專題8-2立體幾何中平行的證明與應用

模塊一、熱點題型解讀（目錄）

【題型1】平行關系的判斷

【題型2】構造平行四邊形得到平行關系

【題型3】由中位線得出平行關系

【題型4】由線面平行得出線線平行（反推找線）

【題型5】由面面平行得出線面平行

【題型6】兩個平面交線相關的平行證明

【題型7】證明線線平行

【題型8］通過平行證明四點共面

【題型9】平行關系的應用：等積變形求體積

【題型10］平行的存在性問題（確定點的位置）

【題型11］平行的存在性問題（確定動點軌跡）

【題型12】截面問題（通過作平行線或延長線補全截面）

模塊二核心題型?舉一反三

平行關系思維導圖

序號圖形展示符號語言文字語言

①垂直于同一平面的兩個直線平行

1②如果兩條直線分別與第三條直線平行則

這兩條直線平行

③線段成比例兩直線平行（中位線）

④平行四邊形對面平行

a_____a^a平面外一條直線與此平面內的一條直線平

2bua,na〃a行，則該直線與此平面平行

allb

a//a一條直線與一個平面平行，則過這條直線的

3auf3>=>a〃b任一平面與此平面的交線與該直線平行

ac/3=b)

a.bcza一個平面內的兩條相交直線與另一個平面內

的兩條相交直線分別平行，那么這兩個平面

acb=A

平行

4/*/m,nu/3>=>a//P

mcn=B

allm,b//n

a//p如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，

5acy=a>=a〃b那么它們的交線平行

/3cy=b

7^7a,bu°一個平面內的兩條相交直線分別與另一個平

6aryb—P面平行，則這兩個平面平行

=>a//[3

//a//a

b//a

all國兩個平面平行，則其中一個平面內的任意一

//>na//p

7aua,條直線與另一個平面平行

【題型11平行關系的判斷

基礎知識

常用結論

(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a_La,a.Lp,貝Ia〃夕.

(2)平行于同一個平面的兩個平面平行，即若a〃從p//y,則a〃y.

(3)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即a_La,b±a,則a//B.

(4)若a〃4，mUa,則相〃及

【例1】(2024.山東淄博?二模)已知a,B，y為三個不同的平面，a,b,/為三條不同的直線.

若an〃=/,an7=a,力仆7=4////，

則下列說法正確的是()

A.a與/相交B.。與/相交C.a//bD.。與4相交

【答案】C

［分析］根據空間中直線與平面的位置關系逐項判斷即可.

【詳解】對于AB,////,/u平面a,aC\y=a,則〃/a,

同理可得〃/6,則AB錯誤；

對于C,由AB知道。//6,則C正確；

對于D,由A知道平面￡,/u平面￡,則。//月，故D錯誤.

【例2】已知機、”是兩條不同的直線，&、P>/是三個不同的平面，下列命題正確的是（）

A.若cz_L6,/?!/,則a///；

B.若mHn,nua,則〃?〃e；

C.若加、”是異面直線，〃zua,ml//3,nu/3,nlla,則a〃/；

D.平面。內有不共線的三點到平面力的距離相等，則&//〃.

【答案】C

【分析】利用直觀想象判斷直線與平面的位置關系可判斷ABD；利用線面平行的性質定理與面面平

行的判定定理可判斷C,從而得解.

【詳解】因為機、〃是兩條不同的直線，a、。、/是三個不同的平面，，

對于A,若八丫，則a與7可能相交，故A錯誤；

對于B,若加〃“，wua,則機可能在a內，故B錯誤；

對于C,因為小ua,所以機（2夕，

又加〃夕，所以由線面平行的性質定理可知在￡內存在〃/心，

則/<Zcr,進而可得"/a,

因為根,“是異面直線，nufi,所以/與〃相交，

又“//a,所以由面面平行的判定定理得a//￡,故C正確；

對于D,平面々內有不共線的三點到平面￡的距離相等，則a與￡可能相交，故D錯誤.

【例3】（多選）已知平面&,￡,/,且ac尸=/,77cy=%,/cc=",則下列結論正確的是（）

A.機與“可能是異面直線B.若/〃相，則加〃〃

C.若5n附=。，則Oe/D.若。兩兩垂直，則/,m,“也兩兩垂直

【答案】BCD

【分析】利用異面直線的意義判斷A；利用線面平行的判定性質推理判斷B；利用平面的基本事實

推理判斷C；利用面面垂直的性質、線面垂直的判定性質推理判斷D.

