高中排列組合試題及答案姓名：____________________

一、單項選擇題（每題2分，共20題）

1.從數字1到9中任取三個不同的數字，組成一個三位數，則不同的三位數的個數是：

A.36B.72C.144D.216

2.若集合A中有m個元素，集合B中有n個元素，則集合A和集合B的笛卡爾積中元素的個數是：

A.m+nB.mnC.m-nD.2mn

3.在5個不同的球中取出3個球，不同的取法共有：

A.5B.10C.15D.20

4.從1到10中任取5個不同的數字，能組成沒有重復數字的五位數的個數是：

A.5040B.2520C.504D.252

5.在5個不同的球中取出3個球，取出的球可以是任意3個，不同的取法共有：

A.5B.10C.15D.20

6.若集合A中有m個元素，集合B中有n個元素，且A∩B中有k個元素，則A∪B中有多少個元素？

A.m+n-kB.m+n+kC.m-n+kD.m-n-k

7.在5個不同的球中取出3個球，取出的球必須包含某個特定的球，不同的取法共有：

A.4B.8C.10D.16

8.從1到10中任取5個不同的數字，能組成有重復數字的五位數的個數是：

A.5040B.2520C.504D.252

9.在5個不同的球中取出3個球，取出的球必須包含某個特定的球，不同的取法共有：

A.4B.8C.10D.16

10.若集合A中有m個元素，集合B中有n個元素，則A∩B中有多少個元素？

A.m+n-kB.m+n+kC.m-n+kD.m-n-k

11.從1到10中任取5個不同的數字，能組成沒有重復數字的五位數的個數是：

A.5040B.2520C.504D.252

12.在5個不同的球中取出3個球，取出的球可以是任意3個，不同的取法共有：

A.5B.10C.15D.20

13.若集合A中有m個元素，集合B中有n個元素，則集合A和集合B的笛卡爾積中元素的個數是：

A.m+nB.mnC.m-nD.2mn

14.在5個不同的球中取出3個球，取出的球必須包含某個特定的球，不同的取法共有：

A.4B.8C.10D.16

15.從1到10中任取5個不同的數字，能組成有重復數字的五位數的個數是：

A.5040B.2520C.504D.252

16.若集合A中有m個元素，集合B中有n個元素，且A∩B中有k個元素，則A∪B中有多少個元素？

A.m+n-kB.m+n+kC.m-n+kD.m-n-k

17.在5個不同的球中取出3個球，取出的球可以是任意3個，不同的取法共有：

A.5B.10C.15D.20

18.從1到10中任取5個不同的數字，能組成沒有重復數字的五位數的個數是：

A.5040B.2520C.504D.252

19.若集合A中有m個元素，集合B中有n個元素，則集合A和集合B的笛卡爾積中元素的個數是：

A.m+nB.mnC.m-nD.2mn

20.在5個不同的球中取出3個球，取出的球必須包含某個特定的球，不同的取法共有：

A.4B.8C.10D.16

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.排列組合中，如果事件A和事件B不可能同時發生，那么它們的和事件A∪B的概率等于事件A的概率加上事件B的概率。（）

2.在排列問題中，如果有重復元素，則排列數是所有元素的全排列數除以重復元素的全排列數。（）

3.組合問題中，順序不重要，所以兩個元素的組合與這兩個元素交換順序后仍然是一個有效的組合。（）

4.在組合問題中，如果從n個不同元素中取出k個元素的組合數等于從n-k個元素中取出k個元素的組合數，那么n和k滿足n=k。（）

5.從n個不同的球中取出r個球，如果沒有放回地取出，那么取出的球是有序的。（）

6.在排列問題中，如果有重復元素，則排列數是所有元素的全排列數除以重復元素的全排列數乘以重復元素的排列數。（）

7.組合問題中，從n個不同元素中取出k個元素的組合數與從n-k個元素中取出k個元素的組合數相等。（）

8.如果從n個不同元素中取出r個元素的組合數是C(n,r)，那么從n個不同元素中取出r個元素的排列數是C(n,r)乘以r!。（）

9.在組合問題中，從n個不同元素中取出k個元素的組合數等于從n個不同元素中取出k個元素的排列數除以k!。（）

10.如果事件A和事件B互斥，那么它們的和事件A∪B的概率等于事件A的概率加上事件B的概率再減去1。（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述排列和組合的基本區別。

2.解釋組合數C(n,k)的含義及其計算公式。

3.如何計算在有重復元素的排列問題中的排列數？

4.在求解排列組合問題時，如何判斷是使用排列公式還是組合公式？

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述在解決排列組合問題時，如何處理元素重復的情況，并舉例說明。

2.分析排列組合問題在實際生活中的應用，舉例說明其在數學、計算機科學、統計學等領域的具體應用場景。

試卷答案如下：

一、單項選擇題

1.B.72

解析思路：從9個數字中取3個數字組成三位數，第一位有9種選擇，第二位有8種選擇，第三位有7種選擇，因此總共有9×8×7=504種組合，但由于三位數的順序可以任意，所以實際排列數為504/3!（因為每個三位數可以旋轉3!種方式得到不同的順序），即504/6=84種不同的三位數。

2.B.mn

解析思路：笛卡爾積是由兩個集合的所有可能的配對組成的集合，所以如果集合A有m個元素，集合B有n個元素，那么它們的笛卡爾積將有m×n個元素。

3.C.15

解析思路：從5個不同的球中取出3個球，可以通過組合公式C(5,3)計算，即5!/(3!×(5-3)!)=10，但由于取出的球是無序的，所以實際組合數為10/3!=15種。

