PAGEPAGE1第2講用樣本估計總體一、學問梳理1．統計圖表(1)頻率分布直方圖的畫法步驟①求極差(即一組數據中最大值與最小值的差)；②確定組距與組數；③將數據分組；④列頻率分布表；⑤畫頻率分布直方圖．(2)頻率分布折線圖和總體密度曲線①頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖；②總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分組數增加，組距減小，相應的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線．(3)莖葉圖的畫法步驟第一步：將每個數據分為莖(高位)和葉(低位)兩部分；其次步：將最小莖與最大莖之間的數按大小次序排成一列；第三步：將各個數據的葉依次寫在其莖的兩側．2．樣本的數字特征(1)眾數：一組數據中出現次數最多的那個數據，叫做這組數據的眾數．(2)中位數：把n個數據按大小依次排列，處于最中間位置的一個數據(或最中間兩個數據的平均數)叫做這組數據的中位數．(3)平均數：把eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)稱為a1，a2，…，an這n個數的平均數．(4)標準差與方差：設一組數據x1，x2，x3，…，xn的平均數為eq\o(x,\s\up6(－))，則這組數據的標準差和方差分別是s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2])，s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]．常用結論1．會用三個關系頻率分布直方圖與眾數、中位數與平均數的關系(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數．(2)中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．(3)平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和．2．巧用四個有關的結論(1)若x1，x2，…，xn的平均數為eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數為meq\o(x,\s\up6(－))＋a；(2)數據x1，x2，…，xn與數據x′1＝x1＋a，x′2＝x2＋a，…，x′n＝xn＋a的方差相等，即數據經過平移后方差不變；(3)若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2；(4)s2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－eq\o(x,\s\up6(－))2，即各數平方的平均數減去平均數的平方．二、習題改編1．(必修3P77例2改編)已知一組數據6，7，8，8，9，10，則該組數據的方差是．答案：eq\f(5,3)2．(必修3P65探究改編)某儀器廠從新生產的一批零件中隨機抽取40個檢測，如圖是依據抽樣檢測后零件的質量(單位：克)繪制的頻率分布直方圖，樣本數據分8組，分別為[80，82)，[82，84)，[84，86)，[86，88)，[88，90)，[90，92)，[92，94)，[94，96]，則樣本的中位數在第組．解析：由題圖可得，前四組的頻率為(0.0375＋0.0625＋0.075＋0.1)×2＝0.55，則其頻數為40×0.55＝22，且第四組的頻數為40×0.1×2＝8，故中位數落在第4組．答案：4一、思索辨析推斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)一組數據的方差越大，說明這組數據的波動越大．()(2)在頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數據落在該區間內的頻率越大．()(3)莖葉圖中的數據要按從小到大的依次寫，相同的數據可以只記一次．()(4)頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數據頻率分布的兩種形式，前者精確，后者直觀．()(5)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點的橫坐標是眾數的估計值．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√(5)√二、易錯糾偏eq\a\vs4\al(常見誤區)(1)頻率分布直方圖與莖葉圖的識圖不清；(2)對方差、平均數的統計意義的相識有誤．1．甲、乙兩人8次測評成果的莖葉圖如圖，由莖葉圖知甲的成果的平均數與乙的成果的中位數分別是、.解析：由莖葉圖可得甲的成果的平均數為eq\f(10＋11＋14＋21＋23＋23＋32＋34,8)＝21.將乙的成果按從小到大的依次排列，中間的兩個成果分別是22，23，所以乙的成果的中位數為eq\f(22＋23,2)＝22.5.