【詳解】對于A,由a=",得加因此機與〃不可能是異面直線，A錯誤；

對于B,U/m,ac/3=l,/3cy=m,則/ua,"z</a,于是〃〃/c,

又“zu/,71a=w,因此相〃“，B正確；

對于C,由，wp|〃=O,得Oem.Oe”，由/Iy=tz=〃，得mu0,nua,

則Oe分又￡仆尸=/,因此Oe/,C正確；

對于D,令/Pl，=O,￡，/,/_17,在平面/內取點P（不與點。重合），并在7內作PQ_L〃,PR_Lm,

而01y=m,y1a=n,則尸Q_L（z,PR_L尸，又夕口〃=/,于是/_LPQ」_LPR,

品PQcPR=P,則/J_/，叉〃nnuy,因此/_Lm/_L〃，則NQOR是二面角a-/-分的平面角，

由a_L〃，ZQOR=90°,即枕因此。m,“兩兩垂直，D正確.

【鞏固練習1］下列關于平面平行的命題，正確的是（）

A.若一個平面內的無數條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行

B.若一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行

C.若兩個平面與同一個平面垂直，則這兩個平面平行

D.若兩個平面與同一條直線平行，則這兩個平面平行

【答案】B

【分析】對A,兩面相交，另一平面有無數條直線和交線平行也和該平面平行，故可判斷；對B,

根據平面平行的判定定理即可判斷；對C,根據墻面三個角可判斷；對D,兩面相交一條直線，和

直線平行的直線都平行兩平面，故可判斷.

【詳解】對A,假設兩個面相交于一條直線，則其中一個平面內有無數條直線與交線平行也與另一

個平面平行，故A不正確；

對B,根據平面平行的判定定理，可知一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平

面平行，故B正確；

對C,若兩個平面與同一個平面垂直，不一定得出兩平面平行，例如墻角的三個面，故C錯誤；

對D,兩個平面與同一條直線平行，不一定能得出兩面平行，例如兩面相交與一條直線，存在與交

線平行的直線平行于兩個面，故D錯誤.

【鞏固練習2】設加，”是兩條不同的直線，/￡是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若根//cz,則///aB.若a"/3,mua,nuf3,則相//〃

C.若〃則D.若加//〃，m_La,貝

【答案】D

【分析】對于A,根據已知條件推出〃ua或a//a,對于B,可以推出加〃”或異面，對于C,可以

推出租//a或〃zu（z,對于D,根據判定定理可以得到結論.

【詳解】對于A,由機〃〃，機〃a,則"ua或"〃故A錯誤；

對于B,alI工mua,nuB,則加〃/或機與〃是異面直線，故B錯誤；

對于C,機〃",”<=/，則機〃口或〃zutz,故C錯誤；

對于D,ml!n,mLa,則〃_1_戊，故D正確.

【鞏固練習3］已知以〃為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，對于下列命題正確的是（）

A.m（^a,nca,m//p,n////p

B.a///3,m<^a=>m//p-

C.n//m,n<^a//a

D.mHa,nuct=mHn.

【答案】B

【分析】根據面面平行的判定定理可判定A,根據面面平行的性質定理可判定B,根據線面平行的

判定定理可判定C,根據線面平行的性質定理可判定D.

【詳解】選項A：由面面平行的判定定理可知，由于“2,”不一定相交，故A錯誤；

選項B：由面面平行的性質定理可知B正確；

選項C：由線面平行的判定定理可知，加可能在a內，故C錯誤；

選項D：由線面平行的性質定理可知，m,"可能異面，故D錯誤

【題型2】構造平行四邊形得到平行關系

基礎知識

【方法技巧】構造平行四邊形找線線平行

【例1】如圖，在棱長為1的正方體中，E、/及G分別為棱8與、DR和CG的中

點.求證：G尸//平面DEG-,

【解析】?.?在正方體ABCD-A5GR中，E,F,G分別為棱和CG的中點,

DF//QG,SLDF=Cfi,

二四邊形QGC也是平行四邊形，.1G尸〃DG,

-/￡>Gu平面DEG,GF仁平面DEG,

，GF//平面DEG.

【例2】（2024?江蘇南京.模擬預測）如圖，四棱錐尸-ABCD中，PAL底面ABCD,AD//BC,

鉆=仞=40=3,叢=80=4,河,"分另1」為線段4￡）,尸。上一點，AM=2MD.

若N為尸C的中點，證明：MN〃平面R4B；

【解析】證明：由已知旃=2礪得AA1=2,取BP的中點T,連接AT,刀V,

由N為尸C的中晨為TN〃BC,

TN=；BC=2.叉ADIIBC,故且77V=AM,

四邊形AMA7為平行四邊形，MN//AT,

??,ATu平面上43,MNa平面上43,

；.MN//斗面PAB.

