第05講一元二次不等式與其他常見不等式解法

目錄

01模擬基礎(chǔ)練...................................................................2

題型一：不含參數(shù)一元二次不等式的解法..........................................................2

題型二：含參數(shù)一元二次不等式的解法............................................................2

題型三：三個(gè)二次之間的關(guān)系....................................................................5

題型四：分式不等式以及高次不等式的解法........................................................6

題型五：絕對(duì)值不等式的解法....................................................................8

題型六：二次函數(shù)根的分布問題.................................................................10

題型七：一元二次不等式恒（能）成立問題.......................................................12

題型八：解含參型絕對(duì)值不等式.................................................................16

題型九：解不等式組型求參數(shù)問題...............................................................17

題型十：不等式組整數(shù)解求參數(shù)問題.............................................................18

02重難創(chuàng)新練..................................................................20

03真題實(shí)戰(zhàn)練..................................................................28

題型一：不含參數(shù)一元二次不等式的解法

1.（2024?上海崇明?二模）不等式x（x-l）<0的解為.

【答案】（0,1）

【解析】因?yàn)閤（x-l）<0,所以O(shè)vxvl.

故答案為：（0,1）

2.不等式一/_》+6>0的解集為（）

A.{x|-2<x<3}B.|x|-3<x<2}

C.{x|x<-2,或x>3}D.{x|x<-3,或x>2}

【答案】B

【解析】不等式可化為x2+x-6<0,解得-3<x<2.

故選：B.

題型二：含參數(shù)一元二次不等式的解法

3.（多選題）（2024?高三?浙江紹興?期末）已知aeR,關(guān)于尤的一元二次不等式（依-2）（x+2）>0的

解集可能是（）

A.1x卜>2或*<-2}

C.2<x<—

【答案】ACD

【解析】當(dāng)a=0時(shí)，(依一2)(X+2)=—2(%+2)>0=>x<—2；

當(dāng)。〉0時(shí)，(ax—2)(%+2)=d%—2](x+2)>0nx>2或%<一2,故A正確;

kdj

當(dāng)〃<0時(shí)，(ax_2)(x+2)=q(x--|(x+2),

若女2=-2na=-l,則解集為空集；

a

22

若一<-2=>-1<。<0,則不等式的解為：一<%<-2,故D正確；

aa

22

若一>-2=>〃<-1,則不等式的解為：-2<%<一,故C正確.

aa

故選：ACD

4.(多選題)對(duì)于給定的實(shí)數(shù)，，關(guān)于實(shí)數(shù)X的一元二次不等式(％-。)(兀-2)<0的解集可能為()

A.(—8,2)U(〃，+8)B.(一8,Q)U(2,+8)

C.(。,2)D.0

【答案】CD

【解析】當(dāng)。<2時(shí)，此時(shí)解集為(。,2)；

當(dāng)〃=2時(shí)，此時(shí)解集為0；

當(dāng)〃>2時(shí)，此時(shí)解集為(2,〃)；

故選：CD.

5.已知f(x)=x2~(a+l)x+a.

(1)若y(x)>恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)求不等式/(x)>0的解集.

【解析】(1)=恒成立，

4

?**f(X)=X2—+++—>0對(duì)VxGR恒成立,

故A=(_a_l『_4(a+￡|<0,化簡得A=q(a—2)<0,解得0<a<2,

故實(shí)數(shù)。的取值范圍(0,2).

(2)f(x)=x2~(a+l)x+a>Q,BP(x-a)(x-l)>0；

當(dāng)。>1時(shí)，不等式的解為｛x[x<l或x>。｝,

當(dāng)a<l時(shí)，不等式的解為｛x|x<。或了>1｝,

當(dāng)a=l時(shí)，不等式的解為｛xlxwl｝.

6.若函數(shù)〃x)=or2+6x+4,

⑴若不等式/(x)<0的解集為&,4),求的值；

⑵當(dāng)。=1時(shí),求〃x)>0(bwR)的解集.

【解析】(1)因?yàn)橐?法+4<0的解集為(；,4

所以。＞0且;2",解得。=2,6=-9.

