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文檔簡介
勾股定理及其逆定理【九大題型】【題型1勾股定理的運用】【例1】(2022?和平區三模)如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,CD=1.5,BD=2.5,則AC的長為()A.5 B.4 C.3 D.2【變式1-1】(2022春?上杭縣期中)如圖在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=8,AC=10,AC的垂直平分線DE分別交AB、AC于D、E兩點,則BD的長為()A.32 B.74 C.2 D【變式1-2】(2022春?漢陽區期中)如圖,在△ABC中AB=AC=10,BC=16,若∠BAD=3∠DAC,則CD=.【變式1-3】(2021秋?朝陽區校級期末)如圖,在△ABC中,∠C=90°,AB=30,D是AC上一點,AD:CD=25:7,且DB=DA,過AB上一點P,作PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,則PE+PF長是.【題型2直角三角形中的分類討論思想】【例2】(2022春?長沙月考)已知△ABC中,AB=13,AC=15,BC邊上的高為12.則△ABC的面積為()A.24或84 B.84 C.48或84 D.48【變式2-1】(2022春?寧津縣期中)△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,則△ABC的周長是()A.42 B.32 C.42或32 D.42或37【變式2-2】(2022春?香河縣期中)已知直角三角形兩邊的長為5和12,則此三角形的周長為()A.30 B.119+17 C.119+17或30 D【變式2-3】(2022春?海淀區校級期中)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,AB=5.點P在直線AC上,且BP=6,則線段AP的長為.【題型3勾股定理解勾股樹問題】【例3】(2021秋?南關區期末)如圖,所有陰影部分四邊形都是正方形,所有三角形都是直角三角形,若正方形A、B、D的面積依次為6、10、24,則正方形C的面積為()A.4 B.6 C.8 D.12【變式3-1】(2021秋?高新區校級期末)如圖,在四邊形ABCD中,∠DAB=∠BCD=90°,分別以四邊形的四條邊為邊向外作四個正方形,若S1+S4=135,S3=49,則S2=()A.184 B.86 C.119 D.81【變式3-2】(2022春?泗水縣期中)有一個邊長為1的正方形,經過一次“生長”后,在它的左右肩上生出兩個小正方形,其中,三個正方形圍成的三角形是直角三角形,再經過一次“生長”后,變成了如圖,如果繼續“生長”下去,他將變得“枝繁葉茂”,請你計算出“生長”了2022次后形成的圖形中所有正方形的面積之和為()A.2020 B.2021 C.2022 D.2023【變式3-3】(2022春?張灣區期中)如圖①,在△ABC中,∠ACB=90°,AC:BC=4:3,這個直角三角形三邊上分別有一個正方形.執行下面的操作:由兩個小正方形向外分別作直角邊之比為4:3的直角三角形,再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長作正方形.圖②是1次操作后的圖形,圖③是2次操作后的圖形.如果圖①中的直角三角形的周長為12,那么10次操作后的圖形中所有正方形的面積和為()A.225 B.250 C.275 D.300【題型4勾股定理解動點問題】【例4】(2021秋?開福區校級期末)如圖,Rt△ACB中,∠ACB=90°,AB=25cm,AC=7cm,動點P從點B出發沿射線BC以2cm/s的速度運動,設運動時間為ts,當△APB為等腰三角形時,t的值為()A.62596或252 B.252或24C.62596或24或12 D.62596或25【變式4-1】(2021秋?宛城區期末)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=40cm,AC=30cm,動點P從點B出發沿射線BA以2cm/s的速度運動.則當運動時間t=s時,△BPC為直角三角形.【變式4-2】(2022春?蚌山區校級期中)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,AC=8,點P從點A出發,以每秒2個單位長度的速度沿折線A﹣B﹣C運動.設點P的運動時間為t秒(t>0).(1)BC的長是.(2)當點P剛好在∠BAC的角平分線上時,t的值為.【變式4-3】(2022春?河東區期中)如圖,已知△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,P、Q是△ABC邊上的兩個動點,其中點P從點A開始沿A→B方向運動,且速度為每秒1cm,點Q從點B開始沿B→C→A方向運動,且速度為每秒2cm,它們同時出發,同時停止.(1)P、Q出發4秒后,求PQ的長;(2)當點Q在邊CA上運動時,出發幾秒鐘后,△CQB能形成直角三角形?【題型5勾股定理的驗證】【例5】勾股定理神秘而美妙,它的證法多樣,其巧妙各有不同,其中的“面積法”給了小聰以靈感,他驚喜的發現,當兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時,都可以用“面積法”來證明,下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程:將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放,其中∠DAB=90°,求證:a2+b2=c2證明:連接DB,過點D作BC邊上的高DF,則DF=EC=b﹣a∵S四邊形ADCB=S△ACD+S△ABC=12b2+又∵S四邊形ADCB=S△ADB+S△DCB=12c2+12a(∴12b2+12ab=12c2+1∴a2+b2=c2請參照上述證法,利用圖2完成下面的證明.