2025屆河南省開封市等三地高三二模數學試題

學校:姓名:班級：考號：

一、單選題

1.設復數z滿足(z-l)i=-l,則2=()

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

2.拋物線y=的準線方程為（)

4

A.y=lB.y=-l

C.x=—D.x=-----

1616

—.1—._.

3.在VA5C中，BD=-BC,設AB=a,AC=b,則()

A2rIf21一

A.—a+-bB.——a+—b

3333

41一_41一

C.-a——bD.—ciH—b

3333

4.已知臬是等比數列｛風｝的前〃項和，且S3T,S6=-7f則公比q=（）

A.—B.—C.—2D.2

22

5.設則avb的一個充分不必要條件是（）

A11

A.B.a92+b29>2ab

ab

C.eb-a>1D.ln（6-a）>0

6.已知正方體的內切球的體積為46兀，則該正方體的外接球的表面積為（）

A.12TIB.36TIC.9島D.126兀

7.將5名學生分配到3個社區當志愿者，每個社區至少分配1名學生，則不同的分配方法

種數是（）

A.24B.50C.72D.150

8.已知雙曲線C:=-1=l（a>0,b>0）,圓。經過直線x=±a,y=±b的四個交點，且圓

。與C在第一象限交于點尸，與x軸分別交于點瓦廠，貝心際的面積為（）

A.a2B.b2C.a2+b2D.a2-b2

二、多選題

9.已知集合4={無|一3<2》-1<3},=貝|（）

A.-UBB.2cBC.D.2eAC|8

10.如圖，彈簧掛著的小球做上下運動，它在時間f（單位：s）時相對于平衡位置的高度

（單位：cm）由關系式//⑺=2sin|\+?）確定，則下列說法正確的是（）

A.小球在開始振動（即r=0s）時在平衡位置上方0cm處

B.每秒鐘小球能往復振動2乃次

R

c.函數“?）的圖象關于直線/=芍7r對稱

7T1q兀

D.小球從/到/=^s時運動的路程是5cm

412

三、單選題

11.設xeR,[司表示不超過x的最大整數，例如：[一3.5]=7,[2.1]=2.若存在實數f,

使得口=1,[r]=2,…,p[=〃,〃eN*同時成立，則下列說法一定正確的是（）

「工口

A.若=則re+

L7

-1n

B.〃”,（”+]"c+,（〃+2）"+i

C.〃的最大值是4

D.〃的最大值是5

四、填空題

試卷第2頁，共4頁

12.已知cosa=1,則sin12a+.

22

13.已知經過橢圓C:二+與=1.>6>0)的左頂點和上頂點的弦的中點坐標為則C

ab

的離心率為.

14.已知直線y=f+6與函數y=lnx-2,y=產?的圖象分別交于A,8兩點，則|好|取最

小值時，b=,最小值為

五、解答題

15.某物業公司為提高對某小區的服務質量，隨機調查了該小區50名男業主和50名女業主,

每位業主對該物業公司的服務給出滿意或不滿意的評價，得到如下列聯表：

滿意不滿意

男業主4010

女業主3020

(1)依據。=0.05的獨立性檢驗，能否認為該小區男、女業主對該物業公司服務的評價有差

異？

(2)從該小區的業主中任選一人，A表示事件“選到的人對該物業公司的服務不滿意”，B表示

事件“選到的人為女業主”，利用該調查數據，給出P(叫A),P,固的估計值.

附：/=______"W-bc『_______

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.010.005

力a3.8416.6357.879

16.已知直線/:2了+2>+應=0與圓。:/+=1相交于A,3兩點，C為圓。上不同于A,

B的一點.記VABC的內角A,B,C的對邊分別為b,c

⑴求角C；

⑵若a+b=娓,求VABC的面積.

17.在四棱錐P—ABCD中，BC//AD,R4_LAD,平面PAB_L平面ABC。，ZR4D=120°,

且PA=AB=BC=—AD=2.

2

⑴求證：RI,平面ABC。；

(2)求直線依與平面PAD所成角的正弦值；

1r)y1

18.已知函數〃尤)=枇'一一---1,a>0.

⑴當4=2時，求/(X)在處的切線方程;

⑵若“X)有唯一的零點，求。的值.

19.設，為不小于3的正整數，項數為攻m的數列｛4｝是公差大于0的等差數列，若存

在項數為"的數列｛2｝同時滿足：

①數列抄“｝中任意兩項均不相同；

②任意正整數bi+bj從小到大排列恰好為數列｛q｝.

此時稱數列｛%｝是?-可拆分等差數列.

