熱點專題2-7函數與方程

近5年考情(2020-2024)

考題統計考點分析考點要求

2024年天津卷第15題，5分從近幾年高考命題來看，高考

(1)理解函數的零點與方

對函數與方程也經常以不同的

年全國甲卷，第題分

202416,5程的解的聯系.

方式進行考查，比如：函數零

(2)理解函數零點存在定

2023年天津卷第15題，5分點的個數問題、位置問題、近

理，并能簡單應用.

似解問題，以選擇題、填空題、

(3)了解用二分法求方程

2021年北京卷第15題，5分解答題等形式出現在試卷中的

的近似解.

不同位置，且考查得較為靈活

模塊-3熱點題型解讀(目錄)

【題型1］求函數的零點

【題型2】求函數零點所在區間

【題型3】二分法求近似解

【題型4】判斷函數零點個數或交點個數

【題型5】利用函數的零點所在區間求參數范圍

【題型6】已知零點個數求參數范圍

【題型7】比較零點的大小

【題型8】求零點的和

模塊二1核心題型?舉一反三

【題型1］求函數的零點

基礎知識

函數的零點

1、函數零點的概念：對于一般函數y=/(%),我們把使/(x)=0的實數x叫做函數y=/(x)的

零點.即函數的零點就是使函數值為零的自變量的值.

【要點辨析】

(1)函數的零點是一個實數，當函數的自變量取這個實數時，其函數值等于零;

(2)函數的零點也就是函數^=/(X)的圖象與x軸交點的橫坐標;

(3)函數y=/(x)的零點就是方程/(%)=0的實數根.

2、函數的零點與方程的解的關系

函數y=/(x)的零點就是方程/(x)=0的實數解，也就是函數y=/(x)的圖象與x軸的公共點的

橫坐標.所以方程/(x)=0有實數根=函數y=/(x)的圖象與x軸有交點。函數y=/(x)有

零點.

3、函數零點存在定理

如果函數/(x)在區間［a,6］上的圖象是一條連續不斷的曲線，且/(。>/伍)<0,那么，函數

y=/(x)在區間(a.b)內至少有一個零點，即存在ce(a.b),使得/(c)=0,這個c也就是方程

/(x)=0的解.

1.函數〃x)=3「l的零點為()

A.(0,0)B.(1,1)C.0D.1

【答案】C

【解析】令/(》)=3*-1=0,解得無=0,故選:C.

【鞏固練習1］函數/■(x)=l-lg(3'+2)的零點為()

A.log38B.2C.log37D.log25

【答案】A

【解析】令/(x)=l-lg(3"+2)=0,得3*+2=10,則工=晦8.故選：A

【鞏固練習2】

【鞏固練習3】已知定義在(0,+e)上的〃x)是單調函數，且對任意尤e(O,+s)恒有

/X

f/(x)+log,X=4,則函數/(X)的零點為()

I3)

A.-B.-C.9D.27

279

【答案】A

［解析］設/(x)+log,x=Q,即/(x)=Tog產+Q,

33

/\

因為//(x)+bgM=4,可得/⑷=4,

I37

所以-log產+。=4,解得a=3,所以"X)=-k)gM+3,

33

令〃x)=0,可得Tog,+3=。，即log1=3,解得x='.故選：人.

【題型2】求函數零點所在區間

基礎知識

判斷函數零點所在區間的步驟

第一步：將區間端點代入函數求函數的值；

第二步：將所得函數值相乘，并進行符號判斷；

第三步：若符號為正切在該區間內是單調函數，則函數在該區間內無零點;

若符號為負且函數圖象連續，則函數在該區間內至少一個零點。

2.函數/(x)=2'+x-4的零點所在區間為()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

【答案】C

【解析】因為了=2"和y=x-4均是R上的增函數，所以函數/(x)=2*+x-4是R上的增函數,

又〃1)=-1<0,/(2)=2>0,〃1)-/(2)<0,

所以函數“X)的零點所在區間為(1,2).故選：C.

