重慶高三數學考試

注意事項：

1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內容：高考全部內容.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合A={x|log2尤＜2},B={-1,1,3,5},則4口3=()

A.WB.{1,3}C.{-1,1,3}D.{1,3,5}

1-i

2.已知復數z=——,則z2025=1：)

1+i

A.-iB.ic.-lD.l

3.若函數〃x)=cos](。〉0)的最小正周期為:，

、12J則①二()

171

A.-B.3c.—D.3?

33

4.已知向量麗=(3,2),礪=(2,4),OC=(-l,-3),則方=()

A.6B.4C.-6D.T

5.已知變量8和y的統計數據如下表.

%8090100110120

y120140a165180

若X,y線性相關，經驗回歸方程為亍=L45x+7,則。=()

A.155B.158C.160D.162

1+sin20°

6.若101135°二加，則......-=()

cos20

1+m1-m1

A.-----B.-----c.—D.m

1-m1+mm

7.已知A,B，。是球。的球面上的三個點，且AB=AC=5。=2用，球心。到平面ABC的距離為

1,則球。的表面積為()

A.16?B.20%C.24〃D.28?

8.在我國古代建筑中，梁一直是很重要的組成部分，現代工程科學常用抗彎截面系數W來刻畫梁的承重能

力.若梁的截面形狀是圓，且圓形截面的半徑為廣，則抗彎截面系數叱=?/;若梁的截面形狀是正方

形，且正方形截面的邊長為"2,則抗彎截面系數嗎=%〃/；若梁的截面形狀是長方形，且長方形截面的

長為。，寬為b（b<a〈2b）,則抗彎截面系數暝.若上述三種截面形狀的梁的截面周長相同，則

6

（）

A.嗎<用<嗎B,Wl<W3<W2C.暝<暝<叱D,W2<W3<Wl

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知橢圓C：W+」一=1的離心率為42,則加的值可能為（）

m3m-42

A.lB.2C.3D,4

10.已知定義在［L+8）上的函數“X）滿足2f（x）=f（2x）,且當逐?1,2）時,

〃x）=—x?+3x—2,則下列結論正確的是（）

A-/（3）=|

Bj（x）在［4,7］上單調遞增

C.函數E（x）=/（“一。的零點從小到大依次記為七,%,￡，…，若西+刀2=6,則。的取值范圍為

D.若函數網“=/（x）—a在［3,16］上恰有4個零點，則。的取值范圍為

(a\a(a-l)(a-2"(ai+l),規定'a、

H.已知。￡。，〃￡N*，定義運算=1,且當aeQ,

n\7

'a(a\'a(a

時，總有（l+x）°=+%+x2+???+%〃+爐討+…則（）

1n+1

1J2.Jv)I7

=0

「10、「10、「10、f10

B.+++?+二2024

I°7I17V2J(2024)

-a%+〃一「

C.VQGQ,〃￡N*,=(T".

Vn)

D.陰〈國

80

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知函數/（x）=ei—3為，則曲線y=/（尤）在點（1,7。））處的切線方程為

13.已知正項數列｛4｝的前幾項和為S“，且4s"=（4+1『，則/=

14.已知雙曲線C：?-]=l的左、右焦點分別為片，工，P是C右支上一點，過寫作/耳「鳥的角平

分線的垂線，垂足為若N是圓￡:犬+丁+6%+8丁+21=0上任意一點，則|肱V|的取值范圍為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

△ABC的內角A,B,C的對邊分別為。，b,c.已知3a=4b,4cosA=3cosB.

（1）求C；

（2）若△ABC外接圓的半徑為5,求△ABC的面積.

16.（15分）

一個不透明的盒子中裝有3個紅球，3個黑球，掰個白球，這些球除顏色外完全相同.若從盒子中隨機摸出

1個球，則白球被摸出的概率為得.

（1）求加的值.

（2）現從盒子中一次性隨機摸出4個球.

①求三種顏色的球都被摸出的概率；

②記摸出的球的顏色種類為X,求X的分布列與期望.

17.（15分）

如圖，在直四棱柱ABC。—A4G。中，ZBCD=120°,ZADC=ZABC=9Q>°,AD=AB,

BC=CD=1,AA，的中點分別為P,Q.

(1)證明：AD±BP.

(2)若8QLPQ,求平面8P。與平面CD0G夾角的余弦值.

18.(17分)

已知拋物線卬：丁2=2.(。>0)的焦點為歹，直線4：x—y+l=O與W相切.

(1)求W的方程.

(2)過點R且與4平行的直線右與W相交于M，N兩點，求|MN|.

(3)已知點P(4,4),直線/與W相交于A,B兩點、(異于點P),若直線AP,3P分別和以尸為圓心

的動圓相切，試問直線/是否過定點？若是，請求出定點坐標；若不是，請說明理由.

