第81講圓錐曲線拓展題型一

必考題型全歸納

題型一：定比點差法

例1.已知橢圓C：F+E=1(a>b>0)的離心率為且，過右焦點廠且斜率為發

a2b22

(k>0)的直線與C相交于A,3兩點，若AF=3EB,求左

例2.已知；=過點P(0,3)的直線交橢圓于A,B(可以重合)，求周取值

范圍.

22

例3.已知橢圓土+匕=1的左右焦點分別為F2,A,B,尸是橢圓上的三個動

62

點，且尸月=2月A,PF°=*B若九=2,求〃的值.

變式1.設匕，F2分別為橢圓;+y2=1的左、右焦點，點A,3在橢圓上,若月4=5F2B，

求點A的坐標

x2.

變式2.已知橢圓c：一十y,2=1，設過點尸(2,2)的直線/與橢圓C交于A，3，點Q是

2

12

線段AB上的點，且1PAi+網詢'求點Q的軌跡方程.

題型二：齊次化

例4.已知拋物線C:：/=4x,過點(4,0)的直線與拋物線C交于P,。兩點，O為坐

標原點.證明：ZPOQ=90°.

例5.如圖，橢圓E:彳+產=1,經過點”(1,1),且斜率為左的直線與橢圓E交于不

同的兩點尸，。(均異于點4(0,-1),證明：直線AP與A。的斜率之和為2.

例6.已知橢圓U7+V=1,設直線/不經過點6(0,1)且與C相交于A,8兩點.若

直線鳥A與直線舄B的斜率的和為-1,證明：直線/過定點.

2*4

y2

變式3.已知橢圓U可+產=1,2(0,1),P,。為上的兩個不同的動點，kBPkBQ^~,

求證：直線尸。過定點.

22

例7.(2024.全國?高三專題練習)橢圓方程「東+南=1(°>%>0),平面上有一點

尸(七,%).定義直線方程/：筆+咨1是橢圓r在點尸(七,%)處的極線.已知橢圓方程

ab

22

C:土+J.

43

⑴若P(L%)在橢圓C上，求橢圓C在點尸處的極線方程;

⑵若P(%,%)在橢圓C上，證明：橢圓C在點尸處的極線就是過點尸的切線;

(3)若過點P(-4,0)分別作橢圓C的兩條切線和一條割線，切點為X,Y,割線交橢圓C于

M,N兩點，過點M,N分別作橢圓C的兩條切線，且相交于點Q.證明：Q,X,￥

三點共線.

例8.(2024?全國?高三專題練習)閱讀材料:

(一)極點與極線的代數定義；已知圓錐曲線G：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,則稱點

尸(%,%)和直線/：40%+。丁+。(%+%)+￡；('+%)+/=。是圓錐曲線6的一對極點和

極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以x°x替換以交替換式另一變量y也是如此)，

22

即可得到點P(X。，%)對應的極線方程.特別地，對于橢圓J+與=1,與點P(X°,%)對應

ab

的極線方程為華+整=1;對于雙曲線(-4=1,與點尸(％,%)對應的極線方程為

abbb

警-誓=1;對于拋物線y?=2px,與點%)對應的極線方程為%,=「伉+”.即

aD

對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應的關系.

(二)極點與極線的基本性質、定理

①當P在圓錐曲線G上時，其極線/是曲線G在點尸處的切線；

②當P在G外時，其極線/是曲線G從點尸所引兩條切線的切點所確定的直線(即切點弦

所在直線)；

③當尸在G內時，其極線/是曲線G過點尸的割線兩端點處的切線交點的軌跡.

結合閱讀材料回答下面的問題：

(1)已知橢圓C：J+/=l(a>b>0)經過點P(4,0),離心率是孝，求橢圓C的方程并寫

出與點尸對應的極線方程；

(2)己知。是直線/：y=-；x+4上的一個動點，過點。向(1)中橢圓C引兩條切線，切

點分別為M，N,是否存在定點T恒在直線上，若存在，當=時，求直線

的方程；若不存在，請說明理由.

