模塊03三角函數與解三角形

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.（24-25高三上?山東濟寧?階段練習）在三角形A3C中，a=2,A=y,b=2由,則/C=（）

6

7171_p_71

A.—c-Hg-D.7■或T

6,6232

【答案】C

【分析】由正弦定理求得B,即可求解.

,226

【詳解】由可得：1sinB-

sinAsmB—

2

所以sin3=，又b>a,

2

所以8=5或g,

結合內角和定理，所以或不

故選：C

2.（2024?海南?模擬預測）若。￡（0,兀），且85。一51!1。=；,貝hana=

A."B.4一手4-V7

c4+SD.

55?^3

【答案】D

3

【分析】先左右兩邊平方，得出sinacosa=?,再應用弦化切，最后結合角的范圍可得求出正切值.

O

[2]

【詳解】因為cosa—sina=5,所以（cosa—sina）=—,

13

即1-2sinacosa,所以sinacosa=—,

48

廣廣…sinacosa34口tana_3

所以sm%+c°s%/'得

1+tan2a8’

4-4

解得tana=———或tana

33

因為二￡（0,兀），且cosa-sincr=；＞0,

_4-A/7

所以所以Ovtanovl,所以tana

3

故選：D.

3.(24-25高三上?安徽?階段練習)已知角*￡,左ez]的頂點與原點重合，始邊與工軸的非負半軸重合,

終邊經過點尸(tana,4),則sm2a+l=()

cos2a+1

999i91

A.-B.-C.乙或、D.'或上

282288

【答案】C

4

【分析】由已知可得tana=——,可求得tana=±2,利用二倍角的正余弦公式可得

tan。

sin2a+1

=tan<z+-+-tan26z,代入求值即可.

cos2a+122

b-jr

【詳解】因為aw—,左wZ,所以tanawO,

2

4

因為。的終邊過點P(tana,4),所以tana=-------,解得tana=±2,

tan<7

sin2a+12sinacosa+cos2a+sin2a11

=-=tan。dF—tan2a,

cos2a+1------------2cos2cr-l+l-----------------------22

sin2a+1_2+1+1x22-9

當tana=2時,

cos2a+1222，

sin2a+1

當tana=-2時,

cos2a+12

sin2a+19T.sm2a+11

綜上所述:--------=一或--------=-

cos2a+12cos2a+12

故選：C.

4.(24-25高三上?甘肅臨夏?期末)將函數g(x)=2sin2元的圖象向左平移已個單位長度，再向下平移1個單

位長度得到函數/(x)的圖象，則函數/(x)的()

A.最大值為3B.最小值為-1C.一個對稱中心為一條對稱軸為尤=當

【答案】D

【分析】利用平移變換求得f(x)的解析式，進而求得最值判斷AB；求得對稱中心與對稱軸方程判斷CD.

【詳解】函數g(x)=2sin2x的圖象向左平移三個單位長度，

12

可得g(x+^|)=2sin2[x+^|J=2sin(2x+^J的圖象，

又再向下平移1個單位長度得到函數/(x)的圖象，所以/(無)=2sin[2x+[]-l,

當sin12x+"=l時，/(%)_=!,故A錯誤；

當sin12x+’=-l時，/（耳而=_3,故B錯誤;

由2x+F71=E,%eZ,得元=—71+”kit次?Z,所以函數的（一亮+空一“keZ,

66121222\VIZ）

當k=l時，/（X）的一個對稱中心為故C錯誤;

由2"/?析人學得戶?程壯Z,所以小）的對稱軸為片表箏Z%

7T

當當左=0時，/（X）的一條對稱軸為x=：,故D正確.

6

故選：D.

5.（2024?河南?模擬預測）已知函數/（x）=tan12x+mj,則下列說法正確的是（）

A.“X）為奇函數B.“X）在區間會號上單調遞增

C.〃x）圖象的一個對稱中心為宿,0]D.〃x）的最小正周期為兀

【答案】C

【分析】根據正切函數的定義域、對稱中心、周期、單調性逐項判斷即可得解.

