2025年高考數學解密之平面向量及其應用

一.選擇題（共10小題）

2萬

1.（2024?長沙模擬）在△45C中，D為邊BC上一點,NDAC=—，4）=4,AB=2BD,且△ADC的

3

面積為4百，貝！JsinNABD=（）

A/15—y]15+A/3y/5—y/3yf5+y/3

A.------------D.------------L.----------U.-----------

8844

2.(2024?鹽湖區一模)已知△ABC所在平面內一點尸，滿足PA+PB+PC=0,貝i]AP=()

A.-AB+-ACB.-AB+-ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

22332332

3.（2024?平谷區模擬）在AABC中，"sinA=cos3”是“C=工”的（）

2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

――O■jr

4.（2024?和平區二模）平面四邊形ABCD中，43=2,AC=2BAC±AB,ZADC=——，則

3

的最小值為（）

A.-百B.-2百C.-1D.-2

5.（2024?揚州模擬）已知三個單位向量Q,b,c滿足a=b+c,則向量b,c的夾角為（）

71n2萬571

A.B.C.—D.

633~6

6.（2024?保定三模）已知△ABC是邊長為4石的正三角形,點P是△ABC所在平面內的一點，且滿足

\AP+BP+CP\=3,貝11Api的最小值是（）

Q

A.1B.2C.3D.-

3

7.（2024?射洪市模擬）在AABC中，點尸為線段BC上任一點（不含端點），若AF=+2yAC（x>0,y>0）f

則1+2的最小值為（）

%y

A.9B.8C.4D.2

8.（2024?江西一模）如圖，正六邊形的邊長為2形，半徑為1的圓O的圓心為正六邊形的中心，若點M

在正六邊形的邊上運動，動點A,5在圓O上運動且關于圓心O對稱，則的取值范圍為（）

A.[4,5]B.[5,7]C.[4,6]D.[5,8]

9.（2024?浙江一模）設a,。是單位向量，則（。+。）2-Q?。的最小值是（）

3

A.-1B.0C.-D.1

4

10.（2024?重慶模擬）已知|。|=石,|石|=1,ab=0,|C+Q|+|C—Q|=4,J2-4fe-J+3=0,則|--2|

的最大值為（）

A.坦+1B,4C.坦+2D.衛

333

二.多選題（共5小題）

11.（2024?湖北模擬）在AABC中，A,B,C所對的邊為a,b,c,設邊上的中點為A4BC的

面積為S,其中。=2若，b2+c2=24,下列選項正確的是（）

A.若4=工，貝|S=3百B.S的最大值為3/

3

C.AM=3D.角A的最小值為￡

3

12.（2024?荷澤模擬）已知向量a在向量6方向上的投影向量為g,},向量b=（1,㈣，且。與6夾角?

則向量a可以為（）

A.(0,2)B.(2,0)C.Q,6)D.(省,1)

mD

13.(2024?蘭陵縣模擬)定義運算P=mn-pq.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,

qn

ci+h+c3

若a,b,c滿足，=0,則下列結論正確的是（）

a+c-b1

A.sinA+sinC=2sinB

B.A:C=1:2

C.角8的最大值為生

3

D.若asinA=4csinC,則AABC為鈍角三角形

14.（2024?博白縣模擬）在AA5c中，a=2,A^-,則下列結論正確的是（）

2

A.若6=3,則AABC有兩解

B.AABC周長有最大值6

C.若AA5c是鈍角三角形，則3c邊上的高4）的范圍為（0,2g）

D.AABC面積有最大值2+百

15.（2024?肇慶模擬）若AA5C的三個內角A,B,C的正弦值為sinA,sinB,sin。，則（）

A.sinA,sinB,sin。一定能構成三角形的三條邊

B.一定能構成三角形的三條邊

sinAsin5sinC

C.sin2A,sin2B,sin2c一定能構成三角形的三條邊

D.VsinA,JsinB,JsinC一定能構成三角形的三條邊

三.填空題（共5小題）

16.（2024?河南模擬）已知△ABC的內角A,B,。的對邊分別為。，b,c,C=60。，c=7,若a—b=3,

。為AB中點，則8=.

17.（2024?瀘州模擬）已知向量4,6滿足|。|=1,|。|=退，\a-2b|=3,則小5=.

