專題21概率與統計常考小題歸類

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

02知識導圖?思維引航............................................................3

03知識梳理?方法技巧............................................................4

04真題研析?精準預測............................................................5

05核心精講?題型突破...........................................................14

題型一：抽樣方法與隨機數表14

題型二：統計圖表及其數字特征15

題型三：傳統線性擬合18

題型四：非線性擬合處理20

題型五：傳統獨立性檢驗22

題型六：創新類定義統計25

題型七：正態分布28

題型八：超幾何分布與二項分布30

題型九：隨機變量的分布列、期望、方差32

題型十：古典概型36

題型十一：條件概率與全概率39

題型十二：概統結合問題41

題型十三：新賽制概率問題43

重難點突破：遞推型概率命題46

差情;奏汨?日標旦祐

概率統計小題乃歷年高考必考項目，主要涵蓋三大方面：一是解析統計圖表、計算方差及平均數，這

類題目通常要求考生能夠準確理解并應用統計知識，對數據的處理能力有一定要求；二是求解古典概型問

題，這要求考生掌握古典概型的定義及計算方法，能夠準確判斷事件的等可能性，并據此求解概率；三是

涉及相互獨立事件及其概率乘法公式的應用，這部分內容要求考生理解獨立事件的概念，掌握概率乘法公

式的使用方法，并能夠靈活應用于實際問題中。

此類題目多以選擇、填空的形式出現，難度適中，旨在檢驗考生對概率統計基礎知識的掌握程度及實

際應用能力。

考點要求目標要求考題統計考情分析

2024年II卷第4題，5分

掌握統計圖表分2023年上海卷第14題，4分

統計圖表、方差、平均

析，理解方差平均2022年甲卷第2題，5分

數、中位數

數中位數2021年甲卷第2題，5分

2021年I卷第9題，5分

預測2025年高考，概

2024年I卷第14題，5分

率統計內容或將頻繁以小

2024年甲卷第16題，5分

理解古典概型定題面貌亮相，亦可能巧妙

2023年乙卷第9題，5分

古典概型義，掌握概率計算融入解答題中，呈現相對

2023年甲卷第4題，5分

方法

2022年I卷第5題，5分獨立性。其中：（1）選擇

2022年甲卷第6題，5分題或填空題將側重于檢驗

邏輯推理與數學運算能

相互獨立事件和相互理解獨立事件概

2022年乙卷第10題，5分

獨立事件的概率乘法念，掌握概率乘法力；（2）古典概型題目將

2021年天津卷第14題，5分

公式公式成為熱門考點，備受矚目。

掌握回歸方程應2024年I卷第9題，6分

回歸方程、正態分布用，理解正態分布2023年天津卷第7題，5分

特性2021年II卷第5題，5分

寓2

知識導圖?思維引航

抽柱調查

簡單隨機抽任

分層抽住

頻率分布直方圖

百分位數

株本的數字特征

兩個變量的或性相關

回歸分析與回歸方程

殘差分析

獨立性檢驗

隨機事件的概率

頻率與概率的關系

事件的關系與運算

概率的基本性質

古典概型

相互獨立事件

條件概率

相互獨立事件與條件盛率、

全概率與貝葉斯公式

全概率公式

概率貝葉斯公式

隨機變量的有關慨念

隨機變量的分布列、均值與

離散型隨機變量分布列

方差

離散型隨機變量的均值與

方差

兩點分布

二項分布

兩點分布、二項分布、超幾

何分布與正態分布

超幾何分布

正奇分布

牛nt口偏孑里?二注怙工虧

1、加強識圖能力，理解并記準頻率分布直方圖與眾數、中位數及平均數的關系；折線圖注意上升趨勢

以及波動性；扇形圖數據可先用表格列出，再計算、判斷.

頻率篝=頻率，

2、在頻率分布直方圖中，注意小矩形的高=，小矩形的面積=組距X所有小矩形的

面積之和為1.

3、求回歸方程

（1）根據散點圖判斷兩變量是否線性相關，如不是，應通過換元構造線性相關.

