新定義題型01壓軸小題全面歸納與解析

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

02知識導圖?思維引航............................................................3

03知識梳理?方法技巧............................................................4

04真題研析?精準預測............................................................5

05核心精講?題型突破............................................................6

題型一：集合新定義6

題型二：函數與導數新定義7

題型三：立體幾何新定義9

題型四：三角函數新定義10

題型五：平面向量與解三角形新定義12

題型六：數列新定義13

題型七：圓錐曲線新定義15

題型八：概率與統計新定義16

重難點突破：高等數學背景下新定義18

差情;奏汨?日標旦祐

創新意識與創新應用是當下時代的重要主題，也是高中數學教學和學習過程中應當持續融入與培育的

基本精神和能力。通過引入“新定義”，我們能夠巧妙地促進數學知識中概念的類比理解、公式的創新設立、

性質的靈活應用以及知識的拓展與創新實踐等方面的融合與交匯，從而有效融入創新意識與創新應用的培

養。

“新定義”型問題，具體指的是那些在問題中提出了高中數學課程中未曾涉及的一些新概念、新運算方

法或新符號，要求學生能夠準確理解題意，并結合自身已有的知識和能力，根據這些新定義進行相應的運

算、邏輯推理以及知識遷移的一類題型。換言之，這類問題要求學生具備根據新定義進行思維拓展和問題

解決的能力。

考點要求目標要求考題統計考情分析

對于2025年新高考試

卷中的新定義問題，預測

其將繼續考察學生的創新

思維與知識應用能力。題

掌握新定義，運用2024年I卷第11題，6分

圓錐曲線新定義目可能會引入新的數學概

性質解題

念、運算或符號，要求學

生理解并運用這些新定義

進行推理和解答，以檢驗

其綜合數學素養。

〃用識導圖?思維引航\\

㈤3

.n過偏—?—拈工弓

1、代數型新定義問題的主要考察方式：

（1）新定義的概念考查；

（2）新定義的運算方式考查；

（3）新定義的規則應用考查。

2、解決“新定義”問題的策略：

解決這類問題時，核心在于準確捕捉新定義中的關鍵信息，如新概念、新公式、新性質等，并明確其

名稱、符號及法則。接著，將這些信息與已有知識點進行對比，找出相似之處和差異點，從而確定解題思

路。最后，運用相關數學技巧和方法進行分析求解，并合理歸納結果。

0

心真題砒標?精御皿\\

1.(多選題)(2024年新課標全國I卷數學真題)設計一條美麗的絲帶，其造型上可以看作圖中的曲線C的

一部分.已知C過坐標原點。.且C上的點滿足:橫坐標大于-2,到點F(2,0)的距離與到定直線x=a(a<0)的

距離之積為4,則()

A.a=-2B.點(2A/I,0)在C上

4

c.c在第一象限的點的縱坐標的最大值為1D.當點(%,%)在c上時，r

㈤5

孩心精說，題型突破

題型一：集合新定義

【典例1-1】已知集合乂={1,2,3},匕={1,2,3,,?},(neN+),設S“={(a,6)|a整除砥妨整除a,。eX,6e匕},

令/⑺表示集合S”所含元素的個數，則”2024)=.

【典例1-2】已知有限集合4={q,%,%,,%},定義集合8={4+%|14</"7,仃?此}中的元素的個數

為集合A的“容量”，記為L(A).若集合A={xeN+|lWxV3},貝|L(A)=；若集合A={xeN+|lVxV〃},

且L(A)=4047,則正整數n的值是.

【變式1-1]設P,。為兩個非空實數集合，定義集合A={a+8若尸={0,1,2},。={1,2,3},

則集合A的子集的個數為.

【變式1-2]定義集合的商集運算為=kb=已知集合4={2,4},8=卜犬=：-1,左€4]

則集合夫2的真子集個數是--

命題預測

1.若平面點集V滿足：任意點(x,y)eAf,存在re(O,+s),都有(￡x,")eA/,則稱該點集M是/階聚合點

集.