(1)寫出一個3-可拆分等差數列｛%｝及其對應的一個數列也“｝；

⑵若數列｛%｝是一個4-可拆分等差數列，A表示事件“數列也｝的前三項成等差數列"，求

事件A發生的概率P(A)；

(3)求所有滿足數列｛%｝是"-可拆分等差數列的正整數”的值.

試卷第4頁，共4頁

《2025屆河南省開封市等三地高三二模數學試題》參考答案

題號12345678910

答案AAACDBDBBCACD

題號11

答案C

1.A

【分析】根據復數除法運算求解即可.

【詳解】由(z—l)i=—l,可得z=l-；=l+i,

故選：A

2.A

【分析】將拋物線的方程化成標準形式，確定其焦點位置和焦準距，即可求得.

【詳解】由丫=-；/可得/=-分，拋物線的焦點在y軸的負半軸上，且。=2,

故其準線方程為＞=_|=1.

故選：A.

3.A

【分析】根據平面向量的加法和減法法則，計算可得答案.

【詳解】由而=;而，可得，

AD-AB=1(AC-AB),整理可得，

—.2―?1—?21一

AD=-AB+-AC=-a+-b.

3333

故選：A

4.C

【分析】根據/=專區，結合已知條件，直接計算即可.

3S-S.8c

【詳解】由題可知，S6—邑=-8,故/=弋6二=—彳二—8,故鄉=—2.

d31

故選：C.

5.D

【分析】利用充分性和必要性的定義逐項判斷即可.

【詳解】對于A,當〃=1力=-1時，滿足工但是不符合故!不是。＜6的

abab

答案第1頁，共10頁

一個充分條件，故A錯誤；

對于B,cT+b2>lab,即即。#6,所以"+/>2°6是a<6的必要不充分條

件，故B錯誤；

對于C,eb~a>1=e°?即6>a,故e"一">1是。<6的充要條件，故C錯誤；

對于D,In(b-a)>0,即6-。>1,6>a+l,故ln(6-a)>0是。<6的一個充分不必要條件，

故D正確.

故選：D

6.B

【分析】利用正方體的內切球、外接球的半徑與正方體邊長關系可求解.

【詳解】設正方體的邊長為。，

則正方體內切球的半徑為內切球的體積等于=4岳，解得“=26，

所以正方體的體對角線等于氐=6,

所以正方體外接球的半徑等于=3,則外接球的表面積等于471x3?=36兀，

故選:B.

7.D

【分析】考慮分組為1、1、3和1、2、2兩種情況，分別討論即可得到答案.

【詳解】可以分組為1、1、3,或1、2、2兩種情況，

若分組為1、1、3,則有2C；C；=60；

若分組為1、2、2,則有C；C；C；=90；

則不同分法為60+90=150種.

故選：D

8.B

【分析】根據題意判斷圓心位置，求得半徑，判斷點瓦廠即雙曲線的左右兩焦點，利用雙

曲線的定義與勾股定理，建立方程組，求得IPEgPRI,即可求！PEF的面積.

【詳解】設雙曲線的半焦距為c,由題意，圓。的圓心在坐標原點，半徑r=〃W=c，

點瓦產即雙曲線的左右兩焦點，故有|尸E|-|P尸|=2a①，

且因E尸為圓的直徑，可得PELPF,則有|P￡f+|尸7呼=402②，

答案第2頁，共10頁

將①式兩邊取平方，(\PE\-\PF\)2=|P￡|2+|PF|2-2\PE\-\PF\=4c2-2\PE\-\PF\=4a2,

4M_4〃2__1

W1|PE|-|PF|=--—=2b2,故！尸EF的面積為字尸石川尸尸|=從.

故選：B.

【分析】根據集合交并補的運算一一分析即可/

【詳解】A={x|-3<2x-l<3}={.r|-l<x<2},

對A,若-1任瓦貝卜1€為氏則根據=4有-leA,顯然矛盾，故A錯誤;

對B,假設2gB,則根據13=4有2eA,顯然矛盾，則2e3,故B正確;

對C,由A知，—leB,則-1WAU3，故C正確;

對D,顯然2eA,必有2eAcB,故D錯誤;

故選：BC.

10.ACD

【分析】由/?（（））=也可判斷A；求得周期可求頻率判斷B；利用“才）=-2可判斷C；求

得"IT，詈]=T可判斷D-

【詳解】當r=O時，〃（O）=2sin[o+"=0,故A正確；

兀]

小球往復振動的周期為7=芋2=2兀，所以每秒鐘小球能往復振動白次，故B錯誤；

12兀

因為CJ=2sin[B+：J=2sinm=-2,所以函數〃⑺的圖象關于直線f對稱，故C

正確;

,,19717116K4兀

由-------=----=—

124123

答案第3頁，共10頁

TTIMJT

所以小球從"丁到"五"s時運動的路程是2+2+1=5cm,故D正確.