（2）利用公式，求出回歸系數，.

（3）待定系數法：利用回歸直線過樣本點的中心求系數”?

4、回歸方程的擬合效果，可以利用相關系數判斷，當卜|越趨近于1時，兩變量的線性相關性越強.

5、比較幾個分類變量有關聯的可能性大小的方法

（1）通過計算K?的大小判斷：K?越大，兩變量有關聯的可能性越大.

（2）通過計算kd-用的大小判斷：卜〃-6d越大，兩變量有關聯的可能性越大.

6、獨立性檢驗的一般步驟

（1）根據樣本數據制成2x2列聯表.

n（ad-bc\

（2）根據公式K?=7_1-------------，計算K?的觀測值公.

\a+b\（a+c）（6+d）（c+d）

（3）比較上與臨界值的大小關系，進行統計推斷.

7、概率分布與不同知識背景結合考查對實際問題的解決能力

（1）與數列結合的實際問題

（2）與函數導數結合的實際問題

（3）與分段函數求最值、解不等式結合的實際問題

（4）與統計結合的實際問題

（5）與其他背景結合的實際問題

0

心真題砒標?精御皿\\

1.（2024年高考全國甲卷數學（文）真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排

尾的概率是（）

2

D.

【答案】B

【解析】解法一:畫出樹狀圖，如圖,

丙丁乙丁乙丙丙丁甲丁甲丙

丁丙丁乙丙乙丁丙丁甲丙甲

乙丁甲丁甲乙乙丙甲丙甲乙

丁乙丁甲乙甲丙乙丙甲乙甲

由樹狀圖可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24種排法，

其中丙不在排頭，且甲或乙在排尾的排法共有8種，

Q1

故所求概率2=五=].

解法二：當甲排在排尾，乙排第一位，丙有2種排法，丁就1種，共2種；

當甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1種排法，丁就1種，共2種；

于是甲排在排尾共4種方法，同理乙排在排尾共4種方法，于是共8種排法符合題意;

基本事件總數顯然是A：=24,

Q1

根據古典概型的計算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為2=3.

故選：B

2.（2024年天津高考數學真題）下列圖中，線性相關性系數最大的是（）

【解析】觀察4幅圖可知，A圖散點分布比較集中，且大體接近某一條直線，線性回歸模型擬合效果比較

好，呈現明顯的正相關，卜|值相比于其他3圖更接近1.

故選：A

3.（2024年新課標全國II卷數學真題）某農業研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得

到各塊稻田的畝產量（單位：kg）并整理如下表

畝產

[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)

量

頻數61218302410

根據表中數據，下列結論中正確的是（）

A.100塊稻田畝產量的中位數小于1050kg

B.100塊稻田中畝產量低于1100kg的稻田所占比例超過80%

C.100塊稻田畝產量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產量的平均值介于900kg至1000kg之間

【答案】C

【解析】對于A,根據頻數分布表可知，6+12+18=36<50,

所以畝產量的中位數不小于1050kg,故A錯誤；

對于B,畝產量不低于1100kg的頻數為24+10=34,

所以低于1100kg的稻田占比為氣100六-34=66%,故B錯誤；

對于C,稻田畝產量的極差最大為1200-900=300,最小為1150-950=200,故C正確;

對于D,由頻數分布表可得，平均值為

—x(6x925+12x975+18xl025+30xl075+24xll25+10xll75)=1067,故D錯誤.

故選；C.

4.(2024年高考全國甲卷數學(理)真題)有6個相同的球，分別標有數字1、2、3、4、5、6,從中無放

回地隨機取3次，每次取1個球.記機為前兩次取出的球上數字的平均值，”為取出的三個球上數字的平均

值，則機與?之差的絕對值不大于1的概率為.

