第05講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

目錄

模擬基礎(chǔ)練.....................................................................2

題型一：對(duì)數(shù)式的運(yùn)算..........................................................................2

題型二：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用..................................................................3

題型三：對(duì)數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題....................................................................5

題型四：比較對(duì)數(shù)式的大小......................................................................6

題型五：解對(duì)數(shù)方程或不等式....................................................................8

題型六：對(duì)數(shù)函數(shù)的最值與值域問(wèn)題..............................................................9

題型七：對(duì)數(shù)函數(shù)中的恒成立問(wèn)題...............................................................11

題型八：對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題...................................................................15

重難創(chuàng)新練....................................................................18

真題實(shí)戰(zhàn)練....................................................................29

題型一：對(duì)數(shù)式的運(yùn)算

1.若3"=12,b=logJ2,貝!!▲+：=______.

ab

【答案】1

【解析】因?yàn)?"=12,所以"=log312,

1111

所以1—=----1-----=log123+log124=log1212=l.

「八八ablog312log412

故答案為：1.

2.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))若log312=x,logJ2=y,則,+,=.

1y

【答案】1

log121

【解析】因?yàn)閘og"一'l°gJ2=y,所以行旬]?log1212_1

log124log124

所以工=log]，3,-=log124,

x-J

因止匕，-+--log123+log[?4=log]?(3x4)=1.

xy

故答案為：1

3.求值：

(l)(log43+log83)(log32+log98)；

0251Ofo3

(2)8x^/2+log510——!——2

log25

【解析】(1)原式=

]113

10&3355

(2)8°3x啦+log510------------2=(2)X2+log510-log52-3=21^+log55-3=0.

log25

2

4.(2024?河南關(guān)洲?三模)已知log?b+41og/=4,則幺的值為

2b

【答案】:/0.5

【解析】因?yàn)閘og?+41og/=4,

4

所以。/+謔7=4,可得（log，）9--41oga+4=0,

即（log*-2『=0,

所以log“b=2,即〃=匕，

所以《

2b2a②2

故答案為：y.

題型二：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

5.（2024?高三?山東濰坊?期中）已知指數(shù)函數(shù)y=",對(duì)數(shù)函數(shù)y=log/的圖象如圖所示，則下列關(guān)系成

C.0<Z?<l<tzD.。<0<1<6

【答案】B

【解析】由圖象可得，指數(shù)函數(shù)y為減函數(shù)，

對(duì)數(shù)函數(shù)y=log/,%為增函數(shù)，

所以

即

故選：B

6.已知函數(shù)>=。"和y=ln%的圖象與直線y=2-x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別〃，b,則〃+b=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】作出函數(shù)〉=二和y=ln%的圖象以及直線y=2-九的圖象，如圖,

由函數(shù)y=^和丁=1門的圖象與直線尸2-彳交點(diǎn)43的橫坐標(biāo)分別為。，b,

由題意知A(a,e"),B(b,lnb),也即A(a,2-a),B(b,2-6),

由于函數(shù)丫=^和y=ln尤互為反函數(shù)，

二者圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，

而4,8為丫=^和y=ln尤的圖象與直線y=2-x的交點(diǎn)，

故A,8關(guān)于y=x對(duì)稱，

故。=2—仇.?.〃+0=2.

故選：B.

7.如圖所示的曲線分別是對(duì)數(shù)函數(shù)y=log“x,y=log/,y=logcx,y=logM的圖象，則。，b,c,d,

1,0的大小關(guān)系為(用“>”號(hào)連接).

【答案】b>a>l>d>c>0

【解析】由題圖可知b>l,0<c<l,0<J<1.

直線>=1與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左向右依次為C,d,a,b,

故答案為：b>a>l>d>c>0

8.(2024?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)〃力=1。82|。+耳的圖象不過(guò)第四象限,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

【答案】［1,W)

【解析】函數(shù)〃力=1幅|4+乂的圖象關(guān)于尤=-“對(duì)稱，其定義域?yàn)椋4，

作出函數(shù)/(x)=log2|a+x|的大致圖象如圖所示,

由圖可得，要使函數(shù)〃x)=bg2|a+x|的圖象不過(guò)第四象限，

則y(o)；o,即呼1猿0,解得心1,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為［1,+8).

故答案為：［1,+8).