22

例9.(2024秋.北京.高三中關村中學校考開學考試)已知橢圓M：二+與=1(a>b>0)

ab~

過A(-2,0),B(0,1)兩點.

(1)求橢圓M的離心率；

（2）設橢圓M的右頂點為C,點P在橢圓/上（尸不與橢圓〃的頂點重合），直線A8與

直線CP交于點。，直線2P交x軸于點S,求證：直線S。過定點.

變式4.（2024.全國?高三專題練習）若雙曲線=9與橢圓c：片+片=1（。>6>0）共

"b2

4

頂點，且它們的離心率之積為孑.

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）若橢圓C的左、右頂點分別為4，4,直線/與橢圓C交于P、Q兩點，設直線47

與4Q的斜率分別為勺，k2,且勺-!及=0.試問，直線/是否過定點？若是，求出定點

的坐標；若不是，請說明理由.

變式5.（2024.全國?高三專題練習）己知橢圓E：W+￥=l（a>Z?>0）的離心率為且，且

過點，弓］,A,8分別為橢圓E的左，右頂點，尸為直線尤=3上的動點（不在x軸上），

E4與橢圓E的另一交點為C,PB與橢圓E的另一交點為。，記直線上4與網的斜率分別

（I）求橢圓E的方程;

（H）求夫的值；

（III）證明：直線CD過一個定點，并求出此定點的坐標.

題型四：蝴蝶問題

例10.（2003.全國.高考真題）如圖，橢圓的長軸A4與x軸平行，短軸四也在＞軸上，中

心為A/(0,r)(Z?>r>0).

^（0,-b+r）

（1）寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點坐標及離心率;

（2）直線y=匕無交橢圓于兩點C（x1,y1）,D（x2,%）（%＞0）；直線y=k2x交橢圓于兩點

G（七,%），"（%,%）（%＞。）.求證：普=發；

（3）對于（2）中的中的在C,D,G,H,設C"交無軸于尸點，GD交x軸于Q點，求

證：IOPROQI（證明過程不考慮CH或GD垂直于x軸的情形）

22

例11.（2024.全國?高三專題練習）已知橢圓C：3+2=l（a＞力＞0）,四點4。』）,

ab

2(0,1)，A中恰有三點在橢圓c上.

（1）求橢圓c的方程;

（2）蝴蝶定理：如圖1,A3為圓。的一條弦，M是A3的中點，過M作圓。的兩條弦

CD,EF.若CF,即分別與直線A3交于點P,Q,則=

圖1圖2

該結論可推廣到橢圓.如圖2所示，假定在橢圓C中，弦的中點M的坐標為［0。］,且

兩條弦CD,E尸所在直線斜率存在，證明：MP=MQ.

例12.（2021?全國?高三專題練習）（蝴蝶定理）過圓弦的中點M,任意作兩弦8和

EF,CF與ED交弦AB于P、Q,求證：PM=QM.

變式6.（2024.全國.高三專題練習）蝴蝶定理因其美妙的構圖，像是一只翩翩起舞的蝴

蝶，一代代數學名家蜂擁而證，正所謂花若芬芳蜂蝶自來.如圖，已知圓M的方程為

x2+（y-Z?）2=r2,直線x=與圓”交于C（%%）,。（%,%），直線％=沖與圓M交于

雙玉,為），戶每,%）.原點。在圓Af內.

（2）設C/交x軸于點P,ED交x軸于點Q.求證：|OP|=|O2|.

22

變式7.（2024.陜西西安.陜西師大附中校考模擬預測）已知橢圓c：,+方=1（。>6>0）的

左、右頂點分別為點A,B,且|AB卜4,橢圓C離心率為：.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過橢圓C的右焦點，且斜率不為0的直線/交橢圓C于M,N兩點，直線AM,BN

的交于點Q,求證：點。在直線x=4上.

22

變式8.（2024.全國?高三專題練習）已知橢圓C：0+與=1。6>0）的左、右頂點分別為

ab

A,B,離心率為點為橢圓上一點.

（1）求橢圓c的標準方程；

（2）如圖，過點C（0,1）且斜率大于1的直線/與橢圓交于M,N兩點，記直線AM的斜

率為幻，直線的斜率為左2,若ki=2k2,求直線/斜率的值.