--4=2=-

2a

(2)-.-0=1,f(x)=x2+bx+4,所以/'(x)>0,即爐+6元+4>0,

又A=E-16,

當(dāng)△<(),即T<6<4時(shí)，/(%)>0的解集為R；

當(dāng)A=0,即沙=±4時(shí)，若b=4,〃x)>0解集為｛小?2｝,若6=7,/(了)>0解集為｛小#2｝；

當(dāng)A〉。，即b<T或6>4時(shí)，/+灰+4=0的兩根為工一0一''2-6,,且有不<々，

22-

此時(shí)，/(x)>0的解集為]x|x<_電或*>々+｛；-16,,

綜上所述，當(dāng)T<〃<4時(shí)，/(力>0的解集為R；

當(dāng)匕=4,〃力>0解集為何無?2｝,當(dāng)b=~4,〃尤)>0解集為｛小#2｝；

當(dāng)人<T或匕>4時(shí)，/(工)>0的解集為]尤卜<b或彳>.16

7.已知函數(shù)/(%)=爐+5?x+6(aeR).

⑴若〃x)<0的解集為何-3<x<6｝,求0,6的值;

(2)解關(guān)于x的不等式/(x)+4a2-6>0.

【解析】(1)因?yàn)?'("<0的解集為何-3Vx<玨，

可知X2+5ax+6=0的根為-3,6,

3+Z?=-5ci[ci=1

所以W/A,解得匕。，

[-3x8=6[b=-2

故a=1,b=—2.

(2)由〃%)+4。2—6>。，可知x?+5依+44>o,即(x+a)(九+4a)>0,

當(dāng)a=0時(shí)，解得％w0；

當(dāng)a〉0時(shí)，-4tz<-a,解得元>—a或％v-4a；

當(dāng)〃<0時(shí)，-4a>-a,解得或

綜上：當(dāng)a=0時(shí)，不等式〃犬)+4/—6>。的解集為卜上。0｝；

當(dāng)〃〉0時(shí)，不等式f(x)+4tz2—6>0的解集為詞%>—a或％<—4〃｝；

當(dāng)〃<0時(shí)，不等式%)+4〃2—6>0的解集為{%[x>—4a或x<—〃}.

題型三：三個(gè)二次之間的關(guān)系

8.關(guān)于X的不等式-3尤2+如+”>。的解集為{x|-l<x<2},則m+〃的值為（

)

【答案】C

【解析】因?yàn)椴坏仁?：尤2+的+”>。的解集為{x~i<x<2},

所以-L2是方程-9+皿〃=。的兩個(gè)實(shí)根,

17

——x(-l)+mx(-l)+n=O1

m=—

所以解得2.

12

——x2+2m+n=0n=l

I2

3

所以加+〃=一.

2

故選：C.

9.已知不等式依2+法一6<0的解集為{x|-3<x<2},貝I］不等式元2一次一2“20的解集為（）

A.1X|X<-2BJU>31B.卜|一1<尤<2}

C.3-24xW3}D.{x|尤4-1^x22}

【答案】D

【解析】不等式依2+法一6<0的解集為卜卜3Vx<2},貝|一3,2是方程依2+版一6=0的兩個(gè)根，且。>0,

--=-3+2

a

于是解得a=1,6=1,則不等式V-6x—2。20為/-彳-220，

--=-3x2

a

解得XW—1或X22,所以不等式/一法-2020的解集為{xlxWT或無22}.

故選：D

10.（多選題）已知關(guān)于x的不等式加+加+/0的解集為{尤1尤4-3或x24},則以下選項(xiàng)正確的有（）

A.a>0

B.不等式bx+c>0的解集為{x|x<T2}

C.a+b+c>0

D.不等式C%2_笈+々＜0的解集為卜|X＜或%

【答案】ABD

【解析】關(guān)于1的不等式62+法+。之0的解集為{%|%工一3或%24},

貝lj玉=-3和冗2=4是方程依2+加；+(:=0的二卞艮，且Q〉0

-3+4=--

a4>0

貝|J<〃〉0解之得■。=-。

c=-12a

-3x4=-

a

由Q〉0,可得選項(xiàng)A判斷正確;

a>0

選項(xiàng)B：不等式樂+。〉0可化為

-ax-12a>0

解之得x＜-12,貝U不等式樂+c〉0解集為*1尤v—12}.判斷正確；

選項(xiàng)C：〃+〃+。=。一。一12〃=一12々＜0.判斷錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：不等式cf—區(qū)+〃＜。可化為一12融2+辦+々＜0,

即12%2一%一1＞0,解之得卜I%＜或%

則不等式小_法+”0的解集為卜［x＜］或x＞］.判斷正確.