【答案】看7

【解析】從6個不同的球中不放回地抽取3次，共有A：=120種，

設前兩個球的號碼為“力，第三個球的號碼為則”*一誓wg,

故|2c-(a+6)|W3,故-3V2c-(“+6)V3,

^La+b-3<2c<a+b+3,

若c=l,則0+H5,則(。,。)為:(2,3),(3,2),故有2種,

若c=2,則l(a+*7,則(。⑼為:(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),

(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3),故有10種,

當c=3,則3Va+6V9,則(a,6)為：

(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5),

(2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,4),

故有16種,

當c=4,則5Wa+/?〈ll,同理有16種，

當c=5,則7Wa+bV13,同理有10種，

當c=6,則9Va+6415,同理有2種,

共加與"的差的絕對值不超過;時不同的抽取方法總數為2(2+10+16)=56,

故所求概率為言=《.

,,7

故答案為：—

5.(2024年天津高考數學真題)某校組織學生參加農業實踐活動，期間安排了勞動技能比賽，比賽共5個

項目，分別為整地做畦、旱田播種、作物移栽、田間灌溉、藤架搭建，規定每人參加其中3個項目.假設每

人參加每個項目的可能性相同，則甲同學參加“整地做畦”項目的概率為；已知乙同學參加的3個項目

中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項目的概率為.

【答案】7I

【解析】解法一：列舉法

給這5個項目分別編號為A,B,C,D,E,F，從五個活動中選三個的情況有：

ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10種情況，

其中甲選到A有6種可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

則甲參加“整地做畦”的概率為：P=4=|；

乙選A活動有6種可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

其中再選擇。有3種可能性：ABD,ACD,ADE,

31

故乙參加的3個項目中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項目的概率為二=工.

解法二：

設甲、乙選到A為事件乙選到O為事件N,

則甲選到A的概率為尸（M）=|^=|；

P(MN)Cl1

乙選了A活動，他再選擇。活動的概率為尸（N|M）=

山田6d31

故答案為：-;y

6.（2024年新課標全國I卷數學真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上

分別標有數字1，3,5,7,乙的卡片上分別標有數字2,4,6,8,兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩

人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人

得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得

分不小于2的概率為.

【答案】1/0.5

【解析】設甲在四輪游戲中的得分分別為X”X2，X3，X4,四輪的總得分為X.

對于任意一輪，甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌組合有六種，從而甲在

該輪得分的概率尸（X*=1）=￡=g,所以E（XJ==1,2,3,4）.

從而E（X）=E（X+X2+X3+X4）=￡E（Xj=Zd=亍

1己0=p(乂=%)(左=0,1,2,3).

11

如果甲得。分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分別對應乙出2,4,6,8,所以Po=Q=五；

11

如果甲得3分，則組合方式也是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分別對應乙出8,2,4,6,所以，3=爐=五?

3

而X的所有可能取值是0,1,2,3,故P0+P1+P2+P3=1，Pi+2P2+3〃3=^（X）=].

所以Pl+P2+±=1，P1+2P2+：=|''兩式相減即得夕2+==；,故P2+P3=4.

12o224Zz

所以甲的總得分不小于2的概率為0+。3=；?

故答案為：■

7.（2023年天津高考數學真題）把若干個黑球和白球（這些球除顏色外無其它差異）放進三個空箱子中，

三個箱子中的球數之比為5:4:6.且其中的黑球比例依次為40%,25%,50%.若從每個箱子中各隨機摸出一

球，則三個球都是黑球的概率為；若把所有球放在一起，隨機摸出一球，則該球是白球的概率

為.

3

【答案】0.05-/0.6

【解析】設甲、乙、丙三個盒子中的球的個數分別為5”,4",6",所以總數為15〃，

所以甲盒中黑球個數為40%x5?=2n,白球個數為3n；

乙盒中黑球個數為25%X4M=〃，白球個數為3〃；

丙盒中黑球個數為50%x6〃=3”，白球個數為3〃；

記“從三個盒子中各取一個球，取到的球都是黑球”為事件A,所以，

P（A）=0.4x0.25x0.5=0.05；

記“將三個盒子混合后取出一個球，是白球”為事件8,

黑球總共有2〃+〃+3九=6〃個，白球共有9〃個，

所以，尸（2）=鴻=±

3

故答案為：0.05；

8.（2023年高考全國乙卷數學（理）真題）設。為平面坐標系的坐標原點，在區域｛（%,）|14/+；/44｝內

隨機取一點，記該點為4則直線OA的傾斜角不大于J的概率為（）

4

A.—B.—C.-D.—■

8642

【答案】C

【解析】因為區域｛（Q）114/+/w4｝表示以0（0,0）圓心，外圓半徑R=2,內圓半徑廠=1的圓環，

則直線04的傾斜角不大設的部分如陰影所示，在第一象限部分對應的圓心角4。N胃

3無、!