19.(17分)

已知函數/(x)=ln(x+l)--g(x)=l-x+—+...+(-iy，—,〃eN*.

x+12n

(1)證明：/(%)>0.

(2)討論函數g(x)在［0,+8)上的零點個數.

(3)當n=2k,左eN*時，證明：Vx>0,g(x)>l-ln4.

重慶高三數學考試參考答案

1.B因為A={Rlog2X<2}=(0,4),所以AC5={1,3}.

2.A因為z=Ei="講=_i,所以Z2025=(—i)2°25=-i2025=-i.

1+i(l+i)(l-i)

■tG［

3.D因為/(x)的最小正周期為一，所以上=—,得0=3乃.

32a)3

4.C因為函=(3,2),歷=(2,4),OC=(-l,-3),所以方=(—1,2),AC=(-4,-5),

貝??/=_lx(_4)+2x(_5)=_6.

5.A由表中數據可得了=100,代入經驗回歸方程可得了=1.45x100+7=152,貝！|a=152x5

-120-140-165-180=155.

1_1no

6.Ctan35°二tan(45°-10°)=-------------=m,

v71+tan10°

1+sin20°l+2sinl00cosl0°cos100+sin10°1+tan1001

cos20°cos2100-sin210°cos10°-sin10°1-tan10°m

7.B設球。的半徑為R,△A3C外接圓的半徑為r,則r=——=2.因為球心0到平面ABC的

2sinZBAC

距離為1,所以R2=/+I=5,從而球0的表面積為20》.

jrC3

8.D記這三種截面的周長為C,則C=2?r=4根=2(a+b),從而叱/

32/

叱=l3=j，wCC

m=—ba2-a^+-a2.由Z?va<2Z?，得—<a<—.

26384366243

CCC

令/(X)=-X3+—X2,--<X<---9

43

顯然/'(力〉0在］5。］

上恒成立,

CCC3C3C3

上單調遞增，因為了,所以‘一<暝<一.

64543843324

因為32M<324,所以％〈暝〈叱.

5m2-3m+41片”口_.

9.BD因為加2>3加一4恒成立，所以由。的離心率為得—,解得加=2或加=4.

2m22

3

10.AC由題可知，/(3)=2/A正確作出的部分圖象，可知/(%)在［4,6)上單調遞

增，在［6,7］上單調遞減，B不正確.由尸(x)=0,得/(x)=a,根據函數的對稱性可知，當％+馬=6

時，可知再，%是方程/(x)=a的兩個不同的根，且X，々e(2,4),根據"％)的圖象可知，a的取值

范圍為A'』，C正確.當函數/(x)=/(x)—。在［3,16］上恰有4個零點時，根據/(%)的圖象可知，a

的取值范圍為D不正確.

5x4x???x(5-6+l)*「10、

11.ACD由題可知,---------------------------Z=0,A正確.當〃wN',且〃2n時,=0,

6!

「10、「10、「10、「10、(10、(10、(10、n。、

所以+++...++++,,,+.令x=l,

10JI1J12J(2024)10J(1J12JU0J

(a\(a\(a\(a\'a、

則由(l+x)"=+X+X2+???+%”+右+…,

⑼"I)

「10、「10、「10、「10、

可得+++-??+=嗖°=1024H2024,B不正確.

、°JI1J12J(2024)

(a\〃一〃+1)

因為

n\

/

-Q一a(一a-1)(一a—-a-九+1)(—1)a(a+l)(a+2)-,(a+〃—1)

所以

n\n\

n

a+M—1—1)???(a+n—1—n+1),a+"-1

---------------------------=(7-，c正確.

n\VnJ

2、

iY11⑶61它從而161j>9=33,

1++X---------Fx+???>+x-----二

160160160⑼160160805

即病〈咆，D正確.

80

12.2x+y=0因為/(x)=ei—3x,所以廣(x)=ei—3,則/(I)=尸(1)=—2,從而曲線y=/(x)

在點(1,/(l))處的切線方程為y+2=-2(x-1)，整理得2x+y=0.

13.2500由4s“=(4+1)-,得4ai=(q+1)-,解得%=1.當〃之2時，由4s“=(4+1)-,得

4sM=(%+丁，兩式相減得=d一+2an-2%，整理得(%+%)(%-%-2)=0.

因為。“〉0,所以4-。,1一2=0,則｛4｝是以1為首項，2為公差的等差數列，

從而S50=50+；=2500.

14.[1,9]延長耳M,尸工，使之交于點0(圖略)，因為平分/耳「鳥，PMVMFX,

所以歸國=|PQ|,M為耳Q的中點.又坐標原點O為3的中點，

所以(間H*)=:(附H*)=2，

故M在以。為圓心，2為半徑的圓上.由好+：/+6%+8丁+21=0,得(％+3)2+(y+4)2=4,

則N在以E(—3,—4)為圓心，2為半徑的圓上.因為|。目=5,所以|肱V|的取值范圍為[1,9].

