2025年九年級數學中考三輪沖刺練習二次函數的性質練習

一、選擇題

1.已知關于x的二次函數、=/+2亦+3。2+3,當尤22時，y隨x的增大而增大，且-2Wx

W1時，y的最大值為9,則a的值為（）

A.V2B.1C.1或-2D.-V2^V2

2.已知一個二次函數y^cvr+bx+c的自變量x與函數y的幾組對應值如下表，則下列結論

正確的是（）

X…-4-20246

y…-1192125219

A.當x<0時，y隨尤的減小而減小

B.圖象的開口向上

C.圖象只經過第一，二，三象限

D.圖象的對稱軸為x=-2

3.無論Z為何實數，直線y=2fcc+l和拋物線y=/+x+A（）

A.有一個公共點

B.有兩個公共點

C.沒有公共點

D.公共點的個數不能確定

4.已知二次函數y=a（x-1）2-q（aW。），當-1時，y的最小值為-4,則a的值

為（）

11414

-源4-C-----

A.?23D.2M-3

5.如圖，已知拋物線y=a7+6x經過等腰直角△OAB的三個頂點，點人在了軸上，點8是

A.2B.V2C.-2D.-V2

二、填空題

6.已知二次函數y=o?+6x+c中，函數y與自變量x的部分對應值如表:

???

X…345678

y…-3114415041m???

則表格中m的值是

7.已知二次函數y=o?+bx+c(a>0)圖象的對稱軸為直線x=2,且經過點(-1,W)、(4,

”)，試比較大小：yiy2.(填“或“=”)

8.已知拋物線>=加/-如-4X+4,回答下列問題：

(1)無論相取何值，拋物線恒過定點和;

(2)當根<0且拋物線的頂點位置最高時，拋物線經過兩點(2,yi),(n,”)，滿足yi

<”，則〃的取值范圍是.

9.拋物線y=f+bx+c的頂點為B,點A(xi,yi),點C(x2,y2)為拋物線上的點.若4

ABC是底角為30°的等腰三角形，且xi+x2=-b,則△ABC的面積

為.

10.已知函數y=/-6x+3,當左-4?/時，若y的最大值與最小值之差為8,則k=.

三、解答題

11.已知二次函數-4辦+2(a為常數，且aWO).

(1)若函數圖象過點(1,0),求。的值；

(2)當2WxW5時，函數的最大值為最小值為N,若M-N=12,求a的值.

12.已知拋物線y=ax1+bx+c(。>0),M(xi,yi),N(X2,y2)是拋物線上兩點，拋物線

的對稱軸是直線工=九

(1)當％=2時，

①直接寫出人與〃滿足的等量關系；

②若yi="，貝!Jxi+x2=.

(2)已知xi=/-3,12=什1,點C(x3,”)在拋物線上.當3VX3<4時，總有yi>”

>"，求才的取值范圍.

13.在平面直角坐標系xOy中，點A/(xi,yi),NQxi,>2)是拋物線丁=/-2QX+C(〃>

0)上任意兩點.

(1)直接寫出拋物線的對稱軸；

(2)若xi=4+1,x2=a+2,比較yi與>2的大小，并說明理由；

(3)若對于mVxiV根+1,m+1V%2+2,總有yiV”，求機的取值范圍.

14.已知拋物線y=-7+6x+c(b,c為常數)的頂點橫坐標是拋物線y=-7+4x+c頂點橫

坐標的2倍.

(1)求6的值；

(2)點A(xi,yi)在拋物線y=-x2+4x+c上，點B(.xi+m,yi+f)在拋物線y=~jC'+bx+c

上.

①求f(請用含機，xi的代數式表示)；

②若無1=根+1且-1WXIW2,求f的最大值.

15.已知拋物線y=-/+云(b為常數)的頂點橫坐標比拋物線y=-7+2元的頂點橫坐標

大L

(1)求6的值；

(2)點A(xi,聲)在拋物線y=-x2+2x上，點B(xi+t,yi+h^在拋物線y=-/+6x

上.

(i)若h=3t,且xi》O,f>0,求//的值；

(ii)若=求/i的最大值.

參考答案

、選擇題

題號12345

答案BABBC

二、填空題

6.已知二次函數〉=〃/+版+。中，函數y與自變量工的部分對應值如表:

x???345678…

y???-3114415041m…

則表格中m的值是14.