①若M={(x,刈xNy},則股是3階聚合點集

②存在M對任意正數/,使“不是邛介聚合點集

③若M=，(x,y)1J,則"不是g階聚合點集

④“e[1,+W”是“拉={(尤,y)Wz耳是方階聚合點集，，的充要條件

其中所有正確結論的序號是.

題型二：函數與導數新定義

【典例2-1］定理：如果函數及g(x)滿足：①圖象在閉區間,,可上連續不斷；②在開區間6)內可

導；③對Vxe(a,b),g'(x)HO,那么在(a,6)內至少有一點c,滿足%9羽成立，該定理稱為

丫2%

柯西中值定理.請利用該定理解決下面問題：已知〃到=上，若存在正數。，瓦4H。)，滿足〃6)=Xln2+

ea

/(〃)，則實數4的取值范圍為()

32182

A.B.

e49ee,'e

42

C.D.

e,'e

【典例2-21英國數學家牛頓在17世紀給出了一種求方程近似根的方法一牛頓迭代法，做法如下：如圖,

設〃是/(￡)=0的根，選取與作為一的初始近似值，過點(%0，〃/))作曲線,=〃力的切線

I：y—〃飛)=r(XO)(XT0),貝|J/與無軸的交點的橫坐標再=X。-廣小)R0)稱七是r的第一次近

似值；過點(%,/(%))作曲線y=/(x)的切線，則該切線與X軸的交點的橫坐標為9，稱％是，?的第二次近

似值；重復以上過程，得r的近似值序列，其中斗+1=元“-少4(尸(斗)*。)，稱X向是廠的〃+1次近似值,

j(X"

這種求方程/(力=0近似解的方法稱為牛頓迭代法.若使用該方法求方程d=3的近似解，則下列正確的是

A.若取初始近似值為1,貝U過點(LF。))作曲線y=/(x)的切線y=2尤-3

7

B.若取初始近似值為1,則該方程解的第二次近似值為（

r/（一）?/（一）/（%2）

c°-7U）Tw-Tw

nrr〃x°）〃尤2）/k）

"L"f'Mf'M-⑷尸⑴

【變式2-1】函數y="一+6,其中％,b伏HO）是常數，其圖象是一條直線，稱這個函數為線性函數，對于

非線性可導函數/（元），在點與附近一點x的函數值/'（尤），可以用如下方法求其近似代替值：

卜〃5）+/'（%）（十—不）.利用這一方法，位的近似代替值（）

A.一定大于7〃B.一定小于〃z

C.等于7〃D.與機的大小關系不確定

【變式2-2]對于三次函數〃耳=加+加+5+1（。彳0）,現給出定義：設/'⑺是函數的導數，（力

是/'⑺的導數，若方程/（力=0有實數解與，則稱點（飛,〃%））為函數〃力=加+次2+6+4（"0）的

“拐點”，經過探究發現任何一個三次函數都有“拐點”，任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱

中心，設函數g（x）=x3—3f+2x+3,則函數的對稱中心為（）

A.（1,2）B.（1,3）C.（2,2）D.（2,3）

r............................................1■

:命題預測]