變式9.（2021秋?廣東深圳?高二校考期中）已知橢圓C：/+g=l（a>6>0）的右焦點是

F（273,0）,過點尸的直線交橢圓C于A,B兩點，若線段AB中點。的坐標為

（8百6）

\7

⑴求橢圓C的方程；

⑵已知尸（0,一勾是橢圓C的下頂點，如果直線ka+i（厚0）交橢圓C于不同的兩點

N,且M,N都在以P為圓心的圓上，求左的值；

（3）過點。作一條非水平直線交橢圓C于R、S兩點，若A,3為橢圓的左右頂點，記

直線AR、8s的斜率分別為幻、k2,則》是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請說

明理由.

22

變式10.（2024.全國?高三專題練習）如圖，已知橢圓C：A+與=l（a>6>0）的離心率為

ab

I，A,B分別是橢圓C的左、右頂點，右焦點F,BF=1,過/且斜率為左伏>。）的直

線/與橢圓C相交于N兩點，M在x軸上方.

（1）求橢圓C的標準方程；

S3

（2）記入4?,次W的面積分別為加，S2,若=求左的值;

’2乙

（3）設線段政V的中點為。，直線OD與直線x=4相交于點E,記直線AW,BN,莊的斜

率分別為4,k2,k3,求為?（勺-%）的值.

變式11.（2024秋.福建莆田.高二莆田華僑中學校考期末）已知點在橢圓C：

乂+￥=1（°>>>0）上，0為坐標原點，直線/：=一萍=1的斜率與直線Q4的斜率乘

a2b1a12b2

積為一:

4

（1）求橢圓C的方程；

（2）不經過點A的直線/：y=^x+t（噂0且，eR）與橢圓C交于。Q兩點，尸關于

2

原點的對稱點為H（與點A不重合），直線A。，AH與，軸分別交于兩點M,N,求證：

AM=AN.

變式12.（2022.全國?高三專題練習）極線是高等幾何中的重要概念，它是圓錐曲線的一種

基本特征.對于圓f+y2=/,與點（七,%）對應的極線方程為％苫+%>=/，我們還知道如

果點（尤。,%）在圓上，極線方程即為切線方程；如果點（工,%）在圓外，極線方程即為切點弦

所在直線方程.同樣，對于橢圓E+A=l，與點伍，%）對應的極線方程為等+咨=1.如

abab

22

上圖，已知橢圓c：—+^=1,P（Yj）,過點P作橢圓C的兩條切線B4,PB,切點分

437

別為A,B,則直線的方程為；直線與OP交于點則sin/PA四的最小值

第81講圓錐曲線拓展題型一

必考題型全歸納

題型一：定比點差法

例1.已知橢圓C:g+t=l（4＞。＞0）的離心率為且，過右焦點/且斜率為左

a2b22

（左＞0）的直線與C相交于A,3兩點，若AP=3EB,求左

【解析】由e=@,可設橢圓為反+產=加（"＞0）,

24'

設4%,%）,2（%,%），/（鬲,。），由=

X

Cm=%+32

1+3玉+3X=4^m

所以2

o=A±M%+3y2=。

1+3

2

=m(l)

按2酉己型（2）x9＜

匚…⑵等+9y2?=9/⑶

由([)-(3)得(%+現：%_^2+(%+3%)(乂_3y2)=—8加2—%_3工2=一^^■機，

m

又為+3X2=4A/3OTN%=^^-MnA(24,±f").

又_F(J^n,0)=>左=±J^.

例2.已知：+J=i,過點尸（0,3）的直線交橢圓于A,B（可以重合），求舄取值

范圍.