故選：ABD

題型四：分式不等式以及高次不等式的解法

x+2

11.的解集為

【答案】{x|-g＜x＜l}

【解析】由黑＞1,可得,一即三三°'

所以(%—1)(2%+1)<。,

解得

所以原不等式的解集為{x|-g＜x＜l}.

故答案為：⑴一如飆

Y—2

12.(2024?高三?福建?期中)不等式七二W0的解集是______.

x+4

【答案】{尤|-4<無42}

【解析】原不等式等價(jià)于(尤-2)(尤+4)40,且x+4/O,

解之得-4<xW2.

故答案為：{x\-4<x<2}

13.不等式(爐-2x-3)(x?+4x+4)<0的解集是()

A.或x>3}B.{x|-l<x<2或2Vx<3}

C.{x|-l<x<3}D.{x|-2<x<3}

【答案】C

【解析】(f-2x-3)(x2+4x+4)<0o(x-3)(x+l)(x+2)2<0,

當(dāng)x=-2時(shí)，不等式顯然不成立；

當(dāng)』2時(shí)，(尤+2)2>0,所以原不等式o(x-3)(x+l)<0,

解得-l<x<3.

綜上，原不等式的解集為{x|-l<x<3}.

故選：C

14.不等式的解集是()

X2-2X-3

A.(—8,_1)3(1,2)°(3,+8)B.(-1,1)0(2,3)

C.(-l,l)u(l,2)D.(1,2)u(2,3)

【答案】B

【解析】

由。3彳+2<0,得(%-1)(%-2)

x-2x-3(x+l)(x-3)，

等價(jià)于(尤-1)(尤-2)(x-3)(x+l)<0,

由穿根法可得不等式的解集為(-U)。(2,3).

故選：B

9x—1

15-不等式的解集是一

【答案】｛%1-2<%<-耳｝

o_1Oy_171

【解析】不等式r化為：1--^4<0,即r:^<0,因止匕。+2)(3%+1)<0,解得—2<%<—彳,

3x+l3x+l3x+l3

2r-11

所以不等式^~；〉1的解集是｛幻-2<%<-力

3x+l3

故答案為：｛x\-2<x<-^]

4

⑹不等式."的解集為一

【答案】卜卜

47-6x

【解析】由1>3,可得>0,

2x-l

i7

此不等式等價(jià)于（2x-l）（6x-7）<0,解之得：<x<：

26

故不等式3>3的解集為[拈<x<?

2x-l[2o

故答案為：

17.不等式x+二<4的解集為.

【答案】（Y,—1）U（1，2）

【解析】由^+-^<4移項(xiàng)通分，得二一。2<0,即（xf2）<0,

X+lx+1x+1

不等式等價(jià)于（X—1）（X—2）（x+l）<0,

所以不等式的解集為（—,T）U（1，2）.

故答案為：（Y）,-1）U（1，2）.

題型五：絕對(duì)值不等式的解法

18.（2024?高三?上海?期中）不等式Ix+l|>3的解集是.

【答案】（-?>,-4）口（2,+8）

【解析】不等式9+1]>3等價(jià)于（x+iy>9,BPX2+2X-8>0,解得X<—4或X>2,

所以不等式Ix+l|>3的解集是（---4）u（2,+與.

故答案為：（-孔-4）口（2,+8）

19.（2024?高三?上海閔行?期中）不等式（|尤|+2乂|尤|-3）<0的解集是（用區(qū)間表示）

【答案】[—3,3]

【解析】因?yàn)閲?2>0恒成立，

所以由（國+2）（同一3）W0可得國—340,即因43,

解得一3VxV3,

故答案為：[-3,3]

20.（2024?高三?全國?課后作業(yè)）不等式的解集為.

【答案】（9,0）5。」）

【解析】當(dāng)2%-1>0,即時(shí)，不等式為x（2x-l）<x,解得g<x<l,

此時(shí)不等式解集為

當(dāng)2x—1<0,即尤wg時(shí)，不等式為x（l—2x）<x,解得且xwO,

此時(shí)不等式解集為（-.

綜上所述，不等式x\2x-]\<x的解集為（-8,0）5。,1）.

故答案為：（ro,o）5°D

21.（2024?高三?上海靜安?期中）不等式忖-1|>3的解集為.

【答案】（一8,-2）^（4,+8）

【解析】原不等式可整理為x-l>3或龍解得無>4或x<-2.

故答案為：（T°,-ZWA+ao）.

22.（2024?上海浦東新?三模）不等式卜+2|+卜-2歸4的解集是.

