特訓15高考中的分段函數（六大題型）

方法歸納

1.根據分段函數的函數值求自變量的值或解方程時，應根據分段函數各段的定義域分類討論，結合各段的

函數解析式求解，要注意求出的自變量的值應滿足解析式對應的自變量的區域.

2.分段函數的求值問題，應首先確定自變量的值屬于哪個區間，然后選定相應的解析式代入求解.

3.分段函數與方程、不等式的交匯問題，一般要根據分段函數的不同分段區間進行分類討論，最后應注意

檢驗所求參數值（范圍）是否適合相應的分段區間.

題型歸納

目錄：

?題型01分段函數

?題型02求參數范圍

?題型03解不等式

?題型04零點'方程根等問題

?題型05導數與分段函數

?題型06分段函數的綜合辨析

?題型01分段函數

-l<x<0

1.函數y=的值域為.

0<x<2

【答案】0,搭

【分析】分TWxWO和0<x42兩種情況，結合幕函數以及指數函數單調性求值域.

【解析】解：當TWxWO時，y=單調遞減，所以函數的值域為［0』,

當0<xW2時，了單調遞增，所以函數的值域為1

綜上所述，函數>的值域為0,g.

故答案為：0,。

2.已知函數/(X)=2z"八為奇函數，貝!1。+6等于()

\ax+/zx,x〉O

A.-1B.1C.0D.2

【答案】C

【分析】根據給定條件，利用奇函數的定義求出。力值即可.

【解析】依題意，當%>0時，—x<0,貝(1/(%)=-/(一%)=-[(-x)2+(-%)]=-x2+x，

12

而當x>0時，f(x)=ax+bx,因此a/+-=一%2+工，則〃=一1]=1,f(x)=-x+x,

當x<0時，一x>0,貝|/(%)=-/(-%)=-[-(-%)2+(-%)]=/+],

又/(0)=0=—/(0),于是VXER,又x)=-/(t),

所以。二一1,6=1,所以a+b=O.

故選：C

3.定義在R上的函數滿足〃x)=1)則;'(2021)=______,/(2023)=

[J>U

【答案】1-1

【分析】由分段函數的性質知/(x+6)=/(x),從而得到函數的周期為6,再計算相關值即可.

/、

【解析】因為〃x)t[log(,7(1J-x)(,x<一0),x>。,

所以/(x+6)=/(x+5)-/(x+4)=/(x+4)—/(x+3)—/(x+4)=—/(x+3),

則/(x+3)=-/(x),故/(x+6)=/(x),

即函數的周期7=6,

貝匹(2021)="6x337-1)=/(7)=*2=1,

/(2023)=/(337x6+1)=/(1)=/(0)-X-^)=

故答案為：1；-1.

?題型02求參數范圍

log2(x+l),-l<x<3

4.若函數/(x)=Qr，在(-1,+8)上單調遞增，則。的取值范圍是()

XH—,X>3

X

A.[-3,9]B.[-3,+8)

C.[0,9]D.(-co,9]

【答案】A

【分析】根據對數函數性質判斷-1<xV3上/(x)的單調性和值域，結合其區間單調性及分式型函數的性質,

討論參數確定參數范圍.

【解析】當-1<XV3時，JV=log2(x+l)單調遞增且值域為(一甩2],而“X)在(-1,+8)上單調遞增,

則了=》+q在(3,+8)上單調遞增，1.3+->2=>a>-3,

x3

當-3WaV0時，了=尤+q在(3,+8)上單調遞增，滿足題設；

X

當。〉0時，歹=x+區在(后,+8)上單調遞增，此時只需即0<QV9；

X

綜上，—3<tz<9.

故選：A

-x2-ax-5,x<1,

5.已知函數/(x)="是R上的增函數，則。的取值范圍是是()

一,X>1

A.-3<?<0B.—3WaW—2C.a<-2D.a<0

【答案】B

【分析】兩段函數都要增，在1附近也要增，列不等式組求解即可.

"2

一X-CLX—5,X<1,

【解析】/(尤)=a,是R上的增函數，則要滿足：

一,X>1

a

1s—

2

<4Z<0,解得-2.

