2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)測試卷（北京專用）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的

一項(xiàng)。

1.已知集合&=｛（乂刈＞=W｝,B="x,y）y=；",則4口8=（）

A.｛-1,1｝B.｛（-1,1）,（1,1）｝C.（O,+e）D.（0,1）

【答案】B

-w

1,解得｛；］'，或二；'所以AC，=｛（TD，（U）｝.

-

-w

故選：B.

2.復(fù)數(shù)j的共軌復(fù)數(shù)是（）

2+1

A.2+iB.-2+iC.-2-iD.2-i

【答案】A

55（2-i）

【解析】由『"I、=2-i,

2-i的共粗復(fù)數(shù)是2+i.

故選：A.

3.已知向量M=(X+1,-=,則()

A.“x=-2”是工〃L的充分條件

B.“x=l”是“1工廠的充分條件

C.“x=-2”是的必要條件

2

D.“無=§”是\〃利的必要條件

【答案】B

【解析】因?yàn)椤?(X+1,-1),5=(X,2),

若Z〃B，則2(x+l)+x=0,解得了=、，

故“x=-2”是“苕//B”的既不充分也不必要條件，故A錯(cuò)誤；

所以“x=：”是“a//b”的既不充分也不必要條件,故D錯(cuò)誤；

若辦3，則無(尤+1)-2=0,解得尤=-2或1,

所以“x=l”是“萬工石”的充分條件，故B正確；

“x=-2”是%工廠的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；

故選：B

4.已知等比數(shù)列｛叫，滿足4%,3a5,2&成等差數(shù)列，且2%>4+小，則數(shù)列｛叫的公比為()

13

A.-B.-C.2D.3

22

【答案】C

【解析】設(shè)公比為4,由4%，3%,2a$成等差數(shù)列，可得：2%/+4%/=6%/,

即/-3q+2=0,解得：4=1或4=2,當(dāng)q=l時(shí)，2a3=aA+a2,不符合，

當(dāng)g=2嗎>0時(shí)，滿足2a3—8%>3%=%+%,

所以4=2.

故選：C.

5.已知〃尤)為定義在R上的函數(shù)，〃2)=2,且g(x)="2x)+Y為奇函數(shù)，則2)=()

A.-4B.-2C.0D.2

【答案】A

【解析】因?yàn)間(x)=〃2x)+V為奇函數(shù)，

所以g(尤)+g(-x)=/(2x)+尤2+/(-2x)+(-x)2=f(2x)+f(-2x)+2x2=0,

令x=l,W/（2）+/（-2）+2xl2=30,所以/（一2）=-2-/（2）=-2-2=-4.

故選：A.

6.如圖，圓。與工軸的正半軸的交點(diǎn)為A,點(diǎn)C8在圓。上，且點(diǎn)。位于第一象限，點(diǎn)3的坐標(biāo)為

ZAOC=a.若18cl=1,貝112cos23-后sina-1的值為（）

.573-120573+12?12^-5?1273+5

A.-----------D.-------------------C.-----------D.-----------

13131313

【答案】A

【解析】

■.\OB\=1,圓。的半徑為1.

512

根據(jù)三角函數(shù)的定義，易得sin/AO3=^,cosZAOB=—,

又忸C=l,

IT

.?.△BOC為等邊三角形,則。=§-NAO3,且。為銳角，

/.2cos2-A/3sin-1=cosa-y/3sina=2cos[a+=2cos（夸-NA

=-cosZAOB+V3sinZAOB=逆"

13

故選：A.

7T

7.正四棱四P-ABCD中，AB=2,二面角P-CD-A的大小為:，則該四棱錐的體積為（）

4

24

A.4B.2C.—D.一

33

【答案】D

【解析】連接AC,8,相交于點(diǎn)〃，則H為正方形ABCD的中心,

p

故尸”，底面ABC。，

取CO的中點(diǎn)Q,連接HQ,PQ,則HQ=^AD=1,

TT

故NPQH為二面角P—CD—A的平面角，所以/尸。//=:，

4

故尸"=HQ=1,

14

所以該四棱錐的體積為]XAB2./W=].