【答案】[-2,2]

【解析】當(dāng)》<-2時(shí)，-x-2+2rV4,解得x?-2,此時(shí)解集為空集，

當(dāng)-24x42時(shí)，x+2+2-x<4,即4?4,符合要求，此時(shí)解集為[-2,2],

當(dāng)X>2時(shí)，x+2+x-2<4,解得尤42,此時(shí)解集為空集，

綜上：不等式的解集為[-2,2].

故答案為：[-2,2]

題型六：二次函數(shù)根的分布問題

23.若關(guān)于x的方程/一2or+a+2=0在區(qū)間(-2,1)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則。的取值范圍是()

一0°,_1)1>1(1,+00)

C.一0°,U(T+00)D.

【答案】A

【解析】令g(x)=d_2依+。+2,因?yàn)榉匠逃?—2辦+4+2=0在區(qū)間(-2,1)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,

A>0A=4/_4(Q+2)>0

—2<a<1—2<。<1,6.

所以即，，角牛得一?<〃<_1,

g(-2)>0,4+4。+a+2>05

方⑴>。1—2Q+a+2>0

所以〃的取值范圍是\

故選：A.

24.關(guān)于龍的方程加+(a+2)x+9a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根占,三，且％<1<々，那么。的取值范圍是(

222

A.—<QV—B.a〉一

755

22

C.Q<—D.-----<Q<0

711

【答案】D

【解析】當(dāng)a=0時(shí)，依2+(a+2)x+9a=。即為2x=0,不符合題意；

故a片0,+(a+2)x+9a=0即為x~+[1—)x+9=0,

令y=x2+(1+2]x+9,

由于關(guān)于x的方程加+(a+2)x+9a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根占,馬,且不<1<々，

貝！|丫=冰2+(。+2)工+9。與彳軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且分布在1的兩側(cè)，

故x=l時(shí)，y<0,即l+(l+2]xl+9<0,解得2<一"，故一2<“<0,

故選：D

25.關(guān)于x的一元二次方程(加-2卜2+(2m+1卜+利-2=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，則加的取值范圍是(

A.m>—

4

—<m<2

4

——<m<2

2

機(jī)>一且mw2

4

【答案】B

【解析】根據(jù)題意可知；加-2w0=mw2,

2m+1八3

由韋達(dá)定理可得-------->0,解得=<相<2,

m-2

A=（2/?J+1）2-4（/72-2）2>0

故選：B

26.關(guān)于x的方程f_4g+2m+6=0至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是（）

33、

A.m>—B.m<-\C.加之一或加?—1D.m

22

【答案】B

【解析】當(dāng)方程沒有根時(shí)，A=16m2-8m-24<0,即2病一機(jī)-3<0,

3

解得一1<相<5；

A=16m2-8m-24>0

當(dāng)方程有根，且根都不為負(fù)根時(shí)，%+%=4加20,

%%=2根+6>0

3

解得機(jī)

綜上，m>-\,

即關(guān)于x的方程％之一4如；+2根+6=0沒有一個(gè)負(fù)根時(shí)，m>—1,

所以關(guān)于x的方程f一4如+2機(jī)+6=0至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是機(jī)<-1,

故選:B.

1+9=。有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根公々且玉<1<々，那么。的取值范圍是（

222

—00,—

7555

【答案】D

A=1+-|-36>0

【解析】設(shè)/(X)=Y+[1+：]X+9,2

a)-

則，角畢得：77<a<0f

/(l)=ll+j<0

即0的取值范圍為

故選：D.

28.關(guān)于x的方程Y+lm-2)x+2m-1=0恰有一根在區(qū)間(0,1)內(nèi)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.口目B.MC.小］D.［詈］邛一27

122J(23j\_2)(23」I

【答案】D

【解析】方程V+(加一2)犬+2m-1=0對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)設(shè)為：f(x)=x2+(m-2)x+2m-l

因?yàn)榉匠?+(優(yōu)-2口+2〃?-1=0恰有一根屬于(0,1),則需要滿足：

1o

①/(0卜/(1)<0,(2〃1)(3〃?—2)<0,解得：

②函數(shù)〃x)剛好經(jīng)過點(diǎn)(0,0)或者(1,0),另一個(gè)零點(diǎn)屬于(0,1),

把點(diǎn)(0,0)代入/(x)=f+(M—2)X+2機(jī)一1,解得：/77=1,

333

此時(shí)方程為燈-5尤=。，兩根為o,萬，而萬武o,i),不合題意，舍去

把點(diǎn)(1,0)代入/(力=/+(〃7-2)3+2〃2-1,解得：〃?=§,

止匕時(shí)方程為3f-4x+l=0,兩根為1,而ge(O,l),故符合題意；

③函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，A=(m-2)2-8m+4=0,解得加=6±2夜,