【解析】設4(國,％),8(%,%)，尸(0,3)，由AP=XPB,

石+2X

0=-------2

1+A[玉+AX2=0

所以tyi+4%=3(1+4)

3二%+外2

1+2

4x^+9^=36(1)J4占2+9靖=36(1)

由＜配比(2)x1

222X2+9A2y2=36(3)

4X2+9y2=36(2)[4A22

=2

由(1)-(3)得：=>4(%,+Ax2')(<xl-Ax2)+9(y1+^2)(^1-^y2)36(l-A)

n（M_彳%）=4（；，）,又％+Ay2=3（1+2）=%=13+5A

3o

從而需

又y￡[-2,2]n2￡—5,——=We?5

22

例3.已知橢圓土+乙=1的左右焦點分別為K，F2,A,B,P是橢圓上的三個動

62

點，且尸耳=44A,PF[=NF田若九=2,求〃的值.

【解析】設尸（%,%）,A（x，x）,B（x2,y2）,,由尸耳=2耳A,尸鳥=〃鳥B得

%+2%.

-c=---------

1+2%+4%]=-c（l+九）

①月（-c,0）滿足.

°二%+同%+孫=。

—1+2

Xg+

1+4x+//x=-c（l+4）

鳥（c,0）滿足<=><02

0=%+〃％=°

1+4

2222

也+（）

A_=1（1）?+*=11

/b2ab

=>

22

%+%-11+誓"⑶

22（2）

Lba2b

（尤0-人1）（%+融）+（%-孫）（%+丹）

③由（1）-（3）得:=1-A2

a2b2

（"1：：：；；；；）="』（X。一.）一？°一孫又（天+越卜-。（1+幾）

=>

a2c2,a2+c2曰田曰a2-c2a1+c2

=>2x=——A-----------,同理可得2/=------------//+---------

0CCC

一（幾+〃）=2---------=（4+川=2.=―-=10=>/z=8.

cca—c

變式L設周，瑞分別為橢圓;+y2=1的左、右焦點，點A,3在橢圓上,若KA=5gB，

求點A的坐標

【解析】記直線耳4反向延長交橢圓于耳，由KA=5gB及橢圓對稱性得A￡=5耳4，

設A(X[,%)，B(x?,%)，F(-A/2,0)?

①由定比分點公式得

.屈='+5?

,-1+5=&+5尤2=-6A/2

0-%+5%bi+5y2=0

,1+5

彳+y；=Ki)1+城=1⑴

②又《：按力配型(2)x25?

25r2

2

---+y2=1(2)^^+25^=25⑶

③由(1)-(3)得(%+5%)(%-5々)+(%+5%)(/_5%)=_24n=60，

又玉+53=-60n%=0=>A(O,±1).

變式2.已知橢圓c：?"+y2=1，設過點尸（2,2）的直線/與橢圓C交于A，3，點。是

112

線段至上的點，且網+兩一兩求點Q的軌跡方程.

【解析】設A(占,％),B(x2,y2)>Q(x0,y0)

PQ\PQ_\PA\-\AQ\\PB\+\QB\_

由1----F+1----T二1----F------r1------乙=?：：------1-----：----：-Z

照|尸理\PQ\PA\PB|PA|\PB\

—MU511pA|」A。AQ

-----=2(2>0)，

1PAi\PB\\PB\\QBPBQB

AP=-APB'AQ=AQB-

2_%,-AX2

玉—Ax?=2(1-彳)

①AP=，PB，由定比分點得：，1-2

2”「分2、必_"2=2(1-2)

-1-2

石十九九2

%,+尢v,=%(1+2)

AQ=AQB＞由定比分點得,1+2n

一一+.月yl+Ay2=y0(l+A)

%一下二

X.2+2y.2=2⑴…，X+2y：=2(1)

②又，?1配比(2)x/

2222222

x2+2y2=2(2)Ax2+2Ay2=22(3)

③由（1）-（3）得：（玉+彳工2），（占一%W）+2，（yi+彳％），（丫1一彳%）=2（1-尤）

2,XQ(1+4),(1—丸)+4%,(1+4)?(1—丸)=20—分)

n2%+4%=2，即毛+2%=1聞+2%2<2).

題型二：齊次化

例4.已知拋物線Uy?=4x,過點（4,0）的直線與拋物線C交于P,。兩點，O為坐

標原點.證明：ZPOQ=90°.

【解析1直線P。：X=叼+4,P&,%）,Q（〃，%）

由》=沖+4,得1=汨^

則由匕陽廣得：yfS,

整理得：仕］+相2-1=0,即：二.&=_i.