9.(2024?云南昆明.模擬預(yù)測(cè))已知七是函數(shù)/(x)=xlnx—2024的一個(gè)零點(diǎn)，巧是函數(shù)g(x)=xe-2024的

一個(gè)零點(diǎn)，貝!1西?尤2的值為()

A.1012B.2024C.4048D.8096

【答案】B

【解析】由/(%)二%山%—2024=。得ln'=公202上4，由8⑴=皮—2024=0得e、='20空24，

xx

(2024、(2024、

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為/——，點(diǎn)5的坐標(biāo)為％2,——，

IXiJkX2J

又y=Inx與y=S的圖象關(guān)于直線y=%對(duì)稱，且y=32024的圖象也關(guān)于直線y=x對(duì)稱,

X

20242024

則點(diǎn)A,8關(guān)于直線y=X對(duì)稱，即_瓦;-2024,,得可飛=2024,

^AB—1

x2—xlXxX2

故選：B.

題型三：對(duì)數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

10.函數(shù)/(x)=log“(x—l)+2(a>0,owl)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)()

A.（3,2）B.（2,1）C.（2,0）D.（2,2）

【答案】D

【解析】對(duì)于函數(shù)/(x)=log“(x—1)+2(0>0,。/1),令X—1=1,解得x=2,

所以/（2）=log/+2=2,即函數(shù)/（耳=108,（》-1）+2（。>0,。71）恒過(guò)點(diǎn)（2,2）.

故選：D

11.函數(shù)/（幻=108“。+加）恒過(guò)定點(diǎn)（-2,0）,則加的值（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【解析】由函數(shù)/?=log”（X+附恒過(guò)定點(diǎn)（-2,0）,可得log,,（-2+ni）=0,

所以-2+機(jī)=1,解得m=3.

故選：C.

12.函數(shù)丁=1。8“（4+X）+4（。>0,。片1）的圖象恒過(guò)點(diǎn)「，若角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)p,貝|cosa=（）

A-B..3c.1D.-1

5555

【答案】B

【解析】令4+x=l,則冗=Ty=4,即P（-3,4）,

-33

所以M布r。

故選：B.

題型四：比較對(duì)數(shù)式的大小

i1111

13.（2024?寧夏銀川?二模）若a=log「人@）3c=iogJ,d貝lj（）

434

A.a>b>d>cB.a>b>c>dC.b>d>a>cD.a>d>b>c

【答案】A

4

【解析】因?yàn)閍=log；=log3>log；=1,Qj<QJ=；<b<1,

log3a<logs1=0=>C<0,

所以〃>b>d>c.

故選：A.

14.（2024?山東聊城?三模）設(shè)〃=log49,b=log25,c=3ig34,則〃也c的大小關(guān)系為（）

A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.c>b>a

【答案】A

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=bg?x在定義域上單調(diào)遞增，

^b=log25>log23=log49=a>log22=1,

又C=31-1Og34—31°g3J-|og34=34=二<]

--~4

所以b>a〉l>c.

故選：A

15.（2024?安徽?三模）已知a=eA3,Z7=ln（e7i-2e）,c=7i-2,貝!J（）

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【解析】由。=6?,6=111（671—2e）,

即°=e（"T）T,人=m（en-2e）=ln（7i-2）+l,

令/（x）=e*T-x（x>l）,

則/'（x）=-1>0在（1,w）上恒成立，

故〃x）在（1,+8）上單調(diào)遞增，

則有;'（兀-2）=e（"-2）T_（兀一2）>/（1）=0,即a>c,

令g（x）=lnx-x+l（x>l）,

則，（力=；-1=?<0在（1,+8）上恒成立，

故g（x）在（1,+8）上單調(diào)遞減，

貝!1有g(shù)（7i-2）=ln（7i-2）+l-（7i-2）<g（l）=0,即b<c,

i^b<c<a.

故選：A.

16.（2024?云南?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（0為區(qū)上的偶函數(shù),且當(dāng)小々?-8,0），工戶當(dāng)時(shí)，"^9^^>°，

02

若a=flogl3,^=/（0.5）,c=/（sinl）,則下列選項(xiàng)正確的是（）

I2）

A.c<b<aB.b<c<a

C.a<b<cD.c<a<b

【答案】C

【解析】當(dāng)玉,馬4-8,0）時(shí)，所以/⑺在（-%,0）上單調(diào)遞增；

又有“X）為R上的偶函數(shù)，所以“X）在（0,+8）上單調(diào)遞減.

