2025年高考數學總復習《解三角形與平面向量》專項測試卷及答案

（考試時間：120分鐘；試卷滿分：150分）

學校:姓名：班級：考號：

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1?已知。=（1,-2）,=（m,1）9若a_L（a+。），則向量4在b上的投影向量為（）

A.(-3,1)D.(T,2)

2.在中，點。，E分別是AB,3C的中點，記AE=a，C￡>=>，則AC=()

A.-(a-b\B.-(a-b\C.-a--bD.-(a-b\

3、/2、/233、/

JT

3.在ABC中，角A,民C所對的邊分別為a,ac,已知b,a,c成等差數列，a=6,A=^,貝UABC的面積為

()

A.373B.9.73C.12D.16

4.在△ABC中，角AB,C的對邊分別是a,b,c,若3a=48,A=2B,貝I]cosB=()

A.-B.-C.-D.-

3384

5.在-ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,A=|,a=^3,b=也,則此三角形的解的情

況是()

A.有一解B.有兩解

C.無解D.有解但解的個數不確定

6.已知平面向量0,%均為單位向量，且“力=0，卜卜3,貝的最大值是（）

A.6B.3C.3+忘D.3-&

/7cosR

7.在.ABC中，內角A、B、C對應邊分別為。、b、c,已知----=-b-2c,且角A的平分線AO交8C

cosA

于點。，AD=1,則2AC+3AB的最小值為（）

A.5+2#B.6+2新C.5+26D.6+2石

8.已知在ABC所在平面內，BD=2AB，E、F分別為線段AC、AD的中點，直線昉與3C相交于點G,

若DGL3C,貝|（）

第1頁共24頁

.3

A.tan/BAC的最小值為一

4

4

B.tan/A4c的最小值為§

3

C.tan/54c的最大值為:

4

4

D.tan/BAC的最大值為§

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知空間向量a=（—2,-1,1）,6=（3,4,5）,則下列結論正確的是（）

A.（2a+b）〃aB.5忖=若愀

C.a_L（5a+6b）D.a在6上的投影向量為1-±-g,-J

10.在中，內角A,3,C所對的邊分別為a,6,c,下列與_ABC有關的結論，正確的是（）

什c,sor.,rb+2c2b+c.

A.若a=2,A=30。，則----------=-----------=4

siaB+2sinC2sinB+sinC

B.若OCOSA=ZTCOS3,則ABC是等腰直角三角形

C.若,ABC是銳角三角形，貝UcosA<sinB

D.若2OA+O8+30c=6>SA0C,SABC分別表示，AOC,ABC的面積，貝!ISAAOC：Sfc=1：6

11.如圖，已知：。的內接四邊形ABC。中，AB=2,BC=6,AD=CD=4,下列說法正確的是（）

A.四邊形A3CD的面積為8百

B.該外接圓的半徑為期

C.BOCD=-4

D.過。作。尸，3C交BC于尸點，則。OOP=11

12.在‘ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為“，b,c,且tanA=s嗎+sm：,則下列結論正確的是

cosB+cosC

第2頁共24頁

兀

AA.A4=-

3

（6r\

B.sinB+sinC的取值范圍是彳由

12

C.若。為邊8c上中點，且AD=1,貝心的最小值為氈

3

D.若一ABC面積為1,則三條高的乘積的平方的最大值為3g

第II卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在圓的內接四邊形ABCD中，AB=6,AD=3,CD=3,ZE4D=60°,貝|BC=.

14.某校數學建模社團對山西省朔州市的應縣木塔的高度進行測量.如圖，該校數學建模社團成員在應縣木

塔旁水平地面上的處測得其頂點P的仰角分別是45和30,且測得NOAB=60,AB=140米，則該校

數學建模社團測得應縣木塔的高度。尸=米.

15.在中，M是邊BC的中點，N是線段的中點.設AB=“，AC=b，試用a,b表示AN為，

若ZA=J,ABC的面積為班，則AM-AN的最小值為.

O

16.如圖，在圓內接四邊形A3CD中，ZBAD=12Q,AB=AD=1,AC=2.若E為。的中點，則E4ZB

的值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

17.（10分）

第3頁共24頁

已知平面向量心b,同=2,忖=1,且0與)的夾角為三.

