2025版新教材高考數學第二輪復習

專題五平面向量與復數

5.1平面向量

五年高考

高考新風向

1.(2024新課標7,3,5分，易)已知向量a=(0,l)力=(2,x),若方，(尻4叫則x=()

A.-2B.-lC.lD.2

2.(2024新課標〃,3,5分，易)已知向量a,b滿足⑷=l,|a+2臼=2,且(尻2aM加貝帥|=()

A.-B.—C.—D.1

222

3.(2024全國甲理,9,5分,中)設向量。=。+1,》)力=。,2),則()

A.x=-3是a±b的必要條件

B.x=l+百是a〃萬的必要條件

C.x=0是aLb的充分條件

D.x=-1+V5是a//b的充分條件

考點1平面向量的概念及運算

1.(2020新高考〃,3,5分，易)若。為AABC的邊A3的中點，則方=()

------->------>------>.......->

A.2CD-CAB.2CA-CD

C.2CD+CAD.2CA+CD

2.(2022新高考/,3,5分，易)在△ABC中，點D在邊AB上,3D=2D4.記襦=外而=",則

CB=(.)

A3m-2nB.-2/n+3〃C.3m+2nD.2/n+3n

3.(2021全國乙文,13,5分，易)已知向量a=(2,5)力=(九4),若a〃仇貝ijA=.

考點2平面向量的夾角與模

1.(2022全國乙文,3,5分,易)已知向量.=(2,1)力=(-2,4),則|小臼=()

A.2B.3C.4D.5

2.(2023全國甲文,3,5分，易)已知向量a=(3,l),0=(2,2),則cos<a+b,a-b>=()

A.-B.—C.—D.—

171755

3.(2020課標〃7理,6,5分，易)已知向量a,b滿足|a|=5,忸|=6,a?辦二-6,貝！Jcos<a,a+方>=()

4.(2022新高考〃,4,5分，易)已知向量。=(3,4)力=(1,0),=4+仍,若<a,0=<"0,則/=()

A.-6B.-5C.5D.6

5.(2023全國甲理,4,5分，中)已知向量a,b,c滿足—|=l,|c|=/,且a+:+c=0底則

cos<a-c,b-c>=()

422

A.--B.--C.-D.-

5555

6.(2023新課標〃,13,5分，易)已知向量a,b滿足|小臼=百,|°+臼=|2a/|,則|。|=.

7.(2021新高考〃,15,5分，中)已知向量a+b+c=0,\a\=l.\b\=\c\=2,a-b+b-c+ca=.

考點3平面向量的數量積及其應用

1.(2023新課標/,3,5分，易)已知向量。=(1,1)力=(1,-1).若(a+勸)，(“+砂)，則()

A/+〃=lB/+〃=-lC.A/z=lD/〃=-l

2.(2023北京,3,4分，易)已知向量a/滿足a+方=(2,3),a1=(-2,l),則⑷2一|肝=(B)

A.-2B.-lC.OD.1

3.(2020課標〃文,5,5分，易)已知單位向量a/的夾角為60。,則在下列向量中，與b垂直的是

()

A.a+2bB.2a+力C.a-2bD.2a-b

4.(2023全國乙文,6,5分，易)正方形A3CD的邊長是2,E是AB的中點，則說.麗=()

A.V5B.3C.2V5D.5

5.(2020新高考/,7,5分，中)已知P是邊長為2的正六邊形A3CDER內的一點，則族.前的

取值范圍是()

A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)

6.(多選)(2021新高考7,10,5分，中)已知O為坐標原點，點Pi(cosa,sin?),P2(cos^,-sinp),

P3(cos(a+^),sin(a+^))4(l,0),^1]()

A.|Ml=lMl

B.\AP^\=\AP^\

c.而西=兩破

D.瓦西=西.南

7.(2021全國乙理」4,5分，易)已知向量a=(l,3)/=(3,4),若(a-奶)，仇貝I]2=.