【鞏固練習1】如圖，在四棱錐尸-A3co中，底面ABCD是直角梯形，ADJ.AB,AB//DC,PAX.

底面ABC。，點E為棱PC的中點，AD=DC=AP=2AB=2.證明：BE〃平面雨￡（；

（解析］在PD上取中點G,連接AG,EG,如圖:

：G和￡■分別為PD和PC的中點,.-.EG//CD3.EG=-CD,

2

又?.?底面ABCD是直角梯形，CD=2AB,ABIICD,

AB//GES^AB^GE.即四邊形ABEG為平行四邊形,

AG//BE,

rAGu平面物D,BEU平面以

.?.BE7/平面PAD

【鞏固練習21（24-25高三上?青海西寧?期中）如圖，PZU平面ABC。，ADLCD,AB//CD,PQ//CD,

AD=CD=DP=2PQ=2AB=2,點及尸,M分別為AP,CD,3。的中點.求證：防〃平面CPM

【分析】（1）連接四，可證明四邊形MEPC為平行四邊形，再由線面平行的判定定理即可證得;

【詳解】⑴連接因為AB〃CD,PQ//CD,

所以AR/PQ.又因為尸。=AB,所以四邊形PQBA為平行四邊形，

又因為點、E,M分別為AP,8。的中點，所以AB//EM且AB=EM,

因為CD=2AB,ABHCD,所以CD〃EN且EM=gc。，

又因為點尸分別為CO的中點，

所以CF//EM且EM=CF,

所以四邊形MEFC為平行四邊形,

所以MC//EF,

又因為EFU平面CPM,MCu平面CPM,

所以EF〃平面CPM.

【鞏固練習3】如圖，在正三棱柱ABC-A4G中，23,尸分別是BC,4G,44的中點，BC=4BE,

△ABC的邊長為2.求證：：EF//平面AORA；

【解析】證明：取42的中點G,連接FG,DG,

根據題意可得尸G//4R,且/G=g瓦2,DE=^BD,

由三棱柱得性質知B0//42,所以FG//3。,則四邊形￡>G￡F是平行四邊形,

版以EFI/DG,

因為E尸（Z面ADDA,。Gu面A。RA1,

所以EF〃面AOjA.

【題型3】由中位線得出平行關系

基礎知識

涉及中點條件時考慮利用三角形中位線找線線平行.

【例1】如圖，已知四棱錐尸-A3CD的底面ABC。是平行四邊形，M,N分別是棱尸2,PC的中點,

。是棱以上一點，且AQ=3QP,求證:N。〃平面MCD

【解析】取PA的中點S,連接SM,SD,SC,因為〃r為PB的中點，

所以SM//AB,又AB〃CD,所以SMV/CD,故S,M,C,D四點共面,

由題意知Q,N分別為PS,PC的中點，故N0//SC,

又NQ仁平面MCD,SCu平面MCD,因此N。//平面MCD

【鞏固練習1】（24-25高三上?廣東深圳?階段練習）如圖所示，四棱錐S-ABC。中，四邊形ABCD是

矩形，平面SCD±平面ABCD,NSDC=90°,點M是線段SC的中點，點N在線段即上，且肱V_LS3.

s

求證：SA//平面AffiD

【分析】（1）連接AC交3D于G,則G是AC的中點，連接MG,由中位線性質知SA||MG,根據

線面平行的判定可證&4//平面MBD;

【詳解】（1）連接AC交于G,則G是AC的中點，連接MG,

因為Af是線段5r的中點，所以MG是AS4c的中位線，則SA||A/G,

又因為S4Z平面MBD,MGu平面MBD,所以S4//平面AffiD

【鞏固練習2】（2024浙江金華?一模）如圖,三棱錐4-3。＞中，平面3C。，AD=DB=DC=BC,

E為AB中點，/為OE中點，N為DC中點.

C

求證：MN//平面ABC；

【分析】連EC,利用三角形中位線性質，線面平行的判定推理即得.

【詳解】連EC,由“為DE中點，N為DC中點、,得MN//EC,

又ECu平面ABC,MNg平面ABC,

所以MN//平面ABC.

【鞏固練習3】已知在正四棱柱ABCZ）-44GA中，AD=3,你=4,點E是C。的中點，求證:

A，//平面EBD

【分析】根據中位線的性質可得OE//AR,由線面平行的判定定理即可證明;

【詳解】連接AC,交BD于點、0,則。為AC的中點，

又因為E為CA的中點，連接OE,則OE//AR,

;AD集平面EBD,OEu平面EBD,

A2〃平面EBD

【題型4】由線面平行得出線線平行（反推找線）

基礎知識

解析：模型鋪墊：AB〃平面B周AB〃DE

【例1】如圖，在三棱柱ABC-A4G中，側面ACGA為菱形，側面CB與G為正方形.點M為AC

的中點，點N為AB的中點.