【詳解】因為/（x）=tan,+。所以2X+3E+T，解得》若+jkeZ

即函數的定義域不關于原點對稱，所以f（x）不是奇函數，故A錯誤；

當戶口寸，2x+g=g,此時無意義，故〃x）在區間2，閨上單調遞增不正確，故B錯誤；

當》=工時，2x+?q,正切函數無意義，故（go）為函數的一個對稱中心，故C正確；

JTTTTTIT\7117T

因為/（x+5）=tan2（x+-）+-=tan（2x+-+n）=tan2x+-=/（x）,故不是函數的一個周期，故D錯誤.

故選：C

6.（24-25高三上?湖南長沙?階段練習）如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心。距離水面2米，已知

水輪每60秒逆時針轉動一圈，如果當水輪上點P從水中浮現時（圖中點玲）開始計時，則下列說法錯誤的

A.點尸第一次到達最高點需要20秒

B.當水輪轉動155秒時，點尸距離水面1米

C.當水輪轉動50秒時，點P在水面下方，距離水面2米

D.點尸距離水面的高度/?（米）與時間?（秒）之間的函數解析式為/7=4sin（2,-11+2

【答案】B

【分析】根據題意求出點尸距離水面的高度〃（米）與時間〃秒）之間的函數解析式為九=4sin[S"1]+2,

結合選項依次判斷即可.

【詳解】設點尸距離水面的高度為久（米）與時間/（秒）之間的函數解析式為/i=Asin（&+0）+5,

A+B=6A=4

由題意，"max=6,%n=—2，解得「?

-A+B=-2B=2

T==60,/.co=,貝U%=4sint++2.

當才=0時，/2=0,.*.4sin^+2=0,貝!Jsin0=-；,

又則9=—g

26

綜上，/i=4sin（/^—g]+2,故D正確；

oJ

令iin4高+2=6,則sin圖一）1,

若薪得f=20秒，故A正確；

3062

當t=155秒時，7i=4sin（白xl55-F]+2=4sin5兀+2=2米，故B不正確；

1306J

（TTTT]3冗

當/=50秒時，h=4sin—x50---+2=4sin--+2=—2,故C正確.

1306）2

故選：B.

7.（24-25高三上?湖南長沙?期末）若cos伍-夕）=e，cos2a=巫，并且d尸均為銳角，且。＜尸，則a+尸

v7510

的值為（）

71_71-3兀-5兀

A.-B.—C.—D.—

6446

【答案】C

【分析】根據同角三角函數之間的基本關系計算可得sin（a-6）=-竽，Sin2a=嚶，再由兩角差的余

弦公式計算可得結果.

7TTT

【詳解】由。＜。＜/?＜萬，可得—4＜。，

Xcos（6Z-y0）=^-,所以sin（——、）=_-cos2（a-0）=一,

因為cos2a=^0,0＜2a＜TI,所以sin2a=J1-cos?2a=,

1010

所以cos（a+0=cos[2a—（a—0]=cos2acos（a—/7）+sin2asin（a—m

A/10753麗2A/541

=--------X-----------------------X----------=-----------，

1051052

又因為。+/€（0,兀），所以&+￡=芋.

故選：C

8.（2025高三?全國?專題練習）已知VABC的內角A,民C所對的邊分別為a,b,c,若

（c-a）sinA=csmC-bsinB,b^3,則AC邊上中線長度的最大值為（）

A

30n473n4行

2323

【答案】C

【分析】根據正弦定理角化邊得到〃+/_9="，結合基本不等式得到"十/418,再由中線長公式求解.

【詳解】（。一〃）sinA=csinC-Z?sinB,由正弦定理可得（。一。”=。2一〃，

1jr

即/+°2一〃=a，則COSB=5，-.Be（O,^）,.'.B=—,

22

又6=3,所以6+02-9=改，因為acV—土三，當且僅當。=。=3時等號成立，

2

22

所以/+C2_94±^,則/+C2418.

