2025年高考數學總復習《立體幾何》專項測試卷及答案

（考試時間：120分鐘；試卷滿分：150分）

學校:姓名：班級：考號：

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.在四面體A3CD中，ABLBC,AB=1,AD=CD=2應,BC=^,則四面體A3CD外接球的體積為（）

A“n164-e32%

A.167rB.------C.327rD.

33

2.如圖所示，在正方體-446。中，E為線段4G上的動點，則下列直線中與直線CE夾角為定值

A.直線ACB.直線4。

C.直線3。D.直線4A

3.若平面a截球。所得截面圓的面積為12兀，且球心。到平面a的距離為0,則球。的表面積為（）

A.48無B.50KC.56兀D.64元

4.在三棱柱A3C-A耳C中，A41ABC,..ABC是等邊三角形，D是棱的中點，E在棱BB}

上，且BE=34E.若AAi=2AB,則異面直線AC與DE所成角的余弦值是（）

A回。而

A.-----D.---------

1020

L.-----U?---------

55

5.《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽之作，書中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角

圓錐，若直角圓錐底面圓的半徑為1,則其內接正方體的棱長為（）

A.72-1B.72+1C.2-72D.忘

6.阿基米德多面體是由邊數不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現了數學的對稱美.將正方體沿交

于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到的阿基米德多面體，如圖所示.則該

多面體所在正方體的外接球表面積為（）

C.8兀D.12九

7.甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為2兀，兩圓錐的表面積分別為岳和邑，內切

S,5b.

球半徑分別為乙和為.若寸=5,則7r的值是（）

d2Zb2

A.竺B.巫C.亞D.癡

455

8.半正多面體是由邊數不全相同的正多邊形為面的多面體，如圖所示的多面體ABCD-就是一個半

正多面體，其中四邊形ABCD和四邊形EFGH均為正方形,其余八個面為等邊三角形，己知該多面體的所

有棱長均為2,則平面ABCD與平面之間的距離為（）

A.V2B.我C.—D.巫

22

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.如圖，在正四棱柱ABCD-ABiGA中，AAl=2AB,尸為AA】的中點，。為4。上的動點，下列結論正

確的是（）

A.若尸。〃平面ABCD,則4Q=；ACB.若尸?！ㄆ矫鍭BCD,則AQ=g4C

D.若尸。上平面尸班>,則AQ=：AC

C.若PQ工平面PfiD,則

10.關于空間向量，以下說法正確的是（）

A.已知任意非零向量a=（乙,乂，4）,/>=（0％/2），若ab,則，=""=/

X2%22

B.若對空間中任意一點。，^OP=yOA+^OB+^-OC,則P,C四點共面

632

C.設｛。,九力是空間中的一組基底，則｛。+6,6,4-耳也是空間的一組基底

13

D.若空間四個點P,A,8,C,PC=：E4+=P8,則A,民C三點共線

44

11.在等腰梯形ABCD中，點。1,。2，石分別為C2A民BC的中點，以O。?所

在直線為旋轉軸，將梯形旋轉180。得到一旋轉體，則（）

A.該旋轉體的側面積為6萬

B.該旋轉體的體積為△國

3

C.直線AE與旋轉體的上底面所成角的正切值為逑

5

兀

D.該旋轉體的外接球的表面積為27罟

12.如圖1,矩形得BCG由正方形用A4A與AACG拼接而成.現將圖形沿AA對折成直二面角，如圖2.點

P（不與4,C重合）是線段上的一個動點，點E在線段上，點尸在線段4G上，且滿足PELAB,

PF±AG,則（）

41q

圖i

BAC

A.PE=PF

2冗

C.N￡7獷的最大值為三D.多面體CE4EP的體積為定值

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.一個正四棱臺的下底面周長與上底面周長之差為16,且其側面梯形的高為2岔，則該正四棱臺的高

為.

14.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，S是平面ABC。外一點，M為SC上一點，若81〃平面MD3,則

SM

~MC

15.在四棱錐尸-ABC。中，底面ABCD是正方形，PAL底面ABCD.若四棱錐P-ABCD的體積為9,且其

頂點均在球。上，則當球。的體積取得最小值時，AP=.