\XJXXjx2

所以％?b="=T，

XxX2

則OP_LOQ,即：ZPOQ=90°.

例5.如圖，橢圓+經過點且斜率為左的直線與橢圓E交于不

同的兩點尸，。(均異于點A(O,-1),證明：直線AP與A。的斜率之和為2.

【解析】設直線P2：mx+n(y+l)=l,P(x1,y1),2(x2,y2)

貝Um+2〃=1.

JWC+n(y+1)=1

由，

—+/=1

2-

得：—+[(j+l)-l]2=l.

九2

貝U萬+(y+1)2-2(y+l)[mx+n{y+1)]=0,

故-2m+g=

所以上11+&±L2L=2.

石x22n-l

即L+A=A±1+&±1=2?

玉x2

例6.已知橢圓C:三+V=i,設直線/不經過點心(0,1)且與C相交于A,8兩點.若

直線EA與直線鳥8的斜率的和為-1,證明：直線/過定點.

【解析】設直線/:mx+〃(y-1)=1...........(1)

由C:三+y2=l,W—+[(y-l)+l]2=1

44

即：一+(y-l)2+2(y-l)=0...........(2)

由⑴⑵得：?+(…2+2(尸1)即+g一1)]=。

整理得：(1+2〃)(匕D+2m-^—!-+-=0

yxJx4

貝|]4+左=2二'+五二12m

-------——1J

1+2〃

貝lj2m=2孔+1,代入直線I:+—1)=1,得：/:(2〃+1)兀+2〃(>-1)=2

顯然，直線過定點(2,-1).

/2

變式3.已知橢圓C:§+丁=1,5(0,1),P,。為上的兩個不同的動點，%)即°=耳,

求證：直線PQ過定點.

工27

貝（JI_+，~[=>（3k2+l）x2+6kbx+3b2-3=0

y=kx+b

-6kb

X1+x

2：+3/，又因為

即4

3b2-3

砧=-----7

一1+3/

%-1y2-l_kxl+b-lkx2+b-l_kx1x2+左。-1）（玉+x2）+（Z?-1）"_2

^BP^BQ=

xxx23

化簡得伍-=26?-2=>6=-3或6=1（舍去）.

即尸。直線為>=依-3,即直線尸。過定點（0,-3）.

題型三：極點極線問題

例7.（2024?全國?高三專題練習）橢圓方程「：W+冬=l（a>10）,平面上有一點

ab

產（%,%）.定義直線方程/：誓+4與=1是橢圓「在點尸（毛,%）處的極線.已知橢圓方程

ab"

⑴若RL%）在橢圓C上，求橢圓C在點尸處的極線方程;

⑵若尸（七,%）在橢圓C上，證明：橢圓C在點P處的極線就是過點尸的切線；

（3）若過點尸（Y,O）分別作橢圓C的兩條切線和一條割線，切點為X,Y,割線交橢圓C于

M,N兩點，過點“，N分別作橢圓C的兩條切線，且相交于點Q.證明：Q,X,￥

三點共線.

【解析】⑴由題意知，當為=1時，%=±》3所以尸（弋3）或尸（1,-沙3

由定義可知橢圓C在點2%,%）處的極線方程為芋+早=1,

43

所以橢圓C在點尸（1；）處的極線方程為§=即無+2>-4=。

點PCI,-方處的極線方程為5一］=1，即x-2y-4=0

（2）因為P（x0,y。）在橢圓C上，所以!+?=1=3片+4乂-12=0,

由定義可知橢圓C在點2%,%）處的極線方程為平+邛=1,

43

當先=0時，/=±2,此時極線方程為尤=±2,所以P處的極線就是過點P的切線.

當％20時，極線方程為誓+W=my=-言x+』

4J斗九%

Qy2、

4%218%36-八

聯立%，得駕+3x--^-x+--12=0.

14%27%%

143

9丫2“'J?網+4"2)=°.