證明：A/N〃平面BCC4

【簡析】找一點和MN構成平面，該平面與平面BCG4有2個位置確定的交點，圖中去掉MN和平

面BCG耳中的點后滿足條件的點只有A點了，AM與平面BCG耳交于點Ci,AN與平面BCC再交

于點B,故MN〃BC”找出了平面BCG4中和MN平行的那條線

【詳解】連接AGIG,如圖所示：

因為ACC]A為菱形，點M為AC的中點，所以AGcAC=M,

又點M為AC]的中點，點N為A3中點，所以MN/IBC、,

而Bqu平面BCC^,MNO平面BCQB},

所以MN〃平面BCG耳.

【例2】如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是正方形，點/在棱山上（不與端點重合），E,

尸分別是尸D,AC的中點.

證明：￡F〃平面P8C.

【解析】連接3D,

因為底面ABC。是正方形，所以尸是BD的中點，

又因為E是PD的中點，所以石尸是△P3D的中位線,

所以EF〃尸3,

因為￡F<Z平面PBC,PBu平面PBC,

所以EF//平面PBC

P

【例3】（2024?浙江?一模）如圖，在三棱錐尸-ABC中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，PC1

平面ABC,點E是尸8的中點，點廠在線段CB上且CR:EF=2:1,G為三角形ABC的重心.

求證：GP〃平面

【分析】（1）根據重心性質以及線段比可知/是△P8C的重心，再利用線段比例關系以及線面平行

判定定理可得結論；

【詳解】（1）連接AG交8C于點D,由重心性質可得。是BC的中點，

又點E是尸8的中點，點歹在線段CEr上且CF:EF=2:1,可知P是△PBC的重心；

連接尸￡）,可知點尸在尸。上，如下圖所示：

由重心性質可得Z）尸：尸尸=1:2,DG:AG=］：2,所以G尸〃PA;

又GFa平面RIB,PAu平面RIB,

所以GF〃平面BIB

法二：連接CG交AB于H,易證FG#EH

【鞏固練習1】（2024?山東濟南.三模）如圖所示，PACE為矩形，A3。為梯形，平面尸DCE，平面

ABCD,NBAD=ZADC=90。,AB=AD=gcD=l,PD=B

若點Af為弘的中點，證明:AC//平面MDE；

【解析】連接PC,交DE于N,連接MN

PDCE為矩形；.N為尸C的中點

在△上4c中，M,N分別為B4,PC的中點

:.MN//AC,

因為MNu平面MDE,ACa平面MDE,

所以AC//平面MOE.

【鞏固練習2】在直三棱柱ABC-A4G中，已知。為AB的中點.求證：BG〃平面ACD.

【分析】連接AG交AC于點。，連接0D,利用中位線的性質可得出OD//BG,再利用線面平行的

判定定理可證得結論成立.

【詳解】證明：連接AG交AC于點0,連接0D,如下圖所示：

在三棱柱ABC-A]B]G中，AAj/ZCCj且AAt=(7G,則四邊形44℃為平行四邊形,

因為AGcA|C=O,則。為A。的中點，

又因為。為的中點，所以，0DHBC、,

因為BGO平面AC。，ODu平面AC。，因此，BQ〃平面ACD.

【鞏固練習3】(24-25高三上?福建泉州?期中)如圖，在直三棱柱ABC-%耳G中，ZACB=90°,

CA=CB=CCl=3,。是棱8月的中點，P是G。的延長線與CB的延長線的交點.

⑴求證：AP〃平面4。)；

(2)若點E在線段AP上，且點E為靠近點A的三等分點,求直線4E與平面\CD所成的角的正弦值.

【分析】利用全等思想來證明中點，從而得證線線平行，即可證明線面平行；

【詳解】連接AG交AC于點M,連接MC,如下所示：

因為ABC-4旦C1是直三棱柱，故可得AC|CA是矩形，

故M為AG的中點，又。是的中點，所以B[D=BD,

又NBQCi=ZBDP,NCRD=ZPBD=90°,:.^BXDCXJBDP,

:.CtD=PD,即。是G2的中點，

故在△GA尸中，M,。分別為GA,GP的中點，

故可得MD〃AP,又MDu平面AC。，APz平面AC。，故AP〃面ACO.

【鞏固練習4】如圖，三棱柱ABC—ABC中，E,P分別是B|G和CC1的中點，點F在棱片瓦上,

且用歹=2人/，證明：AP〃平面EFC.