8.(2020課標〃理,13,5分，易)已知單位向量a,b的夾角為45。屈力與a垂直，則k=.

三年模擬

練速度

1.(2024遼寧撫順模擬,3)已知向量a=(2,l)力=(1,2),若向量c滿足a-c=8,且b//cM=

()

A.2V5B.12C.20D.2V3

2.(2024江蘇蘇錫常鎮調研一,3)已知平面向量a,4c滿足a+Z>+c=0,|a|=|"=L|c|=V^,則a與b

的夾角為()

A.-B.-C馬D.-rt

4334

3.(2024山東青島二模,5)已知平面向量a=(-l,l)/=(2,0),則a在力上的投影向量為()

A.(-l,0)B.(l,0)C.(-V2,0)D.(V2,0)

4.(2024湖南長沙雅禮中學月考(七),4)已知D是4ABC所在平面內一點，同=|荏+|而，則

()

->2--->>>2->

A.BD=-BCB.BD=-BC

55

->Q----->>2>

C.BD=-BCD.BD=-BC

23

5.(2024福建漳州第三次質量檢測,6)在4ABC中Q是邊BC上?點，且BD=2DC,E是AC

的中點，記二加，而二則屁二()

57

A.-n-3mB.-n-3m

32

75

C-m-3nD-m-3n

22

6.(2024湖北七市州3月聯考,3)已知正方形ABCD的邊長為2,若前=定，則方.麗=()

A.2B.-2C.4D.-4

7.(2024北京清華附中統練二,5)如圖，在口OACB中乃是AC的中點下是BC上的一點，且

3c=3BF,若。。=機。￡'+”。尸,其中機,〃ER,貝！］m+n的值為()

BF___________C

'E

0A

377

A.lB.-C.-D.-

253

8.（2024東北三省三校第二次聯考,5）已知⑷=5,方=（-1,2）,a在b上的投影向量為加=（-2,4）,則

向量a與8夾角余弦值為（）

A建B.漁1D.E

5555

9.（2024廣西南寧3月第一次適應性測試,5）已知AABC的外接圓圓心為。，且

2方=近+而,|U1|=|就則向量方在向量方上的投影向量為（）

A.-CBB.—CBC.--CBD.-CA

4442

10.（2024浙江杭州二模,3）已知a,b是兩個單位向量,若向量a在向量萬上的投影向量為

則向量a與向量ad的夾角為（）

A.30°B.60°C,90°D.1200

11.（2024山東淄博一模,6）在平面直角坐標系xOy中,已知向量雨與至關于x軸對稱，向量

a=（0,l）,若滿足力下=0的點A的軌跡為E,則（）

A.E是一條垂直于x軸的直線

B.E是一個半徑為1的圓

C.E是兩條平行直線

D.E是橢圓

12.（多選）（2024湖北武漢調研,9）已知向量a=（cos6?,sin。）,。=（-3,4）,則（）

A.若a〃上則tan

B.若。_1_0則sin。=|

C|a-b|的最大值為6

D.若a-（a-Z>）=0,則|a-Z>|=2后

13.（多選）（2024福建廈門畢業班第四次質量檢測,10）已知等邊^ABC的邊長為4,點D,E滿

足麗=23?，展=阮,AE與CD交于點。，則（）

A^CD=-CA+-~CB

33

B.BOBC=8

C^CO=2OD

D.|O1+OB+OC|=V3

14.（2024浙江嘉興調研,12）已知平面向量a也偌=（-1,遮）,。=（8,-1）.是非零向量,且。與岫

的夾角相等，則c的坐標可以為.（只需寫出一個符合要求的答案）

15.（2024黑龍江哈六中二模,12）已知不共線的三個單位向量a,b,c滿足a+Ab+c=0,a與8的

夾角為全則實數A=.