故選：D

8.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是空氣的溫度是嵋C,那么rmin后物體的溫度。

（單位：C）可由公式夕=%+（4.％求得，其中人是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù).現(xiàn)

有100℃的物體，放在10℃的空氣中冷卻.Imin后物體的溫度是70℃,那么該物體的溫度降至20℃還需要

冷卻的時(shí)間約為（參考數(shù)據(jù)：32k0.3010,坨3。0.4771）（）

A.2.9minB.3.4min

C.3.9minD.4.4min

【答案】D

【解析】依題意，由100℃的物體，放在10℃的空氣中冷卻，Imin后物體的溫度是70℃,

得70=10+（100—10）（：/,解得心打=|,

11

該物體70℃的溫度降至20℃需要冷卻的時(shí)間為乙則20=10+（70-10）[（萬）叮，

2]Ig6=lg3+lg2_0.4771+0.3010

于是（W）'=k，兩邊取對(duì)數(shù)得,3Ig3-lg20.4771-0.3010，

36g2

所以該物體的溫度降至20℃還需要冷卻的時(shí)間約為4.4min.

故選：D

9.已知直線4："a+（"2+1）丁-1=。過定點(diǎn)A,4：O+l）x-my+3〃z-2=0過定點(diǎn)8,4與4交于點(diǎn)P（異于A,

8兩點(diǎn)），貝必AB尸的面積的最大值是（）

12525

A.cD.

~2BT-fT

【答案】D

【解析】將直線變形為：m(x+y)+y—1=0,知/1過定點(diǎn)A(-M),

將直線4變形為：m(x-y+3)+x-2=0,知過定點(diǎn)W2,5),

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，4：y—l=0,l2:x-2=0,止匕時(shí)4_1，2，

當(dāng)相=一1時(shí)，4：%+1=0,12:y-5=0,止匕時(shí)4_1，2，

當(dāng)機(jī)w0且aw-l時(shí)，兩直線的斜率乘積-------二=-1知：此時(shí)

m+1m

因?yàn)?n，2=尸，由直徑所對(duì)的圓周角為90。知，

點(diǎn)尸在以線段為直徑的圓上(不含A、B兩點(diǎn))，

所以點(diǎn)尸到線段AB的距離即為A/WP的高，設(shè)為力，

易知等，因?yàn)锳B=J(-1_2)2+(1_5)2=5,所以

所以仁彳極人如子爭，

即△河的面積的最大值是三,

4

故選：D

10.正方體ABCD-AgCQi的棱長為1,動(dòng)點(diǎn)M在線段CG上,動(dòng)點(diǎn)尸在平面AAG，上，且AP工平面MBD-

A.[1,^]B.性同C.隹同口.性+J

【答案】C

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以次，覺，西■分別為x,y,z軸的正半軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)尸S，6,l）,M（0,l,r）（0<;<l）,

則A（l,0,0）,5（1,1,0）,R（0,0,1）,則Q=（aT,瓦1）,9=（—1,T1）,西=（0,—LIT）,

因?yàn)锳P上平面M32，所以

AP-BR=l-a-b+l=0|a=f+l

即______L，解得，，，

AP-MD1=~b+l-t=Q

所以Q=（f/T,l）,所以網(wǎng)=J/+（1T）2+I=J2,一］+|,

又0W”l,所以當(dāng)r=g時(shí)，即M是CC|的中點(diǎn)時(shí)，|都|取得最小值日,

當(dāng)1=0或1,即加與點(diǎn)c或G重合時(shí)，|都|取得最大值&，

所以線段AP長度的取值范圍為［事，&.

故選：C

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.（2》-1）6的展開式中含d的項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】-160

【解析】（2x-l）6展開式的通項(xiàng)為小=（-l）r-26-fq?-\

令r=3,得看=（-1）32CR=T60X3,所以展開式中含尤3的項(xiàng)的系數(shù)為一160.

故答案為：-160

12.已知函數(shù)/(x)=sin(x+o)(0>0),若C=則°的一個(gè)取值為-

【答案】y(答案不唯一)

【解析】','U=L，sin^--^+^=sin^+^,

即一；cose+*sin0=cose,解得tan9=J§\

71

?:0>O,cp=—+ku,keN.

的一個(gè)取值為g.

故答案為：y(答案不唯一).

13.北京中軸線是世界城市建設(shè)歷史上最杰出的城市設(shè)計(jì)范例之一.其中鐘鼓樓、萬寧橋、景山、故宮、端門、

天安門、外金水橋、天安門廣場及建筑群、正陽門、中軸線南段道路遺存、永定門，依次是自北向南位列軸線中

央相鄰的11個(gè)重要建筑及遺存.某同學(xué)欲從這11個(gè)重要建筑及遺存中隨機(jī)選取相鄰的3個(gè)游覽，則選取的

3個(gè)中一定有故宮的概率為.