-l-tz-5<a

故選：B.

cX-l?l-x

-e------e------ax,x</11

2

6.已知/(%)=<(aeR)在R上單調遞增，則。的取值范圍是()

x+3

,X>1

,\[x+1

A.[-2,1]B.[-2,-1]C.(f』D.[-2,+s)

【答案】A

ex-1+el-xe-X-l+Iecl-X

【分析】根據條件，當無W1時，得到/'(x)=-------------a由題知/'(x)=—在(—e，l]上恒成

22

X-1_|_1_X「IT［'a

立，利用基本不等式，得到Pe+Pe后1,從而有aVl,再根據題設有幺^——。4匕，即可求解.

221+1

x_11_X

e-e八

---------ax,x<l

2

【解析】因為〃x)=

x+3?'

2

、“1n_r〃x+3,，/、X+2A/^'—3(A^~+1)—4

當X>1時，="刈=24(4+1)2=24(-+1)2'

x+3

所以尤>i時，r(x)>o,即/。)=耳力在區間(i,+8)上單調遞增，

X-1_1-X

當xVI時，〃x)=J^--ax,

所以八x)JTj,,由題知"x)=e，T；T”0在(—8,1］上恒成立，

即1;;2。在(一8,1］上恒成立,

又巴甘12Lx2必『=1，當且僅當ei=e~,即x=l時取等號，所以aVI,

22

「IT—p1_11_i_Q

又由——?<—=2,得到。2—2,所以—

21+1

故選：A.

132

—X+ax—。+4,x>0,

7.函數/(x)=3'在R上單調，則。的取值范圍是()

ax+cosx,x<0,

A.[1,3)B.(1,3]C.[1,3]D.(1,3)

【答案】C

【分析】利用導數分別求解xWO和x>0時的單調性，再結合“X)在R上遞增，可得-a+4±l,即可求解.

【解析】由題意，函數/\x)在R上單調遞增，當xVO時，/(x)=ax+cos尤，依題需使/''(x)=a-sinx20恒

成立，則心1；

2

當x>0時，由/■(無)=：尤3+辦2一。+4在(0,+8)上遞增，需使/'(司=》+2辦±0在(0,+8)上恒成立，則

-a<0,即a20；

又由〃x)在R上遞增，可得-a+4Nl,解得a43.

綜上可得，。的取值范圍是［1,3〉

故選：C.

8.已知函數/'(x)=",">0且"1),若函數/(x)的值域為R,則實數a的取值范

-ax4-2ax一a+3,x<1

圍是()

A.(0,|B.11]C.[2,+co)D.[3,+oo)

【答案】B

【分析】分析可知當尤<1時，1(x)<3,由題意可知當xNl時，則/(x)=a*+a的值域包含[3,小)，分0<a<l

和。>1兩種情況，結合指數函數性質分析求解.

【解析】當x<l時，貝!|/(%)=—辦2+2〃工一〃+3=—4(%—1)2+3,

且Q>0,所以/(X)=(X-1)2+3<3,

若函數/⑴的值域為R,可知當Ml時,則/("=優+。的值域包含[3,+8),

若0<4<1,貝(]/(%)=優+。在[1,+8)內單調遞減，

可得/(X)?/(1)=2G,不合題意；

若4>1,則/("=優+4在[1,+8)內單調遞增，

可得/(無)2/⑴=2%則2.W3,解得1<。《；

綜上所述：實數。的取值范圍是.

故選：B.

Y2_2工r>0

2'一八在區間(私加+1)上單調遞增，則皿的取值范圍是()

-X+2xx<0

)9

A.(-*0]B.[0,1]

C.[-1,0]D.(-oo,-l]U[l,+<?)

【答案】D

【分析】通過分段函數的單調性，結合區間，轉化求解加的取值范圍即可.