⑴求卜+2目；

⑵若a+2b與2a+勸(2eR)垂直，求2的值

18.(12分)

已知向量m=(sinx,l),〃=(V^cosx,-2),函數向x)=(1+辦克.

(1)若玩〃力,求cos2%的值；

(2)若.ABC為銳角三角形，且〃A)=；,求tanB的取值范圍.

19.(12分)

在，ABC中，內角A5C所對邊的長分別為“，b,c,ZBAC=120°.

(1)若。?,求sin5.

(2)若。為BC邊上的一點，且BC=6,A￡>=2,3O=2Z)C,求上c.

20.(12分)

在，ABC中，內角AB,C所對的邊分別為°,dc,且acosA+acos(B-C)=2而JCOS(兀-A)sinC.

(1)求角A的大小；

第4頁共24頁

⑵若點M為8C的中點，點N滿足㈤V=gAC,AB=2,AC=6,點產為A"與BN的交點，求NMPN的余

弦值.

21.(12分)

在,ABC中，AC=y/3AB,且8C邊上的中線AD長為1.

(1)若3C=2AB,求ABC的面積；

⑵若/ABC=2/ZMC,求BC的長.

22.(12分)

在—ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,6,c,且6=2A/^c=4acosB,2sin3cosC=--------——

a

⑴求。；

9

(2)若。為的中點，在4)上存在點尸，使得尸3?尸。=:，求cosNB尸C的值.

4

參考答案

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1?已知。=(1,-2),b=，若a_L(a+b),則向量4在人上的投影向量為()

A.(-3J)B.g-JC.D.(T,2)

【答案】B

第5頁共24頁

【解析】。=(1,一2),if=(m,l)，:.a+b=(l+/n,-l),

a-L(a+b),「.〃?(〃+/?)=1+冽+2=0,

解得根=-3,b—(—3,1)，

n.Ab(

向量a在b上的投影向量為*?與-5-3,1)/31

回*710~\2

聞網2

故選：B.

2.在,.ABC中，點。，E分別是AB,3c的中點，記AE=a，CD=b,貝UAC=(：

A.-[(a-b\B.-1(a-b\C.—]a——1bD.2-(a-b\

3、/2、/233、/

【答案】D

【解析】由題意可知，a=-(AB+AC\,b=-AB+CA=-AB-AC.

兩式相減，得a-6=?AC,所以46=|卜一切.

故選：D.

7T

3.在,.ABC中，角A民C所對的邊分別為。力,。，已知b,a,c成等差數列，a=6,A=j,則ABC的面積為

()

A.3GB.9A/3C.12D.16

【答案】B

【解析】因為4a,c成等差數列，可得b+c=2a,

TT

又因為a=6,A=§,

COSA/+C2"=S+C)J2小)3a2-2bc_1

由余弦定理得:

2bc2bc2bc-2

整理得3bc=3a2，即be=36,

所以的面積為S=—Z?csinA=—X36X^-=9A/3.

222

故選：B.

4.在△A5C中,角ABC的對邊分別是a,b,c,若3a=44A=2B,貝|cosB=(

A-1B-1cID-1

【答案】B

第6頁共24頁

【解析】因為A=25,所以sinA=sin25=2sinBcosi5.

因為三=工，所以a_b所以COS2=￡.

sinAsmB2sinBcosBsinB2b

因為3"m所以A：則8s八￡4

故選：B

5.在一ABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,A=pa=5b=叵,則此三角形的解的情

況是()

A.有一解B.有兩解

C.無解D.有解但解的個數不確定

【答案】A

abZ??sinA，義23,

【解析】由得sin8=

sinAsinB〃一百一2

又a>b,A=j,故8只能為銳角，即3=

故該三角形只有一解.

故選：A.

6.已知平面向量0,方均為單位向量，且.必=0，卜|=3,則k-a-b|的最大值是()

A.6B.3C.3+0D.3-72

【答案】C

【解析】依題意平面向量a，6均為單位向量，且〃力=0,

建立如圖所示平面直角坐標系，設。=(1,0),6=(0,1),

設c=(尤,y),由忖=小小+.=3,/+y2=9,

所以點(x,y)在以原點為圓心，半徑為3的圓上，

卜=k_(。+6)|=卜_(1,1)|表示以原點為圓心，

半徑為3的圓上的點(x,y)與點(1,1)的距離，

所以，根據圓的幾何性質可知：卜-。-4的最大值是3+0，

其中&是點(1,1)與原點的距離.