【答案】g

【解析】設(shè)11個(gè)重要建筑依次為其中故宮為d,

從這11個(gè)重要建筑及遺存中隨機(jī)選取相鄰的3個(gè)有：S，6,c),0,c,d),(Gd,e),(d,e"),

(e,f,g),(f,g,h),(g,h,i),(h,i,j),?,/,%)共9種情況,

其中選取的3個(gè)中一定有故宮的有：(b,Gd),(c,d,e),(d,e,/)共3種,

31

所以其概率尸=§=§.

故答案為：—.

1-4X2,0<X<-,

14.已知“X)為偶函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)〃x)=.12

2x—1,x>一.

12

⑴仙】：

(2)不等式/"-1)4a的解集為—

…【答4案】3”75［「力13］七「5后15

【解析】由題意可知/噌］=/卜.)=/用=1一4x(j=|.

當(dāng)鵬時(shí)，行)…心|,解六三或電,則

當(dāng)X￡[5,+003717

，f(x)=2x—1<—,角星,貝|—<xW—,

4828

3i7

故當(dāng)小)用，則尸■,

371

由〃X)是偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，/(%)<|,貝卜/尤4-7

31771

由/(%—1)?一，則一4%—14一或一一<x-l<一一

44884

解得或標(biāo)

313551155

故答案為：-8'404'T

4'8

15.設(shè)｛4｝與也｝是兩個(gè)不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合｝,給出下列4個(gè)

結(jié)論:

①若｛4｝與也,｝均為等差數(shù)列，則加中最多有1個(gè)元素;

②若｛q｝與色,｝均為等比數(shù)列，則M中最多有2個(gè)元素；

③若｛。“｝為等差數(shù)列，物,｝為等比數(shù)列，則M中最多有3個(gè)元素；

④若｛q｝為遞增數(shù)列，他,｝為遞減數(shù)列，則/中最多有1個(gè)元素.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①③④

【解析】對(duì)于①，因?yàn)椋?｝,也｝均為等差數(shù)列，故它們的散點(diǎn)圖分布在直線上，

而兩條直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，故M中至多一個(gè)元素，故①正確.

對(duì)于②，取%=2"-,2=-(-2片,則｛4｝,｛2｝均為等比數(shù)列,

但當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，有%=2"T=6“=-(_2)I,此時(shí)M中有無窮多個(gè)元素，故②錯(cuò)誤.

對(duì)于③，設(shè)勿=陽"(陽片。，4W±1),a”=kn+b(k豐0),

若又中至少四個(gè)元素，則關(guān)于n的方程A/=kn+b至少有4個(gè)不同的正數(shù)解，

若q>0,4W1,則由y=Aq"和y=碗+6的散點(diǎn)圖可得關(guān)于〃的方程Aqn=kn+b至多有兩個(gè)不同的解，矛盾;

若q<0,q工±1,考慮關(guān)于〃的方程Aq"=M+b奇數(shù)解的個(gè)數(shù)和偶數(shù)解的個(gè)數(shù)，

當(dāng)Aq"=E+6有偶數(shù)解,此方程即為A0"=也+6,

方程至多有兩個(gè)偶數(shù)解，且有兩個(gè)偶數(shù)解時(shí)Akln\q\>0,

否則4。可同<0,因y=川同"，y=ki+b單調(diào)性相反，

方程A0"=配+6至多一個(gè)偶數(shù)解，

當(dāng)Aqn=kn+b有奇數(shù)解，此方程即^J-A\q\'=kn+b,

方程至多有兩個(gè)奇數(shù)解，且有兩個(gè)奇數(shù)解時(shí)-女呵同〉。即〃1川同<。

否則A上1可同>0,因y=-A|同"，y=kz+6單調(diào)性相反，

方程-Aa"=初+6至多一個(gè)奇數(shù)解，

因?yàn)锳—n’|>0,<0不可能同時(shí)成立，

故A/=5+b不可能有4個(gè)不同的整數(shù)解，即M中最多有3個(gè)元素，故③正確.

對(duì)于④，因?yàn)椋鹮｝為遞增數(shù)列，｛々｝為遞減數(shù)列，前者散點(diǎn)圖呈上升趨勢，

后者的散點(diǎn)圖呈下降趨勢，兩者至多一個(gè)交點(diǎn)，故④正確.