【解答】解：當％=5時，y=41,當x=7時，y=41,

對稱軸為：直線x==6,

（4,14）和（8,m）關于直線x=6對稱，

???加=14,

故答案為：14.

7.已知二次函數（。>0）圖象的對稱軸為直線冗=2,且經過點（-1,yi）、（4,

"）,試比較大小：VI>V2.（填或“=”）

【解答】解：由題意，??,拋物線對稱軸是直線x=2,〃>0,

???拋物線上的點離對稱軸越近函數值越小.

又???|-1-2|=3>|4-2|=2,

?\yi>y2.

故答案為：>.

8.已知拋物線丁=加%2-小-4X+4,回答下列問題：

（1）無論m取何值，拋物線恒過定點（0,4）和（1,0）；

（2）當機<0且拋物線的頂點位置最高時，拋物線經過兩點（2,yi）,（九，”），滿足yi

V”，則1的取值范圍是7<n<2.

【解答】解：（1）由題意，^y=nv?-mx-4x+4=m（x2-x）-4x+4,

:?令？-x=0,貝Ux=0或x=l.

???當％=0時，y=4；當x=l時，y=0?

，無論用取何值，拋物線恒過定（0,4）,（1,0）.

故答案為：(0,4),(1,0).

(2)由題意，對稱軸是直線1=-募=宗

Vm<0,

???拋物線上的點離對稱軸越近函數值越大.

又,「yiV”，

11

???|2-/>|〃一升

???-l<n<2.

故答案為：-1V〃V2.

9.拋物線y=W+fcc+c的頂點為9點A(xi,山)，點C(%2,”)為拋物線上的點.若4

V3

ABC是底角為30°的等腰三角形，且xi+%2=-b,則△ABC的面積為一.

-9-

【解答】解：由題意可知拋物線的對稱軸為y軸，則b=0,

??y+c,

：.B(0,c),

設C(m,〃)，則A(-zn,〃)，如圖，

???△ABC是底角為30°的等腰三角形，

??BD=耳m,

OD=^-m+c,BPn=^-m+c,

把C的坐標代入y=x2+c得，—m+c=m2+c,

解得加=字，m=0(舍去)，

，AC=孥,BD=1,

人一,,112V31V3

AABC的面積為：一ZC?BD=一x-----x-=—.

22339

V3

故答案為：—.

10.已知函數y=W-6x+3,當左-4WxW左時，若y的最大值與最小值之差為8,則k=—7-

或3+2V2_.

【解答】解：當左時，-6x+3=(x-3)2-6,

分情況討論如下：

①當左-4WxW%W3時，即發W3,

x=Z時，y取得最小值，此時y=F-6k+3；

x=/-4時，y取得最大值，此時y=（）1-4）2-6」-4）+3；

（左-4）2-61-4）+3-（A2-6fc+3）=8,解得：k=4,

\'k<3,

.,.k=4不符合題意；

②當左-4W3且上23時，即3〈人W7,此時最小值為y=-6,

當尤=%-4取得最大值時，y=（4-4）2-6（左-4）+3,

（火-4）2-6（4-4）+3-（-6）=8,

解得：k=7±2&,

?：3WkW7,7+2V2>7,

：.k=7+2&不符合題意；

：.k=7-2&符合題意；

當尤=左取得最大值時，y^k2-6k+3,

-6k+3-（-6）=8,

解得：k=3±2vL

由條件可知：k=3+2&符合題意，k=3-2&不符合題意，

：.k=3+2V2；

③當時，即%》7,

x=k-4時，y取得最小值，此時尸（4-4）2-6（左-4）+3；x=左時，y取得最大值,

此時y=S-6k+3；k1-6k+3-[（k-4）2-6（左-4）+3]=8,解得:k=6,

,:kA,

:.k=6不符合題意；

綜上所述,當k-4WxW左時，若y的最大值與最小值之差為8"的值為7-2或或3+2/.

故答案為：7-2魚或3+2魚.

三、解答題

11.已知二次函數>=。尤2-4辦+2（0為常數，且aWO）.

（1）若函數圖象過點（1,0）,求a的值；

（2）當2WxW5時，函數的最大值為最小值為N,若M-N=12,求a的值.