結合對稱性可得所求概率p_4_1.

Jr-

3兀4

9.（2023年天津高考數學真題）鶯是鷹科的一種鳥，《詩經?大雅?旱麓》日：“鶯飛戾天，魚躍余淵”.鶯尾花

因花瓣形如鶯尾而得名，寓意鵬程萬里、前途無量.通過隨機抽樣，收集了若干朵某品種鶯尾花的花萼長度

和花瓣長度（單位：cm）,繪制散點圖如圖所示，計算得樣本相關系數為，=0.8642,利用最小二乘法求得

相應的經驗回歸方程為y=0.7501x+0.6105，根據以上信息，如下判斷正確的為（）

72

花6.8

瓣6.4

長6.0

度5.6

52

4.8

4.4

4.85.25.66.06.46.8727.6

花萼長度

A.花瓣長度和花萼長度不存在相關關系

B.花瓣長度和花萼長度負相關

C.花萼長度為7cm的該品種鶯尾花的花瓣長度的平均值為5.8612cm

D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關系數一定是0.8642

【答案】C

【解析】根據散點的集中程度可知，花瓣長度和花萼長度有相關性，A選項錯誤

散點的分布是從左下到右上，從而花瓣長度和花萼長度呈現正相關性，B選項錯誤，

把x=7代入y=0.750lx+0.6105可得y=5.8612cm,C選項正確；

由于r=0.8642是全部數據的相關系數，取出來一部分數據，相關性可能變強，可能變弱，即取出的數據的

相關系數不一定是0.8642,D選項錯誤

故選：C

10.（2023年新課標全國H卷數學真題）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽

樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和

200名學生，則不同的抽樣結果共有（）.

A.CQC器種B.種

c.C：3c2種D.C：：°.C機種

【答案】D

【解析】根據分層抽樣的定義知初中部共抽取60x典=40人，高中部共抽取60x紗=20,

600600

根據組合公式和分步計數原理則不同的抽樣結果共有C黯C募種.

故選：D.

11.（多選題）（2024年新課標全國I卷數學真題）隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區多措并

舉推動茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區抽取樣本，得到推動出口后

畝收入的樣本均值于=2]，樣本方差d=0.01，已知該種植區以往的畝收入X服從正態分布N（1.8,0.12）,

假設推動出口后的畝收入y服從正態分布NG，s?）,則（）（若隨機變量Z服從正態分布4）,

P（Z<M+CT）B0.8413）

A.P（X>2）>0.2B.P（X>2）<0.5

C.P[Y>2）>0.5D.P（r>2）<0.8

【答案】BC

【解析】依題可知，x=2.1,？=0.01,所以y~N（2.1,0.12）,

^P（y>2）=P（r>2.1-0.1）=P（r<2.1+0.1）?0.8413>0.5,C正確，D錯誤；

因為X~（1.8,0.12）,所以P（X>2）=尸（X>L8+2xQl）,

因為尸（X<1.8+0」卜0.8413,所以P（X>1.8+0」卜1—0.8413=0.1587<0.2,

而尸（X>2）=尸（X>L8+2x0.1）〈尸（X>1.8+0.1）<0.2,B正確，A錯誤，

故選：BC.