故答案為：①③④.

三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

16.（13分）

在VABC中，內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為a,b,c,NA為鈍角，a=1,sin2B=^-Z?cosB,

7

⑴求—A；

（2）若csinA=：G,求VABC的面積.

【解析】（1）由題意得2sinBcosB=S^bcosB,因?yàn)锳為鈍角，

7

b_2_a_1

/0

貝Ijcos3w0,貝lj2sin3=X-b,則sinByfjsinAsinA,解得sinA=

7~T

因?yàn)锳為鈍角，貝！=

(2)法一：因?yàn)閏sinA=1■石，所以csin與二：石，所以。=5,

在VABC中，由余弦定理可得〃2=〃+/—2"COSA,

所以49=/+25-2bx5x(-g］,所以〃+56-24=0,解得6=3或6=—8(舍去),

所以SABC=-^csinA=—x3x5x^-=^^-.

aABC2224

法2：因?yàn)閏sinA=；括，所以csin手■=!■石，所以。=5,

75

ac=5h

在VABC中，由正弦定理得=即&一$苗(?，解得sinC=早，

sinAsine5-14

因?yàn)镃為三角形內(nèi)角，則cosC=Jl-［等］=4，

(77r、77rOjr

貝ljsinB=sin(A+C)=sin\-C=sin—cosC+cos——sinC

Me1.n17<3J315V3

貝i」S八，=—acsin?=—x7x5x-----=--------.

△ABC22144

17.(13分)

如圖，四棱柱ABCD-43012的底面ABC。是邊長為2的正方形，。。=3,側(cè)面ADDX\，底面ABCD,

E是棱BC上一點(diǎn)，Q3〃平面GE。.

(1)求證：E是BC的中點(diǎn)；

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)條件作為已知，使四棱柱ABCD-A與G2唯一

確定，

(i)求二面角D-GE-瓦的余弦值；

(ii)設(shè)直線AC與平面GDE的交點(diǎn)為P，求架的值.

條件①：C]O=jm；條件②：]B=拒;條件③：ADLQD.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得。分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一

個(gè)解答計(jì)分.

【解析】(1)連接CQ交G。于。，連接。E,

因?yàn)?8〃平面GE。，。田<=平面RCB,平面GE￡>n平面2CB=0E,

所以AB//OE,又因?yàn)樗倪呅巍GR是平行四邊形，所以。是CA的中點(diǎn)，

所以E是BC的中點(diǎn)；

(2)(i)

選擇條件①：

因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以CDLAD,

側(cè)面A￡)2AJ■平面ABC。，且側(cè)面4。24門平面458=4),CDu平面A3C￡),

故8_L平面AD。A，又。。u平面AD。A，則CD，。？,

即四邊形。CGQ為矩形，因?yàn)镈Q=3,CD=CQ=2,則弓。=屈，

與選擇條件①：。1。=屈等價(jià)，故條件C]O=屈不能進(jìn)一步確定。2,AD的夾角大小，故二面角

。-。￡-瑪不能確定；

選擇條件②：

連結(jié)RA,因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以B4_LAD,

又因?yàn)閭?cè)面4DAA-L平面ABCD,且側(cè)面平面ABCD="),BAu平面ABCD,

所以A4L平面ADRA，又AA,ORu平面ADRA，所以3A，，A,8A，，

在中，因?yàn)锳8=J萬，AB=2,所以烏A=屈,

在ARA。中，因?yàn)锳D=2,0,0=3,所以AD，。外

又46門4。=448,4￡><=平面至皿，所以，平面ABCD,又AD_L8,

所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-邙，其中。(0,0,0),G(0,2,3),E(l,2,0),C(0,2,0),

且X=(0，2,3),詼=(1,2,0),易知友=(0,2,0)為平面GE耳的一個(gè)法向量，

n-DC1=0,2y+3z=0

設(shè)為=(x,y,z)為平面GOE面的一個(gè)法向量，貝1b_J,即

n-DE=0,x+2y=Q

不妨設(shè)V=-3,則無=6,z=2,可得而=(6,-3,2),

DCn-63

所以cos玩

'"一RR2x7497

3

因?yàn)槎娼恰?G石-4的平面角是鈍角，設(shè)為夕，故cos6=-亍,

所以二面角o-GE-用的余弦值為

選擇條件③：

因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以ADLOC,

因?yàn)?。_LCQ,且。CcG。=。,DC,C、Du平面C.D.DC,

所以4)，平面CQQC,因?yàn)镽Ou平面GROC,所以AOLOQ,

因?yàn)閭?cè)面4。24，平面ABC。，且側(cè)面A￡>2AC平面ABCD=AD,平面ABCD,

所以RO_L平面ABCD,又A￡)_LC￡),

所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系〃-孫z,(下面同選擇條件②).