16.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內容，在數學上用曲率刻畫空間彎曲性.規定：多面體的頂點的曲

率等于2兀與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體

面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點有

3個面角，每個面角是:，所以正四面體在每個頂點的曲率為2兀-3義；=兀，故其總曲率為4兀.根據曲率的

定義，正方體在每個頂點的曲率為,四棱錐的總曲率為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

17.（10分）

如圖，在直三棱柱ABC-A耳G中，AB=AC=A4,=2,/8AC=90,E,歹分別為CG，BC的中點.

(1)求異面直線\B與所所成角的余弦值；

(2)求點B］到平面AEF的距離；

(3)求平面AEF與平面AE8夾角的余弦值.

18.(12分)

Appp

如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A3CQ是平行四邊形，E,尸分別為上的點，且生=2.

EBFD

AEB

⑴證明：AF〃平面PCE；

⑵若PDL平面438,E為A3的中點，PD=AD=CD,ZBAD=60°,求二面角尸一“一尸的正切值.

19.（12分）

如圖，在五面體ABCDfF中，面ADE_L面ABC。，ZADC=90°,EFP^ABCD,AE=DE=DC=2,EF=1,

AB=3,二面角A-ZX7-尸的平面角為45.

⑴求證：CD〃面ABFE；

⑵點P在線段AE上，且AP=2PE,求二面角P-/C-3的平面角的余弦值.

20.（12分）

如圖，是半球。的直徑，AB=4,M,N是底面半圓弧A3上的兩個三等分點，尸是半球面上一點，且

ZPON=60°.

（2）若點尸在底面圓內的射影恰在ON上，求直線尸河與平面上4B所成角的正弦值.

21.（12分）

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，且平面平面ABCD.O,E分別是BC,以的中

點，經過0,D,E三點的平面與棱尸B交于點尸，平面尸3Cc平面上4。=/,直線DE與直線/交于點G.

⑴求百的值；

⑵若PB=PC=CD=2,求多面體尸OCD跖的體積.

22.（12分）

無數次借著你的光，看到未曾見過的世界：國慶七十周年、建黨百年天安門廣場三千人合唱的磅礴震撼，“930

烈士紀念日”向人民英雄敬獻花籃儀式的凝重莊嚴-.171金帆合唱團，這絕不是一個抽象的名字，而是艱

辛與光耀的延展，當你想起他，應是四季人間，應是繁星璀璨！這是開學典禮中，我校金帆合唱團的頒獎

詞，聽后讓人熱血沸騰，讓人心向往之.圖1就是金帆排練廳，大家都親切的稱之為“六角樓”，其造型別致，

可以理解為一個正六棱柱（圖2）由上底面各棱向內切割為正六棱臺（圖3）,正六棱柱的側棱D"交AR的

延長線于點經測量/與。"=12,且43=10.4耳=8?皿1220.2）

圖I

圖2

圖3

(1)寫出三條正六棱臺的結構特征.

(2)“六角樓”一樓為辦公區域，二樓為金帆排練廳，假設排練廳地板恰好為六棱柱中截面，忽略墻壁厚度，

估算金帆排練廳對應幾何體體積.(棱臺體積公式：V=g/7(S+回+S))

(3)“小迷糊”站在“六角樓嚇，陶醉在歌聲里.“大聰明”走過來說：“數學是理性的音樂，音樂是感性的數學.

學好數學方能更好的欣賞音樂，比如咱們剛剛聽到的一個復合音就可以表示為函數

S(x)=sinx+gsin2x(xeR),你看這多美妙!”

“小迷糊”：”.....”

親愛的同學們，快來幫“小迷糊”求一下S(x)的最大值吧.

參考答案

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.在四面體ABCD中，AB_LBC,AB=l,AD=a)=2A/5,2C=小，則四面體ABCD外接球的體積為()

A“c16萬—-32萬

A.16%B.------C.32?D.------

33

【答案】D

【解析】

A

因為AB=l,BC=A/15,所以AC=JAB，+3C：=4.

又AD=CD=2。所以Ar>2+CC>2=AC2,故AD_LCD.

取AC的中點。，則。到四面體ABCD四個頂點的距離均為2,即四面體ABCD外接球的半徑為2,則四而

體ABC。外接球的體積為47:r/23=D子TP.

33

故選：D.