第7頁共24頁

/7COQR

C對應邊分別為〃、b、c,已知空當=_0—2c,且角A的平分線An交5C

cosA

于點。，AD=1,貝U2AC+3AB的最小值為()

A.5+25/6B.6+2后C.5+2石D.6+2石

【答案】A

/7C0QR

【解析】因為------=-b-2c,所以，acosB=-bcosA-2ccosA,

cosA

由正弦定理可得一2sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB-sin(A+B)=sinC,

因為A、CG(O,TI),貝iJsinC>0,所以，cosA=—；,可得A=與，

因為角A的平分線AD交BC于點。，AD=l,

I2冗1jr1Jr

由SABC=SABD+S.ACD>即jbcsin3-=2cADsin§+26-sin],

所以，叵be力(b+c),所以，空二+L1,

44bebe

_2Z?3c__2b3c

所以，2AC+3AB=26+3c=(26+3c)=5+—+—>5+2.

cbcb

=5+2#,

2+\/6

2b3cb=-----

當且僅當~b時,即當2廠時，等號成立,

be=b+c3+V6

3

故24。+3四的最小值為5+2#.

故選：A.

8.已知在ABC所在平面內，BD=2AB，E、P分別為線段AC、AD的中點，直線跖與3C相交于點G,

若DGL3C,貝U()

3

A-tan/BAC的最小值為a

第8頁共24頁

4

B.tan/BAC的最小值為§

3

C.tan/區4c的最大值為:

4

4

D.tan/A4c的最大值為§

【答案】D

【解析】

BD=2AB，且P為線段AO的中點，

13

所以AP=-A￡>=—AB,

22

_13

則CB=CA+AB,EF=EA+AF=-CA+-AB,

設E6=tEF，

則CGMCE+EGuJcA+dLcA+OABK+LqCA+3rAB,

2122Jy2J2

且CB和CG共線，CB^CA+AB，

3

故G為線段防的中點，且CG=：C3,

4

所以。G=O5+5G=-2A5+L5C=-2A5+U5A+AC)=-2AB+!AC,

44、,44

且BC=AC—AB,若。G_LBC,

/\(91)92125

則5COG=AC—AB?——AB+-AC\=-AB+-AC——ABAC=0

'H44J4425

59-21-231-iI-I

即+-AC>-|AB|-|AC|,

39212

故cos/BACN1,當且僅當時，等號成立；

544

???NBACeO］，當tanZBAC的最大時，即cos/BAC最小時，

第9頁共24頁

此時sinABAC=71-cos2ABAC=

_sinZBAC4

tanZBAC=-------------=-

cosABAC3

故選：D

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知空間向量a=（-2,—1,1）,6=（3,4,5）,則下列結論正確的是（）

A.(2Q+Z?)〃QB,5忖=百忖

c.5a+6b)D..在)上的投影向量為(

【答案】BCD

-177

【解析】易知24+6=(-1,2,7),顯然故A錯誤；

—2—11

易知：\a\=^(-2)2+(-1)2+12=跖忖=732+42+52=5應n5同=若忖,

故B正確;

易知5a+68=(8,19,35)na-(5a+6b)=-2x8+(-l)xl9+lx35=0,故C正確;

a-b力=青（3,4,5）=一323）,故D正確.

a在》上的投影向量可W，-5

\b\

故選：BCD

10.在一ABC中，內角ABC所對的邊分別為a,4c,下列與_ABC有關的結論，正確的是（）

升c/onon,ib+2c2b+c.

A.右a=2,A=3。,貝!!?----------=-------------=4

siaB+2sinC2sinB+sinC

B.若acosA=/x:os3,則ABC是等腰直角三角形

C.若ABC是銳角三角形，則cosAvsinB

D.若2OA+O2+3OC=0，SAOC，SABC分別表示一AOC,一ABC的面積，則Zac:,△ABC=1：6

【答案】ACD

a

【解析】對于A中，因為。=2,A=30。，設外接圓的半徑為R,可得2R=j,

sinAsin30

b+2c2b+ca

又由=4,所以A正確;

sinB+2sinC2sinB+sinCsinA

對于B中，因為優osA=Z?cos5,由正弦定理得sinAcosA=sin3cos3,即sin2A=sin25,

第10頁共24頁

jr

因為A,8e(0,兀)，可得2A=23或24+28=兀，即A=g或4+2=-,

2

所以ABC是等腰三角形或直角三角形，所以B不正確；

ITTT

對于C中，由〃1BC是銳角三角形，可得A+B>],即

TTTTTT

因為一ABC是銳角三角形，可得AeQg),[Be?]),

又因為y=cosx在(0,會為單調遞減函數，所以cosA<cos]-“=sinB,所以C正確;