由于我們有l(wèi)og??>1（^2=1=0.5°>0.5°2=0于>0,49842V=（0.875）?=0.87>^=sin>sin1>0,

0202

即log23>O.5->sinl>0,故/（log23）<f（O.5）</（sinl）.

/、

02

而“=/k>g23=/（-log23）=/（log23）,Z>=/（0.5）,c=/（sinl）,故"6<c.

I2）

故選：C.

17.（2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）已知。=log/0.6,b=o.5°-6,c=2cos222.5°-b那么b,c的大小關(guān)系為

（）

A.b<c<aB.a<b<cC.a<c<bD.b<a<c

【答案】B

91-11

【解析】因?yàn)椋?.6）>0.3,所以06〉03“貝1Ja=log（）.3。,6<logo,3=—，即。<。<不，

*22

0.5<b=Q.5°6<0.5°5=—,^\i-<b=—,

222

c=2cos222.5°-1=cos45°=>故a<b<c

2

故選：B

題型五：解對(duì)數(shù)方程或不等式

18.（2024?高三?上海虹口?期中）方程1。82（3》+4）=3的解為彳=.

41

【答案】|/11

4

【解析】由題，log2（3x+4）=log28n3x+4=8=>%=§.

4

故答案為：—.

19.關(guān)于1的方程甲-2兀=2的解為.

【答案】％=1

【解析】由4，-2，=2可得（2，『_2-2=0,即（2工+1）（2=2）=0,

因?yàn)?工>0，可得2*=2，故x=L

所以，方程關(guān)于無(wú)的方程4工一2,=2的解為x=L

故答案為：x=l.

20.不等式log2X+log4X<3的解集.

【答案】{x|0<x<4}

【解析】bgm=L7=ji°g2x，

log,42

3

故原不等式化為辛。g?尤<3,

gpiog2x<2Mlog24,解得0<x<4,

所以不等式的解集為{x10<x<4}.

故答案為：{x|0<x<4}

21.不等式logz（xT）<l的解集為.

【答案】（1,3）

【解析】因?yàn)閘og式,jl!jlog2（x-l）<log22,

.-.0<x-l<2,即l<x<3,故解集為（L3）.

故答案為：（1,3）.

Jx-3

22.不等式NO的解集為

logz(x—2)—1

【答案】（4,+◎

\lx-3

【解析】由卻可得］腕2（尤-2）-1>0

log2(x-2)-l

\x>3fx>3

解得

即|log2(x-2)>l^[x-2>2x>4,

所以不等式的解集為（4,+8）.

故答案為：（4,+oo）

23.不等式loga（2%+3）>loga（5x-6）,（a>l）的解集為

【答案】4,3）

【解析】因?yàn)椤?gt;1,可得對(duì)數(shù)函數(shù)y=log。％為單調(diào)遞增函數(shù),

2%+3>0

5X-6>0,解得：即原不等式的解集為

則原不等式等價(jià)于<x<3,4,3).

2x+3>5x-6

故答案為：（|,3）.

題型六：對(duì)數(shù)函數(shù)的最值與值域問(wèn)題

24.logjx?+l)+bg9(二+41的最小值為.

【答案】1

【解析】(尤2+1)［，+4)=1+4+4苫2+：丁5+2小4/?-^=9,

當(dāng)且僅當(dāng)4/=二，即時(shí)，等號(hào)成立，

x4

22

log9(x+1)+log9+4^=log9(^+1)^+4^>log99=l,

故l°gg(x?+l)+10g9+的最小值為1.

故答案為：L

25.已知對(duì)數(shù)函數(shù)y=log“Ma>l)在區(qū)間［L2］上的最大值比最小值大1,則?=

【答案】2

【解析】由已知可得，函數(shù)y=log.Ma>D在區(qū)間［L2］上單調(diào)遞增.

又對(duì)數(shù)函數(shù)y=log。x(?>1)在區(qū)間［1,2］上的最大值比最小值大1,

所以，logfl2-logfll=loga2=l,解得4=2.

故答案為：2.

26.函數(shù)yT°gj(X+2)-X2,XG［2,6］的最大值為.

2

【答案】-6

【解析】由題意，知"“在［2,6］上單調(diào)遞減，yTog^x+2)在［2,6］上單調(diào)遞減，

故y=log.(X+2)-必在［2,6］上單調(diào)遞減，

2

則當(dāng)X=2時(shí)該函數(shù)取到最大值log2(2+2)-2?=-6,

2

故答案為：-6

27.設(shè)函數(shù)/(x)=log〃(尤-3)+l,(a>0且awl).

