勾股定理及其逆定理【九大題型】【題型1勾股定理的運用】【例1】（2022?和平區三模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，則AC的長為（）A．5 B．4 C．3 D．2【變式1-1】（2022春?上杭縣期中）如圖在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，AC的垂直平分線DE分別交AB、AC于D、E兩點，則BD的長為（）A．32 B．74 C．2 D【變式1-2】（2022春?漢陽區期中）如圖，在△ABC中AB＝AC＝10，BC＝16，若∠BAD＝3∠DAC，則CD＝．【變式1-3】（2021秋?朝陽區校級期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝30，D是AC上一點，AD：CD＝25：7，且DB＝DA，過AB上一點P，作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，則PE+PF長是．【題型2直角三角形中的分類討論思想】【例2】（2022春?長沙月考）已知△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC邊上的高為12．則△ABC的面積為（）A．24或84 B．84 C．48或84 D．48【變式2-1】（2022春?寧津縣期中）△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，則△ABC的周長是（）A．42 B．32 C．42或32 D．42或37【變式2-2】（2022春?香河縣期中）已知直角三角形兩邊的長為5和12，則此三角形的周長為（）A．30 B．119+17 C．119+17或30 D【變式2-3】（2022春?海淀區校級期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．點P在直線AC上，且BP＝6，則線段AP的長為．【題型3勾股定理解勾股樹問題】【例3】（2021秋?南關區期末）如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面積依次為6、10、24，則正方形C的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．12【變式3-1】（2021秋?高新區校級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分別以四邊形的四條邊為邊向外作四個正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，則S2＝（）A．184 B．86 C．119 D．81【變式3-2】（2022春?泗水縣期中）有一個邊長為1的正方形，經過一次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經過一次“生長”后，變成了如圖，如果繼續“生長”下去，他將變得“枝繁葉茂”，請你計算出“生長”了2022次后形成的圖形中所有正方形的面積之和為（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【變式3-3】（2022春?張灣區期中）如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，這個直角三角形三邊上分別有一個正方形．執行下面的操作：由兩個小正方形向外分別作直角邊之比為4：3的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長作正方形．圖②是1次操作后的圖形，圖③是2次操作后的圖形．如果圖①中的直角三角形的周長為12，那么10次操作后的圖形中所有正方形的面積和為（）A．225 B．250 C．275 D．300【題型4勾股定理解動點問題】【例4】（2021秋?開福區校級期末）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，動點P從點B出發沿射線BC以2cm/s的速度運動，設運動時間為ts，當△APB為等腰三角形時，t的值為（）A．62596或252 B．252或24C．62596或24或12 D．62596或25【變式4-1】（2021秋?宛城區期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝40cm，AC＝30cm，動點P從點B出發沿射線BA以2cm/s的速度運動．則當運動時間t＝s時，△BPC為直角三角形．【變式4-2】（2022春?蚌山區校級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，點P從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿折線A﹣B﹣C運動．設點P的運動時間為t秒（t＞0）．（1）BC的長是．（2）當點P剛好在∠BAC的角平分線上時，t的值為．【變式4-3】（2022春?河東區期中）如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C→A方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發，同時停止．（1）P、Q出發4秒后，求PQ的長；（2）當點Q在邊CA上運動時，出發幾秒鐘后，△CQB能形成直角三角形？【題型5勾股定理的驗證】【例5】勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜的發現，當兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時，都可以用“面積法”來證明，下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程：將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB＝90°，求證：a2+b2＝c2證明：連接DB，過點D作BC邊上的高DF，則DF＝EC＝b﹣a∵S四邊形ADCB＝S△ACD+S△ABC=12b2+又∵S四邊形ADCB＝S△ADB+S△DCB=12c2+12a（∴12b2+12ab=12c2+1∴a2+b2＝c2請參照上述證法，利用圖2完成下面的證明．