12.（多選題）（2023年新課標全國I卷數學真題）有一組樣本數據占,…其中玉是最小值，%是最

大值，則（）

A.%，工3，匕，工5的平均數等于4々，…，%的平均數

B.x2,x3,x4,x5的中位數等于再,馬,…％的中位數

C.工2，X3，匕,三的標準差不小于網，了2,…，毛的標準差

D.%，后，匕，工5的極差不大于占，々,…的極差

【答案】BD

【解析】對于選項A:設/，三，匕，尤5的平均數為優，玉，尤2,…，尤6的平均數為〃，

ygX]+&+X3+%4+*5+*6/+$+*4+*52（&+%）-（尤5+*2+W+'4）

—64-12

因為沒有確定2（占+%）,/+%+&+4的大小關系，所以無法判斷相，”的大小，

例如：1,2,3,4,5,6,可得〃?="=3.5；

例如1,1,1,1,1,7,可得相=1,〃=2；

例如1,2,2,2,2,2,可得加=2,九=口；故A錯誤；

6

對于選項B：不妨設玉4毛44，

可知％,w,匕，三的中位數等于玉，/，…，%的中位數均為石產，故B正確；

對于選項C：因為X1是最小值，尤6是最大值，

則%,三，8，%的波動性不大于玉，尤2,…,毛的波動性，即工2，三,X4，無5的標準差不大于占，尤2,…，%的標準差，

例如：2,4,6,8,10,12,則平均數〃=工（2+4+6+8+10+12）=7,

6

標準差心=^1[（2-7）2+（4-7）2+（6-7）2+（8-7）2+（10-7）2+（12-7）2]=,

4,6,8,10,則平均數根=；（4+6+8+10）=7,

標準差s2=g[（4-7『+（6-7）,（8一7『+（10一7月=逐,

顯然叵＞若，即與＞S2；故c錯誤；

3

對于選項D：不妨設西〈尤2〈尤34匕三三4飛，

則％一國N尤5-馬，當且僅當玉=尤2，工5=尤6時，等號成立，故D正確；

故選：BD.

13.（多選題）（2023年新課標全國H卷數學真題）在信道內傳輸0,1信號，信號的傳輸相互獨立.發送0

時，收到1的概率為0（0＜戊＜1）,收到0的概率為1-e；發送1時，收到0的概率為〃（0＜/＜1）,收至IJ1

的概率為l-p.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發送1次，三次傳輸是

指每個信號重復發送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三

次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1).

A.采用單次傳輸方案，若依次發送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-。)(1-￡)2

B.采用三次傳輸方案，若發送1,則依次收到1,0,1的概率為4(1-A)?

C.采用三次傳輸方案，若發送1,則譯碼為1的概率為6(1-02+(1-尸)3

D.當0<夕<0.5時，若發送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的

概率

【答案】ABD

【解析】對于A,依次發送1,0,1,則依次收到1,0,1的事件是發送1接收1、發送0接收0、發送1

接收1的3個事件的積，

它們相互獨立，所以所求概率為(1一￡)(1一a)(l-￡)=(1一①(1一A正確；

對于B,三次傳輸，發送1,相當于依次發送1,1,1,則依次收到1,0,1的事件，

是發送1接收1、發送1接收0、發送1接收1的3個事件的積，

它們相互獨立，所以所求概率為(1一￡)川?(1一￡)=￡(1-月)2,B正確；

對于C,三次傳輸，發送1,則譯碼為1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和1,1,1的事件

和，

它們互斥，由選項B知，所以所求的概率為C/(l-尸)2+(1-03=(1-02(1+20,c錯誤；

對于D,由選項C知，三次傳輸，發送0,則譯碼為0的概率尸=(1-⑨2(l+2a),

單次傳輸發送0,則譯碼為0的概率P=1-a,而0</<0.5,

因止匕P-P=(l-a)2(l+2a)-(l-a)=c(l-a)(l-2a)>0,即P>P,D正確.

故選：ABD

㈤5

孩心精說，題型突破

題型一：抽樣方法與隨機數表

【典例1-1】某廠質檢員利用隨機數表對生產的600個產品進行抽樣調查，先將這600個產品進行編號：001,

002,003,600.從中抽取120個樣本，下圖是隨機數表的第2行到第3行，若從隨機數表的第2行第

5列開始從左向右讀取數據，則得到的第5個編號是（）

3212671231023702147231098147802513254608

7120345119720138471804925128023127465130

A.098B.147C.513D.310

【答案】C

【解析】由題意可知得到的編號依次為231,023,147,098,513,則得到的第5個編號是513.