1.計算器計算e3Inx,sinx,cosx等函數的函數值，是通過寫入“泰勒展開式”程序的芯片完成的.“泰勒

展開式”的內容為：如果函數/（x）在含有乙的某個開區間（a/）內可以進行多次求導數運算，則當％時，

有〃x）=>:。）（x_Xo）+/―）"一%）3+…,其中/'（X）是/（無）的導數,

廣⑺是廣⑺的導數，〃（力是/（%）的導數，.…取％。=0,則sinl精確到0.01的近似值為（）

A.0.82B.0.84C.0.86D.0.88

題型三：立體幾何新定義

【典例3-1】刻畫空間彎曲性是幾何研究的重要內容，用“曲率”刻畫空間彎曲性，規定：多面體頂點的曲率

等于2兀與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制）.例如：正

JTTT

四面體每個頂點均有3個面角，每個面角均為彳，則其各個頂點的曲率均為如-3x§=7t.若正四棱錐

S-ABCD的側面與底面所成角的正切值為垃，則四棱錐S-ABCD在頂點S處的曲率為（）

一4兀一5兀-2兀

A.兀B.——C.——D.——

363

【典例3-2】給定兩個不共線的空間向量d與。，定義叉乘運算axb，規定：①axb為同時與“出垂直的

向量；②。也ax〃三個向量構成右手系（如圖1）；@\axb\^\a^b\sm（a,b）.如圖2,在長方體中

中，=4。=2,44,=4,則下列說法中錯誤的是（）

圖1圖2

A.ABxAD^A^

B.ABxAD=ADxAB

C.（AB+A￡））xA4,=ABx+A￡）x朋

D.V^CD-AB1GoiA￡）yCCj

【變式3-1］在空間直角坐標系。回Z中，定義：經過點「（5,％,20）且一個方向向量為7“=（0,。?（%片0）的

直線I的方程為亍==寧，經過點尸（5,%4）且法向量為〃=（凡〃,。）的平面的方程為

〃../^〃（'-^^。^^。^。.已知在空間直角坐標系小^中，經過點P（2,2,0）的直線/的方程為

2-x=^-l=|,經過點尸的平面口的方程為2x+y+2z-6=0,則直線/與平面a所成角的正弦值為（）

A,亞B,巫11

D.

7714

命題預測

I.在《線性代數》中定義：對于一組向量％,%，%存在一組不全為0的實數K，…總使得:

k{a{+k2a2++/%=0成立，那么則稱火,%,%線性相關，只有當匕=%2=心=。時，才能使

匕以+&4++尢。“=0成立，那么就稱％,%，原線性無關.若{%,4,4}為一組不共面的空間向量,

則以下向量組線性無關的是（）

A.%+a?,(Xy+%+%，%B.%,a2+a3,a2-a3

C.%,ax+a2,ax-a2D.ax+a2,ax-a2,a3

題型四：三角函數新定義

【典例4-11點M將一條線段AB分為兩段AM和MB,若4"=絲￡=必二1,則稱點加為線段AB的黃

ABMA2

金分割點.已知直線丫=。（-1＜。＜1）與函數y=sin（0x+。）的圖象相交，ARC為相鄰的三個交點，則（）

A.當。=0時，存在。使點3為線段AC的黃金分割點

B.對于給定的常數。，不存在a使點8為線段AC的黃金分割點

C.對于任意的。，存在。使點B為線段AC的黃金分割點

D.對于任意的。，存在。使點8為線段AC的黃金分割點

【典例4-2】古人把正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數、正割函數、余割函數、正矢函數、余矢函

數這八種三角函數的函數線合稱為八線.其中余切函數cotO=」，正割函數sec，=」，余割函數

esc6=---,正矢函數wsine=l-cos。，余矢函數vercose=l-sin6.如圖角。始邊為x軸的非負半軸，

sin。

其終邊與單位圓交點尸，A、8分別是單位圓與X軸和y軸正半軸的交點，過點尸作垂直X軸，作PN垂

直》軸，垂足分別為M、N,過點A作x軸的垂線，過點3作了軸的垂線分別交。的終邊于T、S,其中40、

PS、BS、N3為有向線段，下列表示正確的是（）

A.versinO=AMB.esc0=PS

C.cot3=BSD.sece=NB

【變式4?1】一般地，任意給定一個角awR,它的終邊OP與單位圓的交點P的坐標，無論是橫坐標1還是

縱坐標V,都是唯一確定的,所以點尸的橫坐標光、縱坐標》都是關于角。的函數.下面給出這些函數的定義：

①把點尸的縱坐標y叫作。的正弦函數，記作sina,即sina=y；

②把點尸的橫坐標x叫作。的余弦函數，記作cosa,即cosa=%；

③把點夕的縱坐標V的倒數叫作。的余割函數，記作csca,即csca=；

④把點P的橫坐標x的倒數叫作。的正割函數，記作seca,即seca=L

x

下列結論錯誤的是()