2.如圖所示，在正方體ABC。-A耳GR中，E為線段4G上的動點，則下列直線中與直線CE夾角為定值

的直線為（）

A.直線ACB,直線4。

C.直線3DD.直線AA

【答案】C

【解析】

設正方體的棱長為1,

如圖，以。為原點，分別以n4,oc,。〃為％yz軸建立空間直角坐標系,

4(1,0,0),￡>(0,0,0),C(0,l,0),8(1,1,0),A。，?！?，

設xe[0,l],則CE=(l-x,x-l/)，AC=(-1,1,0),4。=(一1,0,-1),8￡>=(-1,-1,0),

AA=(0,0,-l),

uuruum

/uuruum-CEAC|2x-2|

cos(CE1,ACuur1i1iuUuUmP—/，不是定值，故A錯;

CE,||AC《2(1-x)2+lx亞

uuruuir

CEA.D

I/UUTUULTyi一x-2|

uui11uuir,不是定值，故B錯;

CE^D"(l-xp+lxE

uuruum

I/uuruum,CEBD

所以直線CE與直線3。所成角為F7T，故C正確;

cos(CE,BDUUI11UUUl=0,

CE\\BD

uiiruuir

/uuruua，CEAjA-1

cos(CE,A4lllll11LllllT,不是定值，故D錯.

2

CE^2(1-x)+1x72

故選：C.

3.若平面。截球。所得截面圓的面積為12兀，且球心。到平面a的距離為及，則球。的表面積為（）

A.48兀B.50KC.5671D.64兀

【答案】c

【解析】由平面a截球。所得截面圓的面積為1271,得此截面小圓半徑r=2^3,而球心到此小圓距離d=①,

因此球。的半徑尺,有我2=/+儲=]4,

所以球。的表面積S=4TTR2=5671.

故選：C

4.在三棱柱ABC-A與G中，明，平面A3GABC是等邊三角形，D是棱BC的中點，E在棱BB,

上，且BE=3BR若AA,=2AB,則異面直線AC與DE所成角的余弦值是（）

一

【答案】B

【解析】取AB中點尸，連接DF,EF,

因為D是BC的中點，所以

即異面直線AC與DE所成角就是平面NED尸或補角,

假設AB=2,因為AABC是等邊三角形，所以。尸=1,

因為3E=34E,A4,=2AB,

所以AA=4,BE=3,

因為平面ABC,則ABC-A4G為直三棱柱，

所以=EF=回,

在ZXDEF中，c"/m=型±竺工=竺±導

2DEDF2xV10x：

故異面直線AC與DE所成角余弦值為巫.

故選：B.

Bi

E

Q'、、、

5.《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽之作，書中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角

圓錐，若直角圓錐底面圓的半徑為1,則其內接正方體的棱長為（）

A.72-1B.近+1C.2-應D.V2

【答案】C

【解析】

s

沿正方體上底面的對角線作圓錐的軸截面，如圖所示,

由題知SEF為等腰直角三角形，OE=1,二SO=1,

設正方體的棱長CC'=VIx，

則==SN=1一行x，

則由,SNC與,S匿相似可得票二荒即：二中,

1

=72-1,所以正方體棱長為2-0.

故選：C.

6.阿基米德多面體是由邊數不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現了數學的對稱美.將正方體沿交

于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到的阿基米德多面體，如圖所示.則該

多面體所在正方體的外接球表面積為（）

A.167tB.9兀C.8兀D.127r

【答案】D

【解析】將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，截面三角形邊長為友,

則原正方體棱長的一半為1,即多面體所在正方體的棱長為2,

可得正方體體對角線長26，外接球半徑為后，

所以外接球表面積為4TIx（石尸=12TI.

故選：D.

7.甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為2兀，兩圓錐的表面積分別為豆和S2,內切

S.5b,

球半徑分別為4和2.若才萬，貝嵋的值是（）

A.里B.aC.亞D.加

455

【答案】C

【解析】兩圓錐的母線長為/,甲圓錐底面半徑為弓，乙圓錐底面半徑為2，

9jrr?7r尸

由圓心角之和為2兀，得寧+寧=2兀，則/+4=/,

又3=無￡+"[=：，即2/+2〃=51+5堀，將3+4=/代入，

S2Ttr2+?！?2

所以2弓?+2石（石+弓）=5^+52（石+外,

21

即47-3和-10弓2=0,所以4=2々，從而/；=§/,r2^-l.

由圓錐內切球半徑公式得，1=當=?"=也=止口匚,

與兀4+?！?+/r\+l

所以包=仁日，將4=3代入皋=1—，解得“二空I,同理可得優=1/,所以3=冬￥.

44+/32/2/+/156b25

33

故選：C.