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m=6-2近時(shí)滿足方程恰有一根在區(qū)間(0,1)內(nèi);

綜上：實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為［d^{6-277)

故選：D

題型七：一元二次不等式恒(能)成立問題

29.若不等式(a—2)尤2+2.-2)無-4<0對(duì)一切xeR恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(—oo,2]B.[—2,2]

C.(-2,2]D.(F-2)

【答案】C

【解析】當(dāng)a—2=0,即。=2時(shí)，不等式為T<0對(duì)一切xeR恒成立.

a—2<0

當(dāng)4X2時(shí)，需滿足

A=4(a-2)2+16(iz-2)<0,

a—2<0

即。-2+4>。'解得一2<°<2-

綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2,2].

故選：C

3。.若不等式?Na對(duì)一切X'。恒成立,則實(shí)數(shù)0的取值范圍為（）

A.H，0]B.H，0)C.[0,4]D.(0,4]

【答案】A

【解析】不等式?2即爾恒成立,

當(dāng)。=0時(shí)，不等式為-1V0恒成立,

4<0

當(dāng)awO時(shí)，有A=/+4a<。，解得TV"。，

綜合得實(shí)數(shù)。的取值范圍為[T,0].

故選：A.

31.（2024?浙江?模擬預(yù)測）若不等式乙2+信一6）尤+2>0的解為全體實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)左的取值范圍是（

A.2<^<18B.-18<k<-2

C.2<左<18D.0<k<2

【答案】C

【解析】當(dāng)上=0時(shí)，不等式履?+（左-6）X+2>O可化為-6尤+2>0,顯然不合題意;

當(dāng)左W0時(shí)，因?yàn)樾?（左-6卜+2>0的解為全體實(shí)數(shù),

k>0

所以△=("6)2-妹X2<。'解得2<女<18；

綜上：2<左<18.

故選：C.

32.Vxe(2,-H?),尤療+3加恒成立，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是

x-2

【答案】（-4,1）

【解析】Vxe(2,+a>),x+^—=(x-2)+^—+2>2./(x-2)--'―+2=4,

X—2X—2yx—2

當(dāng)且僅當(dāng)》-2=」，即x=3時(shí)，等號(hào)成立，

x-2

故4>病+3m,解得—4<m<1,

故實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(-4,1).

故答案為：(-4」)

33.關(guān)于x的不等式蘇-2尤+1<0在(0,2］上有解，則實(shí)數(shù)“的取值范圍是.

【答案】(-8』

【解析】由不等式62-2X+1V0以及xe(O,2］可得aV學(xué)，

依題意可知徽［"二］,xe(O,2］即可，

\%7max

7r—1?

令>=—^―,xe(0,2］,

又y=H=_(i-lY+1,由尤式0,2］可得［，+/］，

XV)x\_1J

利用二次函數(shù)性質(zhì)可知y111ax=-(1-1『+1=1，即可得

即實(shí)數(shù)。的取值范圍是(口』.

故答案為：(―」］

34.已知/'(力=3彳2-6*-5(*€口)函數(shù).

⑴求不等式〃x)>4的解集；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)-4元?+〃凡若存在xeR,使得g(x)>0,求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

⑶若對(duì)任意的ae［1,2］,關(guān)于x的不等式“BwV-Qa+GN+a+b在區(qū)間［1,3］上恒成立，求實(shí)數(shù)匕的取值

范圍.