15.解：(1)因為3〃=4/7,所以3sinA=4sin5.

又4cosA=3COSJB,所以12sinAcosA=12sin5cos瓦則sin2A=sin25

7T

則2A=25,即A=5或2A+23=%,即A+3=—

2

7TJT

因為awb,所以則A+5=—.從而C=—.

22

(2)因為△A5C外接圓的半徑為5,所以‘^=2義5=10

sinC

由(1)可得sinC=l,則c=10.由C=‘，得。2=儲+從

2

25b2

因為3a=4/j,所以——=100,得b=6,則。=8,

9

故5c的面積S=工4人=24.

2

ITJ5

16.解：(1)由題可知，從盒子中隨機摸出1個球，白球被摸出的概率《二-----二一

6+m11

(2)①從盒子中一次性隨機摸出4個球，不同的取法共有C1=330種，

三種顏色的球都被摸出的不同取法共有2C；C；C；+C；C；C；=180種，

故三種顏色的球都被摸出的概率已.

233011

②由題可知，X的取值可能為1,2,3,

「4[AQQ

且尸(X=l)=g=a，P(X=3)=P2=~,P(X=2)=1-P(X=1)-P2=—,

X的分布列為

X123

1296

P

666611

17.(1)證明：連接3D因為ZBCD=120°,

所以=5C2+CQ2—CDCOSZBCD=3,則3Z)=若.

因為NADC=NA5C=90。，所以NB4Z)=60。.

又AD=A5,所以△A5￡)為等邊三角形.

取AD的中點E,連接BE,PE,則NELAD

又尸是A2的中點，四棱柱43皿一4與￡￡＞］為直四棱柱，所以QELAD

因為PEnBE=E,所以AD_L平面P8E,因為BPu平面P8E,所以AD_L5P.

(2)解：由題易知。C,DA,兩兩垂直，故以O為坐標原點，DC,DA,DQ所在直線分別為x,

y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

PA,

,n??:?

落

/工B

（3百）p[o,g,a],0（0,0,父，

設。。1=〃，則5—,0,

（22JI2J1

詼=1|,岑，,小

122j

a

因為6QLPQ,所以士—幺2=：0,解得a=百，

”44

從而詼=[_?,—且,且],而」。‘-"；’

1222）

設平面BPQ的法向量為沅=(x,y,z),

3一旦+鳥=0,

上\BQm=Q,22-2

rHv得《

PQ?沅=0,

--V-3-y-----z=0.

22

令y=6,得沅=（—2,6，一百）.

cos低㈤=個=噌=叵

易知平面CD0G的一個法向量為為=（。」,。）

'/網同710io

故平面BPQ與平面CDD?夾角的余弦值為七-.

18.解：⑴聯立口=2川整理得丁一2py+2p=0.

x-y+l=0,

因為4與W相切，所以（—2p）2—8°=0,

解得p=2或°=0（舍去），故W的方程為/=4x.

(2)由(1)可知/(1,0).因為V4,所以4的方程為x—y—1=0.設/(%,%),N(x2,y2).

聯立］丁=4x,整理得V—4y—4=0,則%+%=4,%%=—4,

x-y-l=0,

|=%+%2+,=7］+1+%+1+2=8.

(3)設44a2,甸,B(4b2,4b),則直線/的方程為尤=(a+Z?)y—4必，①

直線AP的方程為x=(a+l)y—4a,直線BP的方程為x=(Z?+l)y—4Z?

設動圓廠的半徑為r，re(0,4)U(4,5).

|l+4a|

因為直線AP和圓尸相切，所以J、=廠，

V(?+i)2+i

整理得(16-/)/+(8—2，)a+l—2,=0,

同理可得(16-/)/+(8-z/g+i—2/=0

所以a,%是一元二次方程(16—/)/+(8—2/)x+l—2/=0的兩個實數根,

皿,2r2-8,1—2/八、、^fE/口(8+2y)r-(8y+4)

貝［Ja+6=----->ab=-----------,代入①式整理得工=-----------j----------

16—r16-r16—r

由1^2=16,得y=一2,止匕時x=g,故直線A8恒過定點(g,—2).

Y11X

19.(1)證明：因為/(%)=1口(九+1)------，X>-1,所以/'(%)=-------------y

JV+1X+1(X+1)(X+1)2

當尤￡(一1,0)時，/,(X)<0,/(X)單調遞減，

當X￡(0,+8)時，fr(x)>0,f(x)單調遞增,

從而/(%)min=/(0)=。，則/。)之。?

Y2Xn

(2)解：因為g(%)=l—----1■…+(-1)"，72GN，

2n

所以g'x)=_l+x_x2+…+(_l)〃x"T=T+(—X).

1+x

當”為奇數時，