8.半正多面體是由邊數不全相同的正多邊形為面的多面體，如圖所示的多面體ABCD-￡FGH就是一個半

正多面體，其中四邊形ABCD和四邊形屏68均為正方形，其余八個面為等邊三角形，已知該多面體的所

有棱長均為2,則平面A3CD與平面EFGH之間的距離為（）

A.&B.我C.fD.萼

【答案】B

【解析】分別取BCAD的中點M,N,連接MN,MG,NE,EG,

F

根據半正多面體的性質可知，四邊形EGMN為等腰梯形；

根據題意可知BC±MN,BC±MG,

而建VMG=M,MN,MGu平面EGMN,

故平面EGMV,又3Cu平面ABCD,

故平面ABCD」平面EGMZV,則平面EFG77_L平面EGMN,

作MS_LEG,垂足為S,平面EFG4〕平面EGAW=EG,

MSu平面EGMV,故MS_L平面￡FGH,

則梯形EGMN的高即為平面ABC。與平面EFGH之間的距離;

MG=2x—=瓜SG=2忘一2=0一1,

22

故MS=^MG--SG-=73-（72-1）2=7272=施，

即平面至儀）與平面EFGH之間的距離為雙,

故選：B

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.如圖，在正四棱柱ABC。-AgC.中，AAi=2AB,P為的中點，Q為上的動點，下列結論正

確的是（）

A.若PQ〃平面ABC。，則AQ=；ACB.若PQ〃平面A3CD,則

C.若尸。工平面PSD,則AQ=；ACD.若P。/平面P6D,則AQ=gaC

【答案】BD

【解析】如圖建立空間直角坐標系，令44t=2AB=2,則。（0,0,0）,C（O,1,O）,3（1,1,。），尸（1,0,1）,4（1,0,2）,

則DB=（I,I,O）,L>P=（1,0,1）,AC=（-LL-2）,P4=（0,0,1）,

,、n-DP=x+z=0/、

設平面尸瓦>的法向量為〃=（x,y,z）,貝叫,取〃=（1,一1,一1）,

n?DB=x+y=0

又平面ABC。的法向量可以為機=（0,0,1）,

設AQ=X4C,2G[0,1],則尸。=尸4+4。=州+24。=（一441—24）,

ULIU11|

若PQ〃平面A8CD,則尸Q_L機，即PQ.加=1—22=0，解得a=/,

即=故A錯誤，B正確；

若P?！蛊矫嫔?，貝IJPQ//明貝|J序=A,即（―Z41—2X）=.（LT-1）,

-4=?A=—

31

所以4=T,解得[,即AQ=§AC,故C錯誤，D正確.

l-22=-tt=--

iI3

故選：BD

10.關于空間向量，以下說法正確的是（）

A.已知任意非零向量4=（4乂，4）,/>=（毛，％*2），若ab,則&=叢=，

X2%Z2

B.若對空間中任意一點。，有=++則P,A氏。四點共面

632

C.設｛a,b,e｝是空間中的一組基底，則｛d+6,b,a-6｝也是空間的一組基底

13

D.若空間四個點P,A,民C,PC=：PA+：PB,則A,B,C三點共線

44

【答案】BD

【解析】對于A：若〃6,貝1」2二工=幺，

了2%Z2

且無2，%，Z2H。，故A錯誤；

對于B,若對空間中任意一點。，

^OP^-OA+-OB+-OC,-+-+--1,

632632

\P,48,C四點共面，故B正確；

對于C,｛a,b,c｝是空間中的一組基底，

r1/r1/r

且人=］（＜7+6）—萬（。一外,：.a+b,b,a-b共面，

不可以構成空間的一組基底，故C錯誤；

13

對于D,若空間四個點P,A,8,C,PC=-PA+-PB,

44

13

:+==1,A,B,C三點共線，故D正確.

44

故選：BD

11.在等腰梯形A3CD中，A8〃CD,AB=8C=3,8=1,點q,Q，E分別為CO,AB,BC的中點，以。所

在直線為旋轉軸，將梯形旋轉180。得到一旋轉體，則（）

A.該旋轉體的側面積為6萬

B.該旋轉體的體積為出

3

C.直線AE與旋轉體的上底面所成角的正切值為逑

5

D.該旋轉體的外接球的表面積為27詈兀

【答案】ACD

【解析】由題意可知，所得到的旋轉體是圓臺，如圖.

因為AB=3,CD=1,

13

所以圓臺的上、下底面的半徑分別滿足Z=1.