C.函數"%)=secx的定義域為{%|不。配,左EZ}

D.sec2+sin2or+esc2a+cos2a>5

【變式4-2】由倍角公式cos2%=2cos2%-1,可知cos2x可以表示為cos%的二次多項式，對于cos3x,我們

有cos3x=cos（2%+x）=cos2xcosx—sin2xsinx=X=4COS3X_3COSX可見

cos3x也可以表示為cosx的三次多項式.一般地，存在一個〃次多項式匕⑺，使得cosnx=《(cosx),這些

多項式只⑺稱為切比雪夫(PLTschebyschelf)多項式.(提示：18吆3=90。-1842)如圖，在等腰VABC中,

已知44C=54。，AB=AC,且VABC的外接圓半徑0C=l,結合上述知識，可得()

A.B.避匚C.縣1

224D?0

命題預測7

1.正割(secant)及余割(cosecant)這兩個概念是由伊朗數學家阿布爾?威發首先引入的.定義正割

seca=」一，余害!|csca=」一.己知機為正實數，且mcs/x+tan。215對任意的實數為卜力耳,此Z

costzsinor

均成立，則"7的最小值為()

A.1B.4C.8D.9

題型五：平面向量與解三角形新定義

UUL丁UUU1

【典例5-1】在平面直角坐標系xOy中，向量。4=a=(玉,=1=(%2，%)，若。,Z?不共線，記以。4,

08為鄰邊的平行四邊形的面積S(5,Z?)二|%為一元2%|.已知O"=m,ON=n,OP=p=A,m+/jn，

(4〃eRl+儲片。)，則定學萼包=()

'/S(m,n)

A."+〃|B.|加|C.|幾|+|〃|D.—~~,~;

口|+|〃|

【典例5-2】已知對任意平面向量A5=(x,y),把AB繞其起點沿逆時針方向旋轉。角得到向量

AP=(xcosysin0,xsm0+ycos8),叫做把點B繞點A沿逆時針方向旋轉0角得到點尸.已知平面內點

4(1,2),B(1+V2,2-2A/2),把點B繞點A沿逆時針方向旋轉!■后得到點P,則尸的坐標為()

A.（0,-1）B.（2,5）C.（4,1）D.（3,-1）

【變式5-1]幾何定理：以任意三角形的三條邊為邊，向外構造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外

接圓圓心恰為另一個等邊三角形(稱為拿破侖三角形)的頂點.在VABC中，已知A=90。，AC=273,

BC=4A5,現以邊A3,BC,CA向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為。，E,F,則。E的長為

()

A.472B.2幣C.3有D.2小

【變式5-2】克羅狄斯?托勒密(約90-168年)是希臘著名的數學家、天文學家和地理學家.托勒密定理是

歐幾里得幾何中的重要定理，定理內容如下：任意一凸四邊形，兩組對邊乘積的和不小于兩對角線的乘積，

—2兀

當且僅當四點共圓時，等號成立.已知在凸四邊形ABCD中，AB=2,BC=6,AD=2CD,ZADC=^~,

則30的最大值為()

A.5B.3A/2C.2y/6D.2百

(命題預測:]

1.已知對任意平面向量A5=(x,y),把AB繞其起點沿逆時針方向旋轉。角得到向量

AP=(xcose-ysin6,尤sinS+ycosg),叫做點8繞點A沿逆時針方向旋轉6角得到點P.已知平面內點A(0,D,

點8(0,1-2正)，把點3繞點A沿順時針方向旋轉*后得到點尸，則點尸的坐標為()

A.(—3,—1)B.(—3,0)C.(―1,—2)D.(―1,—3)

題型六：數列新定義

【典例6-1】斐波那契數列又稱為黃金分割數列，在現代物理、化學等領域都有應用，斐波那契數列｛q｝滿

足%=%=1,4,=*+*(n>3,weN*).給出下列四個結論：

①存在meN*,使得與，am+l,。,"+2成等差數列；

②存在〃zeN*,使得金，am+l,冊+2成等比數列；

③存在常數使得對任意“eN*,都有。“，口“+2，0+4成等差數列；

④不存在正整數"4,…，)，且<3使得4+42+=2023.