故選：ACD.

11.C

【分析】先計算[〃]="，得出，的范圍/<云(〃++，設4=卜,(〃+$，〃eN*,再求

Ac&,an4nA3,An&na3nA”，直至算出交集為空集即可.

【詳解】口=1，貝h<tM2；

口之]=2,則2v*<3,即2立<，v3^；

[r]=3,則3V/44,即,々〈人

]=4,貝!J4v〃<5,即4a</<5Z；

L;

[〃]=〃，貝〈〃工〃+1,即〃7+

(1「

設4=〉,neN*,則4=4，即ACI4=4

因「>2；4:3；，則4=4，即an4nA=4,

H44<3\5^<4^則an4nA04=33,54,

因5!<4；3?>65,則An^nanA4nA=0,

故使得M=1，[*]=2,…〃eN*同時成立的n的最大值是4.

故A、B、D錯誤，C正確.

故選：C

12.-

8

【分析】利用誘導公式和余弦的倍角公式，整理化簡即可.

【詳解】sin(2a+]]=cos2cr=2cos—l=2x[[]—1=^.

答案第4頁，共10頁

故答案為：

O

13.6

2

【分析】根據題意求出a1,c,再根據橢圓的離心率公式即可得解.

22

【詳解】橢圓C:三+與=1伍>5>0)的左頂點和上頂點的坐標分別為(-冬0),(0,5),

ab

-a+0.

-----=—2

由題意可得八:，解得〃=4*=2,

0+Z?

----二I1

I2

所以H=[2—62=12,則C=2百，

所以C的離心率6=￡=@.

a2

故答案為：見.

2

14.-13A/2

【分析】根據兩函數的圖象關于直線、=無對稱，且y=r+6與、=無垂直，轉化為求曲線上

一點到直線距離的最小值，利用點到直線的距離及導數即可得解.

【詳解】由y=lnx-2可得，x=e"2,即尸尸,

所以函數>=lnx-2,y=e，+2互為反函數，圖象關于直線>=無對稱，

因直線y=x,y=-x+6互相垂直，

所以問題可轉化為求y=Inx-2上點A(x0,lnx0-2)到直線y=x距離的最小值的2倍，

因為|=2d=1"胃+2|=四國一InX。+2),

f(xo)=xo-lnxo+2,xo>O9

]x—1

,

則/'(Xo)=l---=——,當0<%<1時，/(x0)<0,

X。X。

當%>1時，尸(%)>0,所以函數在(0,1)上單調遞減，在(L-)上單調遞增，

故當/=1時，/(%)有最小值3,

此時6=%+lnxo-2=-1,

故答案為：-1,30

答案第5頁，共10頁

15.⑴能認為

⑵P（冏A）=g，P（B同壽

【分析】（1）根據公式求出Jr?,再對照臨界值點，即可得出結論;

（2）根據條件概率公式求解即可.

100x(40x20-10x30)2100

【詳解】（1）因為/4.762>3.84b

50x50x70x30~21

所以依據。=0.05的獨立性檢驗，能認為有差異;

(2)由題意P(A)=迎=Q.3,P(AB)=-=0.2,=—=0.7,=迎=0.3

v7100v7100\'100\>100

所以可冏力=需=m=l，p僅同=0.33

0.77

16.（l）C=60。或120。；

Q）@

4

【分析】（1）根據弦長公式得c=g,再利用正弦定理得到C的大小;

3

⑵根據余弦定理得"=而尚,再對C=6。。或12。。討論即可.

【詳解】（1）圓心。到直線/的距離1=噂=工，圓。的半徑R=l,

V82

=2A/R2—d2=2Jl—；=y/3,

所以|AB|=c

又C為VABC外接圓。上一點，所以‘/=2氏=2,

sine

解之得sinC十*因為0YC<18。。,

所以C=60。或120。；

(2)由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab(l+cosC),

即3=6—2a伙1+cosC),gpab=---------------,

2(1+cosC)

33

①當C=60。時，2(l+cosC)-2(l+cos60°)-1,

止匕時S=—absinC=—sin60°=，

△ABRCr224

答案第6頁，共10頁

33

②當C=120。時，川=2(1+COSC)=2(1+COS1201=3,

因為c為最大邊，所以漏＜6義百=3,與必=3矛盾，所以不成立，舍去，

綜上所述，VABC的面積為也.