⑴若"12)=3,解不等式/(元)>0；

(2)若/(x)在［4,5］上的最大值與最小值之差為1,求。的值.

【解析】(1)由解12)=3可得log式12-3)+1=3,解得a=3,

即/(x)=log3(x-3)+l,(x>3),則/(x)>0,gpiog3(x-3)+l>0,

x>3J。

即<1x>—,

%—3〉—3

I3

故不等式/?>0的解集為母+均；

(2)由于Ax)在［4,5］上的最大值與最小值之差為1,

故|logfll+l-(loga2+1)|=1,即|loga2|=l,:.a=2或a=g,

即。的值為a=2或a=1.

2

28.已知函數(shù)/(x)=log“(l-x)-log“(6+x)+〃？(a>0且awl)為奇函數(shù).

⑴求函數(shù)“X)的定義域及解析式；

⑵若xe,函數(shù)〃x)的最大值比最小值大2,求。的值.

,、\1-x>0

【解析】⑴要使函數(shù)/(無(wú))有意義，則…>0,可得：-b<x<l,

因?yàn)?(x)為奇函數(shù)，所以—6+1=0,即6=1,所以Ax)的定義域?yàn)?-U),

由/(0)=0可得：m=0,所以f(x)=log.(l-x)-log/l+x),

此時(shí)/(-X)=k)ga(l+X)-g(1_耳=-〃耳,/(X)是奇函數(shù),符合題意.

(2)/(%)=log“(l-x)-loga(1+x)=log”==logf-l+1,

①當(dāng)。>1時(shí)，函數(shù)y=/(x)單調(diào)遞減，

131

所以/Wmax=/(--)=bga-T0g0-=kg”3,

1131

/(尤)min=/(2)=log"2T°g。2=l°Sa3'

3lo

所以/Wmax-/(x)mm=l°ga-3?=ga9=2，

解得a=3.

②當(dāng)Ovavl時(shí)，函數(shù)》=/(九)單調(diào)遞增，

1131131

所以/@)max=/t)=lOga萬(wàn)Toga-=log<z.=于(一力=log.~~log?-=log?3，

乙乙乙D乙乙乙

lo103lo2

所以/Wmax-/Wmin=gfl1-§?=ga-=>

解得"=；.

綜上，或4=3.

題型七：對(duì)數(shù)函數(shù)中的恒成立問(wèn)題

29.已知函數(shù)〃x)=x2-4x+10,g(x)=2，+log2(x2+12)+7，-3"7,若對(duì)任意％e[0,4],總存在赴e[2,4],

使〃石”8仁)成立，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為.

【答案】口,2]

【解析】對(duì)任意王e[0,4],總存在馬?[2,4],使/&)2g(%)成立，

對(duì)為e[0,4],冬e[2,4]J&需Ng(%需成立

?."(工)=幺_4彳+10=(刀_2)2+6,:.當(dāng)&e[0,4]時(shí)，/(石)=/(2)=6,

g(x)=2工+log2(爐+12)+療-在[2,4]上是增函數(shù)，

222

當(dāng)X,e[2,4]時(shí)，g(無(wú)2).=g(2)=2?+log2(2+12^+m-3m=m-3m+8,

6>m2-3m+8,.\m2-3m+2<0,.,.(7n-l)(/i7-2)<0,.,.l<m<2,

故實(shí)數(shù)加的取值范圍為口,2].

故答案為：[1,2].

30.已知函數(shù)/(x)=log“(at+9-3a)(a>0且a*1).

(1)若/(%)在[1,3]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑵若〃3)>0且存在％43,+?)),使得/(%)>2晚40成立，求。的最小整數(shù)值.

【解析】(1)由函數(shù)〃x)=log“(ax+9—34),設(shè)g(x)=(u+9—3a,

由a>0且。工1,可得函數(shù)g(x)在[1,3]上是增函數(shù)，所以

又由函數(shù)定義域可得g(l)=9-2a>0,解得”■!，

所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍是

(2)由/(3)=log,9>0,可得a>l,

又由/(%)>21ogflx0,可得logfl(?x0+9-3a)>log“片,

所以ax。+9—3a>即a>/+3,

因?yàn)榇嬖诿玾(3,+co),使得/(Xo)>21og“xo成立，可得a>6,

所以實(shí)數(shù)。的最小整數(shù)值是7.