【鞏固練習1】函數/(x)=ln(2x)-：的一個零點所在的區間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】因為/(x)的定義域為(0,+司，且y=ln(2x),y=-工在(0,+司內單調遞增，

可知/(X)在(0,+e)內單調遞增，

且/⑴=ln2_l<0J(2)=ln4_g>0,

所以函數/(X)的唯一一個零點所在的區間是(1,2).

【鞏固練習21函數/(x)=ln(2x)-：的一個零點所在的區間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】因為〃x）的定義域為（0,+8）,且y=ln（2x）,y=-，在（0,+。）內單調遞增,

可知/'（x）在（0,+e）內單調遞增,

且/⑴=ln2-l<0,〃2）=ln4-g>0,

所以函數/（X）的唯一一個零點所在的區間是（1,2）.

【題型3】二分法求近似解

基礎知識

所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.

求方程/（x）=0的近似解就是求函數f（x）零點的近似值.

3.（2024?廣東梅州?二模）用二分法求方程log4X-[=0近似解時，所取的第一個區間可以是（）

2x

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【解析】令/（x）=log4X-g,

因為函數y=10g4x,y=--L在（0,+的上都是增函數，

2x

所以函數=在（0,+“）上是增函數，

=⑵=1嗎2-；=?：>0,

所以函數/（x）=log4X-：在區間（L2）上有唯一零點，

所以用二分法求方程logs%-」-=0近似解時，所取的第一個區間可以是（1,2）.

3%

【鞏固練習1]一塊電路板的N8線段之間有60個串聯的焊接點，知道電路不通的原因是焊口脫落

造成的，要想用二分法的思想檢測出哪處焊口脫落，至少需要檢測（）

A.4次B.6次

C.8次D.30次

【答案】B

【解析】利用二分法檢測，每次取中點，焊接點數減半，不妨設需要〃次檢測，則

即2"260,因為<60<2、故〃的最小值為6,即至少需要檢測6次.

【鞏固練習2】已知函數〃尤)=log2X-L在區間(1,2)內存在一個零點，在利用二分法求函數/(x)近

似解的過程中，第二次求得的區間中點值為.

【答案】47

【分析】根據題意，利用對數的運算法則，結合零點二分法，準確計算，即可求解.

【詳解】由函數〃x)=log2X-L為單調遞增函數，且在(1,2)內存在一個零點，

又由〃l)=TJ(2)=g,則/⑴〃2)<0,

3323-

3

第一次用二分法，由/(-)=log2---=log2--log22,

因為T<4，可得(」尸<43,即三<23,可得10g2±<10g223,所以/(；)<0,

X8222

3

所以確定函數的零點所在區間為(萬,2)；

7741S—

第二次用二分法，由〃a)=iog2K-,=10g27-亍=10g27-10g227,

18187

因為7>2亍，可得Iog27-log227>0，即/(了)>0

7373

所以/(：)〃/<0,所以確定函數的零點所在區間為(二,二)，

4242

7

所以第二次求得的區間的中點值為

【鞏固練習3](2024?遼寧大連?一模)牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法.對于非線性可

導函數/(x)在與附近一點的函數值可用/(尤卜/■(x0)+/'(x())(x-x。)代替，該函數零點更逼近方程

的解，以此法連續迭代，可快速求得合適精度的方程近似解.利用這個方法，解方程/-3x+l=0,

選取初始值％=g,在下面四個選項中最佳近似解為()

A.0.333B.0.335C.0.345D.0.347

【答案】D

【解析】令/(力=/—3x+l,貝|/，(%)=3%2-3,

f（x\

令〃x）=0,即/（尤o）+/?〈尤o）（x-尤0卜0,可得x2/_/,（；）,

迭代關系為“+i=Xk一~——r=x-

/（4）k34-334—3

2x--l2312x--1

12x?—1812網一127

取玉）=3，則演=&2_&—?0.34722

3x1-33,%3針33*372

4

【題型4】判斷函數零點個數或交點個數

基礎知識

零點個數的判斷方法

(1)直接法：直接求零點，令/(x)=0,如果能求出解，則有幾個不同的解就有幾個零點.