將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB＝90°．求證：a2+b2＝c2．【變式5-1】（2022春?巢湖市校級期中）學習勾股定理之后，同學們發現證明勾股定理有很多方法．某同學提出了一種證明勾股定理的方法：如圖1點B是正方形ACDE邊CD上一點，連接AB，得到直角三角形ACB，三邊分別為a，b，c，將△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如圖2所示，該同學用圖1、圖2的面積不變證明了勾股定理．請你寫出該方法證明勾股定理的過程．【變式5-2】（2021秋?朝陽區期末）【閱讀理解】我國古人運用各種方法證明勾股定理，如圖①，用四個直角三角形拼成正方形，通過證明可得中間也是一個正方形．其中四個直角三角形直角邊長分別為a、b，斜邊長為c．圖中大正方形的面積可表示為（a+b）2，也可表示為c2+4×12ab，即（a+b）2＝c2+4×12ab，所以a2+b2【嘗試探究】美國第二十任總統伽菲爾德的“總統證法”如圖②所示，用兩個全等的直角三角形拼成一個直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根據拼圖證明勾股定理．【定理應用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所對的邊長分別為a、b、c．求證：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．【變式5-3】（2022春?壽光市期中）如圖①，美麗的弦圖，蘊含著四個全等的直角三角形．（1）弦圖中包含了一大，一小兩個正方形，已知每個直角三角形較長的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長為c，結合圖①，試驗證勾股定理．（2）如圖②，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（粗線）的周長為24，OC＝3，求該飛鏢狀圖案的面積．（3）如圖③，將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，則S2＝．【題型6直角三角形的判定】【例6】（2022春?綏寧縣期中）若△ABC的三邊長分別為a、b、c，下列條件中能判斷△ABC是直角三角形的有（）①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B=12∠C，⑤a2＝（b+c）（b﹣c），⑥a：b：c＝5：12：A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【變式6-1】（2022春?贛州月考）下列滿足條件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．在△ABC中，若a=35c，b=45cB．三邊長的平方之比為1：2：3 C．三內角之比為3：4：5 D．三邊長分別為a，b，c，c＝1+n2，a＝n2﹣1，b＝2n（n＞1）【變式6-2】（2022春?漢濱區期中）若△ABC的三邊長a，b，c滿足（a﹣c）2＝b2﹣2ac，則（）A．∠A為直角 B．∠B為直角 C．∠C為直角 D．△ABC不是直角三角形【變式6-3】（2022春?開州區期中）下列是直角三角形的有（）個①△ABC中a2＝c2﹣b2②△ABC的三內角之比為3：4：7③△ABC的三邊平方之比為1：2：3④三角形三邊之比為3：4：5A．1 B．2 C．3 D．4【題型7勾股數問題】【例7】（2022春?滑縣月考）在學習“勾股數”的知識時，小明發現了一組有規律的勾股數，并將它們記錄在如下的表格中．a68101214…b815243548…c1017263750…則當a＝24時，b+c的值為（）A．162 B．200 C．242 D．288【變式7-1】（2022?湖北）勾股定理最早出現在商高的《周髀算經》：“勾廣三，股修四，經隅五”．觀察下列勾股數：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數的特點是：勾為奇數，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數，弦與股相差為2的一類勾股數，如：6，8，10；8，15，17；…，若此類勾股數的勾為2m（m≥3，m為正整數），則其弦是（結果用含m的式子表示）．【變式7-2】（2022春?白云區期末）（1）3k，4k，5k（k是正整數）是一組勾股數嗎？如果是，請證明；如果不是，請說明理由；（2）如果a，b，c是一組勾股數，那么ak，bk，ck（k是正整數）也是一組勾股數嗎？如果是，請證明；如果不是，請說明理由．【變式7-3】（2022?石家莊三模）已知：整式A＝n2+1，B＝2n，C＝n2﹣1，整式C＞0．（1）當n＝1999時，寫出整式A+B的值（用科學記數法表示結果）；（2）求整式A2﹣B2；（3）嘉淇發現：當n取正整數時，整式A、B、C滿足一組勾股數，你認為嘉淇的發現正確嗎？請說明理由．【題型8格點圖中求角的度數】【例8】（2021秋?伊川縣期末）如圖，正方形ABCD是由9個邊長為1的小正方形組成的，點E，F均在格點（每個小正方形的頂點都是格點）上，連接AE，AF，則∠EAF的度數是．【變式8-1】（2022?惠山區一模）如圖所示的網格是由相同的小正方形組成的網格，點A，B，P是網格線的交點，則∠PAB+∠PBA＝°．【變式8-2】（2022春?武侯區校級期末）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C，D，P都在格點上，連接AP，CP，CD，則∠PAB﹣∠PCD＝．【變式8-3】（2022春?孝南區期中）如圖所示的網格是正方形網格，△ABC和△CDE的頂點都是網格線交點，那么∠BCA+∠DCE＝．【題型9勾股定理及其逆定理的運用】【例9】（2021秋?藍田縣校級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是CA的延長線上一點，連接BD．（1）若AC＝8，AD＝17，BD＝15，判斷AB與BD的位置關系，并說明理由；（2）若∠D＝28°，∠DBC＝121°，求∠DAB的度數．【變式9-1】（2022春?陵城區期中）如圖，在△ABC中，AD、BE分別為邊BC、AC的中線，分別交BC、AC于點D、E．（1）