31.已知函數(shù)/(x)=log3x+加Jog,.3,x>0且尤Hl.

⑴若m=-3,求方程/(X)=2的解;

(2)若對(duì)Vxe(l,+8),都有/(X)>4〃L2恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【解析】(1)

令r=log3x,則Iogx3=；,

3

當(dāng)"z=—3時(shí)，〃x)=2等價(jià)于——=2,即/一2"3=0,

t

得。+1)"3)=0,有=I或t=3,

貝l]log3X=_l或log3X=3,所以無(wú)=：或彳=27.

(2)法一：令f=log3X,由xe(l,+oo),得feQ+w),

依題意得,+詈4吁2恒成立，因?yàn)?＞0,所以r+(2-4〃力+心0在任(0,+8)上恒成立，

令g?)=d+(2—4"1)/+加，對(duì)稱軸.=—4^^=2加一1,

①當(dāng)2m一1W0時(shí)，即機(jī)工；,且⑺5＞g(0)=M，得mNO.所以0W機(jī)＜1.

②當(dāng)2加一1＞0,即m＞4，g。).=g(2m-l)=-4m2+5m-l＞0,得,＜相＜1.所以,＜機(jī)＜1.

,\/min\/42

綜上所述，抑的取值范圍為[0,1).

法二：令r=log3X,由xe(L+co),得te(0,+oo),

依題意得/+半＞4機(jī)-2恒成立，令g?)=f+：,

①當(dāng)機(jī)＜0時(shí)，易知g⑺在(0,+8)上單調(diào)遞增，且當(dāng)f-0時(shí)，g(f)-T?,

所以此時(shí)g⑺沒(méi)有最小值，即不存在m＜0使得不等式t+-＞4m-2恒成立.

t

②當(dāng)m=0時(shí)，易知g?)在(0,+s)上單調(diào)遞增，故g(0)24機(jī)-2恒成立，解得加V；,

即當(dāng)加=0時(shí)，不等式/+'＞4〃?-2恒成立.

t

③當(dāng)機(jī)＞0時(shí)，由基本不等式得g(f)=/+亍22而，當(dāng)且僅當(dāng)公疝時(shí)取等號(hào)，

要使原不等式成立，須使2詬＞4根-2恒成立，解得。〈機(jī)＜1

綜上所述，機(jī)的取值范圍為。1).

法三：令/=1083無(wú)，由xe(l,+8),得三(0,+8),

依題意得/+：＞4m-2恒成立，因?yàn)閠＞0,所以〃z(4f-l)＜/+2r在fe(0,E)上恒成立，

由，￡(0,+8),得4，—1￡(―1,+8),

111Q

①當(dāng)時(shí)，。＜77+彳=77恒成立，meR;

416216

②當(dāng)re(o,；),4r-le(-l,0),所以相＞￡片在fe(O,：)上恒成立，

令人⑺6=41?一1,0),

p+lYb+l

則為⑴=皿)=〔"尸/5+2"1+勸+8,心2+10］，

'，'，b16b16{b)

F(b)在泰(-1,0)上單調(diào)遞減，所以/。)1mx<F(-l)=0,

所以〃止。，加的取值范圍為［0,+8).

③當(dāng)re］；,+8),由一1?0,+8),所以根<缶彳■在f?］；,+(%>|上恒成立,

人，/、t+2t

令卜8=-----6=4r-l?0,+8),

')4/-1

則〃⑺=尸0)==1,

9,、

當(dāng)且僅當(dāng)6=丁即6=3,t-1,x=3時(shí)等號(hào)成立，即/僅)1111n=1，

所以加<P。)1n^=1,機(jī)的取值范圍為(-00,1)

綜上所述，機(jī)的取值范圍為［。,1).

32.已知函數(shù)〃x)="4^'+為1奇函數(shù)

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

(2)判斷函數(shù)/(X)的單調(diào)性并證明；

⑶設(shè)函數(shù)g(x)=log2，bg［+根，若對(duì)任意的玉?［2,8］,總存在9e(O,l］,使得g&)=〃％)成立，求

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【解析】(1)由已知函數(shù)需滿足4*+4/0,當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)镽,

函數(shù)〃x)=4+1為奇函數(shù),所以/(-x)=-/(x),

即上土1=一￡±1在R上恒成立，即(°+1乂4'+1)=0,a=-l(舍)，

4-'+。4'+。八'