其中所有正確結論的序號是.

m1+Q

【典例6-2］設數列｛%｝和他,｝的項數均為機，稱?>廠制為數列｛4｝和也｝的距離.記滿足。用=廣的

所有數列｛%｝構成的集合為C.已知數歹！J｛4｝和｛凡｝為集合C中的兩個元素，項數均為"2,給出下列四個

結論：

①數列1,3,5,7和數歹1J2,4,6,8的距離為4

②若m=4p(peN*),則=瓦色…乩

③若功=4)(pwN*),則￡1A.\<m

Z=1

④若A=2中=3,數列｛4｝和｛4,｝的距離不超過2025,則m的最大值為3470.

其中，所有正確結論的序號是

【變式6-1］對于給定的數列也｝,如果存在實數0、q,使得%=/%“+"對任意〃eN*成立，我們稱數列

｛%｝是“線性數列”，數列｛1｝滿足G=l，q,M=g+d(，7eN*),則給出下列四個結論：

①等差數列是“線性數列”；

②等比數列是“線性數列”；

③若也｝是等差數列，則｛%｝是“線性數列”；

④若也｝是等比數列,則｛%｝是“線性數列”.

其中正確的結論是.

【變式6-2】在一組互不相同的有序數組｛1,%，/，4｝(〃22,〃eN*)中定義：在4aLI,2,3,㈤的右邊比

其大的數的個數稱為由的“順序數”，在4的右邊比其小的數的個數稱為的“逆序數”.我們把有序數組

｛%,%,%,??｝的所有元素的“順序數”與“逆序數”之和記為Tn.

①有序數組｛2,4,1,3,5｝的所有元素的“順序數”與“逆序數”之和4=.

命題預測T

1.在數列{%}中，若存在兩個連續的三項處,ai+\，ai+2與"j，勺+1，aj+2相同（，*/）,則稱{%}是“3階可

重復數列已知給定項數為機（〃?eN,〃止4）的數歹!j{%},其中a”{0,1}"=1,2,⑷）一定是“3階可重復

數列”，則機的最小值是—.

題型七：圓錐曲線新定義

【典例7-1】阿基米德的“平衡法”體現了近代積分法的基本思想，他用平衡法求得拋物線弓形（拋物線與其

弦AB所在直線圍成的圖形）面積等于此弓形的內接三角形（內接三角形A3C的頂點C在拋物線上，且在

43

過弦A3的中點與拋物線對稱軸平行或重合的直線上）面積的I.現已知直線>=-尤+萬°與拋物線E：

丁=2川（0>0）交于4,8兩點，且A為第一象限的點，E在A處的切線為/,線段A3的中點為O,直線

DC〃彳軸所在的直線交E于點C,下列說法錯誤的是（）

A.若拋物線弓形面積為8,則其內接三角形的面積為6

B.切線/的方程為2x-2y+0=O

C.若4"，％=S"BC（〃eN*）,則弦AB對應的拋物線弓形面積大于4+4+…+4,-1+g4（心2）

D.若分別取AC,BC的中點匕匕，過匕匕且垂直y軸的直線分別交E于G，貝U

q_i_-J_q

口△4CG°^BCC2_4AABC

mn

【典例7?2】曲線C：x+y=lf其中相，〃均為正數，則下列命題鎮送的是（）

A.當機=3,〃=1時，曲線。關于（。,1）中心對稱

B.當機=:，〃=:時，曲線C是軸對稱圖形

C.當加=4,〃=2時，曲線C所圍成的面積小于兀

D.當m=3,〃=2時，曲線C上的點與（0,0）距離的最小值等于1

【變式7-1］定義：若直線/將多邊形分為兩部分，且使得多邊形在/兩側的頂點到直線/的距離之和相等，

22

則稱/為多邊形的一條“等線”.已知雙曲線C:5-斗=1（a,6為常數）和其左右焦點￡,月，尸為C上的

ab

一動點，過P作C的切線分別交兩條漸近線于點A,B,已知四邊形8與三角形尸耳工有相同的“等線”

I.則對于下列四個結論：

①網=附；

②等線/必過多邊形的重心；

③/始終與與-縛=1相切；

ab

④/的斜率為定值且與a,b有關.