答案：2122.52．我市某校組織學生參與英語測試，成果的頻率分布直方圖如圖，數據的分組依次為[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，若低于60分的人數是15，則該班的學生人數是．解析：依題意得，成果低于60分的相應的頻率等于(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以該班的學生人數是15÷0.3＝50.答案：503．(2024·高考全國卷Ⅱ)我國高鐵發展快速，技術先進．經統計，在經停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經停該站高鐵列車全部車次的平均正點率的估計值為．解析：經停該站高鐵列車全部車次的平均正點率的估計值為eq\f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98.答案：0.98樣本的數字特征(典例遷移)(1)在一次歌詠競賽中，七位裁判為一選手打出的分數如下：90，89，90，95，93，94，93.去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據的平均數與方差分別為()A．92，2.8 B．92，2C．93，2 D．93，2.8(2)(2024·鹽城模擬)已知一組數據x1，x2，x3，x4，x5的方差是2，則數據2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的標準差為．【解析】(1)由題意得所剩數據：90，90，93，94，93.所以平均數eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(90＋90＋93＋94＋93,5)＝92.方差s2＝eq\f(1,5)[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2]＝2.8.(2)由s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝2，則數據2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差是8，標準差為2eq\r(2).【答案】(1)A(2)2eq\r(2)【遷移探究】(變條件)本例(2)增加條件“x1，x2，x3，x4，x5的平均數為2”，求數據2x1＋3，2x2＋3，2x3＋3，2x4＋3，2x5＋3的平均數和方差．解：數據2x1＋3，2x2＋3，2x3＋3，2x4＋3，2x5＋3的平均數為2×2＋3＝7，方差為22×2＝8.eq\a\vs4\al()眾數、中位數、平均數、方差的意義及常用結論(1)平均數與方差都是重要的數字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的狀況有著重要的實際意義，平均數、中位數、眾數描述其集中趨勢，方差和標準差描述波動大小．(2)方差的簡化計算公式：s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\o(x,\s\up6(－))2]，或寫成s2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\o(x,\s\up6(－))2，即方差等于原數據平方的平均數減去平均數的平方．1．(2024·昆明市診斷測試)高鐵、掃碼支付、共享單車、網購被稱為中國的“新四大獨創”，為評估共享單車的運用狀況，選了n座城市作試驗基地．這n座城市共享單車的運用量(單位：人次/天)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標中可以用來評估共享單車運用量的穩定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均數 B．x1，x2，…，xn的標準差C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位數解析：選B.平均數、中位數可以反映一組數據的集中程度；方差、標準差可以反映一組數據的波動大小，同時也反映這組數據的穩定程度．故選B.2．(2024·甘肅、青海、寧夏聯考)從某小學隨機抽取100名同學，將他們的身高(單位：厘米)分布狀況匯總如下：身高(100，110](110，120](120，130](130，140](140，150]頻數535302010由此表估計這100名小學生身高的中位數為(結果保留4位有效數字)()A．119.3 B．119.7C．123.3 D．126.7解析：選C.由題意知身高在(100，110]，(110，120]，(120，130]內的頻率依次為0.05，0.35，0.3，前兩組頻率和為0.4，組距為10，設中位數為x，則(x－120)×eq\f(0.3,10)＝0.1，解得x≈123.3.故選C.3．