【答案】證明：連結PB1,交CE于點D,連結DF,EP,CB1,

因為E,P分別為B1C1,CC1的中點，故EP〃:CB1且EP=gcBl,

PD1A.F1

故而=5,又B1F=2,A1B1=3,故前=5，

所以FD〃A1P,又FDu平面EFC,A1P。平面EFC,

故A1P〃平面EFC；

【題型5】由面面平行得出線面平行

基礎知識

本法原理：已知平面0〃平面/?,則平面分里的任意直線均與平面a平行

思路比較簡單不過書寫步驟會繁瑣一些，一般不做第一選擇

【例1】如圖，已知三棱柱ABC-A瓦G為直三棱柱，招=48=24。,ABLAC,。為AC的中點.

證明：耳C〃平面BAQ

【簡證】取4G中點

【例2】（2024?貴州貴陽二模）由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺.如圖，正四棱臺ABCZ）一型笆自中,

E戶分別為A。AS的中點，A8=244=4,側面BBgC與底面ABC。所成角為45。.

求證：22〃平面AE尸；

【解析】連接、BR,由區產分別為AD,AB的中點，則EF//BD,

又所（2平面BBQ。，BDu平面BBIDR,故EF//平面BBRD,

正四棱臺A8CD—AB1G2中，4與//AB且A4=^AB=BF,

則四邊形A]FBB、為平行四邊形，故&F/IBB、,

又平面BBQQ,BB]U平面8BQ。，故A尸//平面BBQ。，

又AFcE尸=尸，且4尸u平面AjEF,EFu平面AEF,

故平面AE尸〃平面BBQQ,又BRu平面BBQQ,故8￡>"/平面人所；

【鞏固練習1】（2024?廣東深圳?高三深圳外國語學校校考開學考試）如圖，多面體ABCD所中，四

邊形ABCD為矩形，二面角A—CD—尸的大小為45°，DE//CF,CDYDE,AD=2,DC=3.

Cl）求證：BF7/平面ADE；

【解析】（1）證明：因為四邊形ABCD是矩形，所以，BC//AD,

因為3Cu平面BCF,ADcZ平面BC尸，所以AD〃平面8c尸，

因為DE7/CF,CFu平面8c尸，平面BCF,所以DE〃平面BCT,

因為ADcDE=D,AD,DEu平面ADE,則平面8C尸〃平面ADE,

因為BFu平面所以，BF〃平面ADE.

【鞏固練習2】（2024.四川達州?二模）如圖，在直角梯形A8。中，AD//BC,ABLBC,

AB=BC=2AD,把梯形ABCO繞A3旋轉至A3CQ,E,尸分別為AB,CC1中點.

證明：EF7/平面C^A；

【解析】證明：設2G中點為G,連接FG,EG,

vFG為△CGA中位線，FG//CD,,

又CRu平面C，A,尸G<Z平面C，A,

二尸G〃平面CRA,

EG為梯形ABC.D,中位線，EG//AD,,

又A￡)[U平面CDjA,￡G<Z平面CDjA,

二EG〃平面C2A,

EGC\FG=G,FGu平面￡FG,EGu平面￡FG,

平面EFG〃平面CRA,

EFu平面EFG,

〃平面CRA.

【鞏固練習3】（2024?江蘇南京?二模）如圖，AD//BC,ADJ.AB,點、E、尸在平面ABCD的同側,

CF//AE,AD=l,M=3C=2,平面47隹_1_平面488,EA=EC=b.求證：3/〃平面ADE；

【解析】因為CF//AE,CFC平面ADE,

所以CF〃平面ADE,同理BC〃平面ADE,

入BC,C尸u平面8CF,BCC\CF=C,

所以平面尸〃平面ADE,Mu平面ADE,

所以8尸〃平面ADE

【題型6】兩個平面交線相關的平行證明

基礎知識

兩個平面交線相關的平行證明可以考慮補全圖形得到交線，也可以先找一個線面平行，得出線線平

行來代換交線，原理是由線面平行得出線線平行

【例1】如圖，四棱錐尸」2a力的底面為正方形，且小，面設平面24Z?與

平面勿0的交線為/證明：U/CB

【證明】證明：因為2及0為正方形，，13C//AP,

又；為力平面PAD,ZX平面84D.

二區勿平面PAD

又?.?密?平面PCB,平面力平面PCB=h

：.Ill(X>.

