1011+674-3=3035+674=3709.

故答案為：3709

8.（24-25高三上?上海?期中）設4={0,1},集合。={（%,々,…,玉84）|石，馬，…，W84e4},對于。中的任意兩個

元素a=（&Xj,…,/4）、尸=（乂，%上，，為84），定義

a*?=（玉+%-番+…+（.84+為84一.84%84），設〃、VGQ,若a*&+v*v=384,則a*v

的最小值為.

【答案】192

【知識點】集合新定義

【分析】由%（匕T）=0,可得玉+W+…+為84+必+%+…+為84=384,分析得芯,馬,…工384，%，必，…%84中有

384個1,384個0,進而由〃*V=384-（M%+々為+…+—）可得最小值.

【詳解】設”=（為,％2,…,電84），丫=（%，%，-,，%84），

因為％