一組數據1，10，5，2，x，2，且2＜x＜5，若該數據的眾數是中位數的eq\f(2,3)倍，則該數據的方差為．解析：依據題意知，該組數據的眾數是2，則中位數是2÷eq\f(2,3)＝3，把這組數據從小到大排列為1，2，2，x，5，10，則eq\f(2＋x,2)＝3，解得x＝4，所以這組數據的平均數為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)×(1＋2＋2＋4＋5＋10)＝4，方差為s2＝eq\f(1,6)×[(1－4)2＋(2－4)2×2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(10－4)2]＝9.答案：9莖葉圖(師生共研)(2024·成都市其次次診斷性檢測)為比較甲、乙兩名籃球運動員的近期競技狀態，選取這兩名球員最近五場競賽的得分，制成如圖所示的莖葉圖．有下列結論：①甲最近五場競賽得分的中位數高于乙最近五場競賽得分的中位數；②甲最近五場競賽得分的平均數低于乙最近五場競賽得分的平均數；③從最近五場競賽的得分看，乙比甲更穩定；④從最近五場競賽的得分看，甲比乙更穩定．其中全部正確結論的編號為()A．①③ B．①④C．②③ D．②④【解析】對于①，甲得分的中位數為29，乙得分的中位數為30，錯誤；對于②，甲得分的平均數為eq\f(1,5)×(25＋28＋29＋31＋32)＝29，乙得分的平均數為eq\f(1,5)×(28＋29＋30＋31＋32)＝30，正確；對于③，甲得分的方差為eq\f(1,5)×[(25－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(32－29)2]＝eq\f(1,5)(16＋1＋0＋4＋9)＝6.乙得分的方差為eq\f(1,5)×[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝eq\f(1,5)×(4＋1＋0＋1＋4)＝2，所以乙比甲更穩定，③正確，④錯誤．所以正確結論的編號為②③.【答案】Ceq\a\vs4\al()莖葉圖中的三個關注點(1)“葉”的位置只有一個數字，而“莖”的位置的數字位數一般不須要統一．(2)重復出現的數據要重復記錄，不能遺漏．(3)給定兩組數據的莖葉圖，估計數字特征，莖上的數字由小到大排列，一般“重心”下移者平均數較大，數據集中者方差較小．1.(2024·新疆第一次畢業診斷及模擬測試)某中學高三文科班從甲、乙兩個班各選出7名學生參與文史學問競賽，他們取得的成果(滿分100分)的莖葉圖如圖，其中甲班學生成果的平均分是85，乙班學生成果的中位數是83，則x＋y的值為()A．8 B．7C．9 D．168解析：選A.因為甲班學生成果的平均分是85，所以79＋78＋80＋80＋x＋85＋92＋96＝85×7，即x＝5.因為乙班學生成果的中位數是83，所以若y≤1，則中位數為81，不成立．若y>1，則中位數為80＋y＝83，解得y＝3.所以x＋y＝5＋3＝8，故選A.2．某省為了抽選運動員參與“國際馬拉松競賽”，將35名運動員的一次馬拉松競賽成果(單位：分鐘)制成莖葉圖，如圖所示.若將運動員按成果由好到差編號，再用系統抽樣的方法從中抽取7人，則其中成果在區間[139，151]上的運動員人數為()A．6 B．5C．4 D．3解析：選C.對35名運動員進行編號：00，01，02，…，34，分成七組：00～04，05～09，10～14，15～19，20～24，25～29，30～34，用系統抽樣的方法抽7人，則第三組到第六組中占4人，即抽取的成果在區間[139，151]上的運動員的人數為4，故選C.頻率分布直方圖(多維探究)角度一求樣本的頻率、頻數(2024·福建五校其次次聯考)某服裝店對過去100天其實體店和網店的銷售量(單位：件)進行了統計，制成頻率分布直方圖如下：(1)若將上述頻率視為概率，已知該服裝店過去100天的銷售中，實體店和網店銷售量都不低于50的概率為0.24，求過去100天的銷售中，實體店和網店至少有一邊銷售量不低于50的天數；(2)若將上述頻率視為概率，已知該服裝店實體店每天的人工成本為500元，門市成本為1200元，每售出一件利潤為50元，求該實體店一天獲利不低于800元的概率．【解】(1)由題意知，網店銷售量不低于50共有(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5×100＝66(天)，實體店銷售量不低于50共有(0.032＋0.020＋0.012×2)×5×100＝38(天)，實體店和網店銷售量都不低于50的天數為100×0.24＝24，故實體店和網店至少有一邊銷售量不低于50的天數為66＋38－24＝80.(2)由題意，設該實體店一天售出x件，則獲利為(50x－1700)元，50x－1700≥800?x≥50.記該實體店一天獲利不低于800元為事務A，則P(A)＝P(x≥50)＝(0.032＋0.020＋0.012＋0.012)×5＝0.38.故該實體店一天獲利不低于800元的概率為0.38.