2

2*92

設AC邊上中線的長度為h,則2〃=J/+c2_2“ccos與=^2（a+c）-9＜727=373,

所以AC邊上中線長度的最大值為±8.

2

故選：C

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.（24-25高三上?吉林?期末）在VABC中，內角AaC所對的邊分別為。,6,c,已知a=3/=2,sinB=sin2A,

則（）

A.sinB=4'^B.cosA=—

93

C.c=3D.SMC=2叵

【答案】ACD

【分析】由二倍角公式結合正弦定理的角化邊公式求出cosAsinAsin氏cos》，進而由和角公式得出

cosCsinA=cosA,進而得出。=〃=3,最后求出三角形面積.

【詳解】因為sinB=sin2A,所以51115=251114804/?=2〃854,又。=3/=2,

所以cosA=LsinA=2^"sinB=W^，又b〈a,所以cos5=(,

3399

cosC=—cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=g=cosA,所以c=。=3,

SABC=gbcsinA=gx2x3x^l=2^.

故選：ACD

10.(24-25高三上?重慶?期末)已知函數〃x)=sin(3x+9)，］<e<^|的圖象關于直線x=-1對稱，則

()

A.”力的最小正周期為gB.〃尤)的圖象關于點1寸稱

C./⑺在上有最小值D.『⑺在［吟上有兩個極值點

【答案】ABD

【分析】根據對稱可得。=-：，即可得〃x)=sin,-￡|,根據周期的計算公式求解A,代入即可求解B,

根據整體法即可求解CD.

［詳解］3x(——j+=——+(p=—+kn,,即p=到+M,左eZ,

y12J424

故左=_1,0=_(.故/(x)=sin(3x一：J,

「2兀2兀

對于選項A：最小正周期7=時=了，正確.

對于選項B：1二否"時，3%-1=兀,(兀,0)為y=sinx的對稱中心，正確.

對于選項C：工￡(0,；1時，,無最小值，錯誤.

對于選項D：時，3%-丁￡(一手,當］,結合y=sinx的圖象可知，有兩個極值點，正確.

I612；4I42J

故選：ABD

11.（24-25高三上?湖北?開學考試）受潮汐影響，某港口5月份每一天水深y（單位：米）與時間無（單位：

TTJT

時）的關系都符合函數y=Asin（0無+夕）+"（A>0,。>0,--<（p<-,/zeR）.根據該港口的安全條例，

要求船底與水底的距離必須不小于2.5米，否則該船必須立即離港，一艘船滿載貨物，吃水（即船底到水面

的距離）6米，計劃于5月10日進港卸貨（該船進港立即可以開始卸貨），已知卸貨時吃水深度以每小時

0.3米的速度勻速減少，卸完貨后空船吃水3米（不計船停靠碼頭和駛離碼頭所需時間）.下表為該港口5月

某天的時刻與水深關系：

時刻2：005：008：0011：0014：0017：0020：0023：00

水深/米1074710747

以下選項正確的有（）

/TT7T?

A.水深y（單位：米）與時間x（單位：時）的函數關系為y=3sin《x+%J+7,%e[0,24）

B.該船滿載貨物時可以在0：00到4：00之間以及12：00到16：00之間進入港口

C.該船卸完貨物后可以在19：00離開港口

D.該船5月10日完成卸貨任務的最早時間為16：00

【答案】ABD

3sinf—x+—|+7>6+2.5

【分析】根據題意求出函數的解析式，即可判斷A；解不等式組166）,即可判斷B；

0<x<24

（TTJTA

求出19時水的深度，即可判斷C；求出函數>=-。.3彳+6+2.5與y=3sin[%x+%J+7的圖象的交點，即可

判斷D.