00

當(dāng).<0時(shí),xlog4(-?),函數(shù)的定義域?yàn)?-8,log4(-a))U(log4(F)，+)，

又函數(shù)=為奇函數(shù)，所以log4(-a)=0,a=-1,

此時(shí)〃到=亨，函數(shù)定義域?yàn)?-“,o)u(o,y),

4—1

xX

/(—x)=A~+m4-1=±4：-1-1=—/a),函數(shù)為奇函數(shù)，滿足，

，\)4-1-4+1v7

綜上所述：a=-l；

(2)/(%)在(-雙。)和(0,+8)上單調(diào)遞減，證明如下:

/(%)=￡±l=i+-2_,定義域?yàn)?-”,o)u(o,+w),

設(shè)V%,%2￡（°，+°°），且玉＜X2，

則〃X1）T（/）/1+上丫1+口]=/（4：叫

（4為-口I4也-J（4軟一1）（4,2T

因?yàn)槔?W（0,+co）,且占＜々，所以43-1＞0,4也一l＞0,4'2-4*＞0,

所以“不）＞/（馬），所以〃x）在（。，+8）上單調(diào)遞減，

同理可證，所以/'（x）在（-/,0）上單調(diào)遞減；

（3）函數(shù)“X）在（-8,0）和（0,+8）上單調(diào)遞減，

且當(dāng)xe（fo,0）時(shí),/（x）＜0,當(dāng)xw（0,+oo）時(shí),/（x）＞0,

無(wú)2?0』時(shí)，/（%）＞/（1）=|,所以當(dāng)xe（O,l]時(shí)/⑴的值域A=|,+?）

Xg（x）=log21-log2：+機(jī)=（log2x—l）（log2x-2）+m,xe[2,8],

設(shè)t=log2Xje[1,3],貝！Jy=（/-1）（力一2）+機(jī)=r—3t+2+m,

31

當(dāng)/=一時(shí)，取最小值為-■7+根，當(dāng)無(wú)=3時(shí)，取最大值為2+機(jī)，

24

即g（x）在xe[2,8]上的值域8=~+m,2+m,

又對(duì)任意的％e[2,8],總存在當(dāng)€（0』，使得8（不）=/仇）成立，

1593「23、

即所以-工+小得，解得機(jī)書，即優(yōu)e—,+?I.

題型八：對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題

33.設(shè)方程2*+x+3=0和方程1鳴*+苫+3=0的根分別為P，q,設(shè)函數(shù)〃x）=（x+p）（x+q）,則（

A./（2）=/（0）＜/（3）B./（0）=/（3）＞/（2）

C./（3）＜/（2）=/（0）D./（0）＜/（3）＜/（2）

【答案】B

【解析】由2*+x+3=0得2*=-尤-3,^log2x+x+3=0^1og2x=-x-3,

所以令y=2",y=log/,y=-x-3,這3個(gè)函數(shù)圖象情況如下圖所示：

設(shè)>=2*,了=-尤-3交于點(diǎn)8,y=log2X,y=-x-3交于點(diǎn)C,

由于y=2工,y=log2x的圖象關(guān)于直線N=x對(duì)稱,

x的交點(diǎn)為人]!"-胃，所以一3

而,=_尤_3,，=

2

注意至U函數(shù)/(x)=(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq的對(duì)稱軸為直線x=-^|^,即x,

且二次函數(shù)/(x)的圖象是開口向上的拋物線方程，

從而/(。)=/(3)>/(2).

故選:B.

34.(2024.高三.河北邢臺(tái).期中)已知g(x)=log〃x(a>0,awl),且g(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2),又/(x)=—g(x).

⑴若〃3彳-1)>/(—+5)成立，求x的取值范圍；

(2)若對(duì)于任意xe[1,4],不等式恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【解析】(1)因?yàn)?(力=廄/3>0,。彳1)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2),

所以g(4)=log,4=2,所以〃=4,因?yàn)?/p>

所以a=2,所以g(x)=log2”,又因?yàn)?("=招(0=-1。82戶1。8戶，

2

而/(尤)=logy在(0,+8)上單調(diào)遞減，

2

由〃31)>/(_彳+5)可得：

3x—1>0,

所以<-%+5>0,解得工￡(§,/),

3x_1<—x+5,

所以x的取值范圍為

(2)因?yàn)椤?x)gm<0,

所以能>〃2x）g］力對(duì)于任意尤e［l,町恒成立等價(jià)于/（2x）gl,

1/LV，」max

因?yàn)閥=/（2x）g匕）=Tog?（2x）log?:

2

=-（1+log2x）（log2x-2）=-（log2x）+log2x+2.