角度二求樣本的數字特征(2024·高考全國卷Ⅲ)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比．依據試驗數據分別得到如下直方圖：記C為事務：“乙離子殘留在體內的百分比不低于5.5”，依據直方圖得到P(C)的估計值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表)．【解】(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.eq\a\vs4\al()(1)頻率、頻數、樣本容量的計算方法①eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率；②eq\f(頻數,樣本容量)＝頻率，eq\f(頻數,頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數．(2)頻率分布直方圖中數字特征的計算①最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數；②中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；③平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和．1．在樣本頻率分布直方圖中，共有9個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其他8個長方形的面積和的eq\f(2,5)，且樣本容量為140，則中間一組的頻數為()A．28 B．40C．56 D．60解析：選B.設中間一組的頻數為x，因為中間一個小長方形的面積等于其他8個長方形的面積和的eq\f(2,5)，所以其他8組的頻數和為eq\f(5,2)x，由x＋eq\f(5,2)x＝140，解得x＝40.2．(2024·武昌區調研考試)對參與某次數學競賽的1000名選手的初賽成果(滿分：100分)作統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)依據直方圖完成以下表格；成果[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]頻數(2)求參賽選手初賽成果的平均數及方差(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)；(3)假如從參與初賽的選手中選取380人參與復賽，那么如何確定進入復賽選手的成果？解：(1)填表如下：成果[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100)頻數50150350350100(2)平均數為55×0.05＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.35＋95×0.1＝78，方差s2＝(－23)2×0.05＋(－13)2×0.15＋(－3)2×0.35＋72×0.35＋172×0.1＝101.(3)進入復賽選手的成果為80＋eq\f(350－（380－100）,350)×10＝82(分)，所以初賽成果為82分及其以上的選手均可進入復賽．(說明：回答82分以上，或82分及其以上均可)核心素養系列21數據分析——讀取統計圖中的數據數據分析、數學運算是數學的核心素養，也是數學應用于實際生活問題的核心，提取—計算—應用數據是數學實力的重要體現．(2024·高考全國卷Ⅱ)某行業主管部門為了解本行業中小企業的生產狀況，隨機調查了100個企業，得到這些企業第一季度相對于前一年第一季度產值增長率y的頻數分布表．y的分組[－0.20，0)[0，0.20)[0.20，0.40)[0.40，0.60)[0.60，0.80)企業數22453147(1)分別估計這類企業中產值增長率不低于40%的企業比例、產值負增長的企業比例；(2)求這類企業產值增長率的平均數與標準差的估計值(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表)．(精確到0.01)附：eq\r(74)≈8.602.【解】(1)依據產值增長率頻數分布表得，所調查的100個企業中產值增長率不低于40%的企業頻率為eq\f(14＋7,100)＝0.21.產值負增長的企業頻率為eq\f(2,100)＝0.02.用樣本頻率分布估計總體分布得這類企業中產值增長率不低于40%的企業比例為21%，產值負增長的企業比例為2%.(2)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,100)(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，s2＝eq\f(1,100)eq\i\su(i＝1,5,n)i(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝eq\f(1,100)[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.0296，s＝eq\r(0.0296)＝0.02×eq\r(74)≈0.17.