又BC=3,

所以該圓臺的側面積s=+為）?BC=d；+|[x3=6;r，所以A正確.

過點C,D分別作CG，AS于點G,DH±AB于點H，

則AH="G=G3=1,所以0”=dAD2—AH2=&—f=2夜，

故該圓臺的體積V=,無（/+依+]）.￡）"=!兀化+』+2]X2A/5=^^,

3v'3（444）6

所以B錯誤.

易知圓臺的上、下底面平行，

所以直線AE與圓臺的上底面所成的角等于其與圓臺的下底面所成的角.

過點E作于點M.易知NM4E為直線AE與下底面所成的角.

y,AM=AB-MB=AB--BG=3--=5-,EM=-CG=-DH=A/2,

22

八…EM近20

所以tanNM4E=^=w=亍，所以c正確.

2

設該圓臺的外接球的半徑為H，球心為O,OQ=皿加＞0）.

當點0在線段。。2上時，OO}=2y/2-m.由R=O3=OC,得+OO；=西仁+00；,即

g+m2=￡+（2&一m）,解得〃j=3f.

當點0在線段。。2的延長線上時，OOx=2y[2+m.由R=O3=OC,得+=gc?+OO；,即

化簡，得4夜機=-6，此時機無解.

2

Q27

所以『+

T

則該旋轉體的外接球的表面積S=471H2=4兀、==三，所以D正確.

o2

故選：ACD

12.如圖1,矩形g3CG由正方形4區切與AACG拼接而亦現將圖形沿4A對折成直二面角，如圖2.點

P（不與瓦,C重合）是線段上的一個動點，點E在線段A8上，點b在線段AG上，且滿足PELAfi,

尸尸，AC，則（）

414q

圖1

BAC

A.PE=PF

2兀

C.N￡P尸的最大值為三D.多面體CE4EP的體積為定值

【答案】AC

【解析】設正方形片及里，AACC,的邊長為1因為AB,AC,朋兩兩垂直,

以A為坐標原點，分別以AB,AC44,所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則

4(0,0,0),5(1,0,0),4(1,0,1),A(0,0，l)，C(0,l,0),q(0,1,1),設。(x,%z),￡(%o,O,O),F(O,yo,l),

由4尸=24C(o<2<i),且bE_L/W,PF_LAG，

y=l-x

(龍一1,y,z—1)=2(—1,1,—1)

z=x

可得d-z>(l,0,0)=0,解得<

(-x,j0-y,l-z)-(0,1,0)=0

y

即尸(x,1—%,元)(0<x<1),E(x,0,0),F(0,1—x,1),

對于A中，|PE|=7(l-x)2+x2,|PF|=7X2+(X-1)2,可得陛卜附,

即附=|叫所以A正確;

對于B中，由尸E-4C=2x—l,所以當且僅當尤=J時，PEB1C=0,

即尸E_LgC,所以B錯誤；

/\PEPFx2-x1、1

對于c中，因為C0.PPEF'P相F”網網一工

1-xX

當且僅當尤=g時等號成立，由NEPP為鈍角，所以（PE,叫嗚,g],

即NEW的最大值為三2兀，所以C正確；

對于D中，多面體CE4EP的體積V=%_AEC+/T“=!（V+X），非定值，所以D錯誤.故選：AC.

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.一個正四棱臺的下底面周長與上底面周長之差為16,且其側面梯形的高為2班，則該正四棱臺的高

為.

【答案】2立

【解析】如圖：在正四棱臺鉆8-瓦狽,召。,硒分別為側面上的高以及棱臺的高,

設棱臺的上下底面的邊長分別為a,b,貝｝|4b-4a=16nb-a=4,

在等腰梯形池正中，EA=y]EQ2+AQ2=JEQ2+(=?2國+2?=4,

所以CM=EN=JAEZ—AN?=J42_[AC；EG]=卜一耳心。=2夜,

故棱臺的高為2垃,

故答案為：20

14.如圖，四邊形A5CD是平行四邊形，S是平面ABCD外一點，M為SC上一點，若曲〃平面則

SM

MC

【解析】連接AC交2￡）于點。，連接OM,

因為四邊形45co是平行四邊形，所以。為AC的中點,

因為SA〃平面平面SAC|平面MDB=OAf,SAu平面SAC,

所以&V/OM,

所以M為SC的中點,

所以■"

故答案為：1.