【解答】解：（1）???二次函數y=/-4辦+2的圖象過點（1,0）,

'.a-4〃+2=0,

??4=］；

(2)-4〃x+2=〃(x-2)2+2-4Q,

???拋物線的頂點為(2,2-4〃)，

??x—'2時，-4Q,

當x=5時，y=25a-20Q+2=5Q+2,

當〃>0時，當2WxW5時，M=5o+2,N=2-4Q,

'：M-N=12,

：.5a+2-(2-4。)=12,

4

4--

3

當“VO時，當2W%W5時，N=5〃+2,M=2-4tz,

?:M-N=12,

：.2-4a-(5〃+2)=12,

4

4

3;4

坊--

33

12.已知拋物線y=a}T+bx+c(a>0),M(xi,yi),N(%2,”)是拋物線上兩點，拋物線

的對稱軸是直線x=￡.

(1)當/=2時，

①直接寫出b與〃滿足的等量關系；

②若yi=y2,則xi+x2=4.

(2)已知xi=/-3,工2=什1，點。(%3,*)在拋物線上.當3<X3<4時，總有

>”，求才的取值范圍.

【解答】解：⑴①???仁一,=2,

??2?=14。；

@*：M(xi,yi),N(X2,”)是拋物線上兩點，

??M(xi,yi),N(X2,>2)關于對稱軸對稱，

??,拋物線的對稱軸為直線1=2,

/.X1+X2—4.

故答案為：4；

(2)由題意可知，M(xi,yi)在對稱軸的左側，N(X2,”)在對稱軸的右側，

??,點C(X3,”)在拋物線上，3<X3<4,

???點C(%3,”)關于對稱軸的對稱點為(2/-X3,"),

2t~4<2/-抬<2/-3,

當點C(X3,")在對稱軸的左側時，

??,當3VX3V4時，總有山>”>”，

+解得5WW6；

當點C(尤3,”)在對稱軸的右側時，

:當3<后<4時，總有yi>*>y2,

???{/建工4,解得1S；

：.t的取值范圍是1W/W2或5W/W6.

13.在平面直角坐標系xOy中，點M(xi,yi),N(%2,”)是拋物線-2QX+C(〃>

0)上任意兩點.

(1)直接寫出拋物線的對稱軸；

(2)若xi=〃+l,X2=〃+2,比較yi與y2的大小，并說明理由；

(3)若對于mVxi〈m+1,m+1VX2〈M+2,總有yiV”，求機的取值范圍.

【解答】解：(1)拋物線>=以2-2QX+C(〃>0)的對稱軸為：x=—2=1,

???拋物線的對稱軸為直線x=l；

9

(2)：a>0f拋物線開口向上，對稱軸為直線x=l；

：.M(xi,yi),N(X2,>2)都在對稱軸右側，

???當%>1時，y隨x的增大而增大，且％1〈X2,

.'.yi<y2；

(3)Vm<xi<m+Lm+l<x2<m+2,

.2m+lx±+x22m+3

9?y\<yi,〃>0,

：.M(xi,yi)距離對稱軸更近，xi〈x2,則MN的中點在對稱軸的右側,

1

解得：m>2?

14.已知拋物線y=-f+bx+c(。，c為常數)的頂點橫坐標是拋物線y=-%2+4%+c頂點橫

坐標的2倍.

(1)求b的值；

(2)點A(xi,yi)在拋物線y=-x2+4x+c上，點B(xi+m,yi+力在拋物線y=-/+/?x+c

上.

①求/(請用含出xi的代數式表示)；

②若xi=m+l且-1WxiW2,求t的最大值.

【解答】(1)解：Vy=-X2+4X+C=-(x-2)2+c+4,

???拋物線尸-W+4x+c頂點橫坐標為2,

Vy=-*+bx+c的頂點橫坐標為汽=且為拋物線y=-X2+4X+C頂點橫坐標的2倍，

b

=2X2,

2

解得6=8；

(2)①二?點A(xi,yi)在拋物線丁=-X2+4X+C_b,點、B(xi+m,yi+力在拋物線y=-

j^+bx+c_b.b=3,

.*.yi=—+4xi+c,yi+￡=-(xi+m)2+8(xi+m)+c,

.\t=-(xi+m)2+8(xi+m)+c-yi,

即/=-(xi+m)2+8(xi+m)+c-(—淄+4xi+c),

.?./=-m+4xi-2mxi+8m,

②?.”1=機+1,

'.t=-m+4xi-2mxi+8m

=-