(2)定理法：利用零點存在定理，函數的圖象在區間［見口上是連續不斷的曲線，且/伍)<0,

結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點.

(3)圖象法：

①單個函數圖象：利用圖象交點的個數，畫出函數/(X)的圖象，函數/(X)的圖象與X軸交點的個

數就是函數/(X)的零點個數.

②兩個函數圖象：將函數/(X)拆成兩個函數/z(x)和g(x)的差，根據/(X)=0u>/z(x)=g(x),

則函數f(X)的零點個數就是函數y=〃(x)和y=g(x)的圖象的交點個數.

(4)性質法：利用函數性質，若能確定函數的單調性，則其零點個數不難得到；若所考查的函數是

周期函數，則只需解決在一個周期內的零點的個數.

4.函數/'(?0=尤1那-1的零點個數為()

A.0B.1C.2

【答案】B

【解析】令/(x)=xlgx-l=O,得lgx='，

X

畫出函數v=lgx與歹=^■的圖象，

X

可得這兩個函數在(0,+8)上的圖象有唯一公共點，

故/(X)的零點個數為1.故選：B

5.函數/(x)=——2、的零點個數為()

A.0B.1C.2

【答案】D

【解析】通過圖形可以得出/(x)=——2'有3個零點

【鞏固練習1】函數〃X)=(3『-￡-2在定義域內的零點個數是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】函數了=(/)”,了=Y-2分別是R上的減函數和增函數，則函數f(x)=(])*-尤3-2是減函數,

13

而/(-1)=^_(_1)_2=1>0,/(0)=-1<0,

所以函數/*)在R上的零點個數是1.故選：B

【鞏固練習2】(2024?江蘇鹽城?模擬預測)函數>=cos尤與『=啕五|的圖象的交點個數是()

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【分析】在同一坐標系中，作出兩個函數的圖象，根據圖象得到交點個數.

【詳解】函數V=cosx與>二炮忖都是偶函數，其中COS2TI=COS4兀=1,lg4;r>IglO=1>lg2;i,

在同一坐標系中，作出函數丁=3$%與》=lgW的圖象，如下圖，

加

片坨網y=cosxI

-4兀77cz-2兀、2兀5tz4兀攵

由圖可知，兩函數的交點個數為6.

【鞏固練習3](2019?全國?高考真題)函數/(x)=2sinx-sin2x在[0,2句的零點個數為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】令/W=0,得sinx=0或cosx=l,再根據x的取值范圍可求得零點.由

f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx(l-cos%)=0,

得sinx=0或cosx=l,vxe[0,2,r],

:.x=0>兀或2兀.

.?./(%)在[0,2句的零點個數是3

X?+2%丫V0

【鞏固練習4】已知函數/(%)=｝詡、；0一’則函數g(x)=/(x)-3的零點個數為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】由題意可知，g(x)=/(x)-3的零點個數可以轉化為/⑴和函數>=3的圖象交點個數，

它們的函數圖象如圖所示.故選：C.

【題型5】利用函數的零點所在區間求參數范圍

基礎知識

本類問題應細致觀察、分析圖像，利用函數的零點及其他相關性質，建立參數的等量關系，列關于

參數的不等式，解不等式，從而解決.