18.（2024?江西二模）在AABC中，已知OC=32。，P為線段A￡）的中點，若BP=4BA+幺BC,則

11

-1-=.

19.（2024?靜安區二模）若單位向量。、b滿足則|o-6b|=.

20.（2024?重慶模擬）已知正三角形ABC的邊長為2,點。滿足a>=〃zC4+〃CB,且m>0,n>0,

2m+n=l,貝UlCDI的取值范圍是.

四.解答題（共5小題）

21.（2024?長安區一模）A4BC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,設J%sin4=a（2+cos8）.

（1）求3；

（2）若AABC的面積等于6，求A4BC的周長的最小值.

22.（2024?一模擬）己知AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且短）是3c邊上的

高.（sinA-sinB）（a+b）=（c-叵b）sinC.

（1）求角A；

（2）若sin（B-C）=受，a=5,求

10

3

23.(2024?大通縣二模)在AABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且

2'S/3acsinB=(b+c+a)(b+c—a).

(1)求角A的大小；

(2)若sinC=4sinB,a=y/13,求AABC的面積.

24.(2024?江西一模)在AABC中，已知內角A、B、C的對邊分別為。、b、c,且AABC的面積為6，

點。是線段3c上靠近點3的一個三等分點，AD=1.

(1)若ZADC=—,求c；

3

(2)若廿+402=11,求sinNB4c的值.

25.(2024?曲靖模擬)在AABC中，內角A,B,C的對邊分別為0，b,c,且c=2acosC-2》.

(1)求A；

(2)線段BC上一點。滿足BO=^8C,|AO|=|8O|=1,求他的長度.

4

2025年高考數學解密之平面向量及其應用

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2024?長沙模擬）在△ABC中，。為邊5。上一點，ZDAC=—,AD=4,AB=2BD,且△4X7的

3

面積為4石，則sinNABD=（）

A/15—^/1^+百布-布n百十6

A.------------LJ.------------L.----------LJ.-----------

8844

【答案】A

【考點】正弦定理；余弦定理；三角形中的幾何計算

【專題】數學運算；方程思想；數形結合法；解三角形

【分析】由已知，解得AC=4,得△"心為等腰三角形，在△ABD中，由正弦定理得sin/BAO=」，從

4

而得cos/A4￡>=巫，再由兩角差的正弦公式即可求得結論.

4

［解答］解：由題意，SADxACxsinZDAC

=ix4xACx—=4>/3,解得AC=4,

22

所以△4X7為等腰三角形，

則乙M)C=工，故NAD3=3,

66

40BD

在△ABD中，由正弦定理得———=

sinZADBsinZBAD

2BDBD

Pnnj_______________________得sinNHAZ)」,

、1~sinZBAD4

2

5TT

因為ZAP3=—,所以NR4D為銳角,

6

=-cos/BAD--sinZBAD=岳一6.

228

故選：A.

【點評】本題考查三角形中的幾何計算，考查正弦定理的應用，屬中檔題.

2.(2024?鹽湖區一模)已知△ABC所在平面內一點尸，滿足PA+P8+PC=0,貝|AP=()

A.-AB+-ACB.-AB+-ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

22332332

5

【答案】B

【考點】平面向量的基本定理

【專題】轉化思想；向量法；平面向量及應用；運算求解

【分析】由已知條件結合平面向量的加法可得出"關于AB、AC的表達式.

【解答】解：因為R4+P8+PC=0,

即-AP+AB-AP+AC-AP=O,

即3AP=AB+AC,

AP=-AB+-AC.

33

故選：B.

【點評】本題考查平面向量的線性運算，屬基礎題.

3.(2024?平谷區模擬)在AABC中，"sinA=cosB”是“C=工”的()

2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【考點】29：充分條件、必要條件、充要條件

【專題】11：計算題；35：轉化思想；47?：轉化法；56：三角函數的求值；5L：簡易邏輯；62：邏輯推

理；65：數學運算

【分析】在AABC中，由“sinA=cos3"A+B=-^A-B=-,即C=工或A-B=工；由“C=工”

22222

nA+3=W，則sinA=sin(^-8)=cos3,根據充分必要條件的定義判斷即可.

【解答】解：在AABC中，若sinA=cosB,則A+B=工或4一B=工，即C=生或A-8=工，

2222

故在AABC中，“sin4=cos3”推不出“C=工”；

2

若C=3,則A+3=則sinA=sin(9-5)=cos5,

故在AABC中，“C=工”=>"sinA=cosB”；

2

故在AABC中，"sinA=cos3”是“C=工”必要不充分條件.