故選：C.

【典例1-2】非物質文化遺產是文化多樣性中最富活力的重要組成部分，是人類文明的結晶和最寶貴的共同

財富.某校為了解學生對當地非遺文化“川劇”的了解程度，現從高中部抽取部分學生進行調查，已知該校高

一、高二、高三年級學生人數之比為4:3:2,若利用分層隨機抽樣的方法抽取36人進行調查，則抽取到的

高一年級學生人數比高三多（）

A.16人B.12人C.8人D.4人

【答案】C

4

【解析】由題意，采用分層抽樣的方法，應從高一年級抽取36"°.=16人,

4+3+2

2

從高三年級抽取36x丁丁二=8人，則抽取到的高一年級學生人數比高三多16-8=8人.

故選：C

【變式1-1］國內某優秀新能源電池制造企業在鋰電池單位能量密度技術上取得了重大突破，該制造企業內

的某車間有兩條生產線，分別生產高能量密度鋰電池和低能量密度鋰電池，總產量為400個鋰電池.質檢

人員采用分層隨機抽樣的方法隨機抽取了一個容量為80的樣本進行質量檢測，已知樣本中高能量密度鋰電

池有35個，則估計低能量密度鋰電池的總產量為（）.

A.325個B.300個C.225個D.175個

【答案】C

【解析】根據分層隨機抽樣可知低能量密度鋰電池的產量為400X笠*=225（個）.

80

故選：C

命題預測7

1.從一個含有N個個體的總體中抽取一容量為〃的樣本，當選取抽簽法、隨機數法和分層隨機抽樣三種不

同方法時，總體中每個個體被抽中的概率分別為回，必，03,三者關系可能是（）

A.Pl=P2Vp3B.Pi=p2=PiC.Pl=P3Vp2D.P2=P3<A

【答案】B

【解析】因為在抽簽法抽樣、隨機數法抽樣和分層隨機抽樣中，每個個體被抽中的概率均為二，

所以P1=P2=P3-

故選：B.

題型二：統計圖表及其數字特征

【典例2-1】豆瓣評分是將用戶評價的一到五星轉化為0-10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此

類推），以得分總和除以評分的用戶人數所得的數字，國慶愛國影片《長津湖》豆瓣得分是7.4分，截止至2021

年10月24日，共計有437181人參與評分，豆瓣評分表如圖.根據貓眼實時數據，該片的票房為53.1億元,

按照平均票價50元來計算，大約有1億人次觀看了此片，假如參與評分觀眾中有97.6%的評價不低于二星,

則下列說法錯誤的是（）

437181人評分

A.機的值是32%

B.隨機抽取100名觀眾，則不一定有24人評價五星

Q

C.若以頻率當作概率，記事件A為“評價是一星”，事件3為“評價不高于二星”，則尸（冏力=5

D.若從已作評價的觀眾中隨機抽出3人，則事件“至多1人評價五星”與事件“恰有2人評價五星”是互斥

且不對立事件

【答案】C

【解析】對A選項，參與評價的觀眾中有97.6%的評價不低于二星，

貝［）24.0%+32.9%+7〃+8.7%=97.6%,所以m=32%,故A正確；

對B選項，隨機抽取100名觀眾，可能有100x24.0%=24人評價五星，但不是一定的，故B正確；

對C選項，因為AnB=A,貝產（引力=尢/=向=1,故C錯誤；

對D選項，根據互斥事件和對立事件的定義可知，

事件“至多1人評價五星”與事件“恰有2人評價五星”是互斥且不對立事件，故D正確.

故選：C.

【典例2-2】將某大型出版公司所有打字員每分鐘的平均打字數統計如下圖所示，則可以估計該公司打字員

每分鐘的平均打字數的中位數為（）

【答案】B

【解析】由圖可知，前三個矩形的面積依次為0.02,0.18,0.4,

0.5-(0.02+0.18)=0.3,

故所求中位數為300+80x絲=360.