Iy2_2YX>0

【解析】分段函數/(')=2/—八的圖象如下：

\-x+2x,x<0

0^yx

函數的單調增區間為：(-8,0],[1,+8),

Y2_2YX>0

2c'-八在區間(加,加+1)上單調遞增，

{-X+2x,X<0

則根+1W0或加21,解得：加工一1或加21,

故選：D

/、lg(x2+9),0<x<1,/、

10.已知函數/(%)=、)在區間(0,2)內單調遞增，則。的取值范圍為()

ax2+3x+2,l<x<2

A.一?|,+00]B.[2,+oo)C.[-5,+co)D.-Q]

【答案】A

【分析】由題意，需分x)=^+3x+2在(1,2)上單調遞增,且〃(l"lg(l+9)=l,利用二次函數的性質分類

討論可求。的取值范圍.

【解析】易知當X€(0,l]時，/(X)單調遞增，

由題意，需〃(x)="+3x+2在(1,2)上單調遞增，且Ml)』g(l+9)=1,BPa>-4.

33

右a<0,則一；^—22,解得一"-<a<0；

2a4

若a=0,則%(x)=3x+2,滿足題意;

3

若。>0,貝「三41恒成立.

2a

綜上，。的取值范圍是一：，+8).

故選：A.

11.已知函數f(x)=[(?一滿足：對任意X",eR,當X產乙時，都有了/)——>0成立,

[X-ax+6,x>l$-/

則實數。的取值范圍是()

A.[2,+oojB.^—,2C.D.[1,2]

【答案】C

【分析】利用增函數的定義并結合一次函數與二次函數性質列出不等式求解即可.

【解析】對任意再,馬€1<,當x產4時都有0成立,

「(3〃-l)x+4(2,x<1

所以函數〃x)=2-二在R上是增函數，

[X-ax+6,x>1

3。一1>0

所以衿,解得所以實數。的取值范圍是.

'JV.J_

3a—1+4。W1—a+6

故選：C.

?題型03解不等式

(+4xx>0

12.已知函數/(力="；，'若則實數a的取值范圍是______

[4x-x,x<0,

【答案】(0,+司

【分析】作出函數y=/(x)的圖象，從而得y=/(x)在R上單調遞增，令尸(無)=/(尤)-/(1-尤)，可得尸(x)上

在R上單調遞增，將問題轉化為尸(。)>尸(0),即可得答案.

【解析】因為當x>0時，一無<0,

/(-x)=-4x-x2=-/W,

當x<0時，一x>0,

/(-X)=/-4x=-/(X),

又〃0)=0,

綜上，〃x)為R上的奇函數，

當x>0時，f(x)=x2+4x,

由二次函數的性質可知此時函數在(0,內)上單調遞增，

又因為/(x)為R上的奇函數，

所以函數y=/(x)在R上單調遞增,

作出函數y=/CO的圖象，如圖所示:

根據復合函數的單調性可知，-1(1-”在R上單調遞增，

則尸(x)上在R上單調遞增,且尸(0)=〃0)-/(1)=-5,

則將原不等式轉化為尸⑷>-5=尸⑼，

解得a>0,

所以。的取值范圍是(0,+8).

故答案為：(0,+8).

|x%2a

13.已知〃x)=；"且-2,則滿足不等式/(x)-/(1-力>-3的x的取值范圍是_____.

lx-3x,x<Cl

【答案】(-L+<?)

【分析】先利用導數研究了=/-3x的單調性，從而得出/(x)的單調性，再構造尸(x)=/(x)-/(l-x)判定

其單調性，解不等式即可.

【解析】易知y=x3-3xny'=3(x+l)(x-l),

則x<-l時，y'>0,y=x3-3x單調遞增，

而。4-2,所以y=xL3x在(-叫。)上單調遞增，

且q3-3a-a=a(a+2)(a-2)40,故有/(x)在R上單調遞增，

由復合函數單調性知/(1-x)在R上單調遞減，

令方(x)=/(x)-〃1一江則廣(X)在R上單調遞增，

又歹(-1)=〃-1)-/(2)=-3,

故>-30尸(X)>尸(-1)0x>-1.

故答案為：(-1,+8).

logx,0<x<2/、/、

14.已知函數/(x)=；92C，若/(。+1)-/(2°-1)20,則實數。的取值范圍是.