【例2】（2025高三?全國?專題練習）如圖，AD〃BC且AD=23C,ADLCD,EG//ADS.EG^AD,

CDIIFGaCD=2FG,DG_L平面ABCZ）,D4=DC=OG=2,設平面BCT與平面EFG的交線為/,

求證：BC//Z；

［分析］由線面平行的判定定理和性質定理證明即可；

【詳解】因為AD//3C,EGHAD,所以3C//EG,

又BC①平面EFG,EGu平面EFG,

所以3c〃平面EFG,又BCu平面BCF,平面BCFc平面所G=/,

所以3C7//.

【鞏固練習1】在圓柱。。中，A3是圓。的一條直徑，C。是圓柱。。1的母線，其中點C與A,2不

重合，是線段比）的兩個三等分點，豆BM=MN=ND.若平面COM和平面C4N的交線為/,

證明：〃/平面ABD

【答案】證明見解析

【分析】利用三等分點得中位線可得線線平行，再應用線面平行判定與性質定理證明即可;

【詳解】由BM=MN知M為BN中懸,又。為中點，

所以OMHAN,OA/<z平面C4N,ANu平面CAN,

所以〃平面CAN,又OMu平面COM,

由平面COA/Pl平面C4N=/,且Ce/,

故由線面平行的性質定理可得OMHI,

由點C與A,8不重合，可知Ce平面ABD,故平面A5D,

又OWu平面ABO,所以〃/平面ABD.

【鞏固練習2】（2025高三?全國?專題練習）如圖，在三棱柱ABC-中，AC=BC,A,C=A.B,

側面BBC。為矩形.記平面48。與平面ABC交線為/,證明：AC//1；

【答案】證明見解析

【分析】根據AC〃平面A8G,進而根據線面平行的性質即可求解.

【詳解】因為在三棱柱A8C-A4G中，AC//AG,

由于ACa平面A8G,4GU平面ABC],

所以AC〃平面ABG,

又因為ACu平面ABC,平面A5CPI平面A^G=/,

所以AC〃/

【鞏固練習3】如圖，四棱錐P-ABCD的底面為平行四邊形，設平面B4D與平面尸3c的交線為加,

加山分別為尸6,45的中點.

⑴求證：MN//平面B4D；

⑵求證：BCHm.

【答案】（1）證明見解析

⑵證明見解析

【分析】（1）取尸。的中點E,利用中位線的性質先證明四邊形AWE為平行四邊形，由線線平行

證線面平行即可；

（2）利用線線平行先證線面平行，再由線面平行的性質證線線平行即可.

【詳解】（1）

因為M,N分別為PC,AB的中點，底面ABC。為平行四邊形,

則￡M=LOC=LAB=A7V,且EM//DC//AN,

22

所以四邊形4VME為平行四邊形，網MNUAE,

顯然AEu平面PAD,AW平面PAD,

貝UM2V〃平面PAD：

(2)易知AD//BC,BCo平面上4￡>,ADu平面R1D,

所以3c〃平面PAD,

又BCu平面PBC,平面PAD與平面尸8C的交線為m,

所以BCHm.

【題型7】證明線線平行

基礎知識

利用線面平行和面面平行證明線線平行

【例1】如圖，平面ABCDBP〃平面AOE,CF//AE.求證：AD//BC.

【解析】CF//AE,CF<z平面A￡)￡,AEu平面ADE,CF〃平面ADE.

???BFH平面ADE,BFcCF=F,3F,u平面BCF,

平面ADE〃平面BCE

又平面ADECl平面AB8=AD,平面Bbc平面ABCE>=BC,

/.AD//BC.

【例2】如圖，直四棱柱ABC。-44GA被平面a所截，截面為CDEF,且旅=。。,

DC=2AD=4A,E=2,ZA￡）C=二，平面￡FC￡）與平面ABCD所成角的正切值為《百.證明：AD//BC.

33

【解析】在直四棱柱A/CD—A5GR中，平面ABCD//平面A4CQ1,

平面A5CDna=CD,平面44cl2c。二石尸，財EF//CD,

而C.DJ/CD且CR=CD,又EF=CD,因此CR//EF且CR=EF,

則四邊形EFCQ、是平行四邊形,所以AR//BC,又A.DJ/AD,BC//BG,

所以AD〃BC.

【鞏固練習1］如圖所示，圓臺的上、下底面圓半徑分別為2cm和3c為圓臺的兩條不同的

母線.9，。分別為圓臺的上、下底面圓的圓心，且△045為等邊三角形.求證：A.BJ!AB.

B

【解析】證明：?.?圓臺可以看做是由平行于圓錐底面的平面去截圓錐而得到，

所以圓臺的母線也就是生成這個圓臺的圓錐相應母線的一部分.

母線M與母線BB］的延長線必交于一點，「.A,A，B，4四點共面.