【解析】(1)由〃x)>4,得3/一6X一5>4，

即廿-2“-3>0,解得x<—l或x>3,

所以不等式的解集為｛x|x<-l或x>3｝；

(2)由題可知g(%)=f(x)-4x2+mx=3x2-6x-5-4x2+?u=-x2+(m-6)x-5,

若存在xeR,使得g(尤)>0,

則不等式—%2+(m-6卜-5>0的解集非空，

則A=(租-6)2-20>0,

解得m>6+2下或加<6-2^/5,

所以實(shí)數(shù)加的取值范圍是｛加機(jī)>6+2上或加<6-26｝；

(3)對(duì)任意的關(guān)于x的不等式/⑺vd-(2a+6)x+a+人在區(qū)間［1,3］上恒成立,

等價(jià)于對(duì)于任意的ae［L2］,不等式2d+2辦-(a+〃+5)V0在區(qū)間［1,3］上恒成立，

令〃(%)=2尤2+2tix-(a+b+5),對(duì)稱軸尤二一］,

由ae［l,2］,可知一］€-1,--,

所以力⑴在區(qū)間［1,3］單調(diào)遞增，坂幻1mx=力⑶=5a-6+13,

所以只要當(dāng)。41,2］時(shí)，5a—b+1340恒成立即可，

即當(dāng)ae［l,2］時(shí)，人之5。+13恒成立，

所以此(5“+13)岫=23.

所以實(shí)數(shù)6的取值范圍是［23,+“).

35.(2024?高三?山東濱州?期末)若不等式/一6+4^0對(duì)任意xe［l,3］恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是()

(13~1

A.［0,4］B.(-a),4］C.ID.(-oo,5］

【答案】B

【解析】不等式/一收+420對(duì)任意x?l,可恒成立，則V尤目1,3］,aVx+3成立，

4I44

而x+—22jx?一=4,當(dāng)且僅當(dāng)冗=一，即％=2時(shí)取等號(hào)，因此

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(t,4］.

故選：B

36.若對(duì)于任意xw卜FW+1］,都有9+”比-1<0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

2

C.——,0D.

【答案】B

【解析】由題意，對(duì)于也￡［根，根+1］者B有/(%)=爐+如一1<0成立,

f(m)=m2+m2-1<0萬

\,、/、2/、，解得：----<m<0,

/(m+1)=(m+1)+<02

即實(shí)數(shù)用的取值范圍是一學(xué),。.

故選：B.

37.（2024?高三?遼寧鐵嶺?期中）已知V]￡[1,2],V）/G[2,3],y2-xy-rwc2<0,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍

是（）

A.[4,+oo）B.[0,+8）C.[6,+oo）D.[8,+co）

【答案】C

【解析】因?yàn)閥e[2,3],則1e1,1,所以a

又/一沖-〃叱2wo,可得加2[上]一2,令r=2?i,3],

2

則原題意等價(jià)于Vre[l,3],m>t-t，即加42TL，

=當(dāng)”3時(shí)，y=?T取到最大值為"=9-3=6,

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是[6,內(nèi)）.

故選：C

題型八：解含參型絕對(duì)值不等式

38.（2024?高三?上海浦東新?期中）關(guān)于x的不等式|x-a|+|x-2|之。的解集為R,則實(shí)數(shù)“的取值范

圍是?

【答案】（F」]

[解析]令?—4=0,上一2|=0,得尤=a,尤=2,

由絕對(duì)值的幾何意義知，

|x-a|+|x-2|表示數(shù)軸上的數(shù)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離與數(shù)。對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和，

則一a]+|x一N|（x一ci）一（無一2）|=卜—,

即忖一同+,一：的最小值為|”2|,又不等式,一4+?_2|加的解集為R,

所以不等式（卜-4+卜-2|焉在R上恒成立，

有心一禁。，

當(dāng)a40時(shí)，顯然成立，

當(dāng)。>0時(shí)，有（0-2）2/,解得0<qWl,

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-8再.

故答案為：（-力』

39.若存在實(shí)數(shù)x使得不等式|x+l|+|x-a區(qū)3成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】[T,2]

【解析】因?yàn)閨尤+1+,-。|/x+1)-=當(dāng)且僅當(dāng)(x+l)(x-a)WO時(shí)，等號(hào)成立,

由題意可得|。+1歸3,解得

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是[T,2].

故答案為：[T,2].

題型九：解不等式組型求參數(shù)問題

v~~_AyI3<0

2,八的解集是關(guān)于1的不等式%2—3%+〃<0的

{X-6x+8o<0

解集的子集，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.a<0B.a<0C.a<-\D.a<-2

【答案】A

fr2-4r+3<0

【解析】24on-解得：x?2,3),因?yàn)閤?2,3)是不等式x2-3x+a<。的解集的子集，故

lx—OX+o<0

/(2)<0

“x)=f-3i要滿足：/(3)<0,解得：fl<0,

A>0

故選：A

41.已知關(guān)于x的不等式組14狂2+2》+人42有唯一實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)上的取值集合是.