2.x—3,x>2

【答案

【分析】先根據對數函數和一次函數的單調性判斷分段函數的單調性，然后根據函數單調性解不等式即可

求解.

【解析】因為當xe(0,2]時，/(x)=log2X是單調遞增函數，此時f(x)vf⑵=1，

當xe(2,+8)時，r(x)=2%—3是單調遞增函數，此時r(x)〉/(2)=1，

log9x,0<X<2

所以/(無)=^i3x>2是定義在(0,+8)上的單調遞增函數,

所以右/(Q+1)—f(2ci—1)>0即f(Q+1)Nf(2a—1)，

則Q+1>2Q—l>0,解得,<。V2.

故答案為：—<a<2

?題型04零點、方程根等問題

2+2八

-----x<]

15.已知/(幻=2',則方程/[/(刈=2實數根的個數是()

|/og2(x-l)|,x>1

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】由方程/"(切=2先求出/(x)=l或〃x)=3或〃x)=5,再解方程即可.

4

【解析】解:①當〃X)VI時,

o/（x）7

/[/?]=^^=2,

解得，/（x）=l,

_i_7

「?=1或1咋2（1）0，

：.x-\=—^x-\=2,

2

3

故x或x=3；

2

②若則/[/（刈中。g2（/a）—i）i=2,

，/a）-i=9或/（x）-i=4,

/W=j或/（尤）=5,

若/（x）=3，則三它或Hog2（xT）=],

4244

則x=-1或x=]+2*或x=1+2"；

若/（x）=5,貝lj^^=5或1log2（x-l）|=5,

貝1Jx=3（舍去）或工=1+2-5或X=1+25,

綜上所述，方程/"(詡=2實數根的個數是7,

故選：C.

1-1尤-1|,尤W2,

16.己函數/(x)=則函數g(X)=/(X)-|1既的零點個數為

-f（x-T）,x>2.

【答案】6

【分析】根據函數g(x)的零點個數等價于函數/(x)與〃(x)=|啥|的圖象交點個數，在同一坐標系下畫出/(x)

與〃(x)=|lgx|的圖象，由此求出結果.

【解析】函數g(x)的零點個數等價于函數/(x)與〃(x)=|lgx|的圖象交點個數，

當x>2時，/(尤)=-/(x-2),

所以/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以當x>2時，“X)是周期為4的函數；

2-x,l<x<2

當x42時，/（x）=l-|x-^

x,x<l

所以〃無)的圖象如圖所示，

在同一坐標系下畫出〃(x)=|lgx|的圖象,

因為0<lg9<l,所以兩函數有6個交點，即函數g(x)有6個零點.

故答案為：6.

c,d互不相等，且/(")=/(?=/(c)=/(d),則a+6+c+d

A.[26,+oo)B.(14,+oo)

26例

C.D.

10

【答案】C

【分析】由分段函數的性質畫出函數圖象，若1(a)=f(6)=/(c)=f(d)=〃7a<6<c<",將問題轉化為曲

線“X)與直線>=〃，的交點問題，應用數形結合判斷交點的區間，結合絕對值函數、對數函數的性質可得

\<a<l<b<10<c<12</<14,c+d=10,ab=\,結合對勾函數的性質求范圍即可.

【解析】令|lgx|=l,貝心='或工=10,令一/x+6=l,貝!]x=10或尤=14,

由解析式知：/(x)在(0』上遞減且值域為(0,+s),在。/0]上遞增且值域為(0』，在(10,12)上遞減且值域

為(0,1),在(12,+s)上遞增且值域為(0,+?).

作出了(無)的草圖如下,

令/⑷=/伍)=/(c)=/(4)=加，不妨設a<b<c<",則a,b,c,d為曲線/(x)與直線>=〃，的交點橫

坐標,

由圖知：c+d=24,ab=\^―<a<\<b<\0<c<\2<d,

貝Ua+6+c+d=24+aH—,

a

由對勾函數可知'=。+!在上遞減,故y=。+一€

aI用

a+6+c+d—24+aH—G

a

故選：C

5,

一x2,0<x<2

16

18.已知函數/（力是定義在R上偶函數，當x＞0時，/（%）=＜，若函數y=f（x）-機僅有4

個零點，則實數加的取值范圍是（）

D.