2

故選：B.

【點評】本題考查了三角函數在三角形中應用，及充分必要條件的定義，屬于中檔題.

6

4.（2024?和平區二模）平面四邊形ABCD中，AB=2,AC=2』,ACVAB,ZADC=—,貝！

3

的最小值為（）

A.-73B.-2拒C.-1D.-2

【答案】D

【考點】平面向量數量積的性質及其運算

【專題】綜合法；數學運算；轉化思想；平面向量及應用

【分析】由已知，得A,B,C,。四點共圓，從而判斷點。的軌跡是以AC為弦，圓周角為名的劣弧

3

（不含A,C兩點），根據數量積的幾何意義，得出結論.

【解答】解：由AB=2,AC=2A/3,AC±AB,

可得tanZABC=4￡=g,故/ABC=工，

AB3

27r

又NAZ）C=—,所以NADC+/4BC=萬，

3

以BC為直徑作圓，則A,B,C,。四點共圓，

如圖所示，故點。的軌跡是以AC為弦，圓周角為女的劣弧（不含A,。兩點），

3

則AD-AB=\AD\-\AB\cos,ABAD=2\AD\cosZBAD,

又|AD|?cosZBAD表示A￡＞在AB上的投影數量，

由圖可知，|AD|-cosN54￡）e|-l,0）,

故AD?AB.2（此時點D在劣弧AC的中點位置），

即AB的最小值為-2.

故選：D.

D

【點評】本題考查平面向量數量積的性質及運算，屬中檔題.

5.（2024?揚州模擬）已知三個單位向量&,b,C滿足a=6+c,則向量b,c的夾角為（）

7

【答案】C

【考點】數量積表示兩個平面向量的夾角

【專題】轉化思想；轉化法；平面向量及應用；數學運算

【分析】將a=6+c兩邊同時平方，再結合平面向量的數量積運算，即可求解.

【解答】解：設向量b,c的夾角為。，6?e[0,yr],

由題意可知，I。1=181=1C1=1,

a=b+c，

貝!Ja2=(b+c)2=b2+c2+2b-c=2+2xlxlxcos0-\,解得cose=-',

2

故。=軍.

3

故選：C.

【點評】本題主要考查數量積表示兩個向量的夾角，屬于基礎題.

6.(2024?保定三模)已知△ABC是邊長為4折的正三角形，點尸是△ABC所在平面內的一點，且滿足

\AP+BP+CP\=3,則|API的最小值是()

Q

A.1B.2C.3D.-

3

【答案】C

【考點】兩個平面向量的和或差的模的最值；平面向量數量積的性質及其運算

【專題】數形結合；綜合法；平面向量及應用；數學運算

【分析】建立適當平面直角坐標系，借助向量的坐標運算結合圓的性質得解.

【解答】解：以AC所在直線為x軸，以AC中垂線為y軸建立直角坐標系，

則4(-24,0),8(0,6),(7(20,0),

設P(尤,y),因為|AP+5P+CP|=3,所以J(3x+24_0_26)2+(3y_6)2=3,

化簡得：V+(y-2)2=1,所以點P的軌跡方程為Y+(y-2)2=1,

設圓心為G,則G(0,2),由圓的性質可知當"過圓心時，|AP|最小，

又因為|AG|=^22+(2百＞=4,所以|AP|得最小值為|AG|-1=4—1=3.

故選：C.

8

【點評】本題考查平面向量的坐標運算和圓的相關知識，屬于中檔題.

7.（2024?射洪市模擬）在AABC中，點P為線段BC上任一點（不含端點）,^AF=xAB+2yAC（x>0,y>0）,

17

則—+—的最小值為（）

xy

A.9B.8C.4D.2

【答案】A

【考點】平面向量的基本定理

【專題】計算題；對應思想；綜合法；平面向量及應用；數學運算

【分析】利用尸，B,C三點共線，得到x+2y=l,再利用基本不等式求最值即可.

【解答】解：F,B,C三點共線，AF=xAB+2yAC（x>0,y>0）,

:.x+2y=\,

：.-+-=（-+-）（x+2y）=^+—+5..2V4+5=9,

xyxyxy

當且僅當生=%，即x=y=」時取等號，

xy3

19

.?.上+4的最小值為9,

故選：A.