令〃=log2x,l<x<4,貝Ij〃￡［0,2］,

所以y=―〃2+〃+2=_［〃_g）+%

11Q

當(dāng)〃=5,即1嗚％=5,即尤=應(yīng)時(shí)，，max="

9

所以機(jī)

4

35.（2024?高三?安徽?期中）已知/（x）=log3（機(jī)、+1）-式機(jī)>0,且相。1）是偶函數(shù).

（1）求機(jī)的值；

⑵若關(guān)于X的不等式!3/3-3［（6），+（6）-［+。40在區(qū)上有解，求實(shí)數(shù)。的最大整數(shù)值.

【解析】(1)函數(shù)/⑺定義域?yàn)镽,由函數(shù)為偶函數(shù)，有了⑴于卜可，

A

即log3(機(jī),+1)—x=log3(m-￡+1)+x,貝I]有l(wèi)og3(m'+lj-logs[*+1]=2x,

%

即log3m=xlog3m=2x,log3m=2,所以m=9.

x

(2)由(1)可知，/(x)=log3(9+l)-x,

則3外)=嚴(yán)(9刊7==空=3*+37=_2，

設(shè)g⑺=g.34）-3］（研+（可〔+a=g㈣'+（可,*_1_3［（同+（退尸卜a,

依題意有8⑴由”。，

由基本不等式，網(wǎng)+網(wǎng)￡小網(wǎng)網(wǎng)r=2,當(dāng)且僅當(dāng)（@，=（百/，即x=0時(shí)等號(hào)成立,

令（@'+（@r=f,貝巾⑺=9-3/+。一1（92）,有旗%”0,

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在［2,3］上單調(diào)遞減，在［3,y）上單調(diào)遞增，

=/2（3）=|-9+a-l=a-y,貝l|有a—得

所以實(shí)數(shù)。的最大整數(shù)值為5.

2+工

36.(2024?上海徐匯?二模)已知函數(shù)>=/(無(wú))，其中/(x)=log］-

2x—2

⑴求證：y=/(尤)是奇函數(shù)；

(2)若關(guān)于尤的方程Ax)Tog1(x+%)在區(qū)間［3,4］上有解，求實(shí)數(shù)％的取值范圍.

2

2+x

【解析】(1)函數(shù)>=1叫3的定義域?yàn)椤?(9,-2)52,用)，

在。中任取一個(gè)實(shí)數(shù)無(wú)，都有—xeD,/(-x)=log,=log,^|=log(f=-/U).

2-x-2萬(wàn)元+2八x—21

2+x

因此，y=iogi—是奇函數(shù).

2x—2

(2)■/'(幻=1(^(*+左)等價(jià)于》+%=葉2即左=葉2-》=/--X+1在［3,4］上有解.

2x—2x—2x—2

記g(x)=/7-x+l,因?yàn)間(x)在［3,4］上為嚴(yán)格減函數(shù)，

x-2

所以，gCOmax=8⑶=2,g(X)mta=g(4)=T,

故g(x)的值域?yàn)椋?1,2］,因此，實(shí)數(shù)Z的取值范圍為［-1,2］.

1.(2024?高三?廣西?開學(xué)考試)已知。=sin工6=2°」，c=lo及拒,則()

6

A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

【答案】A

TTJ

【解析】a=sin-=~,

62

因?yàn)?°<2°/<2、所以1<6<2,

H^jlog,\/2<log2A/3<log22,所以;<c<l,

所以6>c>a,

故選：A.

2.(2024?遼寧.三模)已知對(duì)數(shù)函數(shù)/(x)=log0x,函數(shù)/(元)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大為

原來(lái)的3倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，再將g。)的圖象向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象恰好與函數(shù)的

圖象重合，則。的值是()

A.-B.|C.逅D.73

233

【答案】D

【解析】因?yàn)閷⒑瘮?shù)/⑴的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，

所以g(x)=log0即g(x)=log”無(wú)一log,3,

將g(x)的圖象向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的函數(shù)解析式y(tǒng)=log“xTog〃3+2,

因?yàn)樗脠D象恰好與函數(shù)/(x)的圖象重合，

所以-log〃3+2=0,

所以/=3,又a>0且

解得a=A/3，

故選：D

3.(2024?河北衡水?模擬預(yù)測(cè))設(shè)a>0,awl,若函數(shù)〃尤)=+(正看一目是偶函數(shù)，貝此=

()