【答案】|^^,1+V2>

【解析】若左=0,不等式組度fcv2+2x+/2可化為：掇蟻2,不滿足條件

若左>0,則若不等式組瓚辰?+2工+左2,也於=2時(shí)，滿足條件

4k

解得：k=\+近

若上<0,則若不等式組噴任2+2X+左2,竺n=l時(shí)，滿足條件

解得：k=T

故答案為:,1+垃

42.若不等式組.."的解集是R,則。的取值范圍是___

axyx-1）<1

【答案】[一0,0]

尤2-2ax+2>0

【解析】因?yàn)椴坏仁浇M（?的解集是R,

ax[x-l）<1

所以，不等式/-26+220和依（xT）<l對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立。

由不等式f-2or+220對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立可得（-24-4x2VO,即a2-2<0,解得-04a40;

/、fQ=0

由不等式辦（X-1）<1對(duì)任意實(shí)數(shù)X恒成立，即不等式辦2一辦一1<0對(duì)任意實(shí)數(shù)X恒成立，所以_]<0或

L、2八八，解得a=0或-4<”0,所以-4<a?0故答案為：[-四,o]

43.已知q&c均為實(shí)數(shù)，若存在反c使得關(guān)于x的不等式組0</+法+（?<1的解集為（0,1）,貝i]a的取值范

圍是?

【答案】（T4）

【解析】當(dāng)"=0時(shí)，例如6=-1,。=1,則0<—x+l<l不等式的解集為（0』），符合題意；

當(dāng)a>0時(shí)，由題意可知：二次函數(shù)丫=62+灰+。的對(duì)稱軸為x=g,開口向上，

所以％=0時(shí)，c=l,尤=1時(shí)，a+Z?+c=l,x=工時(shí)，—a+—b+c>0,

242

聯(lián)立解得：0<a<4；

當(dāng)a<0時(shí)，由題意可知：二次函數(shù)>="2+云+。的對(duì)稱軸為尤=；,開口向下，

所以％=0時(shí)，c=0,x=l時(shí)，〃+Z?+c=O,x=—時(shí)，—a+—b+c<l,

242

聯(lián)立解得：-4v〃v0；

綜上所述：〃的取值范圍是（T,4）.

故答案為：（-4,4）.

題型十：不等式組整數(shù)解求參數(shù)問題

44.（多選題）已知左eZ,若關(guān)于x的不等式V-》<依尤-1）只有一個(gè)整數(shù)解，貝味的可能取值有（）

A.-1B.1C.2D.3

【答案】AD

【解析】關(guān)于X的不等式Y(jié)-x<-x-l)即X?-伏+l)x+左<0,

即—左）vO,

當(dāng)左=1時(shí)，（x-l）（x-Q＜0即（尤-1）2＜0,解集為空集，不合題意；

當(dāng)上＞1時(shí)，（X—l）（x—左）＜。的解滿足1＜無＜上，

要使得關(guān)于X的不等式/-無＜左（》-1）只有一個(gè)整數(shù)解，需2＜上43,

由于左?Z,故左=3；

當(dāng)左＜1時(shí)，（彳一D（x—左）＜0的解滿足上＜x＜1,

要使得關(guān)于X的不等式無2一尤＜以彳一1）只有一個(gè)整數(shù)解，需-1V左＜0,

由于％eZ,故左=-1,

綜合得上的可能取值-1,3,

故選：AD

45.（2024?高三?北京?開學(xué)考試）關(guān)于x的不等式/-（4+1卜+。＜0的解集中至多包含1個(gè)整數(shù)，寫

出滿足條件的一個(gè)。的取值范圍_______.

【答案】[T3]

【解析】關(guān)于％的不等式x2-（a+l）x+a＜0可化為。-1）。一“）＜。，

當(dāng)a＞\時(shí)，解不等式得l＜x＜a,

當(dāng)a＜1時(shí)，解不等式得a＜x＜\,

因?yàn)椴坏仁降慕饧兄炼喟?個(gè)整數(shù)，

所以1＜。？3或

當(dāng)。=1時(shí)，不等式的解集為0,也滿足題意；

所以a的取值范圍是[-1,3].

故答案為:[-L3].