15.在四棱錐尸-ASCD中，底面ABCD是正方形，上4,底面ABCD若四棱錐尸-ABCD的體積為9,且其

頂點均在球。上，則當球。的體積取得最小值時，AP=.

【答案】3

【解析】如下圖所示，設四棱錐P-ABCD底面邊長為。，則該四棱錐的體積/_ABCD=g/?尸4=9,

所以尸4=可；設四棱錐P-ABCD的外接球半徑為R,

a

通過構造長方體可知滿足P^+AB1+AD1=4R2■

即4店=2/=2/+729。;

令/(a)=2a2+729。7,〃e(0,+co),貝!]/(。)=4(a-7294一1,令/(a)=0,即°=3；

當ae(0,3),廣(a)<0,ae(3,+?),/(?)>°，

所以,/⑷=2/+729/在(0,3)上單調遞減，在(3,+8)上單調遞增；即函數/⑷在。=3處取最小值,此

27

時外接球的半徑最小，體積最??；所以"=3,PA=—=3.

a'

故答案為：3

16.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內容，在數學上用曲率刻畫空間彎曲性.規定：多面體的頂點的曲

率等于2兀與多面體在該點的面角之和的差(多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制)，多面體

面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點有

3個面角，每個面角是所以正四面體在每個頂點的曲率為2兀-3、1=兀，故其總曲率為47r.根據曲率的

定義，正方體在每個頂點的曲率為,四棱錐的總曲率為.

【答案】471

22

TTTT

【解析】根據曲率的定義可得正方體在每個頂點的曲率為27r-3x===；

由定義可得多面體的總曲率=2萬x頂點數-各面內角和，

因為四棱錐有5個頂點，5個面，分別為4個三角形和1個四邊形，

所以任意四棱錐的總曲率為27rx5-(71x4+271x1)=4兀.

故答案為：—；471.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

17.(10分)

如圖，在直三棱柱ABC-Agq中，A3=AC=AA=2,/A4C=9。，瓦廠分別為CC1,BC的中點.

(1)求異面直線與所所成角的余弦值；

(2)求點Bx到平面AEF的距離；

(3)求平面AEF與平面&EB夾角的余弦值.

【解析】(1)由題意可知A'AC,9兩兩垂直，如圖所示建立空間直角坐標系,

則4(0,0,2),3(2,0,0),E(0,2,1),尸(1,1,0),

即43=(2,0,-2),EF=(1,-1,-1),

1t八bA.BEF4而

所以c°2'小網聲=門=丁’

即異面直線與E尸所成角的余弦值為遠；

3

(2)由上易知的=(2,0,2),AE=(0,2,1),AF=(l,l,0),

ri-AE=2y+z=0

設面AEF的一個法向量為〃=(x,y,z),則有v

n?AF=x+y=0

取V=T=%=1,Z=2,即〃=(1,-1,2),

所以點用到平面AEF的距離為1=

（3）由上可知A5=（2,0,-2）,AE=（0,2,-1）,

m?A[B=2a-2c=0

設面的一個法向量為機=（a,6,c）,則有，

m-AjE=2b-c=0

取C=2=6=1,Q=2,gpm=（2,l,2）,

設平面皿與平面AEB夾角為a,

m-n55A/6

貝[|COSa=|cOS777,77|=

\m\-\n\3"IT

即平面3與平面AEB夾角的余弦值名色.

18

18.（12分）

AFPF

如圖,在四棱錐人鉆。中,底面是平行四邊形,E，分別為陰陽上的點“且商=而

⑴證明：AF//平面PCE；

⑵若平面ABC2E為的中點，PD=AD=CD,ZBAD=60°,求二面角P-CE—歹的正切值.

【解析】（1）證明：如圖，在CD上取一點G,使得CG=AE,連接AG,FG,CE,

因為底面ABCD是平行四邊形，所以CD=A5,所以3E=DG,

因為CG〃/IE,CG=AE,所以四邊形AECG是平行四邊形，所以AG//CE,

因為CEu平面PEC,AGu平面PEC,所以AG//平面PEC,

又因為茨AP=p'p,所以CG照=PF=,所以FG//PC,

EHrDL）CJrD

因為尸Cu平面PEC,PGu平面PEC,所以FG//平面PEC,

又因為FGcAG=G,人3,43（=平面出6,所以平面E4G〃平面PEC,

因為AFu平面PEC,所以Af7/平面尸CE.