6.函數y=/一24、+。—1在(0,1)上存在零點，則實數。的取值范圍是()

A.0<a<1B.或C.a>\D.。〈一1或a>0

【答案】B

【解析】令/(x)=d_2QX+Q一1,

因為A=4/-4(a-1)=4(/-a+l)=41a-g1+3>0,

所以函數圖象與x軸有兩個交點，

因為函數f(x)=x2-2"+”-1在(0,1)上存在零點，且函數圖象連續,

/(0)>0(2—1>0

所以/(0)/⑴<0,或〈/⑴〉0,所以(4—1)(—。)<0,或—。〉0,

0<Q<10<。<1

解得a<0或。>1

7.函數/(x)=log2X+/+冽在區間(1,2)存在零點.則實數用的取值范圍是()

A.(-oo,-5)B.(-5,-1)C.(1,5)D.(5,+oo)

【答案】B

【解析】由必=log2X在(0,+8)上單調遞增，％=/+次在(0,+。)上單調遞增，得函數

/(x)=log2X+爐+加在區間(0,+8)上單調遞增,

因為函數/(x)=log2X+x2+加在區間(1,2)存在零點，

[/(1)<0[logl+l2+m<0

所以：；、、n，即??°N八,解得一5<加<-1,

[log22+2-+別>0

所以實數機的取值范圍是(-5,-1).

【鞏固練習1】(2024?高三?浙江紹興?期末)已知命題P：函數〃x)=2x3+x-a在(1,2]內有零點,

則命題P成立的一個必要不充分條件是()

A.3<a<18B.3<a<18C.。<18D.a>3

【答案】D

【解析】函數/(尤)=2/+x-。在R上單調遞增，由函數/(x)=2/+尤-。在(1,2]內有零點,

IV⑴=3—<0

得1二.O八，解得3<“418，即命題P成立的充要條件是3<。(18,

[〃2)=18-。20

顯然3<aV18成立，不等式3Va<18、3<a<18、a<18都不一定成立，

而3<。418成立，不等式恒成立，反之，當時，3<。418不一定成立，

所以命題?成立的一^個必要不充分條件是a23.

【鞏固練習2】(2024?山西陽泉?三模)函數/(x)=log2x+x2+加在區間0,2)存在零點.則實數加

的取值范圍是()

A.(-℃,-5)B.(-5,-1)C.(1,5)D.(5,+oo)

【答案】B

【解析】由乃=log?尤在(0,+旬上單調遞增，力=7+機在(。,+°°)上單調遞增，得函數

2

/(X)=log2x+x+m在區間(0,+oo)上單調遞增，

因為函數/(x)=log,x+/+機在區間(1,2)存在零點，

|7⑴<0[log,l+l2+m<0/、

所以〔<C，即〈2，解得-5<加<-1,所以實數加的取值范圍是(-

[log22+2+m>0

【鞏固練習3](2024?四川巴中?一模)若函數"x)=2ax2+3x-l在區間內恰有一個零點，則

實數a的取值集合為()

A.{a|-l<a<2}B.{a|a=-2或T<a<2}.

8

Q

C.{a\-\<a<2}D.{a\a=一一或一1?QW2}.

8

【答案】D

【解析】由函數/(x)=2"2+3x-l,

若a=0,可得/(x)=3x-l,令〃x)=0,即3x-l=0,解得x=g,符合題意；

若aw0,令y(x)=0,即2Q/+3%-1=0,可得A=9+8。，

992

當A=0時，即9+8a=0,解得。=——,此時/(、)=——X2+3X-1,解得x=—,符合題意；

843

當A〉0時，即Q>—。且awO,貝ij滿足/(—=(2a—4)(2。+2)40,

8

解得-IVaV2且"0,

若a=-l,可得/(x)=-2尤2+3尤一1,令〃x)=0,即2/-3尤+1=0,

解得x=l或x=g,其中x=ge(-l,l),符合題意；

若a=2,可得/(0=4/+31,令/(x)=0,即4/+3尤-1=0,

解得》=-1或芯=工，其中x=」w(-l,l),符合題意；

44

9

綜上可得，實數。的取值范圍為或一"。<2}.