【答案】A

【分析】首先根據/'（X）的性質畫出函數/（X）圖象，然后把函數了=/（x）-m僅有4個零點，轉化為函數

y=/（勸與〉=加有4個交點，數形結合即可求解.

【解析】當0V尤V2時，/（x）=-1x2,此時/■（%）單調遞增,

當x>2時，/(x)=I+1,此時/'（》）單調遞減,

又函數/（無）是定義在R上偶函數，其圖象關于〉軸對稱作出函數/（x）圖象:

，

5

-

4

-

Z_加

一

一

O\x

因為函數了=/（x）-加僅有4個零點，所以函數y=/（久）與＞=加有4個交點，

根據圖象可知：1＜加＜；,即實數加的取值范圍是

故選：A.

19.已知函數,若存在唯一的整數x,使得皿匚＜0成立，則所有滿足條件的整

-4|x+l|+4,x＜0x-a

數a的取值集合為（）

A.{-2,-1,0,1}B.{-2,-1,0}C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1）

【答案】A

【分析】作出〃x）的圖象，由不等式的幾何意義：曲線上一點與（。,1）連線的直線斜率小于0,結合圖象即

可求得。范圍.

可得曲線/'（X）上只有一個點（x"（x））（x為整數）和點（。/）所在直線的斜率小于0,

而點（。,1）在動直線了=1上運動，

由/（一2）=0,/（-1）=4,/（0）=0,/（1）=2,且尤為整數，

可得當a4-3時，至少有點（-2,0）,（0,0）兩個點滿足小”1<0,不滿足題意；

x-a

當-2VaV-l時，只有點（0,0）滿足"“一1<0,滿足題意；

x-a

當04a41時，只有點（T4）滿足,（X）-1<0,滿足題意；

x-a

當aW2時，至少有兩個點（T4）,（l,2）滿足"x）T<0,不滿足題意；

x-a

綜上所述，由。為整數，可得。的取值集合為卜2,-1,0,1}.

故選：A.

20.已知/■（無）=口??°<“">若a,b,c互不相等且。<b<c,且〃a）="6）=/（c）,則0+6+且的范圍

\2-]nx,x>ec

是.

【答案】（3,2e+1）

e

【分析】畫出函數/（X）的大致圖象，根據圖象知l<6<e,且IlnaRhW，lnb=2-lnc,再建

立6的函數并結合對勾函數求出范圍.

-lnx,O<x<1

【解析】函數/(%)=lnx,l<xKe在(OJ,(e,+s)上單調遞減，在(10上單調遞增，/(e2)=0,

2-lnx,x>e

畫出的圖象,如圖,

I2-Inx,x>e

因為。<6<。，由/(〃)=/3)=/(c),得l<6<e,e<c<e2,

e

由|lna|=|lnb|,得ln〃+lnZ)=O,即〃6=1,由lnb=2-lnc,得be=』,

于是a+b+J=5+b+處=)+26,由對勾函數性質知，y=工+26在(l,e)上遞增，則3<：+2b<2e+L,

cbcobbe

21

所以4+6+—e的范圍是(3,2e+—).

ce

故答案為：(3,2e+i)

e

2r2_xx<0

2L設函數小)=*+2；：。’且關于x的方程小卜帥⑻恰有3個不同的實數根%，%,

尤3(占<x2<x3),貝ijx,x2+X1X3+x2x3的取值范圍是.

【答案】卜.

【分析】畫出/⑺的圖象，得到-；<為<0<%<1<%<2,o<m<l,并解得占=匕呼甌，因為

Y-2x+??=0的兩根為X?和七，所以苫2+退=2,X2X3=m(0<m<1),Xlx2+x]x3+x2x3=----；+8%+機,

換元后求出取值范圍.