【點評】本題考查平面向量共線定理，基本不等式的應用，屬于中檔題.

8.（2024?江西一模）如圖，正六邊形的邊長為2&,半徑為1的圓O的圓心為正六邊形的中心，若點M

在正六邊形的邊上運動，動點A,3在圓。上運動且關于圓心O對稱，則舷的取值范圍為（）

A.[4,5]B.[5,7]C.[4,6]D.[5,8]

9

【答案】B

【考點】平面向量數量積的性質及其運算

【專題】數學運算；整體思想；平面向量及應用；綜合法

【分析】根據題意，由平面向量數量積的運算化簡，可得朋再由|M0|的范圍，即可得

到結果.

【解答】解：由題意可得：MA-MB=(MO+OA)-(MO+OB)=(MO+OA)\MO-OA)

=|MO|2-|OA|2=|MO|2-1,

當OM與正六邊形的邊垂直時，IMO\min=A/6,

當點V運動到正六邊形的頂點時，|MO|g=2夜，

所以[瓜2叵,

即?MB=(|MO|2-1)e[5,7].

故選：B.

【點評】本題考查了平面向量數量積的運算，重點考查了平面向量的模的運算，屬中檔題.

9.(2024?浙江一模)設a,b是單位向量，則(a+b)?-。包的最小值是()

3

A.-1B.0C.-D.1

4

【答案】D

【考點】平面向量數量積的性質及其運算

【專題】綜合法；數學運算；對應思想；平面向量及應用

【分析】由向量的數量積運算及三角函數的有界性計算即可.

【解答】解：因為a,b是單位向量，

所以(a+b)~—ci,b=|a「+2al6+1b|~—a1b=2+a-b,

又因為。=1aITbI,cos<>,且一啜如s<d,，>1,

所以—啜女-b1,

所以(a+6)2-a?6的最小值為2-1=1.

故選：D.

10

【點評】本題主要考查了向量的數量積運算，屬于基礎題.

10.（2024?重慶模擬）已知|才|=有，a-b=0,|c+a|+|c-a|=4,d2-4bd+3=O,則|C-2|

的最大值為（）

A,坦+1B,4C.坦+2D,衛

333

【答案】A

【考點】平面向量數量積的性質及其運算

【專題】轉化思想；轉化法；平面向量及應用；數學運算

【分析】由題意首先得出|C-d|為兩外切的圓和橢圓上的兩點間的距離，再由三角形三邊關系將問題轉換

為橢圓上點到另一個圓的圓心的最大值即可.

【解答】解：如圖所示：

不妨設a==(也,0),6=08=(0,1),OC=(m,九),=他g),人(一6,0),

滿足|。|=唐，\b\=\,a-b=0,

又|c+a|+|c—a|=4,即-^(m+y/3')2+rr+-^(m--\/3)2+n2=4=2a>2c=2-73=|\A\,

由橢圓的定義可知點C在以4，A為焦點，長軸長為4的橢圓上運動，

a=2,c=也,b=\la2—c2=44-3=1,

所以該橢圓方程為工+/=1,

4

而*2—46.1+3=0,即p2+g2_4q+3=0,gpp2+(q-2)2=1,

這表明了點。在圓儲+(y-2)2=l上面運動，其中點E(0,2)為圓心，廠=1為半徑，

11

又|c-d|=|OC-。D|=|CD|,,|CE|+|ED|=|CE|+l,等號成立當且僅當C,D,E三點共線，

故只需求|CE|的最大值即可，

因為點C,+y2=1在橢圓上面運動，所以不妨設C(2cos6,sin。)，

所以|CE|=小4cos28+(sin0-2。=^4(1-sin10)+sin20-4sin6*+4=J-3s加?，-4sine+8,

-49

所以當sin6=------------=-—且C,D,E三點共線時，

2x(-3)3

Ic-dI有最大值ICE\max+1=J-3x-4x(_g)+8=2''^+1.

故選：A.

【點評】本題主要考查平面向量的數量積運算，考查轉化能力，屬于中檔題.