8

【題型6】已知零點個數求參數范圍

基礎知識

已知函數零點個數，求參數取值范圍的方法

(1)直接法：利用零點存在的判定定理構建不等式求解；

(2)數形結合法：將函數的解析式或者方程進行適當的變形，把函數的零點或方程的根的問題轉化

為兩個熟悉的函數圖象的交點問題，再結合圖象求參數的取值范圍；

(3)分離參數法：分離參數后轉化為求函數的值域(最值)問題求解.

求函數的零點個數就是求函數圖象與x軸的交點個數，因此只要作出函數圖象即可.如果函數圖象

不易作出，可將函數轉化為y=m(x)—“(X)的結構，然后轉化為加(x)與“(X)的圖象交點個數的問

題.

解決步驟

第一步：將函數化為y=加(1)-“(X)的形式，加(x)與“(X)一個含參，一個不含參.

第二步：畫出兩個函數的圖象.

第三步：確定滿足題意時含參函數的圖象的移動范圍，從而求出參數的取值范圍.

/、z—X1

8.若函數/%/二、1有兩個不同的零點，則實數。的取值范圍是()

A.(0,2]B.(0,2)C.(0,1)D.(—8,1)

【答案】A

【解析】當X>1時，由皿X-1)=0,得x=2,

/、2》_a,XW]

因為函數/(x)=,/小，有兩個不同的零點，

則當時，函數/(x)=2=a還有一個零點,

因為0<2工菖2=2,所以0<a42,

所以實數。的取值范圍是(0,2].故選：A

9.函數/'(x)=|2x-4-|1時有且只有一個零點，則〃?的取值范圍是

【答案】(-*ln2+l)

【解析】由題意可得，問題等價于y=|2x-時與y=|lnx|有且只有一個交點.

分別作圖如下：

考慮他們的臨界情況，即歹=|21-同與y二|lnx|相切時，如上圖，即)/=加-2x與y=-lnx相切時,

僅有一個交點.

設切點為(Xo/o),

則y，=一--=-2,

%

所以％o=5，%=一In5=In2,

所以1口2=冽-2*5二加一1,即加=ln2+l,

但因為y=|2x-同與歹=|ln乂有且僅有一個交點，

所以ln2>加-1,即加<ln2+l

【鞏固練習1]若函數/(x)=2"-3|-1-加有2個零點，則加的取值范圍是

【答案】卜1,2)

【解析】由/(x)=|2「3|-1一機=0,得y-3|-l=m.

2-2\x<log,3，/、,

設函數g(x)=〔2*-3|-l=<2一41。〉作出gOO的大致圖象，如圖所示?

函數/(》)=2"3|-1-加有2個零點，即函數g(x)與函數^=加的圖象有兩個交點,

由圖可知，m的取值范圍是(-1,2).

|2r-l|,x<2

【鞏固練習2】已知函數f(x)=3，若方程/(x)=。有三個不同的實數根，則實數。的取

-----,x〉2

1

值范圍是()

A.(1,3)B,(0,1)C.(0,3)D.[0,1]

【答案】B

【解析】方程有三個不同的實數根，即函數_y=/(x)與函數>的圖象有三個不同交點.

作函數了=/(無)的圖象如下圖所示，/⑵=3

由圖可得，0<。<1.所以實數。的取值范圍是：(0,1).故選：B.

2x,x<0

【鞏固練習3】已知函數/(x)=1,g(x)=/(x)-x-?,若g(x)有2個零點，則實數。的取

----x,x>0

值范圍是()

A.[-1,0)B.[0,+co)C.[-1,+?))D.[1,+<?)

【答案】D

【解析】x>0時，/(x)=--x,函數在(0,+力)上單調遞減，/(I)=0,

令g(x)=0可得/(x)=x+a,作出函數y=/(x)與函數y=x+。的圖象如圖所示：

由上圖可知，當.21時，函數了=/(x)與函數y=x+a的圖象有2個交點,

此時，函數y=g(無)有2個零點.因此，實數。的取值范圍是口,+8).故選：D.