對于D中，如圖所示，設AC的中點為V,BC的中點為。，

因為2OA+02+3OC=0，即2(OA+OC)+(OB+OC)=0,

可得2x20M+200=0，即20M=-。。，所以點。是MD上靠近M的三等分點，

所以點。到AC的距離等于。到AC的g,

又由B到AC的距離為點D到AC的距離的2倍，

所以。到AC的距離等于點B到AC距離的，

由三角形的面積公式，可得SABC=6SA℃,即5以小黑.=1：6,所以D正確.

故選：ACD.

11.如圖，已知O的內接四邊形ABC。中，AB=2,BC=6,AD=CD=4,下列說法正確的是()

A.四邊形ABCD的面積為8石

B.該外接圓的半徑為當

第11頁共24頁

c.BOCD=-4

D.過。作。尸，3c交3C于P點，則DO.￡＞尸=11

【答案】ABC

【解析】對于A,連接AC,

4+36-3

cosB=

24

由于5+。=兀，所以cosB+cosO=0,故衛二Q+竺二Q=0,解得4。2=變，

32247

所以cos。=一,，cosB=—,所以sin3=sin。=

77

故SA”=-AB-BCsinB=-x2x6x^=^^,

A5c2277

vn1…4。332V3

Se——AD,DCsinD——x4x4x-----=--------,

ADnCr2277

故四邊形ABC。的面積為竺"+%叵=8g,A正確;

77

(256

74cN〒—4亞

對于B,設外接圓半徑為R,貝4萬.3

故該外接圓的直徑為匹，半徑為型，B正確;

33

對于C,連接2D,過點。作OGLCD于點G,過點8作3ELCD于點E,

則由垂徑定理得：CG=1CD=2,由于A+C=180,所以cosA+cosC=0,

第12頁共24頁

4+16—BD~16+36-BD~々R汨_r~二匚I、I「1匚匚i、1一‘八

即nn-----------1------------------=0，解得BD=2^7，所以cosC=—,所以。=60，

16482

且CE=BC-cosC=6xg=3,所以間=3-2=1,即80在向量CO上的投影長為1，

且EG與CO反向，故2。?。=一,4-14=-4,C正確；

對于D,由C選項可知：C=60,故m=C?sin6(T=4x曰=2右，且NCD尸=30。，

因為AT>=CD,由對稱性可知：。。為/ADC的平分線，UlZODF=-ZADC-30°,

2

由A選項可知：COSNA￡>C=-L,顯然1/AOC為銳角，

72

痂1/sr11+cosZADC后O'2不

?cos—ZADC=J------------------=------，sm—ZADC=.1——=-------，

2V272V77

所以cosZODF=cosf-ZADC-30°]=cos-ZADC-cos30°+sin-ZADC-sin30°=—,

(2J2214

所以￡>0?￡)斤=,0,0耳85/00/=2卓x26x誓=10,D錯誤.

故選：ABC

sinB+sinC

12.在一ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c且tanA=,則下列結論正確的是

cosB+cosC

)