【解析】畫出函數/(x)=]〃-：‘xV°的圖象，如下圖：

-r+2x,x>0

因為關于X的方程=恰有3個不同的實數根匹,馬，馬(王</<馬),

則一;<玉<0<工2<1<工3<2,0<m<1,2x^-xx=m,

所以占=匕+甌或叱手以(舍去)，

又一一+2%=加，即%2一2%+冽=0的兩根為工2和％3，所以々+%3=2,x2x3=m,

％

西入2+再工3=再(2+'3)=2%，x2x3=m(0<m<1),

_1—Vl+8m

x1x2+項％3+x2x3=2芯+x2x3=-----------Fm.

令Jl+8加=t,則加=—^―,因為0<根<1,所以1<1+8加<9,即/￡(1,3),

1—11+8冽1—t/2—11c、2I/1\

--------------=——+-------=-(zt-2)2——n，

2+m2888V7

當/=2時，+機="L(/一2y—！取得最小值,最小值為一

288O

1-1+8ot2

又/=1或3時，^+ffl=l(?-2)--=0,

288

所以——<XX+X[%3+2XX<0.

8Y223

故答案為：

【點睛】方法點睛：將函數零點問題或方程解的問題轉化為兩函數的圖象交點問題，將代數問題幾何化,

借助圖象分析，大大簡化了思維難度，首先要熟悉常見的函數圖象，還要熟練掌握函數圖象的變換，包括

平移，伸縮，對稱和翻折等，涉及零點之和問題，通常考慮圖象的對稱性進行解決.

?題型05導數與分段函數

(x-1)+2x+sin(x-l)=3

22.設尤/eR,滿足$.〉，則x+N=______.

(y-1)+2y+sin(j-l)=1

【答案】2

(x-1)5+2(x-l)+sin(x-l)=1

【分析】根據式子結構，構造同構的形式，定義函數/(x)=x5+2x+sinx,

(j^-1)5+2(y-l)+sin(y-l)=-l

判斷出/(x)在R上單調遞增且為奇函數，即可得至-1+>-1=0,即可求出結果.

(x-1)5+2(x-l)+sin(x-1)=1

可化為<

.(yT『+2(7-1)+sin(y-l)=-1

ia/(x)=x5+2x+sinx,函數定義域為R.

因為/"(^)=5x4+2+cosx>0,所以/(x)在R上單調遞增.

Xf(-x)=(-x)5+2x(-x)+sin(-x)=-(x5+2x+sinx)=-f(x),所以/(x)為奇函數.

r/(-l)=l

所以由x二?可得x-1+y-1=0,所以x+y=2.

故答案為：2.

i.flog,>0「..

23.若函數/(x)=lnx_cx+；x2的圖象存在垂直于>軸的切線，又g(x)=、?，且有gg⑴=1,

2[x+(a+by,x<0L」

貝！Ia+b+c的最小值為.

【答案】3

【分析】求出函數〃x)的導數/(X),由導數的幾何意義可得了'(x)=0有解，由此求出。的最小值，再由分

段求出a+6的值即可得解.

【解析】依題意，函數/(x)=lnx-cx+gx2的定義域為(0,+oo),求導得八x)='_c+x,

由函數“X)的圖象存在垂直于y軸的切線，則存在x0>0,使得/''(%)=工-c+%=0成立，

因此c」+x/2L%=2,當且僅當工=%,即迎=1時取等號，

%VX。%

Xg[g(l)]=g(log31)=g(0)=(tz+Z?)3=1,即a+b=l,貝lJq+6+c=l+c21+2=3,

所以Q+6+C的最小值為3.

故答案為：3

?題型06分段函數的綜合辨析

~2

/、x-2x,x>a

24.已知函數=?/、,給出下列四個結論：

log2(|x|+l),x<a

①對任意實數。，函數/'(x)總存在零點；

②存在實數。，使得函數/'(x)恒大于0；

③對任意實數。，函數/(X)一定存在最小值；

④存在實數。，使得函數1(x)在(-叫。)上始終單調遞減.

其中所有正確結論的序號是.

【答案】①④

【分析】根據二次函數以及對數函數的性質即可求解零點，結合函數圖象即可求解①，根據時，當

0<x<2時，/(X)=^2-2X<0,以及0<a時，由于/(0)=0,即可判斷②，根據1<”2,結合二次函數

的性質即可求解③，根據。<0時，對數函數的性質即可判斷④.