【詳解】解：依題意A=3,/7="f=7,-=14-2,解得。

2co6

顯然函數〉=35《裊+,+7的圖象過點（2,10）,

即sin[g+e]=l,又一：<夕<5，因此,=5，

<3J226

所以函數表達式為y=3sin尋+看1+7,xe[0,24],故A對；

3sin—x+—|+7>6+2.5sin>—

依題意，,(66整理得2,

0<x<240<x<24

/2E吟+臺*2由皿)

即有

0<x<24

?[12k<x<4+12k(kGZ)

即[0<x<24

解得0WxW4或12W16,

所以該船可以在0點到4點以及12點到16點進入港口，故B對;

該船卸完貨后符合安全條例的最小水深為5.5,

19時水深為>=35由］e'19+弓］+7=管+7<5.5,故C錯；

該船。點進港即可以開始卸貨，設自。點起卸貨x小時后，

該船符合安全條例的最小水深為V=-0.3%+6+2.5

函數y=-0.3尤+6+2.5與y=3sin『+5+7的圖象交于點（5,7）,

即卸貨5小時后，在5點該船必須暫時駛離港口，此時該船的吃水深度為4.5米，

下次水深為7米時刻為11點，

故該船在11點可返回港口繼續卸貨，5小時后完成卸貨，此時為16點，

綜上，該船在0點進港開始卸貨，5點暫時駛離港口，11點返回港口繼續卸貨，16點完成卸貨任務，故D

對.

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（24-25高三上?河北滄州?階段練習）已知〃分別為第一象限角和第三象限角，

tana-tan,=4,tanatan/?=5/2-1,則sin（cz—分）=.

【答案】-述

3

【分析】根據兩角差的正切公式得tan（a-耳）的值，再結合兩個角的取值范圍得到〃-尸的取值，即可得到

結果.

［詳解］依題意，tan（a-6）=/2>0,

1:+7tancrtanp1+V2-1=2A

71371

因為2勺兀<a<2勺兀+萬，匕￡Z,2左2兀+兀v0<lk2Tt+—,k2eZ,

3

即一2左2兀一］兀<一夕<~2k2Ti-71,k2eZ,

37T

所以2（匕-k2）Ti--Ti<a-j3<2（<ki-k2）7i--f又tan（a-/?）>0,

所以2（匕_左2）兀_兀<°_￡<2（左i一女2）兀一，匕，左2EZ,

所以sin（a—4）=

故答案為：-述.

3

7T

13.（24-25高三上?黑龍江大慶?期中）如圖，0P。是以。為圓心，半徑為1,圓心角為1的扇形，C是扇形

弧上的動點，A3在線段0尸上，A8CO是扇形的內接矩形，貝IJA8+冬8人。的最大值為.

3

【答案】空

3

71表達出AD=sin6,AB=cosO-^Sm0,利用三角恒等變換得到

【分析】設NPOC=6,0,-

3

AB+^AD=^sin(0+^\

,求出最大值，得到答案.

33I3)

TT

【詳解】設NPQC=e,0,-,

則BC=OCsin3=sin3,OB=OCcos0=cos0

故AD=sin。,

c_A。_sin_73sin0n

貝1J”tan/PO0=~-3-，貝lAB=OB—OA=cos8—

tan—3

3

mil4D2有Ar.aJ^sin82V3V3sin

貝IJAB+---AD=cos<9-------------+------sin6=cos6+-----------

3333

=^sin

9+g

3

因為Me04，所以嗚e,

故當。+女=女，即。=四時，A3+漢14。=拽^/。+4]取得最大值，

32633{3）

最大值為也.

3

故答案為：巫

3

14.（24-25高三上?江蘇無錫?階段練習）在VA5C中，內角A氏。所對的邊分別為〃，叱（。4）.已知

c=2acosA,貝UsinB+sinA的最大值是.

【答案】亞色6

99

7T

【分析】根據條件，利用正弦定理邊轉角得到C=2A,0<A<-,AWWsinB+sinA=^sin3A+4sinA,構

造函數%）=_4-+由，仁sinAe（0,岑），利用導數，求出入）=-4戶+4的單調區間，即可求解.