(2)當E為A3中點，PD=AD=CD,ZBAD60°,易知。E_LCE),歹為尸。中點，

又因為陽，平面A3CD,所以。E,DC,QP兩兩垂直，

則以。為坐標原點，?！?。。,?！杆谥本€為兌％2軸建立空間直角坐標系，如(1)圖,

設尸D=AD=CD=2,則C(0,2,0),網也,0,0),F(0,0,1),尸(0,0,2),

所以CE=(出,-2,0),FE=(6,0,-l),P￡=(V3,0,-2).

設平面PCE的一個法向量為機=(x,y,z),

m-CE=y/3x-2y=0_/\

則L,令x=2g,得加=2^,3,6,

m-FE=V3x-z=0''

設平面PCE的一個法向量為〃=(a,6,c),

n-CE=\[3a-26=0

則令x=20得〃=（2迅,3,3）,

n-PE=6a-2z=0

/\m-n12+9+1813

所以8sHM=麗=

故二面角P-CE-F的正弦值為Jl-"？=誓^,

V190V190

回

所以正切值為嚕一空.

A/190

故二面角P-CE-F的正切值為叵.

13

19.（12分）

如圖，在五面體ABCDE尸中，面ADEJ_面ABC￡>,ZADC=90°,ABCD,AE=DE=DC=2,EF=l,

AB=3,二面角A-DC-尸的平面角為45.

⑴求證：CD〃面ABFE；

⑵點尸在線段AE上，且AP=2PE,求二面角P-FT-B的平面角的余弦值.

【解析】(1)面A5CD,

又EFu面CDEF,面ABCDO面CDEF=CD,

：.CD//EF.

又CDU面ABFE,EFu面ABFE,

：.CD〃面ABFE；

(2)取AD中點0,BC中點連結0E,OM.

?.,面ADEL面ABCD,交線為AO,

CDu面ABC。，ZADC=90°,CDADE.

ZADE是二面角A-DC-尸的平面角.即ZADE=45°.

EFP^ABCD,

又Ebu面ABFE，面ABCDc面ABbE=AB,

AB//EF.

CD〃AB.又AB片CD,.?.四邊形ABC。是梯形.

OM是梯形ABCD的中位線.OM〃CD.ON_L面ADE.

"：AE=DE,。是AD中點，OELAD.

以。為原點，0A,OM,0E為軸如圖建立空間直角坐標系。-孫z,則

A(V2,0,0),網也3,0),D(-72,0,0),衣2,0),網0,0,0),尸(0,1,立),

A￡=(-72,0,V2),CB=(2A/2,1,0),CF=(h網,FA=(^2-1,-^2),

由AP=|AE,FP=JR4+AP=(V2,-1,-A/2)+|(-^,0,^)=^,-1,-^J

設面PCV的一個法向量為加=(占,乂，4),由相_1_尸產，1nLeF，得

<L「，取乂=e，得X]=2,Z]=-1,?,?加=(2,垃,一1).

以-&4=0、7

設面5c廠的一個法向量為九=（X2，%，Z2），由〃，C3，nLCF，得

，取為=20,得％2=-1，Z2=3,n=

二面角2-尸。-3的平面角的余弦值為-恒

42

P個t-

\/D

20.（12分）

如圖，48是半球。的直徑，43=4,M,N是底面半圓弧AS上的兩個三等分點，P是半球面上一點，且

ZPON=60°.

MN

（1）證明：P3_L平面244：

（2）若點P在底面圓內的射影恰在QV上，求直線與平面9所成角的正弦值.

【解析】（1）連接OM,MN,BM,因為M,N是底面半圓弧A8上的兩個三等分點,

所以有NMON=NNO3=60。，又因為OM=ON=OB=2,

所以MON,NO3都為正三角形，

所以MN=NB=BO=OM,四邊形OMNB是菱形,

記ON與的交點為。，。為ON和的中點,

因為ZPON=60°,OP=ON,

所以三角形OPN為正三角形，

所以PQ=6=；BM,所以

因為尸是半球面上一點，A8是半球。的直徑，所以依_LB4,

因為尸McF4=尸，PM,PAu平面RUf,

所以P5_L平面上4M.

（2）因為點尸在底面圓內的射影恰在ON上，

由（1）知。為ON的中點，OPN為正三角形,所以PQLCW,

所以PQ2底面ABM,

因為四邊形OM四是菱形，所以MB