【解析】令，-2x=0,貝i]x=0或x=2,令log2(x|+l)=0,貝|x=0,

且y=f一2》和y=log2(|x|+1)的圖象分別如下所示：

/、x2-2x,x>a

當Q?2時，/(%)=</.Ix的零點有工=0和x=2,

log2(|x|+l),x<tz

,、x2-2x,x>a

當。>2時，/(x=/、的零點有x=0,故①正確，

log2(|x|+l),x<tz

對于②，當a?0時，當0<%<2時，/(x)=x2-2x<0,不滿足題意，

當0<a時，由于/'(0)=0,不滿足/(x)恒大于0；故不存在實數。，使得函數/(無)恒大于0,②錯誤,

對于③，當1<。<2時，/(x)的圖象如下所示：此時/'(x)不存在最小值；故③錯誤

對于④，當a<0,/(x)圖象如下：函數/(x)在(-8,a)上始終單調遞減.故④正確

故答案為：①④

V3sinTIX,Q<x<m

25.已知函數/(%)=<3me給出下列四個結論:

tan7rx,m<x<—

①存在m,使得/(x)沒有最值;

②不存在m,使得/(x)有單調減區間；

③當機時，函數/只有兩個零點；

④當加=1時，若a,b,c互不相等，且“。)=〃6)=〃。)，貝物+6+c的取值范圍是

其中所有正確結論的序號是.

【答案】①③④

113「1一

【分析】對于①，取加=/畫出函數圖象可以判斷；對于②，當5＜冽■時，函數在-,m單調遞減；對

于③，當〃?時，畫出函數圖象，判斷其與y=l有多少個交點即可；對于④，當加=1時畫出函數圖像，

數形結合求解范圍即可.

【解析】對于①，取加=g時，/(X)圖象如圖所示：

此時函數不存在最值，故①正確;

此函數y=/(x)的圖象與V=1只有兩個交點，

所以函數y=/(x)T只有兩個零點，故③正確;

對于④，當加=1時，圖象如圖所示:

因為/(。)=/㈤=/(c)不妨設a<b<c,

14

則有0<a<<1<^<—,

又因為關于x對稱，

2

所以。+6=1,

以1+CG(2,—

6z+Z?+c—，故④正確.

故答案為：①③④

'l-|2x-3|,l<x<2

26.已知函數〃x)=Xc,給出下列四個結論.

,x>2

①若函數y=/(x)-區有4個零點，則實數左的取值范圍為

②關于X的方程/(X)-上=0(〃￡N*)有2〃+4個不同的解

③對于實數xe[1,小)，不等式2#(x)-3W0恒成立

④當xe[2i,2"](〃eN*)時，函數〃x)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為gxlxl=；

其中所有正確結論的序號是.

【答案】①③④

【分析】分區間討論去掉絕對值號，作出函數圖象，數形結合可判斷①，特殊化取”=1可判斷②，由數形

結合判斷③，借助圖象歸納規律可判斷④.

3

【解析】當IVXVQ時，/(x)=2x-2；

3

當!<x<2Ht,/(x)=4-2x;

當2<x43,則1<2；，；

當3<x",則:<342,/(x)=1/ffl=2-^

當4<xV6,則2<743,〃x)=

當6<xV8,貝!!3<：W4,==；

221214

依次類推，作出函數/(無)的圖像：

>

X

對于①，函數)=/(%)-履有4個零點，即歹=/(%)與歹=日有4個交點,

如圖，直線夕=區的斜率應該在直線m,I的斜率之間，

又心=1勺="；.后故①正確；

6241246J

對于②，當〃=1時，/(%)=：有3個交點，與2〃+4=6不符合，故②錯誤；

3

對于③，對于實數、￡[1,轉)，不等式2貨(%)-3<0恒成立，即/(%”恒成立，

2x

33

由圖知函數/(%)的每一個上頂點都在曲線歹=「上，故/(x)(丁恒成立，故③正確;

2x2x

對于④，當X￡[2〃T,21(〃￡N*”也由圖象可知：所求圖象為高為貴的三角形，

所以函數，(x)的圖像與x軸圍成的圖形的面積為:x(2〃-2〃一】卜擊=；,故④正確;

故答案為：①③④

【點睛】方法點睛：已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；

(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；

(3)數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，

利用數形結合的方法求解.