【詳解】由。=2QCOSA,則由正弦定理可得sinC=2sinAcosA=sin2A,A,CG（0,K）,

所以。=2A或C+2A=兀，而A+3+C=7t,且awb,即Aw5,

所以C=2A,且0VA+C=3AVTI,即0<A<],

二.sin3+sinA=sin3A—2sinA=sinAcos2A+cosAsin2A+sinA

二sinA(l-2sin2A)+2cos2AsinA+sinA=sinA-2sin3A+2(1-sin2A)sinA+sinA

=-4sin3A+4sinA,

貝I]f(t)=-4?+4t,所以f'(t)=-12?+4=-12(？-1)=-12(r+

當re，母,寸，r（0>0,貝l]/Q）在o,上遞增;

當時，八。<0,則何）在停考

上遞減;

所以/⑺=-4*a]+4*a]=更

J\/maxooQ

\JJJ

故答案為：也

9

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（24-25高三上?黑龍江?期末）記VABC的內角A,B,C的對邊分別為“，b,c,已知

sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB.

⑴求B；

⑵若o=2,c=3,求b和sinA的值.

【答案】(嗚

(2)6=77,叵

7

【分析】(1)運用兩角和的正弦公式，結合誘導公式以及特殊角化簡計算即可;

(2)運用余弦定理和正弦定理計算即可.

【詳解】(1)因為sinBcosC=2sinAcos_B—sinCbos_B,

則sin伊+C)=2sinAcosB,

因為在VABC中，A+B+C=TI9

所以sin(_B+C)=sin(兀一A)=sinA,

則有sinA=2sinAcosB，

因為A,5?0,兀),

所以sinAwO,cosB=—,

2

故8

IT

(2)由(1)可知：B=-,

在VABC中，因為a=2,c=3,

由余弦定理可得：b1-a2+/-2accosZ?=4+9-2x2x3x—=7,

2

則b=V7,

,2V7

nh______—_____

由正弦定理可得：—=即sinA-g，

sinAsinB、一

2

出后

所以sinA=

16.(24-25高三上?山東德州?期末)在單位圓中，銳角。的終邊與單位圓相交于點尸m,,連接圓心。和

P得到射線。尸，將射線。尸繞點。按逆時針方向旋轉6后與單位圓相交于點8,其中ee(0g).

⑴求出m的值和銳角a的大小；

4sin31＜7+—|+2sin*21^71-or|-4cos（6r+7i）

（2）求I2）12J,的值；

2+2cos2（57i+a）+cos（-6z）

⑶記點B的橫坐標為/（。），若//一求cos：j+cos,_g]的值.

【答案】（1）m=1],?=兀|

（2）1

（3）岳T

4

【分析】（1）由單位圓與三角函數的定義求解;

（2）用誘導公式化簡后可得；

（3）已知條件代入得cos（6+弓[=；,由同角三角函數關系得sin[d+^],再由誘導公式化簡后可得.

【詳解】（1）由于點P在單位圓上，且。是銳角，

2

可得相＞0,=1,則m=_,

2

171

所以cosa=5，且。為銳角，可得。=/%QP=§；

（2）4sin3+2sin2一。）一4cos（a+兀）

2+2cos2（5兀+a）+cos（-a）

4cos3a+2cos2a+4cosa小,

=-----------------------------------=2cosa=1；

2+2cosa+cosa

TT

（3）由（1）可知a=/無。尸=],

根據三角函數定義可得：/（0）=cos^+^,

因為/,qj=cos,+T=；＞0,且0e（0,3,

TTV15

因止匕所以sin]<9+己

0

7C的+弓

+cos—71

2

y/15—1

=sin（e+《J—cos（e+《

4

17.（24-25高三上?山東淄博?期末）在VABC中，角A,B,。的對邊分別為〃，b,c,/,〃，成等差

JT

數列，且2=

(1)求證：VABC為等邊三角形;

(2)如圖，點。在邊BC的延長線上，且3c=2CD,AD=近，求sin/BAD的值.