二.多選題(共5小題)

11.(2024?湖北模擬)在AABC中，A,B,C所對的邊為a,b,c,設3c邊上的中點為A/,AABC的

面積為S,其中。=2括，Z?2+c2=24,下列選項正確的是()

A.若4=工，貝”=3gB.S的最大值為

3

C.AM=3D.角A的最小值為巳

3

【答案】ABC

【考點】正弦定理

【專題】轉化思想；計算題；數學運算；解三角形；綜合法

【分析】對于A，由余弦定理可求6c的值，進而根據三角形的面積公式即可求解.

對于5,由已知利用基本不等式可求得比,12,進而根據三角形的面積公式即可求解.

對于C,由題意可得2AA/=4B+4C,兩邊平方，利用平面向量數量積的運算，余弦定理即可求解.

對于D,利用基本不等式可求得公,,12,利用余弦定理可求cosA」，結合范圍Ae(0,萬)，利用余弦函數

2

的性質即可求解.

【解答】解：對于A,若4=工，。=26，&2+C2=24,

3

由余弦定理片=^+C2—26CCOSA,可得12=62+。2一兒=24-6。，可得6c=12,

所以AABC的面積為S=』6csinA=Lxl2x且=3若，故A正確；

222

對于3,24=Z?2+c2..2bc,Rjbe,,12,當且僅當6=c=2退時等號成立，止匕時a=6=c，可得A=工，

3

所以AABC的面積為S=U6csinA,xl2x3=34，故3正確；

222

12

對于C,因為3c邊上的中點為可得2AM=A3+AC,

,2,2.2,,

所以兩邊平方，可得4AM=AB+AC+2ABACf

力2%M_〃2

可得41AM|2=c2+Z?2+2Z?ccosA=c2+b2+2bc-............-=2(Z?2+c2)-^2=2x24-12=36，解得

2bc

IAM|=3,故C正確；

對于。，因為24=Z??+c?..2/?c,可得be,,12,當且僅當Z?=c=2^/5時等號成立,

因為Ac（O,）），可得Ae（O,-],

3

所以A的最大值為工，故。錯誤.

3

故選：ABC.

【點評】本題主要考查了余弦定理，三角形的面積公式，基本不等式，平面向量數量積的運算以及余弦函

數的性質在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題.

12.（2024?荷澤模擬）已知向量。在向量b方向上的投影向量為（亭：），向量b=（1,W），且。與b夾角,

則向量。可以為（）

A.（0,2）B.（2,0）C.（1,拘D.（A/3,1）

【答案】AD

【考點】平面向量數量積的性質及其運算；平面向量數量積的含義與物理意義；平面向量的投影向量

【專題】平面向量及應用；轉化法；轉化思想；數學運算

【分析】根據已知條件，結合向量的投影公式，以及向量的數量積運算，即可求解.

【解答】解：向量6=（1,如），

貝U|6|=J12+（港）2=2,

向量，在向量。方向上的投影向量為（母1），a與b夾角,

則|a|cos—?-^―=^-b，解得|Q|=2,

6\b\2

13

故a?Z?=|〃。Icos—=24，

6

對于A,滿足=2百，|a|=2,符合題意，故A正確；

對于5,a-b=2,不符合題意，故5錯誤；

對于。，。⑦=4,不符合題意，故。錯誤；

對于O,滿足a/=2百，|。|=2,符合題意，故。正確.

故選：AD.

【點評】本題主要考查向量的投影公式，以及向量的數量積運算，是基礎題.

YYlD

13.（2024?蘭陵縣模擬）定義運算P=mn-pq.在AABC中，角A,B,。的對邊分別為a,b,c,

qn

〃+3

若a,6,c滿足=0,則下列結論正確的是（）

a+c-b1

A.sinA+sinC=2sinB

B.A:C=1:2

C.角3的最大值為工

3

D.若asinA=4csinC,則AABC為鈍角三角形

【答案】ACD

【考點】行列式；正弦定理；解三角形

【專題】解三角形；整體思想；數學運算；綜合法

【分析】由新定義運算得a+c=2￡>,對于選項A：由正弦定理邊化角后知sinA+sinC=2sin3正確；對于

選項區：可舉反例進行判斷；對于選項C：結合余弦定理及基本不等式，可求得COSB.!,可知。正確;

2

對于選項O：結合條件可得c=24Q=d。，計算cosA即可判斷出A為鈍角.