將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放,其中∠DAB=90°.求證:a2+b2=c2.【變式5-1】(2022春?巢湖市校級期中)學習勾股定理之后,同學們發現證明勾股定理有很多方法.某同學提出了一種證明勾股定理的方法:如圖1點B是正方形ACDE邊CD上一點,連接AB,得到直角三角形ACB,三邊分別為a,b,c,將△ACB裁剪拼接至△AEF位置,如圖2所示,該同學用圖1、圖2的面積不變證明了勾股定理.請你寫出該方法證明勾股定理的過程.【變式5-2】(2021秋?朝陽區期末)【閱讀理解】我國古人運用各種方法證明勾股定理,如圖①,用四個直角三角形拼成正方形,通過證明可得中間也是一個正方形.其中四個直角三角形直角邊長分別為a、b,斜邊長為c.圖中大正方形的面積可表示為(a+b)2,也可表示為c2+4×12ab,即(a+b)2=c2+4×12ab,所以a2+b2【嘗試探究】美國第二十任總統伽菲爾德的“總統證法”如圖②所示,用兩個全等的直角三角形拼成一個直角梯形BCDE,其中△BCA≌△ADE,∠C=∠D=90°,根據拼圖證明勾股定理.【定理應用】在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所對的邊長分別為a、b、c.求證:a2c2+a2b2=c4﹣b4.【變式5-3】(2022春?壽光市期中)如圖①,美麗的弦圖,蘊含著四個全等的直角三角形.(1)弦圖中包含了一大,一小兩個正方形,已知每個直角三角形較長的直角邊為a,較短的直角邊為b,斜邊長為c,結合圖①,試驗證勾股定理.(2)如圖②,將這四個直角三角形緊密地拼接,形成飛鏢狀,已知外圍輪廓(粗線)的周長為24,OC=3,求該飛鏢狀圖案的面積.(3)如圖③,將八個全等的直角三角形緊密地拼接,記圖中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面積分別為S1,S2,S3,若S1+S2+S3=40,則S2=.【題型6直角三角形的判定】【例6】(2022春?綏寧縣期中)若△ABC的三邊長分別為a、b、c,下列條件中能判斷△ABC是直角三角形的有()①∠A=∠B﹣∠C,②∠A:∠B:∠C=3:4:5,③∠A=90°﹣∠B,④∠A=∠B=12∠C,⑤a2=(b+c)(b﹣c),⑥a:b:c=5:12:A.3個 B.4個 C.5個 D.6個【變式6-1】(2022春?贛州月考)下列滿足條件的三角形中,不是直角三角形的是()A.在△ABC中,若a=35c,b=45cB.三邊長的平方之比為1:2:3 C.三內角之比為3:4:5 D.三邊長分別為a,b,c,c=1+n2,a=n2﹣1,b=2n(n>1)【變式6-2】(2022春?漢濱區期中)若△ABC的三邊長a,b,c滿足(a﹣c)2=b2﹣2ac,則()A.∠A為直角 B.∠B為直角 C.∠C為直角 D.△ABC不是直角三角形【變式6-3】(2022春?開州區期中)下列是直角三角形的有()個①△ABC中a2=c2﹣b2②△ABC的三內角之比為3:4:7③△ABC的三邊平方之比為1:2:3④三角形三邊之比為3:4:5A.1 B.2 C.3 D.4【題型7勾股數問題】【例7】(2022春?滑縣月考)在學習“勾股數”的知識時,小明發現了一組有規律的勾股數,并將它們記錄在如下的表格中.a68101214…b815243548…c1017263750…則當a=24時,b+c的值為()A.162 B.200 C.242 D.288【變式7-1】(2022?湖北)勾股定理最早出現在商高的《周髀算經》:“勾廣三,股修四,經隅五”.觀察下列勾股數:3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,這類勾股數的特點是:勾為奇數,弦與股相差為1.柏拉圖研究了勾為偶數,弦與股相差為2的一類勾股數,如:6,8,10;8,15,17;…,若此類勾股數的勾為2m(m≥3,m為正整數),則其弦是(結果用含m的式子表示).【變式7-2】(2022春?白云區期末)(1)3k,4k,5k(k是正整數)是一組勾股數嗎?如果是,請證明;如果不是,請說明理由;(2)如果a,b,c是一組勾股數,那么ak,bk,ck(k是正整數)也是一組勾股數嗎?如果是,請證明;如果不是,請說明理由.【變式7-3】(2022?石家莊三模)已知:整式A=n2+1,B=2n,C=n2﹣1,整式C>0.(1)當n=1999時,寫出整式A+B的值(用科學記數法表示結果);(2)求整式A2﹣B2;(3)嘉淇發現:當n取正整數時,整式A、B、C滿足一組勾股數,你認為嘉淇的發現正確嗎?請說明理由.【題型8格點圖中求角的度數】【例8】(2021秋?伊川縣期末)如圖,正方形ABCD是由9個邊長為1的小正方形組成的,點E,F均在格點(每個小正方形的頂點都是格點)上,連接AE,AF,則∠EAF的度數是.【變式8-1】(2022?惠山區一模)如圖所示的網格是由相同的小正方形組成的網格,點A,B,P是網格線的交點,則∠PAB+∠PBA=°.【變式8-2】(2022春?武侯區校級期末)如圖,在正方形網格中,每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C,D,P都在格點上,連接AP,CP,CD,則∠PAB﹣∠PCD=.【變式8-3】(2022春?孝南區期中)如圖所示的網格是正方形網格,△ABC和△CDE的頂點都是網格線交點,那么∠BCA+∠DCE=.【題型9勾股定理及其逆定理的運用】【例9】(2021秋?藍田縣校級期末)如圖,在△ABC中,AB=AC,D是CA的延長線上一點,連接BD.(1)若AC=8,AD=17,BD=15,判斷AB與BD的位置關系,并說明理由;(2)若∠D=28°,∠DBC=121°,求∠DAB的度數.【變式9-1】(2022春?陵城區期中)如圖,在△ABC中,AD、BE分別為邊BC、AC的中線,分別交BC、AC于點D、E.(1)
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