其中所有正確結論的編號是（）

A.①②B.①④C.②③④D.①②③

【變式7-2］（多選題）已知點尸到點（1,0）的距離與點尸到y軸的距離的差為定值機，記動點尸的軌跡為曲

線C,則（）

A.當相=1時，C由拋物線和x軸的負半軸構成

B.當機＞1時，C關于原點中心對稱

C.當機＞1時，C為軸對稱圖形

D.當機＜-1時，C是由兩部分拋物線構成的封閉圖形

命題預測

二-1一.--一二-"「-二一~二一二一--二

1.（多選題）我們把形如士R*）的曲線叫作拉梅曲線該曲線是法國數學家加布里埃爾?

a

拉梅在研究圓錐曲線方程時進行拓展而得的.下列說法正確的是（）

nIin

A.若〃=1,則拉梅曲線'+2=1圍成的封閉區域的面積為4"

a\b\

B.若〃=:，則拉梅曲線二"+2'=1圍成的封閉區域的面積小于（4-兀）/

2aa

C.若拉梅曲線2+2=1與曲線回|=1恰有4個公共點，貝打=1嗎2

aa

D.若尸小,%）為拉梅曲線2'+|斗=1上第一象限內一點，則員為「4也

a\b\4

題型八：概率與統計新定義

【典例8-1］（多選題）為了估計一批產品的不合格品率P,現從這批產品中隨機抽取一個樣本容量為〃的

樣本九2芻，"，"，定乂。=<由切入+4，，=1,2,…于是P（《=1）=P,P（.^i=0）=1—p,z=1,2,,n,記

[0,弟z次口格

Z（p）=P&=為,<2=無2,■4=為）（其中匕=0或1,，=1,2,,〃），稱上（p）表示。為參數的似然函數.極大似然

估計法是建立在極大似然原理基礎上的一個統計方法，極大似然原理的直觀想法是：一個隨機試驗如有若

干個可能的結果4B,C,若在一次試驗中，結果A出現，則一般認為試驗條件對A出現有利，也即

A出現的概率很大.極大似然估計是一種用給定觀察數據來評估模型參數的統計方法，即“模型已定，參數

未知”，通過若干次試驗，觀察其結果，利用試驗結果得到某個參數值能夠使樣本出現的概率為最大.根據

以上原理，下面說法正確的是（）

A.有外形完全相同的兩個箱子，甲箱有99個白球1個黑球，乙箱有1個白球99個黑球.今隨機地抽

取一箱，再從取出的一箱中抽取一球，結果取得白球，那么該球一定是從甲箱子中抽出的

B.一個池塘里面有鯉魚和草魚，打撈了100條魚，其中鯉魚80條，草魚20條，那么推測鯉魚和草魚

的比例為4:1時，出現80條鯉魚、20條草魚的概率是最大的

C次為a-次年

'L（P）=PM（1-p）M（%=0或覃=12,"）

D.Z（P）達到極大值時，參數P的極大似然估計值為工1>,

?I

【典例8-2】條件概率與條件期望是現代概率體系中的重要概念，近年來，條件概率和條件期望已被廣泛的

應用到日常生產生活中.定義：設x,y是離散型隨機變量，則X在給定事件y=y條件下的期望為

nnp（x=xy=V）

E（X\Y=y）=P（x=尤,y=y）=/°,二、",其中｛4左｝為X的所有可能取值集合,

Z=1Z=1

P（x=x,y=y）表示事件“X=龍”與事件“y=y”都發生的概率.某商場進行促銷活動,凡在該商場每消費500

元，可有2次抽獎機會，每次獲獎的概率均為某人在該商場消費了1000元，共獲得4次抽獎

機會.設J表示第一次抽中獎品時的抽取次數，〃表示第二次抽中獎品時的抽取次數.則E⑶1=4）=.