?圓面?//圓面O,且平面n圓面Q=4四，平面ABBJAp|圓面。=AB.

ABJ/AB.

【鞏固練習2】（2024?甘肅?一模）如圖，空間六面體ABCDEFG”中,AQ/ABC,E/////G,

ZBCD=ZFGH=90°，平面ABCD〃平面EFGH,CDHG為正方形，平面HDCG±平面

ABCD,AD=FG=2EH,BC=3EH.求證：AE//BF；

【解析】AD//8C,A。O平面BCGF,BCu平面BCGF,

AD//平面BCG產.

?;CDHG為正方形,:.HD//CG,

同理可得印）〃平面3CG尸.

?jADcHD=￡>,ADu平面AD/ffi,HDu平面ADHE,

???平面ADHE//平面BCGF.

平面ADHEc平面ABFE=AE,

平面BCGFc平面ABFE=BF,

,-.AE//BF.

【題型8】通過平行證明四點共面

基礎知識

通過線線平行得出四點共面

【例1】如圖，在直三棱柱ABC-44G中，ABJ.AC,AAl=AB=AC=2,M,N,P分別為AB,

BC,A4的中點

(1)求證：BP〃平面C]MV；(2)求證：P、M、C、C]四點共面;

【答案】(1)證明見解析

⑵證明見解析

【分析】(D先證MMG，A四點共面，再證明〃跖4],由線線平行得到線面平行.

(2)連接GR尸M，MC,結合條件可證PM〃GC,從而證明.

連接因為M,N分別為A3,BC的中點，所以MN//AC

在三棱柱ABC-4與￡中，AC//AG.所以肱v//4G，M,N,C]，4四點共面.

因為A3//4耳,=M,尸分別為A3,44的中點，所以四//4尸，BM=\P.

所以四邊形8MAp為平行四邊形.

所以5尸//MA.因為BPu平面GMN,MA]u平面CjMV,

所以BP//平面C[MN.

連接GP,PM,VC,因為ABC-4耳￡為直三棱柱，且尸,M分別為A耳,AB的中點，

所以尸〃〃44),又叫//CG,所以PM//CC],所以p、M,C、C]四點共面.

【鞏固練習11(2024?內蒙古包頭.一模)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，PC,平面ABC。，AB//CD,

點E在棱PB上,PE=2EB,點/，〃是棱B4上的三等分點，點G是棱PD的中

-2；—

點.PC=CB=CD=mAB=2,AC=舊.

證明：加〃平面CPG,且C,E,F,G四點共面；

【分析】由中位線得尸G〃加，結合線面平行的判定定理即可證得加〃平面CFG,要證C,E,

F,G四點共面，只需CE〃FG,只需CE〃HD,連接HE,結合條件證明四邊形"ECD是平行四

邊形即可；

【詳解】（1）因為￡G分別為的中點，

所以FG〃HD,

又FGu平面CFG,HDe平面CFG,

所以印）〃平面CFG.

連接HE,在AJR4B中，=\=_^_=2,

EBHA

2

所以HE〃AB,JLHE=-AB,

9

因為AB〃CD,CD=-AB,

所以CD=HE,且CD〃HE,

所以四邊形HECD為平行四邊形.

所以CE〃HD,

又FG〃印九所以CE〃FG,

故C,E,F,G四點共面.

【鞏固練習2】如圖，多面體ABCGDEF中，AB,AC,AD兩兩垂直，平面ABC//平面。石尸G,平

面BEF//平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1.判斷點B,C,F,G是否共面，并說明理

由.

【詳解】取DG中點P,連接PA,PF,如圖示:

在梯形EFGD中，FP//DE且FP=DE.

又AB〃DE且AB=DE,AB〃PF且AB=PF

...四邊形ABFP為平行四邊形，/.AP//BF

在梯形ACGD中，AP//CG,；.BF〃CG,

B,C,F,G四點共面.

【鞏固練習3】如圖，在長方體ABC。—A4GR中，點E,尸分別在棱OR,8耳上,2DE=ED1,

BF=2FB1,證明：點G在平面內.

【解答】證明：在24上取點A7,使得4/V=24V,連接文及M%,它,

在長方體41瓦G2中，有〃44〃氏%且72=2Zi=BB、.

又2DE=ED\,A\M=2AM,BF=2FB\,：.DE=AM=FB\.

...四邊形夕144M口四邊形印4A7都是平行四邊形.

AF//A/3,且AF=“且AP=ME.