練思維

1.（2024江西重點中學協作體聯考,6）如圖，正六邊形的邊長為2企,半徑為1的圓0的圓心

為正六邊形的中心，若點〃在正六邊形的邊上運動，動點A乃在圓。上運動且關于圓心0

對稱，則麻?府的取值范圍為)

A.[4,5]B.[5,7]

C.[4,6]D.[5,8]

2.(2024湖南新高考教學教研聯盟第二次聯考,5）設m=（1,0）,9=（0,2）,對滿足條件

|瓦-UI-麗|=2|UX9|的點C（x,y）,。為坐標原點,|x-2y+詞+|x-2y-7|的值與無關,則實數m

的取值范圍為()

B.[13,+co）

C.（13,+oo）

D.（-oo,-7）U[13,+oo）

3.（2024河北石家莊質檢（二）,6）在平行四邊形ABCD中，緇+黑=富，可"3],則

\AD|\AU|\AC|

cosZBAD的取值范圍是（）

c-

-[14]D.卜|，T

4.（2024山東煙臺、德州二模，7）在△ABC

中A3=3,AC=2,NB4c=60。,同=3而，雇=前八瓦CT交于點。，則|麗|=（）

5.（2024山西晉城三模,8）如圖，圓01和圓Q外切于點PA3分別為圓Oi和圓。上的動點,

已知圓01和圓02的半徑都為1,且P4PB=-1,則IPZ+PBf的最大值為

“P卜0..

A.2B.4C.2V2D.2V3

6.（多選）（2024江蘇蘇錫常鎮調研二,11）在長方形A3CD中,43=84。=6,點E尸分別為邊3C

和CD上兩個動點（含端點），且ER=5,設BE=7BC,DF=〃DC,貝U

13

B/+〃為定值

C.版?標的最小值為50

D.|荏+亦|的最大值為

7.（多選）（2024湖南長沙一中一模，10）在梯形ABCD

中5A。〃3cA3=AD=CD=2,NABC=60o,AC與BD交于點M,點N在線段CD上，則

----?2---?1---)

A.AM=-AD+-AB

B.2sAACD=3SABCM

C.麗?麗為定值8

D.若麗=2麗+〃阮，則：+興勺最小值為學

A.2〃2

8.（2024廣東深圳第一次調研,13）設點4（-2,0）,3（-3°），°（°，1），若動點P滿足陷=2閘,且

9=2亞+〃就，則7+2〃的最大值為.

9.（2024安徽六校教育研究會第二次素養測試,13）已知正方形ABCD的邊長為2,中心為O,

四個半圓的圓心均為正方形A3CD各邊的中點（如圖），若P在戌:上，且而=丸同+〃而，則丸+〃

的最大值為.

練風向

(新定義理解)(2024北京人大附中統練,15)定義平面向量的一種運算

a。Z>=|a+Z)|x|a-》|xsin<a,Z>>,其中是a與b的夾角，給出下列命題:①若<a力>=90。,則

aO/>=/+/；②若同=瓦則(a+份。伍-0)=4小。;③若同=依,貝I]aG>店2|af;④若a=(l,2),Z?=(-2,2),

則(a+6)0斤"6.其中真命題的序號是.

專題五平面向量與復數

5.1平面向量

五年高考

高考新風向

1.(2024新課標/,3,5分，易)已知向量a=(0,l)/=(2,x),若方，(F4a),貝ijx=(D)

A.-2B.-lC.lD.2

2.(2024新課標〃,3,5分，易)已知向量〃力滿足⑷=l,|a+2b|=2,且(尻2aMi則步|=(B)

A.-B.—C.—D.1

222

3.(2024全國甲理,9,5分,中)設向量“=。+1,力力=(羽2),則(C)

A.x=-3是的必要條件

B.x=l+百是a〃力的必要條件

C.x=O是a_L8的充分條件

口.%=-1+b是a//b的充分條件

考點1平面向量的概念及運算

1.(2020新高考113,5分，易)若D為公ABC的邊AB的中點，則方二(A)