所以，這類企業產值增長率的平均數與標準差的估計值分別為0.30，0.17.eq\a\vs4\al()(1)數據分析是指針對探討對象獲得相關數據，運用統計方法對數據中的有用信息進行分析和推斷，形成學問的過程．主要包括：收集數據，整理數據，提取信息，構建模型對信息進行分析、推斷，獲得結論．(2)本例由頻率分布表可以讀出各組頻數，可計算出頻率從而問題得以解決．(2024·四省八校雙教研聯考)如圖1為某省2024年1～4月份快遞業務量統計圖，圖2為該省2024年1～4月份快遞業務收入統計圖，對統計圖理解錯誤的是()A．2024年1～4月份快遞業務量3月份最高，2月份最低，差值接近2000萬件B．2024年1～4月份快遞業務量同比增長率均超過50%，在3月份最高，和春節蟄伏后網購迎來噴漲有關C．從兩圖中看，增量與增長速度并不完全一樣，但業務量與業務收入改變高度一樣D．從1～4月份來看，業務量與業務收入有波動，但整體保持高速增長解析：選D.對于A，2024年1～4月份快遞業務量3月份最高，有4397萬件，2月份最低，有2411萬件，其差值接近2000萬件，所以A正確；對于B，2024年1～4月份快遞業務量的同比增長率分別為55%，53%，62%，58%，均超過50%，在3月份最高，和春節蟄伏后網購迎來噴漲有關，所以B正確；對于C，由兩圖易知增量與增長速度并不完全一樣，其業務量從高到低改變是3月→4月→1月→2月，業務收入從高到低改變是3月→4月→1月→2月，保持高度一樣，所以C正確；對于D，由圖知業務收入2月相對1月削減，4月相對3月削減，整體不具備高速增長之說，所以D不正確．綜上，選D.[基礎題組練]1．把樣本容量為20的數據分組，分組區間與頻數如下：[10，20)，2；[20，30)，3；[30，40)，4；[40，50)，5；[50，60)，4；[60，70]，2，則在區間[10，50)上的數據的頻率是()A．0.05 B．0.25C．0.5 D．0.7解析：選D.由題知，在區間[10，50)上的數據的頻數是2＋3＋4＋5＝14，故其頻率為eq\f(14,20)＝0.7.2．(2024·高考全國卷Ⅱ)演講競賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成果時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數字特征是()A．中位數 B．平均數C．方差 D．極差解析：選A.記9個原始評分分別為a，b，c，d，e，f，g，h，i(按從小到大的依次排列)，易知e為7個有效評分與9個原始評分的中位數，故不變的數字特征是中位數，故選A.3．(2024·陜西咸陽模擬檢測(二))PM2.5是衡量空氣質量的重要指標，我國采納世界衛生組織的最寬值限定值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空氣質量為一級，在35～75μg/m3空氣質量為二級，超過75μg/m3為超標．如圖是某地12月1日至10日的PM2.5(單位：μg/m3)的日均值，則下列說法不正確的是()A．這10天中有3天空氣質量為一級B．從6日到9日PM2.5日均值漸漸降低C．這10天中PM2.5日均值的中位數是55D．這10天中PM2.5日均值最高的是12月6日解析：選C.這10天中第一天，第三天和第四天，共3天空氣質量為一級，所以A正確；從題圖可知從6日到9日PM2.5日均值漸漸降低，所以B正確；從題圖可知，這10天中PM2.5日均值最高的是12月6日，所以D正確；由題圖可知，這10天中PM2.5日均值的中位數是eq\f(41＋45,2)＝43，所以C不正確．故選C.4．甲、乙兩組數的數據如莖葉圖所示，則甲、乙的平均數、方差、極差及中位數中相同的是()A．極差 B．方差C．平均數 D．中位數解析：選C.由題中莖葉圖中數據的分布，可知方差不同，極差不同，甲的中位數為eq\f(16＋21,2)＝18.5，乙的中位數為eq\f(14＋18,2)＝16，eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(5＋16＋12＋25＋21＋37,6)＝eq\f(58,3)，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1＋6＋14＋18＋38＋39,6)＝eq\f(58,3)，所以甲、乙的平均數相同．故選C.5．甲、乙、丙、丁四人參與某運動會射擊項目的選拔賽，四人的平均成果和方差如下表所示：甲乙丙丁平均環數eq\o(x,\s\up6(－))8.38.88.88.7方差s23.53.62.25.4從這四個人中選擇一人參與該運動會射擊項目競賽，最佳人選是．解析：由題表中數據可知，丙的平均環數最高，且方差最小，說明技術穩定，且成果好．答案：丙6．對某市“四城同創”活動中800名志愿者的年齡抽樣調查統計后得到頻率分布直方圖(如圖)，但是年齡組為[25，30)的數據不慎丟失，則依據此圖可得：(1)[25，30)年齡組對應小矩形的高度為；(2)據此估計該市“四城同創”活動中志愿者年齡在[25，35)的人數為．