又在長方體2夕々?一43C4中，有27〃AC，且AD=BG，

：.J3\C\"ME旦BC/ME,則四邊形44瓦”為平行四邊形，

必//〃及,且必=MB\,

火AFHMB4AF=MB\,：.AFUEC4AF=EC^

則四邊形2/^E為平行四邊形,

...點G在平面2少內

【題型9】平行關系的應用：等積變形求體積

基礎知識

等積變形求體積，即形狀改變但體積不變。通過計算變形前后的體積相等

【例1】已知正方體ABC。-ABJGA的棱長為1,P是線段2。上的一個動點，則三棱錐4-PG。的

體積是否為定值？請說明理由

【答案】是定值

【詳解】根據正方體的性質可知，CDII'B”且C￡>=4與，

所以，四邊形為平行四邊形，則4C〃A。.

因為AQu平面A￡D,B|CcZ平面AG。，

所以，4C//平面AGD.

文PeB、C,所以點尸到平面的距離為定值.

又△AG。的面積確定，匕1一尸G。=Xp-acQ,

所以，三棱錐A-PG。的體積為定值.

【例2】如圖，在棱長為2的正方體A3CO-中，M,N,尸分別是G2,QC,的中點,

則三棱錐尸-MVB的體積為

【答案】|

【詳解】易得DF"BN,因為。尸平面MNB,MNu平面MNB,

所以￡)]P//平面MNB,所以Vp_MNB=VD、-MNB==3乂/*1*1義2=3

【例3】（多選）如圖，在正方體A3CD-A4GA中,朋二行1為線段BG上的動點，則下列說法正確

的是（）

A.B.D±\P

B.DP〃平面

C.三棱錐尸-AC，的體積為定值及

D.AP+PC的最小值為出+1

【答案】ABD

【分析】對于A,由線面垂直的判定定理證明BpI平面ABC1即可;對于B,根據面面平行的判定定理

證明平面B￡）G//平面4與2即可;對于C,根據線面平行將點尸到平面ACQ的距離等于點8到平面

ACDJ的距離，再利用等體積法求解即可;對于D,將平面ABG和平面BCG沿直線3G展開為一個平

面，利用余弦定理求解即可判斷.

【詳解】對于A,連接4尸,4氏B\D,與C,如圖:

CDJ_平面BCC百，BQu平面BCQB,,

:.CD±BCX,

又BC\±BXC,B{CQCD=C,8]Cu平面BtCD,CDu平面BXCD,

BCX平面B?D,

:BQu平面B[CD,

BCJBQ.

連接4A,同理可得AB，BXD,

ABcBG=B，ABu平面AlBCj,BCXu平面AiBCl,

BQ，平面ABG,

vA]Pc平面ABq,

故A正確；

對于B,連接BQCp,如圖:

AB"C\D\,AB=GD\,

四邊形A8GR為平行四邊形，

:.ADJ/BC],

?.-Bqu平面BDG,AD】u平面BDC],

A。1〃平面BDC],

同理四邊形AOGg為平行四邊形，

/.ABJ/DC,,

?/DC】u平面BDCX,ABX(Z平面BDC1,

:.ABJI平面&)G,

AB】cADX=A,Agu平面ABXDX,ADXu平面ABXDX,

平面BDC】//平面AB[D],

,/DPu平面BDC1,

???DP〃平面A42,故B正確；

對于C,如圖：

由B知A￡)i//3￡,

QADXu平面ACD1,BC[(Z平面ACDX,

區。"/平面4。2,

??.點?到平面AC。]的距離等于點5到平面AC。1的距離,

11

^P-ACD,=^B-ACD,=0-ACB=]X夜X應X0=—

【鞏固練習1】在正方體ABC。-ABCA中，E為8瓦的中點，點尸滿足麗=4國'，2e[0,l],

則三棱錐P-A2E的體積與X的值是否有關？請說明理由.

【答案】無關

【詳解】因為在正方體ABCD-ABGA中，AB〃G2且AB=GQ,

所以四邊形ABG2為平行四邊形，因此BCJ/A2,

又BC[<Z平面AED1,AD]u平面AEDt,所以BC1〃平面AED,,

因此棱Bq上的所有點到平面AE。]的距離都相等，又尸是棱BG上的動點,

所以三棱錐尸-AE2的體積始終為定值

【鞏固練習2】如圖，在棱長為2的正方體A8CD-44GA中，點E,尸分別為棱GR的中

點，三棱錐3-AEF的體積為

【答案】f2

【詳解】正方體中有,ABu平面ABE,AGO平面ABE,AG〃平面ABE,

====

^B-AEF^F-ABE^I\-ABE^B-AEDl^VAED,，AB=§X5X1X2X2=§,

2

即三棱錐3-A即的體積為-

【鞏固練習3】如圖，在棱長為2的正方體ABCO-中，點P在平面內