4.A.5040

解析思路：從1到10中任取5個不同的數字，首先選擇第一個數字有10種可能，第二個數字有9種可能，以此類推，直到第五個數字有6種可能。因此，總共有10×9×8×7×6=30240種可能，但由于五位數的順序可以任意，所以實際排列數為30240/5!=5040種。

5.C.15

解析思路：與第三題類似，從5個不同的球中取出3個球，可以通過組合公式C(5,3)計算，即5!/(3!×(5-3)!)=10，但由于取出的球是無序的，所以實際組合數為10/3!=15種。

6.A.m+n-k

解析思路：集合A和集合B的并集A∪B包含所有在A或B中的元素，因此元素總數為A的元素數加上B的元素數減去A和B的交集元素數，即m+n-k。

7.A.4

解析思路：如果必須包含某個特定的球，那么首先選擇這個特定的球有1種方法，然后從剩余的4個球中選擇2個球，有C(4,2)種方法，即4!/(2!×(4-2)!)=6種方法，但由于取出的球是無序的，所以實際組合數為6/2!=3種，因此總共有1×3=3種不同的取法。

8.D.252

解析思路：從1到10中任取5個不同的數字，首先選擇第一個數字有10種可能，第二個數字有9種可能，以此類推，直到第五個數字有6種可能。因此，總共有10×9×8×7×6=30240種可能，但由于五位數的順序可以任意，所以實際排列數為30240/5!=5040種。但是，這包括了所有可能的數字組合，包括有重復數字的情況。因此，需要從總排列數中減去有重復數字的組合數。有重復數字的組合數是從剩余的5個數字中選擇4個數字，有C(5,4)種方法，即5!/(4!×(5-4)!)=5種方法，但由于五位數的順序可以任意，所以實際排列數為5/4!=5種，因此有重復數字的組合數為5040-5=5035種。

9.A.4

解析思路：與第七題類似，如果必須包含某個特定的球，那么首先選擇這個特定的球有1種方法，然后從剩余的4個球中選擇2個球，有C(4,2)種方法，即4!/(2!×(4-2)!)=6種方法，但由于取出的球是無序的，所以實際組合數為6/2!=3種，因此總共有1×3=3種不同的取法。

10.A.m+n-k

解析思路：與第六題相同，集合A和集合B的并集A∪B包含所有在A或B中的元素，因此元素總數為A的元素數加上B的元素數減去A和B的交集元素數，即m+n-k。

二、判斷題

1.×

解析思路：事件A和事件B不可能同時發生時，它們的和事件A∪B的概率等于事件A的概率加上事件B的概率減去事件A和事件B同時發生的概率。

2.×

解析思路：排列問題中，如果有重復元素，則排列數是所有元素的全排列數除以重復元素的全排列數乘以重復元素的選擇數。

3.√

解析思路：組合問題中，順序不重要，所以兩個元素的組合與這兩個元素交換順序后仍然是一個有效的組合。

4.×

解析思路：在組合問題中，從n個不同元素中取出k個元素的組合數等于從n-k個元素中取出k個元素的組合數，但這并不意味著n和k必須相等。

5.√

解析思路：從n個不同的球中取出r個球，如果沒有放回地取出，那么取出的球是有序的，因為每次取球都會改變剩余球的數量。

6.×

解析思路：排列問題中，如果有重復元素，則排列數是所有元素的全排列數除以重復元素的全排列數乘以重復元素的選擇數。

7.√

解析思路：在組合問題中，從n個不同元素中取出k個元素的組合數等于從n-k個元素中取出k個元素的組合數。

8.×

解析思路：如果從n個不同元素中取出r個元素的組合數是C(n,r)，那么從n個不同元素中取出r個元素的排列數是C(n,r)乘以r!，但這個陳述是錯誤的，因為排列數是C(n,r)乘以r!。

9.√

解析思路：在組合問題中，從n個不同元素中取出k個元素的組合數等于從n個不同元素中取出k個元素的排列數除以k!。

10.×

解析思路：如果事件A和事件B互斥，那么它們的和事件A∪B的概率等于事件A的概率加上事件B的概率，但不減去1。

三、簡答題

1.排列和組合的基本區別在于順序是否重要。排列問題中順序重要，即不同順序的排列被視為不同的排列；而組合問題中順序不重要，即不同順序的組合被視為相同的組合。

2.組合數C(n,k)表示從n個不同元素中取出k個元素的不同組合方式的數量。其計算公式為C(n,k)=n!/(k!(n-k)!），其中n!表示n的階乘，即n×(n-1)×(n-2)×...×1。

3.在有重復元素的排列問題中，首先計算所有元素的全排列數，然后除以重復元素的全排列數乘以重復元素的選擇數。例如，如果有3個相同的球和2個不同的球，要排列成一行，總排列數為5!，但由于3個相同的球可以互換位置，所以需要除以3!，最終排列數為5!/3!。

4.在求解排列組合問題時，判斷使用排列公式還是組合公式的方法是：如果問題涉及到順序，即不同順序的結果被視為不同，則使用排列公式；如果問題不涉及順序，即不同順序的結果被視為相同，則使用組合公式。

四、論述題

1.在解決排列組合問題時，處理元素重復的情況通常涉及使用排列公