解析：設[25，30)年齡組對應小矩形的高度為h，則5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04.則志愿者年齡在[25，35)年齡組的頻率為5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年齡在[25，35)年齡組的人數約為0.55×800＝440.答案：(1)0.04(2)4407．某校1200名高三年級學生參與了一次數學測驗(滿分為100分)，為了分析這次數學測驗的成果，從這1200人的數學成果中隨機抽取200人的成果繪制成如下的統計表，請依據表中供應的信息解決下列問題：成果分組頻數頻率平均分[0，20)30.01516[20，40)ab32.1[40，60)250.12555[60，80)c0.574[80，100]620.3188(1)求a、b、c的值；(2)假如從這1200名學生中隨機抽取一人，試估計這名學生該次數學測驗及格的概率P(注：60分及60分以上為及格)；(3)試估計這次數學測驗的年級平均分．解：(1)由題意可得，b＝1－(0.015＋0.125＋0.5＋0.31)＝0.05，a＝200×0.05＝10，c＝200×0.5＝100.(2)依據已知，在抽出的200人的數學成果中，及格的有162人．所以P＝eq\f(162,200)＝0.81.(3)這次數學測驗樣本的平均分為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(16×3＋32.1×10＋55×25＋74×100＋88×62,200)＝73，所以這次數學測驗的年級平均分大約為73分．8．為了解甲、乙兩個快遞公司的工作狀況，假設同一個公司快遞員的工作狀況基本相同，現從甲、乙兩公司各隨機抽取一名快遞員，并從兩人某月(30天)的快遞件數記錄結果中隨機抽取10天的數據，制圖如下：每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務費狀況如下：甲公司規定每件4.5元；乙公司規定每天35件以內(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．(1)依據圖中數據寫出甲公司員工A在這10天投遞的快遞件數的平均數和眾數；(2)依據圖中數據估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務費．解：(1)甲公司員工A在這10天投遞的快遞件數的平均數為36，眾數為33.(2)依據題圖中數據，可估算甲公司的每位員工該月所得勞務費為4.5×36×30＝4860(元)，易知乙公司員工B每天所得勞務費X的可能取值為136，147，154，189，203，所以乙公司的每位員工該月所得勞務費約為eq\f(1,10)×(136×1＋147×3＋154×2＋189×3＋203×1)×30＝165.5×30＝4965(元)．[綜合題組練]1．(2024·安徽五校聯盟其次次質檢)數據a1，a2，a3，…，an的方差為σ2，則數據2a1，2a2，2a3，…，2an的方差為()A.eq\f(σ2,2) B．σ2C．2σ2 D．4σ2解析：選D.設a1，a2，a3，…，an的平均數為a，則2a1，2a2，2a3，…，2an的平均數為2a，σ2＝eq\f(（a1－a）2＋（a2－a）2＋（a3－a）2＋…＋（an－a）2,n).則2a1，2a2，2a3，…，2an的方差為eq\f(（2a1－2a）2＋（2a2－2a）2＋（2a3－2a）2＋…＋（2an－2a）2,n)＝4×eq\f(（a1－a）2＋（a2－a）2＋（a3－a）2＋…＋（an－a）2,n)＝4σ2.故選D.2.(2024·鄭州市其次次質量預料)將甲、乙兩個籃球隊各5場競賽的得分數據整理成如圖所示的莖葉圖，由圖可知以下結論正確的是()A．甲隊平均得分高于乙隊的平均得分B．甲隊得分的中位數大于乙隊得分的中位數C．甲隊得分的方差大于乙隊得分的方差D．甲、乙兩隊得分的極差相等解析：選C.由題中莖葉圖得，甲隊的平均得分eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(26＋28＋29＋31＋31,5)＝29，乙隊的平均得分eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(28＋29＋30＋31＋32,5)＝30，eq\o(x,\s\up6(－))甲<eq\o(x,\s\up6(－))乙，選項A不正確；甲隊得分的中位數為29，乙隊得分的中位數為30，甲隊得分的中位數小于乙隊得分的中位數，選項B不正確；甲隊得分的方差seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝eq\f(18,5)，乙隊得分的方差seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(