【答案】(1)證明見詳解

35/21

14

22

【分析】(1)根據等差中項可得戶再結合余弦定理分析證明；

2

(2)^BC=2CD=2x>0,在△AB。中，利用余弦定理可得x=l,再利用正弦定理運算求解.

【詳解】(1)因為“2,b2,0?成等差數列，則

2

JT

又因為B=],由余弦定理可得b2=〃+c2-2accosB,

22

即“+°=a1+c2—ac,解得。=c,

2

所以VABC為等邊三角形.

(2)設BC=2CD=2x>0,則A5=2x,BD=3x,

在△ABD中，由余弦定理可得AD?一2ABmcosZB,

即7=4_?+9J?-2*2XX3X*L,解得彳=1,即A8=2,B￡>=3,

2

ADBD—f彳曰3X

由正弦定理sinZBAD"才sin/BAO8Dsin/3T3V21.

sin/B

AD夕一14

18.(24-25高三上?安徽?階段練習)函數〃x)=羔皿8+9)b>0,0>0,閘<?的部分圖象如圖所示.

(1)求函數y=/0)的解析式;

⑵將函數y=/(x)的圖象向左平移合個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的g倍，縱坐標不

變，得到函數y=g(x)的圖象，求函數g(x)在0,(上的值域.

【答案】(l)/(x)=2sin[2x+[

⑵卜百，2]

【分析】(1)根據圖象易得A和周期，結合/[聯)=0可得結果；

(2)根據平移和伸縮變換可得g(x),進而由整體法即可求解函數的值域.

1(兀、27r

【詳解】(1)觀察圖象可得A=2,函數了。)的周期丁=7丁--百=兀=一，解得啰=2,

12I12JCD

即/(x)=2sin(2x+?),由/[-1]=2sin[-￡+0]=0,得一:+夕=也，

兀.7TJC

即夕=左兀H---,左￡Z,而I9|<二"，則夕=—9

626

所以函數y=〃x)的解析式是Ax)=2sin12x+".

(2)將f(x)的圖象向左平移二個單位長度，

可得到函數y=2sin|2(X+^1J+￡=2sin12x+"|)的圖象,

再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的g，縱坐標不變，

得到函數g(x)的圖象，則g(x)=2sin(4x+T,

當OVxV工時，-<4x+-<—,

4333

則一7^42sin(4x+§|w2,B|J—J3<g(x)<2,

因此g(x)在0,：上的值域為[-上,2].

19.(24-25高三上?山東?階段練習)16世紀法國的數學家韋達在其三角學著作《應用于三角形的數學定律》

中給出了積化和差與和差化積恒等式.

積化和差：sinasin/3=g[cos(a—〃)—cos(a+m],cosacos尸=g[cos(a-夕)+cos(a+/?)],

sinacos/?=g[sin(a+〃)+sin(a—〃)],cosasin/?=g[sin(a+〃)-sin(a一夕)].

工n*/[,工口??ACatBa—B..Aca+B.a-p

下口差化積：sin6z+sinp=2sin-------cos--------,sina-sm〃=2cos--------sin--------

2222

々ca+Ba—Bnc-a+B-a—B

coscr+cosp=2cos---cos---,cosa-cosp=-zsin---sin---.

運用上面的公式解決下列問題：

⑴證明：cos2cr-sir?/=cos(a+4)cos(cr-/7)；

(2)若a+/?+/+g=兀，證明：sin(a+/?)sin(a+/)=sincrsin^+sin^sin/；

小、什pg、sinxsin3xsin5x

⑶若函數=k++++葦彩,冗￡（0,2兀），判斷〃%）的零點個數，并說明理由.

24o

【答案】（1）證明見解析；

⑵證明見解析:

⑶僅有1個，理由見解析.

【分析】（1）直接利用二倍角公式和和差化積公式計算即可;

(2)利用積化和差公式和誘導公式即可證明；

(3)易得f5)=0,再證明當％w(0,?)5匹2%)時，/(尤)工。即可.