A=(―2-4彗+

4弁

綜上所述，橢圓C在點P處的極線就是過點尸的切線;

(3)設點。(%,%),〃(蒼,、1),N(x2,y2),

由（2）可知，過點M的切線方程為小牛+當=1,

過點N的切線方程為/?：子+券=1.

?一%

因為心4都過點。（々,％）,所以有「3,

—-?丫2%=1

.43

則割線MN的方程為/。：苧+苧=1；

—4x

同理可得過點P（Y,O）的兩條切線的切點弦XY的方程為l:—=l^x=-l.

34

又因為割線MN過點尸（-4,。），代入割線方程得夸=一1.

所以Q,X,y三點共線，都在直線x=-1上.

例8.（2024?全國?高三專題練習）閱讀材料：

22

（一）極點與極線的代數定義；已知圓錐曲線G：Ax+Cy+2Dx+2Ey+F=0,則稱點

P（XO,%）和直線/：A\）尤+Cy（）y+￡＞（x+Xo）+E（y+%）+P=。是圓錐曲線G的一對極點和

極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以/x替換以號或替換M另一變量y也是如此），

22

即可得到點P（x0,%）對應的極線方程.特別地，對于橢圓「+與=1,與點尸（%,y。）對應

ab

22

的極線方程為誓+萼=1;對于雙曲線二-5=1,與點尸（修,%）對應的極線方程為

abbb

岑-翌=1；對于拋物線V=2px,與點P（%,%）對應的極線方程為%y=p（1+尤）.即

對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應的關系.

（二）極點與極線的基本性質、定理

①當P在圓錐曲線G上時，其極線/是曲線G在點尸處的切線；

②當P在G外時，其極線/是曲線G從點尸所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦

所在直線）；

③當P在G內時，其極線/是曲線G過點尸的割線兩端點處的切線交點的軌跡.

結合閱讀材料回答下面的問題：

（1）已知橢圓C：《+《=1（。＞6＞0）經過點玳4,0）,離心率是1,求橢圓C的方程并寫

ab2

出與點尸對應的極線方程；

⑵已知Q是直線/：y=無+4上的一個動點，過點。向（1）中橢圓C引兩條切線，切

點分別為M，N,是否存在定點T恒在直線上，若存在，當MT=7N時，求直線

的方程；若不存在，請說明理由.

22

【解析】（1）因為橢圓二+2=1（。＞6＞0）過點P（4,0）,

ab

則31=1，得。=4,又e-力,

ab1a2

所以c=2遭，所以》2=/-/=4,

22

所以橢圓C的方程為工+匕=1.

164

根據閱讀材料，與點P對應的極線方程為與+華=1,即x-4=0；

（2）由題意，設點。的坐標為（％,y°）,

因為點。在直線y=-gx+4上運動，所以％=-：/+4,

聯立山:,得犬―8x+24=0,

y=——x+4

I2

△=64—4x24=—32<0,該方程無實數根，

所以直線y=-gx+4與橢圓c相離，即點。在橢圓c外，

又QM,0N都與橢圓C相切，

所以點。和直線是橢圓C的一對極點和極線.

22

對于橢圓工+<=1,與點。(%,%)對應的極線方程為生+耳=1,

164164

將%=-1與+4代入梨+耳=1,整理得％(x-2y)+16y-16=0，

2lo4

又因為定點7的坐標與馬的取值無關，

x-2y=0x=2

所以,解得

16y—16=0y=i

所以存在定點7(2,1)恒在直線MN上.

當MT=7W時，T是線段的中點，

設河(3,乂)，刈孫％),直線MN的斜率為％,

--—I----=1

,164心力—y4x,+x42x211

則;%,兩式相減,整理得且上二一77.七?=.丁T=F'即4二-不

22

xyx2-x116+y2lo2x122

—+—=1

所以當MT=77V時，直線MN的方程為y-l=(x-2),即x+2y-4=0.

22

例9.(2024秋?北京?高三中關村中學校考開學考試)已知橢圓M：二+與=1(a>b>0)

ab

過A(-2,0),B(0,1)兩點.

(1)求橢圓M的離心率；

(2)設橢圓M的右頂點為C,點尸在橢圓M上(P不與橢圓用的頂點重合)，直線A8與

直線CP交于點。，直線8P交x軸于點S,求證：直線S。過定點.