27.己知函數/(x)=[叫'：＞0,八若關于x的方程-2…)+/-1=0有碎?N)個不等的實根

[-X-4x+1,x＜0

網戶2,…Xk，且網＜X2＜一＜4，則下列結論正確的是()

A.當。=0時，左=4B.當斤=2時，。的取值范圍為0＜1

C.當左=8時，再+工4+%%=-3D.當斤=7時，。的取值范圍為。,2)

【答案】C

【分析】令"/(X),求出方程〃一/一1=0的兩根，數形結合可判斷A選項；根據零點個數得出關

于。的不等式組，求出。的范圍，可判斷BD選項；利用二次函數的對稱性與對數運算可判斷C選項.

22

【解析】令t=f(x),貝！Jt-2at+“-l=0n0=a—1,t2=a+1,

A.當a=0時，％=T,才2=1，由/(無)=T有1解，/(x)=l有4解，故a=5,A錯;

B.當左=2時，則方程〃無)=。-1、/(尤)=。+1各有一解，

當xWO時，/(x)=-x2-4x+l=-(x+2)2+5＜5,當且僅當x=-2時，等號成立，

—1＜0

由圖可得|,解得。＜-1,B錯；

C.當左二8時，如下圖所示：

由圖象可知，點(項,。-1)、1)關于直線X=—2對稱，則再+%=-4,

由圖可知,0<JC6<1,x7>1,由|lnM回InxJ可得In/=-拈-6，所以，七=一,

則％入7=1,因此，%+匕+%工7=-4+1=-3,C對;

0<4?—1<1—1<5

D.當左=7時，有兩種情況:=1<。<2或《n〃=4,

l<tz+l<5[a+l=5

從而可得。的范圍為（1,2）U{4},D錯.

故選：C.

【點睛】方法點睛：已知函數有零點（方程有根）求參數值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；

（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；

（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象,

利用數形結合的方法求解.

模擬精練

一、單選題

x2,x<1

1.(2017?山西呂梁?一模)已知函數/(%)=4，則/(X)的值域是()

XH----3,X>1

A.[!,+<?)B.[0,+t?)C.(L+8)D.[0,1)U(l,+oo)

【答案】B

【解析】考慮和x>l兩種情況，根據二次函數性質結合均值不等式計算得到答案.

【解析】當xVl時，y=x2e[0,+oo）；

當x>l時，y=x+--3>2-74-3=1,當x=2時等號成立.

x

故函數值域為[0,+00）.

故選：B.

【點睛】本題考查了函數值域，均值不等式，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.

xa

y\-\X<1

2.（2018?江西南昌一模）設函數〃x）=尤+:]],若/⑴是「⑴的最小值，則實數。的取值范圍為（）

A.[-1,2)B.[-1,0]C.[1,2]D.[1,+<?)

【答案】C

【分析】由X>1,求得〃x)的范圍；再求得/(x)=2…的單調性，討論”<1,“盧時函數”X)在9的最

小值，即可得到所求范圍.

【解析】解：函數〃x)='k，

[x+l,x>1

若x>l,可得〃x)=x+l>2,

由/⑴是的最小值，

由于/(x)=，5

可得在x>a單調遞增，在x<。單調遞減，

若a<l,xW,則“X)在x=。處取得最小值，不符題意；

若。聲，不讓，則“X)在x=l處取得最小值，

且2”|黃，解得1Y?。，

綜上可得a的范圍是口，2].

故選：C.

【點睛】本題考查分段函數的最值的求法，注意運用分類討論思想方法，以及指數函數的單調性，考查運

算能力，屬于中檔題.

(21TV>1

3.(2019?福建龍巖?三模)已知函數/(、)=2-'二1，若/(2x-2)N/(f—x+2),則實數x的取值范圍是

()

A.[-2,-1]B.[1,+oo)

C.R