(ii)設(shè)笠=2(OW2Wl),又4(2，。，3),C(0,2,0),

貝ijAP=AAC=Z(-2,2,-3)=(-2A,2A,-3A),所以P=(2—24243—34),

所以。尸=(2-24243-3/1),因?yàn)椤u平面,

所以加7=0,所以(2-2/1)?石京(23@=,解得2=(,

所以養(yǎng)=9.

18.(14分)

為了解某中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，對(duì)高一年級(jí)的1班~8班進(jìn)行了抽測，采取如下方式抽樣:

每班隨機(jī)各抽10名學(xué)生進(jìn)行身體素質(zhì)監(jiān)測.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每班10名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)散

點(diǎn)圖如下（X軸表示對(duì)應(yīng)的班號(hào)，y軸表示對(duì)應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)）：

n

0F

9J

87F

65J

T

t-

3

21J

o

（1）若用散點(diǎn)圖預(yù)測高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，從高一年級(jí)學(xué)生中任意抽測1人，試估計(jì)該生身體素

質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的概率；

（2）若從高一2班抽測的10人中隨機(jī)抽取1人，從高一5班抽測的10人中隨機(jī)抽取1人，設(shè)X表示這

2人中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）假設(shè)每個(gè)班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機(jī)抽到的10名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相等.現(xiàn)在從每

班中分別隨機(jī)抽取1名同學(xué)，用“盤=1”表示第上班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)優(yōu)秀，“抵=0”表示第上班抽到

的這名同學(xué)身體素質(zhì)不是優(yōu)秀化=1,2,…,8）.直接寫出方差。信），D&），鞏芻），。他）的大小關(guān)系（無

需過程）.

【解析】（1）依題意，從高一年級(jí)的（1）班~（8）班抽測共80人，

其中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的共有8+6+9+4+7+5+9+8=56,

所以估計(jì)該生身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的概率為=

8010

（2）依題意，高一2班抽測的10人中優(yōu)秀的有6人，高一5班抽測的10人中優(yōu)秀的有7人,

則X可取01,2,

P（X=0）=-x—=—,P（X=l）=-x—+-x—=—,P（X=2）=-x—=—,

'751025'751051050'751050

a13

X的數(shù)學(xué)期望E(X)=Oxw+lx而+2x^=正.

乙DJI7\J1\J

(3)依題意，P(^=l)=0.8,P(^=0)=0.2,。服從兩點(diǎn)分布，則。?)=0.8*0.2=0.16,

P&=1)=06P&=0)=04,服從兩點(diǎn)分布，則。怎)=0.6x04=0.24,

P?=1)=0.9,尸侑=0)=0」，下服從兩點(diǎn)分布,貝他(4)=0.9x0.1=0.09,

/芻=1)=0.4,2(芻=0)=0.6,心服從兩點(diǎn)分布，貝g(4)=04x0.6=0.24,

所以O(shè)值)=。值)>06)>0(勁.

19.(15分)

22

已知橢圓C:=+2=l(a>6>0)的右焦點(diǎn)為八左、右頂點(diǎn)分別為A,8,|AF|=2+^,|BF|=2-V3.

ab

(I)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)0是坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓C上不同的兩點(diǎn)，且關(guān)于x軸對(duì)稱，E,G分別為線段的中點(diǎn),

直線AE與橢圓C交于另一點(diǎn)￡).證明：D,G,N三點(diǎn)、共線.

【解析】(1)由題意|AF|=2+V^=a+c,忸川=2-后=a-c,

所以。=2,c=^3,b=V4—3=1,

所以橢圓C的方程為%y』.