46.若關(guān)于x的不等式（〃2+1卜+加＜0的解集中恰有三個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)比的取值范圍為（）

A.[―3,—2）＜J（4,5]B.[-2,-l）u（4,5]C.（-3,1）—（4,5）D.[—3,5]

【答案】A

【解析】原不等式可化為（XT）（X7〃）＜0,

當(dāng)勿＞1時(shí)，得此時(shí)解集中的整數(shù)為2,3,4,則4＜〃?（5；

當(dāng)加＜1時(shí)，得此時(shí)解集中的整數(shù)為-2,-1,0,則-3W〃?＜-2,

綜上所述，加的取值范圍是[-3,-2）u（4,5].

故選：A

匐2

重難創(chuàng)新練

1.（2024?廣東?一模）已知a,6,ceR且則+法+<；>0的解集為｛可無31卜'是“a+b+c=0”的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】由題意，二次不等式依2+bx+c>0的解集為｛x|xwl｝,

a>0

b

貝I」等價(jià)于｛---=1，Wfla=c>0,Z?=—2a,即〃+Z?+c=0,

2a

A=b2-4ac=0

當(dāng)〃+Z?+c=0時(shí)，不能推出a=c>0/=-2〃，

所以“改2+匕無+c>0的解集為#1—是“a+。+C=0”的充分不必要條件,

故選：A

2.（2024?甘肅張掖?模擬預(yù)測）不等式卜2-3彳<2-2》的解集是（）

,5-M］、

D.

【答案】C

【解析】當(dāng)％2一3%之0,即或％工。時(shí)，

不等式,2—3耳<2—2》等價(jià)于％2_3元<2-2%,即/_尤_2<0,

解得-l<x<2,所以一1<X40；

當(dāng)Y-3X<0,即0<x<3時(shí)，不等式,2-3乂<2-2x等價(jià)于不等式3X_/<2_2X,即Y-5X+2>0,

解得、子或所以。。〈手

綜上,不等式產(chǎn)-3耳<2—2尤的解集是

故選：C.

3.在區(qū)間［0,5］內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)。，則關(guān)于x的不等式d+（2-a）x-2a<0僅有2個(gè)整數(shù)解的概率為（）

【答案】C

【解析】根據(jù)題意可得不等式V+(2-a)x-2a<0等價(jià)于(x+2)(x-fl)<0；

因?yàn)椤[0,5],所以不等式的解集為(-2,a)；

依題意可得區(qū)間(-2,a)內(nèi)僅有兩個(gè)整數(shù)，即包含-1,0兩個(gè)整數(shù)，可得0<aWl；

1-01

由幾何概型概率公式可得其概率為p=--=-.

5—05

故選：C

4.(2024?全國?模擬預(yù)測)定義：若集合A2滿足存在awA且且存在且

則稱集合AB為嵌套集合.已知集合4=同2工-尤2Vo且％屋+},B={x\x2-(3a+l)x+2a2+2a<o],若集

合AB為嵌套集合，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為()

A.(2,3)B.(一8,1)C.(1⑶D.(1,2)

【答案】A

【解析】因?yàn)锳Q8N0,所有

由Z'-Ywo,得2，4/，

如圖，作出函數(shù)>=r,〉=2,的圖象,

由圖可知,不等式2—x2V0(x>0)的解集為[2,4],

所以4=①已一/<0且xeR+}=[2,4],

由尤2-(3a+l)x+2/+2a<0,得(x-2a)[x-(a+l)]<0,

當(dāng)2a=a+l,即a=l時(shí)，則8=0,不符題意；

當(dāng)即々>1時(shí)，則5=(a+l,2a),

由得〃+1>2,

a>1

根據(jù)嵌套集合得定義可得。+1<4,解得2<，<3；

2〃〉4

當(dāng)2〃VQ+1,即avl時(shí)，則5=（2a,a+l）,

由avl,得2。<2,

a<\

根據(jù)嵌套集合得定義可得。+1<4,無解，

。+1>2

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍為（2,3）.

故選：A.

5.（2024?遼寧鞍山?二模）已知當(dāng)%>。時(shí)，不等式：/一郎+16>0恒成立，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是（）

A.（-8,8）B.（一8,8]C.（一08）D.（8,+oo）

【答案】C

【角軍析】當(dāng)x>0時(shí)，由J?—mx+i6>0得機(jī)<X+3，

x

因x>0,故尤限道=8,當(dāng)且僅當(dāng)即x=4時(shí)等號(hào)成立，

xVxx

因當(dāng)x>0時(shí)，?i<x+3恒成立，得加<8,

X

故選：C

6.（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測）已知命題"：任意xeg,2,使log；x-m.log?x-3V