A.1B.-C.2D.3

22

【答案】D

【解析】/(無(wú))=

]W+a)og,(，/+1一目的定義域?yàn)椴?w0},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

一\((a2-3)ax)\(yjx2+l-x\(ylx2+l+x]

故〃苫)-1\_]+4廄“(衣

+l+x]=-------L—+alog,------------------------------L

>Ii-?xJ"VTTT-x

2x

((a-3)a)一\(Q2—3)優(yōu)/[\

-1jJ+?log/Jx+1x)-'優(yōu)_；+al°g”('尤+1x)-/(尤)

\7

2x

(a-3)a)/I——2

1x)-[優(yōu)+a^loga^x+lx),

所以一一alogah/.r+

ci—1\

\7

,,(a2-3)aA-(a2-3),

故——』~——2=2an"—3=2a=>a=3或"=-1(舍去)，

ax-\

故選：D

4.(2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)/(尤)=a'lna+(l+a)，in(l+a),若〃“<0在(-/,0)上恒成立，則實(shí)數(shù)。

的取值范圍是()

A—?<4鋁）

【答案】B

【解析】易知〃>0,故牛+1>1,ln（l+〃）>0,/（%）〈。在（-8,0）上故成立,

等價(jià)于不等式（1+。）*In（1+a）<-/Ina即［一）<-5工）在左?（-/，°）上恒成立，

故IT1=l~~k^a）,（點(diǎn)撥：當(dāng)“>。時(shí)，函數(shù)丁=［寧］在（一”，0）上單調(diào)遞增，

則y<[等)=1,]na

所以

In(1+〃)

故ln(a+l)W-lna,即a(a+l)<l,又a>0,故0<aW正一1.

（V5-1

故實(shí)數(shù)。的取值范圍是0,丫廠

I2

故選：B

5.（2024.江西萍鄉(xiāng).二模）已知“=華力=!，,="當(dāng)，則這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系為（）

42ee2

A.c<b<aB.a<b<c

C.a<c<bD.c<a<b

【答案】C

■Ah_LL.Ar（\1nxrfi\2—21nx

【解析】令〃x）=五"（同=后尹，

所以/'（X）在（O，e）上單調(diào)遞增，在（e,+8）上單調(diào)遞減,

22

因?yàn)镃=2_ln2=lne2_ln2=lne5_lne5臼，

-e2-e2e2-e2~\1）

且。=("(4)S=(=〃e),

貝U/(e)>/[?]>7(4),即a<c<b.

故選：c.

6.（2024?福建莆田.三模）已知。>1,點(diǎn)P在曲線》=產(chǎn)上，點(diǎn)。在曲線工工也彳上，則歸。|的最小值是

A.~^~aB.41aC.^^-(1+lnfl)D.^-(lna+1)

【答案】D

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)>=6"*與y=1ln尤=log.x互為反函數(shù)，

ae

所以y=y與y=Lnx的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，

a

所以|PQ|的最小值為點(diǎn)P到直線>=x距離的最小值的兩倍.

L-e^l

設(shè)尸(%，%)，則|尸@=2史■丁」=拒(公哄—/).

設(shè)/(%)=夜卜%-%,r(x)=V2em?-也.

由_f(x)=O得尤=LnL

aa

當(dāng)xeje-ln'］時(shí)，/'(尤)<0,/⑶單調(diào)遞減；

Iaa)

當(dāng)x/LnL+e］時(shí)，f\x)>0,/(%)單調(diào)遞增，

\aaJ

所以〃尤：U=/L/］=S4n(ae),則|尸。|的最小值是也(lna+1).

\aa)aa

故選:D

7.已知/(無(wú))是定義在R上的函數(shù)，則給定R上的函數(shù)/'(無(wú))()

A.存在R上的函數(shù)g(x),使得/(g(x))=尤

B.存在R上的函數(shù)g(x),使得g(/(x))=x

C.存在R上的函數(shù)g(x),使得/(g(^))=g(無(wú))

D.存在R上的函數(shù)g(x),使得了(g(x))=g(/(x))

【答案】D

【解析】對(duì)A,7(g(x))=x,兩邊同取反函數(shù)廣，則g(x)=/T(x),

即晨尤)是“X)的反函數(shù)，不是所有的函數(shù)都有反函數(shù)，如y=