33

a+Z?+c3

【解答】解：由=0可知（a+b+c）-3（a+c-Z?）=0,

a+c-b1

整理可知。+。=2），

由正弦定理可知：sinA+sinC=2sin6,

即選項A正確；

因為A=5=C=—滿足Q+C=2Z?,

3

但不滿足A:C=1:2,

即選項6不正確；

14

22〃、2

a2+c2-(/-^+-C)2

a2+c2-b23(4十0?)—2ac6ac-lac__1

由cosB=(當且僅當Q=C時取”=)，

laclacSacSac2

又0v5〈%,

所以區的最大值為工，

3

即選項。正確；

由asinA=4csinC可得儲=4,，

解得a=2c9

又a+c=2b,

94

從而可得。=—〃,〃=—仇。為最大邊,

33

/十/一/。十I.切一。/]

貝UcosA=--------------=----------——=——<0,A￡(0,4),

2慶2bx(|加4

即角A為鈍角，

即選項O正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查了正弦定理，重點考查了余弦定理及基本不等式的應用，屬中檔題.

14.(2024?博白縣模擬)在AABC中，a=2,"%,則下列結論正確的是()

A.若6=3,則AABC有兩解

B.AABC周長有最大值6

C.若AABC是鈍角三角形，則3c邊上的高AD的范圍為(0,24)

D.AABC面積有最大值2+若

【答案】ACD

【考點】正弦定理；三角形中的幾何計算；解三角形

【專題】分類討論；解三角形；數學運算；綜合法

【分析】A選項，根據6sinA<a</得至IJ結論，判斷出A的真假；3選項，由余弦定理和基本不等式求出

周長的最大值，判斷出8的真假；C選項，求出三角形的外接圓半徑，畫出圖形，數形結合得A在CD或

CE上，邊上的高加的范圍為(0,26)；。選項，在C選項的基礎上求出面積最大值.

【解答】解：A選項，Z>sinA=3sin—=—,^LbsinA<a<b,故AABC有兩解，A正確；

62

5選項，由余弦定理得+c2-tz2=2bccosA,

15

即（b+c）2—2bc—4=2bccos—,化簡得S+c）?-4=（2+y/3）bc,

6

由基本不等式得bc?上互，故S+c）2-4,,（2+、）3+c）2,

44

當且僅當6=c時，等號成立，

解得b+G,2#+2近，故A4BC的周長最大值為2遙+2應+2,3錯誤；

C選項，由正弦定理得4=」一=4,故AABC的外接圓半徑為2,

sinA,冗

sin—

6

如圖所示，將AABC放入半徑為2的圓中，其中3c=￡>E=2,ZBDC=~,

6

WBE=CD=26,

AABC是鈍角三角形，故A在CD或CE上,

故3c邊上的高AD的范圍為（0,2百），C正確;

。選項，由C選項可知，當A落在。E的中點時，AABC邊3c上的高A/最大,

其中OF=O3sinK=若，

3

此時高A/為2+6，面積最大值為工3c?女尸=2+若，。正確.

2

故選：ACD.

【點評】本題考查余弦定理及基本不等式的性質的應用，屬于中檔題.

15.（2024?肇慶模擬）若AA5c的三個內角A,B,C的正弦值為sinA,sinB,sinC,則（）

A.sinA,sinB,sinC一定能構成三角形的三條邊

B.一定能構成三角形的三條邊

sinAsinBsinC

C.sin2A,sin2B,sin2c一定能構成三角形的三條邊

D.JsinA,JsinB,JsinC一定能構成三角形的三條邊

【答案】AD

【考點】正弦定理；解三角形；余弦定理

16

【專題】邏輯推理；轉化思想；計算題；解三角形；綜合法；三角函數的求值；數學運算

【分析】根據正弦定理邊化角，結合三角形三邊滿足的關系即可根據選項逐一求解.

【解答】解：對于A,由正弦定理得sinA:sin6:sinC=a:Z?:c,

所以sinA,sinB,sin。作為三條線段的長一定能構成三角形，故A正確，

對于3,由正弦定理得‘：'；一

sinAsinBsinCabc

例如<7=5,b=n,c=13,貝==

a5b12c13

由于，=至,1+』=至，-+故不能構成三角形的三條邊長，故3錯誤，

a125cb156cba

對于C,由正弦定理得sin2A:sin2B:sin2C=a2:b2:c2,

例如：a=3、b=4、c=5f則a?=9、Z?2=16>c2—25

貝|/+/=25=。2,si/A,sin2B,sin2c作為三條線段的長不能構成三角形，故。不正確；

對于￡),由正弦定理可得JsinA:JsinB:[sinC=6:而:8,不妨設avbvc,則a+b>c,故

y/u<y[b<yfc,+A/^)2--(A/C)2=Q+Z?-c+2jab>2<ab>0,

所以(6+4b)>Jc,故Z)正確.