—>—>—?一..>

A.2CD-CAB.2CA-CD

C.2CD+CAD.2CA+CD

2.(2022新高考/,3,5分，易)在AABC中，點D在邊AB上,3D=2D4.記襦=嘰而="，則

CB=(B)

A3m-2nB.-2zn+3nC.3m+2nD.2機+3〃

3.(2021全國乙文,13,5分，易)已知向量a=(2,5)/=04),若a〃上則2=|

考點2平面向量的夾角與模

1.(2022全國乙文,3,5分,易)已知向量4=(2,1)/=(-2,4),則依加=(D)

A.2B.3C.4D.5

2.(2023全國甲文,3,5分,易)已知向量。=(3/)力=(2,2),貝1]<：05<。+上。0>=(B)

3.(2020課標〃7理,6,5分，易)已知向量a,b滿足|a|=5,|〃|=6,a0=-6,則cos<a,a+b>=(D)

A.--B.--C,—D.—

35353535

4.(2022新高考〃,4,5分，易)已知向量。=(3,4)力=(1,0)2=4+仍,若<見0=<仇0,貝1]/=(C)

A.-6B.-5C.5D.6

5.(2023全國甲理,4,5分，中)已知向量a,b,c滿足|旬=|臼=l,|c|=V2,且a+b+c=0,則

cos<a-c,b-c>=(D)

4224

A.--B.--C.-D.-

5555

6.(2023新課標〃,13,5分，易)已知向量a,b滿足|a力|=g,|a+臼=|2如。|,則回=_8.

7.(2021新高考11,15,5分，中)已知向量a+b+c=0,\a\=l,\b\=\c\=2,ab+bc+ca=

考點3平面向量的數量積及其應用

1.(2023新課標/,3,5分，易)已知向量a=(l,l)力=(1,-1).若(a+乃M(a+砂)，則(D)

A.2+/z=lB.2+//—1C.〃z=lD.〃z=-1

2.(2023北京,3,4分，易)已知向量a,b滿足a+方=(2,3),af=(-2,l),則⑷2一|開=(B)

A.-2B.-lC.OD.1

3.(2020課標〃文,5,5分，易)已知單位向量a力的夾角為60。,則在下列向量中，與〃垂直的是

(D)

A.a+2方B.2a+bC.a-2bD.2a-b

4.(2023全國乙文,6,5分，易)正方形A3CD的邊長是2,E是A3的中點，則說.前=(B)

A.V5B.3C.2V5D.5

5.(2020新高考/,7,5分，中)已知P是邊長為2的正六邊形A3CDER內的一點，則族.南的

取值范圍是(A)

A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)

6.(多選)(2021新高考/,10,5分，中)已知O為坐標原點，點Pi(cosa,sina),P2(cos人-sinp),

P3(cos(ct+^),sin(a+^))4(l,0),^1](AC)

A西=|西

B.廚=|汨

C.俞南=珂.甌

D底西=恒.南

7.(2021全國乙理」4,5分，易)已知向量。=(1,3)力=(3,4),若(。-勸)，上則A=_|.

8.(2020課標〃理,13,5分，易)已知單位向量a力的夾角為45。屈力與a垂直，則k=y

三年模擬

練速度

1.(2024遼寧撫順模擬,3)已知向量a=(2,l)力=(1,2),若向量c滿足a-c=8,且8〃c,則|c|=

(A)

A.2V5B.12C.20D.2V3

2.(2024江蘇蘇錫常鎮調研一,3)已知平面向量a,dc滿足a+Z>+c=0,|a|=|Z>|=lJc|=V5,則a與b

的夾角為(B)

A.-B.-C4DA:

4334

3.（2024山東青島二模,5）已知平面向量。=（-1,1）/=（2,0）,則a在力上的投影向量為（A）

A.（-l,0）B.（l,0）C.（-V2,0）D.（V2,0）

4.（2024湖南長沙雅禮中學月考（七）,4）已知。是△ABC所在平面內一點，同=|荏+|左，則

（A）

----->2----->>Q>

A.BD=-BCB.BD=-BC

55

->2----->>2>

C.BD=-BCD.BD=-BC

23

5.（2024福建漳州第三次質量檢測,6）在4ABC中,。是邊BC上一點，且BD=2DC,E是AC

的中點，記二而，而二打,則前二（D）

57

A.-n-3mB.-n-3m

32

75

C-m-3nD-m-3n

22

6.（2024湖北七市州3月聯考,3）已知正方形ABCD的邊長為2,若麗=麗，則方.麗=

A.2B.-2C.4D.-4

7.（2024北京清華附中統練二,5）如圖，在口OACB中,E是AC的中點下是BC上的一點，且

3c=3BF,若。。=加。￡1+72。￡其中機jzGR,則m+n的值為（C）

377

A.lB.-C.-D.-

253

8.（2024東北三省三校第二次聯考,5）已知⑷=5,方=（-1,2）,a在b上的投影向量為加=（-2,4）,則

向量a與8夾角余弦值為（A）

A里BWCWD..更

5555

9.（2024廣西南寧3月第一次適應性測試,5）已知△ABC的外接圓圓心為。，且

2方=近+而,|U1|=|就則向量后?在向量方上的投影向量為（A）

A.-CBB.—CBC.--CBD.-CA

4442

10.（2024浙江杭州二模,3）已知a,b是兩個單位向量,若向量a在向量b上的投影向量為

則向量a與向量a6的夾角為（B）

A.30°B.60°C.90°D.1200

11.（2024山東淄博一模,6）在平面直角坐標系xOy中,已知向量而與耐關于x軸對稱，向量

a=（0,l）,若滿足力荏=0的點A的軌跡為瓦則（B）

A.E是一條垂直于x軸的直線

B.E是一個半徑為1的圓

C.E是兩條平行直線

D.E是橢圓

12.（多選）（2024湖北武漢調研,9）已知向量a=（cose,sine）,0=（-3,4）4lj（ACD）

A.若a〃仇則tan6）=-1

B.若。_1_0則sin。=|

C.|a6|的最大值為6

D.若a-（a6）=0,則|<1-5|=2遍

13.（多選）（2024福建廈門畢業班第四次質量檢測,10）已知等邊^ABC的邊長為4,點D,E滿

足麗=235,屣=阮,AE與CD交于點。，則（ABD）

A.CD=-C2+-CB

33

B.BO-BC=8

C.CO=2OD

D.\OA+OB+OC\=y/3

14.（2024浙江嘉興調研,12）已知平面向量a,b,c,a=（-1,V3）>（V3,-l）,c是非零向量，且c與a力

的夾角相等，則c的坐標可以為（1,1）（答案不唯一，滿足橫、縱坐標相等且都不為0即

可）.（只需寫出一個符合要求的答案）

15.（2024黑龍江哈六中二模,12）已知不共線的三個單位向量a,b,c滿足a+Ab+c=0,a與方的

夾角為a則實數A=-1

練思維

1.（2024江西重點中學協作體聯考,6）如圖，正六邊形的邊長為2班,半徑為1的圓0的圓心

為正六邊形的中心，若點”在正六邊形的邊上運動，動點A,3在圓。上運動且關于圓心0

對稱，則麻?府的取值范圍為(B)

A.[4,5]B.[5,7]

C.[4,6]D.[5,8]

2.(2024湖南新高考教學教研聯盟第二次聯考,5)設a=(1,0),9=(0,2),對滿足條件

礪|=2|UX9|的點C(x,y),。為坐標原點,|x-2y+詞+|x-2y-7|的值與無關,則實數m

的取值范圍為(B)

A.(-oo,-7)

B.[13,