0.4

故選：B

【變式已知甲、乙兩組數可分別用圖（1）、（2）表示，記甲、乙兩組數的平均數和方差分別為吊、耳、

A.xx>x2,s[>s1B.豆=&，s；vs；

C.看〈耳，D.\=x2,s；〉s；

【答案】B

3x10+6x20+6x30+3x404x（10+20+30+40）_

=25,x=---------------------------=25,

18216

故￡=元2，

s；=\[3（10-25）2+6（20-25）2+6（30-25）2+3（40-25）卜學，

2222

^=±X4X[（10-25）+（20-25）+（30-25）+（40-25）]=125,故S；>S：,

故選：B.

命題預測

1.某保險公司為客戶定制了5個險種：甲，一年期短期；乙，兩全保險；丙，理財類保險；丁，定期壽險；

戊，重大疾病保險.各種保險按相關約定進行參保與理賠.該保險公司對5個險種參保客戶進行抽樣調查，得

到如圖所示的統計圖表.則下列說法中一定錯誤的是（）

參保人數比例

不同年齡段人均參保費用

A.丁險種參保人數超過五成B.41歲以上參保人數超過總參保人數的五成

C.18—29周歲人群參保的總費用最少D.人均參保費用不超過5000元

【答案】B

【解析】對于A,由條形圖可知丁險種參保比例為1—0.3—0.1—0.02—0.04=0.54>0.5,

超過五成，故A正確；

對于B,由扇形圖可知，41歲以上參保人數占比：35%+10%=45%,故B錯誤；

對于C,由扇形圖與折線圖可知18—29周歲人群參保人數占比15%,

人均參保費用在（3000,4000）,而54歲及以上人群參保比例雖10%,

但人均參保費用在6000,所以18—29周歲人群參保的總費用最少，故C正確；

對于D,由扇形圖與折線圖可知，人均參保費用約

15%x4000+40%x4000+35%x5500+10%x6000=4725,

不超過5000元，故D正確.

故選：B

題型三：傳統線性擬合

【典例3-1】已知〃個點R（x,,y）（i=L2,3,…川大致呈線性分布，其中%=i,且數據&,%）的回歸直線方

程為y=2x-ll,則￡y的最小值為

1=1

【答案】-25

【解析】回歸直線y=2x-ll經過伍力，

「一

且1(1+ri)n1+n—二1-小A'

1?]+%

代入回歸方程得：-Z，-x2-11=W-10,

即fy=("_10)九=(〃一5)2—25,

i=l

所以當〃=5時，f%的最小值為-25.

Z=1

故答案為：-25.

【典例3-2】已知x和y之間的一組數據如右表;》與無線性相關，且回歸方程為夕=霖+。.25,優為x的方

差的0.6倍，則當x=8時，.

X0123

ymm+252m+3

【答案】16.25/下

4

【解析】由表格可得x的平均值8=盧曰=：=1.5,

42

貝IJ機=0.6x（。-1寸+（1-1寸+（2一13+（3一1寸二075,

4

士“一r/口、，Me?入/+-m+m+2+5+2m+34m+1013一

由表格可得y的平均值y=---------------------------=---=—=3.25,

444

將（1.5,3.25）代入回歸直線9=九+0.25,可得3.25=1.55+0.25,解得5=2,

貝1Jy=2x+0.25，當x=8,則B=2x8+0.25=16.25.

故答案為：16.25.

【變式3-1】商家項目投資的利潤產生是一個復雜的系統結果.它與項目落地國的商業環境，政府執政能力,

法律生態等都有重大的關聯.如表所示是某項目在中國和南亞某國投資額和相應利潤的統計表.

項目落地國中國南亞某國

投資額X（億元）10111213141011121314

利潤y（億元）11121416191213131415

請選擇平均利潤較高的落地國，用最小二乘法求出回歸直線方程為.參考數據和公式：

5

555￡（蒼-于）（y-歹）

^（x,.-x）2=10,中國E（x,-丁）（％-了）=20,南亞某國￡（x,「T）5-y）=7,b=-------