故選：AD.

【點評】本題考查的知識要點：正弦定理，主要考查學生的運算能力和數學思維能力，屬于中檔題.

三.填空題(共5小題)

16.(2024?河南模擬)已知△ABC的內角A,B,。的對邊分別為。，b,c,C=60。，c=7,若a—b=3,

。為AB中點，則CD='畫.

~2~

【考點】余弦定理；解三角形

【專題】整體思想；綜合法；解三角形；平面向量及應用；數學運算

【分析】由已知結合余弦定理先求出ab,然后結合向量的線性表示及向量數量積的性質即可求解.

【解答】解：因為△ABC中，C=60°,c=7,a-b=3,

2

由余弦定理得，o'-a+/?-2。6cos60。=(a-/?)?+ab,

即49=9+",

所以曲=40,

。為AB中點，則CD=；(C4+CB),

1221

所以|C￡>『=—(C4+CB+2CA-CB)=-(b2+<r+aV)

44

17

111?Q

=一[（。-6）2+3a團=一（9+120）=一,

444

所以co=辿型.

2

故答案為：叵.

2

【點評】本題主要考查了余弦定理，向量數量積的性質在求解三角形中的應用，屬于中檔題.

17.（2024?瀘州模擬）已知向量々，6滿足|刈=1,|6|=百，|a-2bl=3,^]a-b=1.

【答案】L

【考點】平面向量數量積的性質及其運算

【專題】整體思想；轉化法；平面向量及應用；數學運算

【分析】對I〃-2切=3兩邊平方結合已知化簡可求出a包的值.

【解答】解：因為|a|=l,|。|=若，|。-2bl=3,

所以|。-2加2=。2-4。1+462=9,

所以1一4a-6+4x3=9,解得a-6=l,

故答案為：L

【點評】本題考查平面向量的數量積及其運用，考查運算求解能力，屬于基礎題.

18.（2024?江西二模）在AABC中，已知0c=3的，尸為線段4）的中點，若BP=254+,則l+,=

10.

【考點】平面向量的數乘與線性運算；平面向量的基本定理

【專題】轉化思想；方程思想；計算題；數學運算；平面向量及應用；綜合法

【分析】根據題意，由向量的線性運算公式可得8P=」助+工8。，由平面向量基本定理可得2、〃的值，

28

進而計算可得答案.

【解答】解：根據題意，在AABC中，已知。。=3血，則

4

由于尸為線段AD的中點，貝ljBP=BD+DP=BD+-DA=BD+-（BA-BD）=-BA+-BD=-BA+-BD,

222228

故4=工，//=—,

28

貝IJ有‘+,=2+8=10.

2/j

故答案為：10.

18

A

【點評】本題考查平面向量基本定理，涉及向量的線性運算，屬于基礎題.

19.（2024?靜安區二模）若單位向量。、匕滿足a，。，則la-&2.

【答案】2.

【考點】平面向量數量積的性質及其運算

【專題】綜合法；數學運算；平面向量及應用；整體思想

【分析】由平面向量數量積的運算，結合平面向量的模的運算求解.

【解答】解：單位向量4、6滿足

則a?8=0,

貝!11a_屏|=^a2-2y/3a-b+3b2=Jl-0+3=2.

故答案為：2.

【點評】本題考查了平面向量數量積的運算，重點考查了平面向量的模的運算，屬基礎題.

20.（2024?重慶模擬）已知正三角形ABC的邊長為2,點。滿足C￡>=wC4+〃C3,且%>0,n>0,

2m+?=l,貝i」|C0的取值范圍是_（1,2）_.

【答案】（1,2）.

【考點】平面向量的基本定理

【專題】數學運算；轉化思想；平面向量及應用；向量法

【分析】取AC的中點E，由題意得CD=2m+,從而推得3,D,E三點共線，進而得出

\CE\<^CD\<\CB\,即可求得結論.

【解答】解：取