4

17.(1)證明見解析

⑵如

4

【分析】(1)取A8中點E,利用面面垂直的性質、線面垂直的性質判定推理即得.

(2)取BC的中點尸，以A為原點建立空間直角坐標系，利用線面角的向量求法求解.

【詳解】(1)在四棱錐P—ABCD中，由BC/MD,=120。，得NABC=60。，連接AC,

而AB=3C,則VABC為等邊三角形，取A3中點E,連接CE,則CE/AB,

由平面PAB_L平面ABCD,平面尸A5c平面ABCD=AB,CEu平面ABC。，

得CE_L平面P4B,而R4u平面Blfi,則CE_LR4,

又CE與AD相交，CE,ADu平面ABCD,

所以上4_L平面ABCD

(2)取2C的中點b，連接AF,AF=y/3,BF=CF=l,AFIBC,AF±AD,

由PA_L平面ABC。，AFu平面ABCD,得以_LAF,即AF,AD,AP兩兩垂直，

以A為原點，直線AEA。AP分別為x,%z軸建立空間直角坐標系，

由PA=A3=BC=gA。=2,得A(0,0,0),F(^,0,0),2(百,-1,0),尸(。,0,2),

~PB=(6-1,-2),禧=(后0,0),顯然酢為平面PAD的一個法向量，

設直線PB與平面PAD所成角為。，則sin。=|cos〈麗,AF)|="竺〔=＞廠=g

\PB\\AF\2V2-V34

所以直線尸8與平面PAD所成角的正弦值是好.

4

答案第7頁，共10頁

18.⑴2ex-y-2=0；

(2)a=l.

【分析】(1)求導得/'(%)=2e'+學，計算出/⑴"'⑴則得到切線方程；

(2)求導得/(幻=，(加ex+lnx),令g(x)=^2e*+inx,利用導數得到其單調遞增，再

利用隱零點得到生學+電切+1=°,代入運算得。=1.

尤。X。

x

【詳解】(1)當。=2時，f(x)=2e-^^-l,f(x)=2e*+/,

XX

所以〃l)=2e-2,廣⑴=2e,

所以了⑺在(LN))處的切線方程為>-(2e-2)=2e(尤-1),

即2ex-y-2=0.

(2)函數的定義域為(0,+8),

尸(x)=ae*=4(必次+lnx),

令g(x)=ax2e'+lnx,貝!|gr(x)=a^x2+2x)e'+—>0,

即g(x)在(0,+co)單調遞增，當x30時，g(x)-T?,當x=l時，g(l)=ae>0,

所以叫e(O,l),使得g(毛)=0,即/(%)=0,

且當彳€(0,%)時，g(x)<0即/(x)<O"(x)單調遞減，

且當xe(%,+oo)時，g(x)>。即/'(x)>OJ(x)單調遞增，

所以在x=/處取得極小值，

又當X->0時，f(X)f+8,X->+8時，f(x)+00,

故若/(X)有唯一的零點，則必有/(尤0)=。，

小+呼=0①

%消去“可得"+3+i=o,

ln%o+

fle,°-1-1=0(2)

%

即(入o+lnXo)(Xo+l)=O,又因為％+lwO,即飛+山飛二。，

x

由②式可得：e°-Inx0-x0-1=0,即—(x°+lnxo)-l=O,

將%+In%=。代入可得a—1=0,即a=l,

答案第8頁，共10頁

綜上可知，若/(x)有唯一的零點，則。=1.

19.⑴等差數列｛4｝：3,4,5,數列也｝:1,2,3；

(2)；

0

(3)3和4.

【分析】(1)直接根據數列新定義寫出相關數列并驗證即可；

(2)利用排列數計算出總情況數，再分析出滿足題意的情況，利用古典概型即可得到答案；

(3)根據前面小問得“可以取3和4,再分"26和〃=5討論即可.

【詳解】(1)首先項數為*"=3,且數列｛2｝中任意兩項均不相同；

仿+4=3,偽+&=4,&+&=5,滿足條件②，則上述數列滿足題意.

(2)數列出｝四項均不相同，故總的排列方法有A：=24種.

假設數列他,｝各項從小到大排列，即仿<%<與<%，

則兩兩相加后最小項6=偽+優，次小項。2=4+打，最大項。6=4+。4,次大項/=4+%.

設等差數列｛%｝公差為d,則d=偽+4-3+么)=4+%-(%+)=2-a，

又數列｛%｝第三項%