【變式8-1]在“維空間中（"22,neN）,以單位長度為邊長的“立方體”的頂點坐標可表示為"維坐標

（%,%,、%）,其中4€｛0,1｝（1口<”,於2.則5維“立方體”的頂點個數是；定義：在〃維空間中兩點

（%,%,一,%）與（偽也，也）的曼哈頓距離為4|+包-偽|++\an-bn\.^E5維“立方體”的頂點中任取兩

個不同的頂點，記隨機變量X為所取兩點間的曼哈頓距離，則E（X）=.

【變式8-2】馬爾科夫鏈是機器學習和人工智能的基石，其數學定義為:假設序列狀態是…，

X“XT，X”X,+”...，那么XE時刻的狀態的條件概率僅依賴前一狀態X,,即

P（X,」…,X,_2，X,T，X）=P（X,+1|X）.著名的賭徒模型就應用了馬爾科夫鏈：假如一名賭徒進入賭場參與一

個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率都為50%,每局賭贏可以贏得1金幣，賭輸就要輸掉1金幣.賭徒自以

為理智地決定，遇到如下兩種情況就會結束賭博游戲：一是輸光了手中金幣;二是手中金幣達到預期的1000

金幣，出現這兩種情況賭徒都會停止賭博.記賭徒的本金為70金幣，求賭徒輸光所有金幣的概率.

命題預測

1.產品抽樣檢查中經常遇到一類實際問題，假定在N件產品中有M件不合格品，在產品中隨機抽"件做檢

查，發現左件不合格品的概率為P（x=k）=1^,z：=rj+1,…,S,其中S是M與〃中的較小者，t在“不

CN

大于合格品數（即"WN-”）時取0,否則f取”與合格品數之差，即/=〃-（"-"）.根據以上定義及分布

列性質，請計算當N=16,M=8時，C；C；+C；C；+C；C"C；C；+C；C；=—；若N=2〃,M=n,請計算

cc+cc+cc：++c：-2c；ri+cric：=—.（用組合數表示）

重難點突破：高等數學背景下新定義

【典例9-1】（多選題）群的概念由法國天才數學家伽羅瓦（1811-1832）在19世紀30年代開創，群論雖起

源于對代數多項式方程的研究，但在量子力學、晶體結構學等其他學科中也有十分廣泛的應用.設G是一個非

空集合，“"是一個適用于G中元素的運算，若同時滿足以下四個條件，則稱G對"”構成一個群：（1）封

閉性，即若a/eG,則存在唯一確定的ceG,使得c=a6；（2）結合律成立，即對G中任意元素a1,c都

有（ab）c=a（bc）；（3）單位元存在，即存在eeG,對任意aeG,滿足。e=ea=a,則e稱為單位

元；（4）逆元存在，即任意aeG,存在6eG,使得。b=ba=e,則稱。與6互為逆元，b記作“土一般

地，aA可簡記作必。。可簡記作.。可簡記作力,以此類推.正八邊形ABCDEFG〃的中心為。.以e

7T

表示恒等變換，即不對正八邊形作任何變換；以「表示以點。為中心，將正八邊形逆時針旋轉二的旋轉變換；

以，〃表示以Q4所在直線為軸，將正八邊形進行軸對稱變換.定義運算“”表示復合變換，即/g表示將正

八邊形先進行g變換再進行了變換的變換.以形如"源（p,qeN,并規定r°="?°=e）的變換為元素，可組成

集合G,則G對運算“”可構成群，稱之為“正八邊形的對稱變換群”，記作鼻.則以下關于A及其元素的說

法中，正確的有（）

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