(2)

2

由題意不妨設(shè)〃(加,〃)仆(私—“),人(—2,0),磯2,0),0(0,0),其中(+/=1,(〃-±2),即4〃2=4-機(jī)2,

n

則小羨［4審Q,且直線AE的方程為y=￡="+可，

~2+2

2—+/=1

將其與橢圓方程土r+丁=1聯(lián)立得4

4n

)=(x+2)

m+4

4n2216/16n2八

消去y并化簡整理得i+XH----------豆XH----------2—4A=0,

(m+4)2(m+4)(m+4)

16n2

-------------4

(m+4)216n2-4(m+4)2

由韋達(dá)定理有XX=-2X

ADD]+4/4n2+(m+4)2

(m+4)2

-8/+2(優(yōu)+4>-8n2+2(m+4)2?4〃(m+4)

1%=扃(/+2)=扁

所以—('J4/+(m+4)24n2+(m+4)2

'-8/+2(加+4)24n(m+4)

即點(diǎn)。

、4n2+(m+4)24/+(m+4)\

4n(m+4)

3〃

23

T_3n4/+(m+4)4〃(m+4)+〃(m+4)2+4n

而k

^NG=%ND2()22()2)22

x_rn2-m-Sn+2m+4-8n+2m+4-m(m+4-4nm

4/+(m+4『

4〃(/"+4)+〃(機(jī)+4)-+4”(4-1)_12n(m+3)_3n

=匕VG，

(2-m)(m+4)2-(^4-m2j(2+m)4(2—m)(m+3)2—m

所以2G,N三點(diǎn)共線.

20.(15分)

已知函數(shù)/(%)=%e*-(ax?一以(〃>。)

⑴求曲線y=〃x)在點(diǎn)(0)(0))處的切線方程;

⑵若“X)的極大值為1-L求a的值;

e

f。］,使得〃%)+)求。的取值范圍.

(3)當(dāng)時(shí)，若BX2G(/(%2=0,

【解析】(l)由/(%)=疣*一3依2_依，可得了'(%)=。*(%+1)-分一4,

則切線的斜率左=((0)=1-。，又"0)=斜則切點(diǎn)為(。,0),

故切線方程為(1-。》-丁=0；

(2)由f\x)=^{x-\-V)-ax-a=(x+l)(ex-a),

因a〉0,令/'(x)=0,可得九=一1或x=lna.

①當(dāng)Inav-l,即0<〃<,時(shí)，由/'(%)>0,可得了<lna或不>—1；由/'(%)<0,可得Inavx〈一1,

e

故函數(shù)在(f，In。)和(-1,田)上單調(diào)遞增，在(Ina,-l)上單調(diào)遞減，

故f(尤)的極大值為/(Ina)=(71na-^a(lna)2-nlntz=-^a(lna)2<0,不合題意；

②當(dāng)lna=-l,即“=■時(shí)，/'(%)20,即函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，無極大值；

e

③當(dāng)即。〉工時(shí)，由尸(x)>0,可得x<-l或x>lna；由尸(x)<0,可得-l<x<lna,

e

故函數(shù)/(x)在(-雙T)和(Ina,“)上單調(diào)遞增，在(-l,lna)上單調(diào)遞減,

故“力的極大值為=-：=1-:，解得。=2,符合題意.

綜上所述，。=2；

(3)由題意可知，當(dāng)時(shí)，-/(x)在無€口,內(nèi))上的值域是〃尤)在XW(F,O]上的值域的子集.

e

由(2)已知，函數(shù)/(%)在1)和(lna,+8)上單調(diào)遞增，在(Tina)上單調(diào)遞減，

且當(dāng)Xf-00時(shí)，/(%)-—8；當(dāng)Xf+co時(shí)，/(%)f+oo.

13

①當(dāng)一l<lna<0,即一時(shí)，當(dāng)]￡口,+8)時(shí)，/(x)單調(diào)遞增，/(x)e[e——〃,+??),

e2

又因當(dāng)無￡(一8,0]時(shí)，/(x)G(-<x),max|-|--1,oj>],

31

因e-白>0,則當(dāng)一<a<l時(shí)，叫使得〃西)+〃％)=0；

2e

②當(dāng)OWlnaWl,即時(shí)，當(dāng)了￡口,+8)時(shí)，/(%)單調(diào)遞增，/(x)e[e--tz,+<x)),

當(dāng)xe(-oo,0]時(shí)，〃尤)若滿足題意，只需￡一小。2，即lV“We-L

③當(dāng)lna>l,即〃>e時(shí)，當(dāng)％e[l,+8)時(shí)，/(%)在(1,Ina)上單調(diào)遞減，在(Ina,+8)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(%)的最小值為/(%)*=/Qna)=—g〃(lna)2,即￡[—ga(lna)2,+8),

又因?yàn)闊o￡(—8