【題型7】比較零點的大小

基礎知識

利用數形結合、等價轉化等數學思想.

10.(2024?新疆烏魯木齊?二模)設x〉0,函數y=%2+x-7,y=2"+x-7,y=k)&x+x—7的零點分

別為a,b,c,則()

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

【答案】A

【分析】由題意。也。分別為函數>=-x+7與函數歹=/,,=2\y=log21圖象交點的橫坐標，作出

函數)=12J=—x+7,y=2",歹=1千2X的圖象，結合函數圖象即可得解.

【詳解】分別令y=公+%-7=0,y=2"+'—7=0,y=logx+x-7=C,

貝=—x+7,2"——x+7,lo&x——x+7,

x

則a,b9c分別為函數>=一%+7與函數y=/,y=29y=log2x圖象交點的橫坐標，

分別作出函數歹)=一％+7,歹=2"y=1生2元的圖象，如圖所示，

【鞏固練習1】(2024?廣東梅州?二模)三個函數/(%)=丁+、一3,g(x)=lnx+x-3,7z(x)=ex+x-3

的零點分別為Q,6,c,則。力,。之間的大小關系為()

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.b<c<a

【答案】B

【分析】先判斷各函數的單調性，再根據零點的存在性定理求出函數零點的范圍，即可得出答案.

【詳解】因為函數v=y=e"y=\wc9歹二%一3都是增函數，

所以函數f(x)=x3+x-3,g(x)=lnx+x-3,〃(％)=1+工一3均為增函數，

因為/⑴=_l(0J(2)=7〉0,

所以函數的零點在(1,2)上，即ae(l,2),

因為g⑵=ln2-l〈0,g(3)=ln3〉0,

所以函數g(x)的零點在(2,3)上,即6e(2,3),

因為〃（0）=-2〈0,〃（l）=e-2）0,

所以函數〃（x）的零點在（0,1）上，即ce（O,l）,

綜上，c<a<b.

【鞏固練習2】（2024?海南?模擬預測）已知正實數〃也。滿足=log3〃［；］=log3b,c=logLc,則

()

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】利用數形結合法，根據題意結合圖象交點分析判斷.

【詳解】因為c=logy=Tog3C,即一C=log3%

3

由題意可知：。為y=與>=10g3X的交點橫坐標；

b為歹=［：）與>=log3X的交點橫坐標；

。為>=一工與>=log3x的交點橫坐標；

在同一^平面直角坐標系中作出>=,y=\og3x,y=/=一％的圖象,

由圖可得：c<a<b,

【鞏固練習3］設正實數。也。分別滿足a?2"=b4og3b=c」og2。=1,則〃也。的大小關系為（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.a>c>b

【答案】B

【分析】作出》=2"J=log2%J=k）g3X的圖像，利用圖像和〉=g圖像交點的橫坐標比較大小即可.

【詳解】由已知可得'=2",y=log3b,—=log2c,

abc

x

作出y=2,y=log2x,y=log3x的圖像如圖所示:

X

由圖像＞可得

【題型8】求零點的和

基礎知識

結合函數的對稱性以及交點個數，數形結合

11.(2024?青海西寧?二模)函數/(x)=4sin]x-|x-l|的所有零點之和為()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】令/(x)=0兩個解為零點，將零點問題轉換成g(x)=4sin5x,=兩個函數的交點

問題，作圖即可求出零點，且g(x)和〃(x)的圖象關于x=l對稱，零點也關于尤=1,即可求出所有

零點之和.

【詳解】令/(x)=0,得4sin]x=|x-l|,解得x=-3或x=5,即為零點，

令g(尤)=4sin]x,/?(x)=|x-l|,

7=至=4

g(x)的周期jt,對稱軸x=l+4左，左eZ,且"(