,,71

A.A=-

3

什（6r\

B.sinB+sinC的取值范圍是--,V3

I2）

C.若。為邊BC上中點，且AD=1,則。的最小值為空

3

D.若ABC面積為1,則三條高的乘積的平方的最大值為3K

【答案】ACD

■rip.工,4sinB+sinCsinA

【解析】對于A項，由tanA=-------------=——7z得t=t

cosn+cosCcosA

第13頁共24頁

sinBcosA+sinCcosA=sinAcosB+sinAcosC，即sin(B-A)=sin(A-C),

因為A3,Ce(O,jr),則3-AA-Ce(-7i,7r),

若3—A+A-C=TT顯然不符題意，或者3—A+A-C=-7T也不符合題意，

所以3—A=A-C,即2A=3+。=兀一4,所以A=g,故A正確；

對于B項，sinB+sinC=sinB+sin+^=-|sinB+cosB=>/3sin^B+^,

m、r八yj2兀/廣||7C-7L5兀/廣-I1?|y-?兀、,1

因為所以:+所以7<sin5+zWl,

3666216/

所以且<sinB+sinC〈石，即sinB+sinC的取值范圍是中，百，故B錯誤；

2I2」

對于C項，由余弦定理知a?=fe2+c2-2feccosA=b2+c2-be，

又。為邊5c上中點，所以2AO=A3+AC，

4

所以4AI)?u/^+H+MccosA，所以4=/+。2+歷23歷，所以歷4耳，

當且僅當匕=c時，取得等號，所以a2=〃+c2-6c=4-26cN：,所以.=2叵，故C正確；

3mm3

222

對于D項，不妨設a、b、c三邊上的高分別4、旬、瓦,則％=—,刈=/為=一，

abc

i496412

又S.=7bcsinA=l,所以bc=F，所以(4/z71y=FTT==，

273ab2c3a

根據余弦定理知。2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-be>bc=-^=,所以與,

當且僅當b=c時，取得等號，故D正確.

故選：ACD

第II卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在圓的內接四邊形ABCD中，AB=6,AD=3,CD=3,Z￡L4D=60°,貝|BC=

【答案】3

【解析】連接如圖：

第14頁共24頁

在△ABD中，因為AB=6,AD=3,ZBAD=60°

由余弦定理，得3￡>2=.2+">2一2AB?ADCOS6（T=27，即8。=36

又因為N54D=60。，所以N38=180。—60。=120。，

在△BCD中，因為CD=3,80=3百，ZBCD=120°,

由余弦定理，得=BC2+CD2-2BC-CDCOS12°,

即27=3C2+9+33C,解得：BC=3.

故答案為：3.

14.某校數學建模社團對山西省朔州市的應縣木塔的高度進行測量.如圖，該校數學建模社團成員在應縣木

塔旁水平地面上的AB處測得其頂點P的仰角分別是45和30,且測得NOAB=60,AB=140米，則該校

數學建模社團測得應縣木塔的高度0P=米.

【答案】70

【解析】設OP=x米，則。4=x米，。8=百無米.

在4045中，Zft4B=60°,由余弦定理可得04=042+432_2OAA8.COS/OAB,

gP3x2=x2+1402-140x,即2/+140》一14。2=0,即（2x—140）（x+140）=0,解得x=70或x=-140（舍去）.

故答案為：70.

15.在ABC中，M是邊BC的中點，N是線段的中點.設=AC=6,試用。，b表示AN為，

若ZA=1,ABC的面積為G，則AM-AN的最小值為_____.

6

第15頁共24頁

31

【答案】AN=-a+-b6

44

【解析】如圖所示，.ABC中，NA=，

0

A

/

8,vMC

uuuri/Umuun

M是邊BC的中點，N是線段BM的中點，則AM=5(AB+ACx),

AN=AM+MN=^AB+AC^+^CB=^AB+AC^+^AB-AC^=^AB+^AC,

31

AN=-a+-b-

44

由,ABC的面積為5ABe網，，si吟=&,得網.用=46,

^\AAM-AN=-(AB+AC}-\-AB+-AC\=-AB2+-AC2+-AB-AC

2、/(44J882

2

［網+打。「+；網W.底

巳舊I網阿+白4如X4

=2x@x4省+3

8

=6,

當且僅當國卜6網=26時取等號，

所以AM-AN的最小值為6.

31

故答案為：AN=-a+-b-6

44

16.如圖，在圓內接四邊形ABCD中，ZBAD=12Q,AB=AD=1,AC=2.若片為8的中點，則創.即

的值為.