【詳解】(1)根據二倍角公式與和差化積恒等式可得：

2.2c1+cos2a1-cos2B1小小/小/小

cosa-smp=--------------------------=—(zcos2cif+cos2p)=cos(a+Jj)cos(a-p).

(2)左邊二g[cos(萬一7)—cos(2a+〃+/)]

=—[cos(y0-/)-cos(a+7T-g)]

=g[cos(6-7)+cos(a-g)].

右邊=g[cos(cr-co)-cos(a+⑷]+；[cos('-/)-cos(,+/)]

=g[COS(6Z—+COS(/?―/)]一([COS(6Z+⑼+COS(,+/)].

因為a+，+/+G=?,所以cos(a+M+cos(6+7)=0,

故sin(<z+/?)sin(6r+/)=sinasinty+sin/?sin/.

(3)f(%)僅有一個零點.

顯然/(1)=0,下面證明當工￡(0,萬)。(匹2%)時，/(x)w0.

c.「,、2sin2x2sinxsin3x2sinxsin5x2sinxsin99x

2sinx-fix)---------H----------------1--------------+H----------------

246100

1-cos2xcos2x-cos4xcos4x-cos6xcos98x-cosl00x

=----------+----------------+----------------++--------------------

246100

1111111cccoslOOx

=一+cos2x+cos4x++cos98x-------------

2426410098100

當x￡(0,I)u(匹2%)時,sinxw0,cos2xG[-1,1),cos4xG[-1,1],

所以2sinx"(x)■++

所以當無€(0,丁)5肛2萬)時，/(x)wo.

綜上，f(x)僅有1個零點萬.

【點睛】本題第三問的關鍵利用放縮法證明當xe(0,<lu(肛20時，2sinx-/(x)>0.

模塊03三角函數與解三角形

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.（24-25高三上?山東濟寧?階段練習）在三角形ABC中，a=2,A=y,b=2由,則/C=（）

6

71e兀

A.—B.—c-Hg-D.巴或4

63,6232

2.（2024?海南?模擬預測）若℃（0,兀），且cosa-sina=-,貝Utana=()

2

44+幣B4-77「4+幣D4-血

5533

(kn、）的頂點與原點重合，始邊與X軸的非負半軸重合,

3.（24-25高三上?安徽?階段練習）已知角a\aw—GZ

I2,

終邊經過點P（tan?,4）,則加學±1=()

cos2。+1

A9「9c-g或！D.2或工

A.-B.-

2888

4.（24-25高三上?甘肅臨夏?期末）將函數g（%）=2sin2x的圖象向左平移二個單位長度，再向下平移1個單

位長度得到函數/（%）的圖象，則函數的（）

C.一個對稱中心為I*,。1D.一條對稱軸為71

A.最大值為3B.最小值為-1x=—

6

5.（2024.河南.模擬預測）已知函數/（x）=tan（2x+]J,則下列說法正確的是（）

在區間會，雪上單調遞增

A./（x）為奇函數B.

C.圖象的一個對稱中心為|j|,0

D.的最小正周期為兀

6.（24-25高三上?湖南長沙?階段練習）如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心。距離水面2米，已知

水輪每60秒逆時針轉動一圈，如果當水輪上點P從水中浮現時（圖中點〃）開始計時，則下列說法錯誤的

A.點尸第一次到達最高點需要20秒

B.當水輪轉動155秒時，點尸距離水面1米

C.當水輪轉動50秒時，點尸在水面下方，距離水面2米

D.點尸距離水面的高度（米）與時間?（秒）之間的函數解析式為〃=4而匕^-[]+2

oJ

7.（24-25高三上?湖南長沙?期末）若cos（a-￡）=且，cos2c=巫，并且%￡均為銳角，且尸，則&+夕

V7510

的值為（）

,兀c萬一3兀—5兀

A.-B.-C.—D.—

6446

8.（2025高三?全國?專題練習）己知VABC的內角A,5,C所對的邊分別為“,瓦c,若

（c-a）smA=csmC-bsinB,b=3,則AC邊上中線長度的最大值為（）

A3后R473r3>/3n