【解析】⑴因為點A(-2,0),8(0,1)都在橢圓M上,

所以a=2,b=l.

所以c=a2—b2—-

所以橢圓M的離心率e=￡=走.

a2

(2)由(1)知橢圓M的方程為二+丫2=1,C(2,0).

4-

由題意知：直線的方程為尤=2y-2.

設尸(%,%)1%*0,%R±1),Q(2yQ-2,yQ),S(xs,O).

因為C,P,。三點共線，所以有C尸〃CQ,CP=(x0-2,%),CQ=(2yg-2-2,ys),

所以(%-2)yQ=y0(2ys-4).

4yo

所以

所以

因為民s,尸三點共線,

1%—1

所以一=必」，即演=%

一演X。1-%

所以S(4，。).

4y0+2x0-4x0

所以直線的方程為x=fy+

4.1-%

2%-玉)+2

X(f4%-4%%+8%-4

即x=y+^-

1—%

又因為點P在橢圓”上，所以=4-4%2.

所以直線CS的方程為X=2-2%-X。(y-1)+2.

If

所以直線3過定點(2,1).

丫2,2

y

變式4.(2024?全國?高三專題練習)若雙曲線――,2=9與橢圓二1(Q〉"O)共

ab

4

頂點，且它們的離心率之積為

(1)求橢圓。的標準方程;

(2)若橢圓c的左、右頂點分別為A,4,直線/與橢圓c交于尸、。兩點，設直線4尸

與4。的斜率分別為《，k2,且匕一g網=0.試問，直線/是否過定點？若是，求出定點

的坐標；若不是，請說明理由.

4

【解析】（1）由已知得雙曲線的離心率為血，又兩曲線離心率之積為所以橢圓的離

心率為述；

3

由題意知。=3,所以c=2&，b=l.

所以橢圓的標準萬程為/J.

（2）當直線/的斜率為零時，由對稱性可知:

k[=-k2wO,不滿足/=0,

故直線/的斜率不為零.設直線/的方程為％=少+”,

x=ty+n

2,得：（』+9）9+2山、+〃2一9=0,

由，X2,

—+V=1

19'

因為直線/與橢圓C交于P、。兩點,

所以A=4/"2-4(/+9)(“2-9)>O,

整理得：r2-?2+9>0,

設P（%，M）、。（％，%），則

2tn*一9%%

…=-E—

Xj+3x23

因為《一y%2=。，

A

所以_L='=>+3=%(x「3)=%(f%+"3)

5k2%%(占+3)%(0i+〃+3)'

x2-3

整理得：4ty1y2+5(n-3)y1-(n+3)y2=0,

4明為+5（〃—3）（頭+為）=（6n-12）y2,

力2

將%+%=一322，?7-Q代入整理得：

t（n-2）（n-3）=（2-力卜?+9）%

要使上式恒成立，只需〃=2,此時滿足R-〃2+9>O,

因此，直線/恒過定點（2,0）.

變式5.（2024?全國?高三專題練習）已知橢圓E：W+￥=l（a>Z?>0）的離心率為且，且

ab2

過點,A,8分別為橢圓E的左，右頂點，P為直線尤=3上的動點（不在x軸上）,

上4與橢圓E的另一交點為C,R3與橢圓E的另一交點為。，記直線上4與PB的斜率分別

為h,k].

（I）求橢圓E的方程；

（II）求苫的值；

k2

（III）證明：直線C。過一個定點，并求出此定點的坐標.

cA/3

e=~=—32=4

2

【解析】（1）由條件可知:a且“2—+C2,解得，，所以橢圓E的方程

1+3舊=1

為—ny2=1；

4'

（2）因為A（-2,0）,3（2,0）,設尸（3,。（蜂0）,

t

7tt[t

所以用=7—r=—,k?=----=t,所以勺=5=L

“以13-(-2)5-3-2

k2t5

(3)設尸(3,。("0),所以尸B:y=《x-2),PA:y=/x+2),

<y=5^X+2\所以(4〃+25)/+16/》+16〃