第16頁共24頁

c

【答案】|3

【解析】由余弦定理知BO2=12+12-2xlxlx]-gj=3,所以BO=道,

由正弦定理得二空二=2=AC,所以AC為圓的直徑，

sml20

所以COLAO,所以CO=VL從而CD=BD,

又/38=180-120=60,所以△■BCD為等邊三角形；

以。為原點，以ZM所在直線為x軸，0c所在直線為y軸建立如下圖所示的

平面直角坐標系：則A（l,0）,40,斗心?，助=卜-。，防=臣），

故函也=1一乎｝色嚇李

3

故答案為：

2

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

17.（10分）

已知平面向量a,b,\a\=2,\b\=l,且。與方的夾角為,

⑴求卜+20；

第17頁共24頁

(2)若a+2b與2。+勸(2eR)垂直，求2的值

【解析】(1)同=2,慟=1,且d與方的夾角為。，

a-b=|a||/?|cos~=2xlx-i=l

卜+26卜J(a+2b了=4a.6+4,『=722+4xl+4xl2=2A，

(2)d+26與2。+肪(XeR)垂直，

(0+2b).(2。+彳6)=0,

即2同~+2彳忖+4a-b+Aa-b=Q,

即8+22+4+2=0,解得：A=—4.

18.(12分)

已知向量成=(sin無,1),拓=(百cosx,-2),函數/(x)=(方+5)?克.

(1)若戊〃力,求cos2%的值；

(2)若..ABC為銳角三角形，且〃A)=；,求tanB的取值范圍.

【解析】(1)Vm//n,V3cosj;=-2sinx,貝！Jtanx=-；

2

11句2

222

c2.2cosx-sinx1-tanxI2I1

cos2x=cosx-sinx=^~：------------=——-------=——r^=一；

sinx+cosxtanx+1(Hl7

(2)/(x)=(m+n)-m=fsinx+\/3cossinx+(1-2)x1=sin2x+sinxcosx-1

=且sin2尤一」cos2x—工=sin12x—2

兀一,

22262

由〃4)=。,得sin(2A=J=l,

嗚,715兀兀nn471

Me2Aqe,A2A--5'即于

666

。＜8＜今

因；ABC為銳角三角形，可得，解得?<5<弓,

7162

0<Ti~--B<—

32

第18頁共24頁

tanB>^,故tan8的取值范圍為

[3J

19.（12分）

在...ABC中，內角A%C所對邊的長分別為。，b,c,ZBAC=nO0.

⑴若/=》2++2,求sinB.

（2）若。為BC邊上的一點，且BC=6,40=2,2。=2DC,求上c.

【解析】（1）由余弦定理,Wa2=Z?2+c2-2/?ccosZ.BAC,BPa2=b2+c2+bc.

22222

因為/=1b+-c,所以9〃+lc=b+c+bc,

3333

即2〃—3Z?c—2/=。，解得b=2c,b=-W（舍去），

2

將b=2c代入+；,中得〃=4c.

,幣c2c

/7n------.........

由正弦定理，得.即V3一sin8，

sinABACsinB

2

所以sin5=H.

7

（2）由（1）知，b2+c2+bc=a2=36.

因為8D=2DC,

-2門2A21.2424

所以AD=-AB+-AC=-AB+-AC+-ACAB

<33J999

=-c2+-b2+-\AC\]AB\COS1200=-c2+-b2--

999I??I999f

因為AT>=2,所以442+02一2匕0=36,

所以4〃+/—26c=￡>2+。2+6。，解得Z?=c,

又4/+02_2兒=36,代入可得6=c=2石.

20.（12分）

在.ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且acosA+acos（jB-C）=2瘋JCOS（兀-A）sinC.

第19頁共24頁

(1)求角A的大小;

（2）若點M為3C的中點，點N滿足AN=gAC,A8=2,AC=6,點尸為A〃與BN的交點，求NMPN的余

弦值.

【解析】（1）由己知得-acos（8+C）+acos（3-C）=-2A/§/?cosAsinC,

即2asitiBsinC=-2y（3bcosAsinC-

由正弦定理得sinAsinBsinC=-y/isinBcosAsinC.

因為在11ABe中，sinB>0,sinC>0,所以tanA=-JL

因為4?0,兀），所以A=g.

（2）設AN=“,AB=b,所以AC=3a，

1131

因為M為屆的中點，所以+=y+

又BN=a—b，

由⑴知，A=y,AB=2,AC=6,

3-2311-2

AM-BN=—a——a-b+—a-b——b=6+2—2=6.

2222

-I192~31~2

=r

AA/4/—QH—a?bT—ci=，7，

IV424

阿卜yla-2a-b+b2=屈=26,

AMBN6A/21

所以cosZMPN=cos{AM,BN）=